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广东省新会一中高三上学期第四次测验数学文试题

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新会一中 2013 届高三级第一学期文科第四次数学测验试题

本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位 号填写在答题卡上。
2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求.)

1.已知 i 为虚数单位,则复数 ?1 ? i 的模等于( )

A. 1

B. 2

C. 2

D.2

2

2

2. i 是虚数单位,复数 1 ? 3i =( )

1?i

A. 2 ? i

B. 2 ? i C. ?1 ? 2i

D. ?1 ? 2i

A

3.若复数 (a 2 ? 3a ? 2) ? (a ?1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为 D ()

A.1

B.2

C.1 或 2

D.-1 B

C

4.如图, D 是△ ABC 的边 AB 的中点,则向量 CD 等于( ).

A. ? BC ? 1 BA 2

B. ? BC ? 1 BA C. BC ? 1 BA

2

2

D. BC ? 1 BA 2

? 5.已知向量 a ? (4,?2) ,向量 b ? (x,5) ,且 a // b ,那么 x 的值等于( ).

A.10

B. 5

C. ? 5 2

D. ?10

6. 已知 a 、 b 是两个单位向量,那么下列命题中的真命题是( ).

A. a ? b

B. a ? b ? 0 C.| a ? b |? 1

2

2

D. a ? b

7.下列各式中,值为 1 的是( ) 2

A. sin150 cos150 D. tan 22.50
1 ? tan 2 22.50

B. 2 cos2 ? ?1 12

C. 1 ? cos 300 2

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8.要得到函数 y ? sin(2x ? ? ) 的图象,只要把函数 f (x) ? sin 2x 的图象( ) 3

A.向右平移 ? 个单位 3

B.向左平移 ? 个单位 3

C.向右平移 ? 个单位 6

D.向左平移 ? 个单位 6

9.有以下四个命题:①如果 a ? b ? b ? c 且 b ? 0 ,那么 a ? c ;②如果 a ? b ? 0 ,那么

a ? 0 或 b ? 0 ;③ ?ABC 中,如果 AB ? BC ? 0 ,那么 ?ABC 是钝角三角形;④

?ABC 中,如果 AB ? BC ? 0 ,那么 ?ABC 为直角三角形.其中正确命题的个数是

( ).

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

10.已知函数 y ? sin(?x ? ?)(? ? 0,| ? |? ? ) 的部分图象如图所示,则( ) 2

A.? ? 1,? ? ? 6

B.? ? 1,? ? ? ? 6

C.? ? 2,? ? ? 6

D.? ? 2,? ? ? ? 6

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.)

11.设复数 z 满足 (1 ? i)z ? 2 ,其中 i 为虚数单位,则 z 的虚部为________

12.已知向量 a 、 b 满足| a |? 1,| b |? 2 , a 与 b 的夹角为 60°,则| a ? 2b | =
________.

13.已知两个单位向量 e1

, e2

的夹角为 ? 3

? 若向量 b1 = 2e1

?

4e2

,b2

?

3e1

?

4e2





b1 ? b2 =

14.已知向量 a ? (1,?3) , b ? (4,2) ,若 a ? (b ? ?a) ,其中 ? ? R ,则

??

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤.
15.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? 4 cos x sin(x ? ? ) ?1. 6
(1) 求 f (x) 的最小正周期;(6 分)

(2)



f

(

x)

在区间

[?

? 6

?

? 4

]

上的最大值和最小值.

(6 分)

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16. (本小题满分 12 分)某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B

产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时,可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产

品获利 40 元.乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时,可加工出 4 千克 B 产品,每千

克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工,每天甲、乙车

间耗费工时总和不得超过 480 小时,那么要满足上述的要求,并且获利最大,甲、乙

两车间应当各生产多少箱?

y

o

x

17.(本小题满分

14

分)已知函数

f

(x)

?

A

cos

? ??

x 4

?

? 6

? ??



x?R

,且

f

? ??

? 3

? ??

?

2

(1)求 A 的值;(5 分)

(2)设?? ?

?

???0,

? 2

? ??



f

? ??

4?

?

4? 3

? ??

?

? 30 17



f

? ??

4?

?

2? 3

? ??

?

8 5

,求 cos(?

?

?)



