9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中概率与统计试题


概率与统计 一、选择题

2. (福建理 5)某一批花生种子, 如果每 1 粒发牙的概率为

4 5

,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是

A.

16 625

B.

96 625

C.

192 625

D.

256 625
2

96 4 2? 4? ?1? 解:独立重复实验 B (4, ) , P ( k ? 2) ? C4 ? ? ? ? ? 625 5 ? 5? ?5?
3. (福建文 5)某一批花生种子,如果每 1 粒发芽的概率为

2

4 5

,那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是

A.

12 125

B.

16 125

C.

48 125

D.

96 125
2 1

解:这是独立重复实验,服从二项分布 B (3,

48 4 ?4? ?1? ) , P ( X ? 2) ? C32 ? ? ? ? ? 5 ? 5 ? ? 5 ? 125

4. (广东理 3)某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如表 1.已知在全校 学生中随机抽取 1 名,抽到二年级 女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级抽取的学生人数为( A.24 C.16 B.18 D.12 女生 男生 解:依题意我们知道二年级的女生有 380 人,那么三年级的 一年级 373 377 二年级 三年级 C )

x
370

y

z
学生的人

数应该 是 500 ,即总体 中各 个年 级的人 数比 例为 3 : 3 : 2 ,故在 分层 抽样中 应在 三年级 抽取 的学 生人数为

64 ?

2 ? 16 8

6. (江西理 11 文 11)电子钟一天显示的时间是从 00:00 到 23:59 的每一时刻都由四个数字组成,则一天中任一时刻 的四个数字之和为 23 的概率为

A.

1 180

B.

1 288

C.

1 360

D.

1 480
1 . 360

解:一天显示的时间总共有 24 ? 60 ? 1440 种,和为 23 总共有 4 种,故所求概率为

7. (辽宁理 7 文 7)4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之

和为奇数的概率为(

) A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

解:要使取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数,则取出的 2 张卡片上的数字必须一奇一偶,

∴取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率 P

?

1 1 C2 ? C2 4 2 ? ? . C32 6 3

8. (山东文 9)从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,统计如表,则这 100 人成绩的标准差为(

B



A. 解

3

B.

2 10 5

C.3

D.

8 5


分数 人数

5 20

4 10

3 30

2 30

1 10

?x ?

1

?

? ? 100

?

1 0 ? 3, ? S 2 ? [( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ? ? ( xn ? x) ] n

0

2

?

2 10 1 160 8 . 选 B. [20 ? 22 ? 10 ?12 ? 30 ?12 ? 10 ? 22 ] ? ? ,?S? 5 100 100 5

9. (山东理 7)在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1 2,?, 的 18 名火炬手.若从中任选 3 ,3, 18 人,则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为( )

A.

1 51

B.

1 68

C.

1 306
3

D.

1 408

解:古典概型问题,基本事件总数为 C18

? 17 ?16 ? 3 。能组成以 3 为公差的等差数列有(1,4,7) (2,5,8) ,

?? , (12,15,18)共 12 组,因此概率 P ?

12 1 ? . 17 ?16 ? 3 68

10. (山东理 8)右图是根据《山东统计年鉴 2007》中的资料作成的 1997 年至 2006 年我省城镇居民 百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字 和十位数字,右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字. 从图中可以得到 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户家庭人口数的 平均数为( A.304.6 ) B.303.6 C.302.6 D.301.6

2 9 1 1 5 8 3 0 2 6 3 1 0 2 4 7

解: x

? 300 ?

?9 ? 9 ? 5 ? 2 ? 2 ? 6 ? 10 ? 12 ? 14 ? 17 ? 303.6 10

11. (陕西文 3)某林场有树苗 30000 棵,其中松树苗 4000 棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一 个容量为 150 的样本,则样本中松树苗的数量为( A.30 B.25 C.20 C )

D.15

解:设样本中松树苗的数量为 x ,则

150 x ? ? x ? 20 30000 4000

13.(重庆文 5)某交高三年级有男生 500 人,女生 400 人,为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取 25 人, 从女生中任意抽取 20 人进行调查.这种抽样方法是 (A)简单随机抽样法 (B)抽签法 (C)随机数表法 (D)分层抽样法

解:若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样。故选 D。 14.(重庆文 9)从编号为 1,2,?,10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个,则所取 4 个球的最大号码是 6 的概率为

(A)

1 84

(B)

1 21

(C)

2 5

(D)

3 5

3 C5 1 解:古典概型, P ? 4 ? ,故选 B。 C10 21

15. (四川延考理 8 文 8)在一次读书活动中,一同学从 4 本不同的科技书和 2 本不同的文艺书中 任选 3 本,则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为