值. (9 分)

18.(本小题满分 14 分) 如图,
在梯形 ABCD 中,
AB // CD , E, F 是线段 AB
上的两点,且 DE ? AB , CF ? AB ,

AB ? 12, AD ? 5, BC ? 4 2, DE ? 4 . 现将 ?ADE, ?CFB 分别沿 DE,CF 折起,使
A, B 两点重合与点 G ,得到多面体 CDEFG . (1)求证: EG ? 平面 CFG ;(7 分)
(2)求多面体 CDEFG 的体积. (7 分)
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19. (本小题满分 14 分)在海岸 A 处,发现北偏东 45 方向, 距离 A ( 3 ?1) n mile 的 B

处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75 的方向,距离 A 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以

10 3 n mile / h 的速度追截走私船,此时,走私船正以 10 n mile / h 的速度从 B 处

向北偏东 30 方向逃窜.
(1)求线段 BC 的长度;(4 分)

(2)求 ?ACB 的大小;(4 分)(参考数值: sin150 ? 6 ? 2 , cos150 ? 6 ? 2 )

4

4

(3)问缉私船沿北偏西多少度的方向能最快追上走私船? (6 分)

20.(本小题满分

14

分)已知函数

f

(x)

?

ax3

?

3 2

x2

?

1(x ?R),其中 a

?

0

.

(1)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程; (6 分)

(2)若在区间 [?

1 2

?

1 2

]

上,

f

(x) >0

恒成立,求

a

的取值范围.

(8

分)

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2013 届高三级第一学期文科数学第四次数学测验答题卷

高三( )班 姓名:

学号:

成绩:

一、选择题: 本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.

题 号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0





二、填空题:本大题共 4 小题,满分 20 分.

11.

; 12.

; 13.

;14.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤.
15.(本小题满分 12 分)

y
16.(本小题满分 12 分)

o

x

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17.(本小题满分 14 分)
18.(本小题满分 14 分)
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19.(本小题满分 14 分)
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20.(本小题满分 14 分)
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2013 届高三级第一学期文科数学第四次数学测验答案

1-5 C B B A D

6-10 D D D C D

11. ?1 12. 13 13. ?12

14. 1 5

15.解:(1)因为

f(x)=4cosxsin

(

x

?

? 6

)

?1

?

4cos

x(

3 2

sinx ?

1 2

cos x) ?1

= 3 sin2x+2cos 2 x ? 1

……………………………………… 2 分

= 3 sin2x+cos2 x

………………………………………… 4 分

=2sin (2x ? ? )? 6
所以 f(x)的最小正周期为? .

………………………………………… 5 分 ………………………………………… 6 分

(2)因为

?

? 6

?

x

?

? 4

?

所以

?

? 6

?

2x

?

? 6

?

2? 3

.

…………………………………………

8分

于是,当 2x

?

? 6

?

? 2

?即

x

?

? 6

时,

f(x)取得最大值

2;

…………………………………………

10 分



2x

?

? 6

?

?? 6

?即x

?

?? 6

时,f(x)取得最小值-

………………………………………

12 分

16.解析:设甲车间加工原料 x 箱 乙车间加工原料 y 箱, …………………………………… 1 分

根据题意,

? x ? y ? 70?

得约束条件

??10x ? 6 y ? 480?

? ?

x ? 0? y ? 0?

?? x、y ? N?

画出可行域.

目标函数 z=280x+200y,

…………………………………… 4 分
…………………………………7 分 …………………………………… 8 分



y

?

?

7 5

x

?

z 200

?

…………………………………… 9 分

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作直线

y

?

?

7 5

x

并平移,得直线经过点

A(15,55)时

z

取最大值.

……………………………… 11 分

所以当 x=15,y=55 时,z 取最大值 . …………………………………… 12 分

17. 解:(1) f (? ) ? Acos( ? ? ? ) = Acos ? ………………………………… 2 分

3

12 6

4

= 2 A = 2 ,……………………………… 4 分 2
解得 A ? 2 ……………………………… 5 分

(2)

f

? ??

4?

?

4? 3

? ??

?

2 cos ????

?

? 3

?

? 6

? ??

?

2

cos

? ??

?

?

? 2

? ??

?

?2 sin ?

?

? 30 17



即 sin? ? 15 17

……………………………… 7 分

f

? ??

4?

?

2? 3

? ??

?

2

cos

? ??

?

?

? 6

?

? 6

? ??

?

2 cos

?

?

8 5

,即 cos ?

?

4 5

…………

9分

因为

?

?

?

?

???0,

? 2

? ??

,………………………………

10 分

所以 cos? ? 1? sin2 ? ? 8 , sin ? ? 1? cos2 ? ? 3 ……………………

17

5

12 分

所以 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? ? 8 ? 4 ? 15 ? 3 ? ? 13 …… 14 分 17 5 17 5 85

18.解:(1)在多面体 CDEFG 中, CF ? EF,CF ? GF, EF ? GF ? F ,

所以, CF ? 底面EGF , …………………………… 2 分 又因为 EG ? 底面EGF ,

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可得 CF ? EG ,

…………………………… 3 分

由已知可得 AE=3,BF=4,则折叠完后 EG=3,GF=4, 又因为 EF=5,

所以, EG 2 ? GF 2 ? EF 2

可得 EG ? GF .

…………………………… 5 分

又因为 CF ? GF ? F , ………………………… 6 分

所以, EG ? 面CFG . …………………………… 7 分

(2)过 G 作 GO ? EF,…………………………… 8 分

由(1)可得 CF ? 底面EGF ,

GO ? 底面EGF ,所以 CF ? GO .………………………… 9 分

又因为 EF ? GO ? O ,

………………………… 10 分

所以, GO ? 平面CDEF .

GO 即为四棱锥 G-EFCD 的高,…………………………… 11 分

所以所求体积为VG?EFCD

?

1 3

S 正方形DECF

? GO

?

1 ? 4 ? 5 ? 12

3

5

? 16 .……………

19.解:(1)在 ?ABC 中, ?CBD ? 90 +30 =120 ,……………………………… 1 分

由余弦定理,得

BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2AB ? AC cos ?CAB ……………………………… 2 分

= ( 3 ?1)2 ? 22 ? 2 ? ( 3 ?1) ? 2 ? (? 1 ) =6,…………………………… 3 分 2

所以, BC = 6

.…………………………… 4 分

14 分

(2)在 ?ABC 中,由正弦定理,得 AB ? BC , sin ?ACB sin1200
所以, sin ?ACB ? AB ? sin1200 ……………………………… 6 分 BC

= 3 ?1 = 6 ? 2 . ……………………………… 7 分

22

4

又? 00 ? ?ACB ? 900 ,

? ?ACB ? 150 . …

…………………………… 8 分

(3)设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船,如图,则有 CD ? 10 3t? BD ? 10t .在△ABC 中,

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又 ?CBD ? 90 +30 =120 ,

在△BCD 中,由正弦定理,得

sin ?BCD

?

BD

? sin?CBD CD

…………………

8分

? 10t ?sin120 10 3t

?

1 2

.

…………………

10 分

∴ ?BCD ? 30 ,

又因为 ?ACB ? 150 ………………… 12 分

所以1800 ? (?BCD ? ?ACB ? 750 ) =1800 ? (300 ? 150 ? 750 ) = 600

即缉私船沿北偏东 60 方向能最快追上走私船 ………………… 14 分

20.解:(1)当 a=1 时 ? f (x) ? x3 ? 3 x2 ?1? f (2) ? 3; …………………… 1 分 2

f ′(x) ? 3x2 ? 3x? f ′(2)=6. …………………… 3 分

所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-3=6(x-2), …………………… 5 分

即6x ? y ? 9 ? 0 .

…………………… 6 分

(2)f ′ (x) ? 3ax2 ? 3x ? 3x(ax ? 1).令 f ′(x)=0,解得 x=0 或 x ? 1 . …………………… 7 分 a
以下分两种情况讨论:

①



0

?

a

?

2?



1 a

?

1 2

.当x变化时,f

′(x),f(x)的变化情况如下表:

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x

?[?

1 2

?

1 2

]

时,f(x)>0

等价于

? ? ? ??

f

(?

1 2

)

?

0?

f (12) ? 0?



? ?

5

? 8

a

?

0?

? ? ?

5

? 8

a

?

0?

……………………

9分

解不等式组得-5<a<5.因此 0 ? a ? 2 . …………………… 10 分

②若

a>2,则

0

?

1 a

?

1 2

.当

x

变化时,f

′(x),f(x)的变化情况如下表:



x

?[?

1 2

?

1 2

]

时,f(x)>0

等价于

? ? ? ??

f (? 12) ? 0?

f

(

1 a

)

?

0?



?5
? ? ?1 ? ?

? 8

a

?

0?

1 2a2

?

0?

…………………

解不等式组得

2 2

? a ? 5或a ? ?

2 2

.

因此 2<a<5.

………………… 13 分

综合①和②,可知 a 的取值范围为 (0,5) . …………………… 14 分

12 分

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