(A)

1 5

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

4 5

解:因文艺书只有 2 本,所以选 3 本必有科技书。问题等价于选 3 本书有文艺书的概率:

P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ?
二、填空题

3 C4 4 4 ? 1? ? 3 C6 20 5

16. (广东文 11).为了调查某厂工人生产某种产品的 能力,随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数量. 产品数量的分组区间为

? 45,55 ? , ?55, 65 ? , ? 65, 75 ? ,

? 75,85 ? , ?85, 95 ? 由此得到频率分布直方图如图 3,
则这 20 名工人中一天生产该产品数量在

?55, 75 ? 的人数是

.

解: 20 ? (0.065 ?10) ? 13 ,故答案为 13. 17. (湖北文 11)一个公司共有 1 000 名员工,下设一些部门,要采用分层抽样方法从全体员工中 抽取一个容量为 50 的样本,已知某部门有 200 名员工,那么从该部门抽取的工人数是 .

解:由分层抽样方法可知从该部门抽取的工人数满足

1000 200 ? , x ? 10 50 x

18. (湖北文 14)明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己,假设甲闹钟 准时响的概率是 0.80,乙闹钟准时响的概率是 0.90,则两个闹钟至少有一准时响的概率是 .

解:两个闹钟都不准时响的概率是 (1 ? 0.8)(1 ? 0.9) ? 0.02 ,所以至少有一准时响的概率是 0.98 19. (海南宁夏理 16 文 16)从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位:mm) , 结果如下: 甲品种:271 273 308 310 乙品种:284 292 320 322 280 285 285 287 314 319 323 325 292 294 325 295 301 303 303 307

328 331

334 337 352 318 318

295 304 306 307 322 324 327 329

312 313 331

315 315 316

333 336

337 343 356

由以上数据设计了如下茎叶图

甲 7 5 5 8 7 3 9 8 5 7 3 5 4 3 4 5 4 1 0 2 1 0 3 1 2 27 28 29 30 31 32 33 34 35 4 2 4 2 0 1 3 6



5 6 3 2 3

7 5 5 6 8 8 2 4 7 9 6 7

根据以上茎叶图,对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论: ① ;② .

解:1.乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或:乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉 花的纤维长度) . 2.甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散. (或:乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度 更集中(稳定) .甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大) . 3.甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm,乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318mm. 4.乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值附近) .甲品种棉花的纤维长度除一个特殊 值(352)外,也大致对称,其分布较均匀. 20. (江苏 2)若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具) ,先后抛掷两 次,则出现向上的点数之和为 4 的概率是 ▲ .

解:基本事件共 6×6 个,点数和为 4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共 3 个,故 P

?

3 1 ? 6 ? 6 12

21. (江苏 6)在平面直角坐标系 xoy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域, E 是到原 点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则所投点在 E 中的概率是 ▲

解:如图:区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部(含边界) ,

区域 E 表示单位圆及其内部,因此. P

?

? ?12
4? 4

?

?
16

22. (湖南文 12)从某地区 15000 位老人中随机抽取 500 人,其生活能否自理的情况如下表所示:



性 别 数
男 女

生活能 否自理 能 不能 178 23 278 21

则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。 解:由上表得 (23 ? 21) ?

15000 ? 2 ? 30 ? 60. 500

23. (上海理 7)在平面直角坐标系中,从六个点:A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个, 这三点能构成三角形的概率是 解:已知 (结果用分数表示).

3 A、 、 、 共线;B、 、 共线; C E F C D 六个无共线的点生成三角形总数为: C 6 ;

可构成三角形的个数为: C 6

3

3 3 ? C 4 ? C3 ?15 ,所以所求概率为:

3 3 3 C6 ? C 4 ? C3 3 ? ; 3 4 C6

24.上海文 8.在平面直角坐标系中,从五个点: 这三点能构成三角形的概率是 解: 由已知得

A(0,,B(2,,C(11) D(0,,E(2, 中任取三个, 0) 0) ,, 2) 2)

(结果用分数表示) .

A、 、 三点共线,B、 、 三点共线, C E C D
3 C3 ? 2 4 ? . 3 5 C5

所以五点中任选三点能构成三角形的概率为

25. (上海文 10)已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20, 且总体的中位数为 10.5.若要使该总体的方差最小,则 a、b 的取值分别 .

解:中位数为 10.5 ? a ? b ? 21, 根据均值不等式知,只需 a ? b ? 10.5 时,总体方差最小. 26. (天津文 11)一个单位共有职工 200 人,其中不超过 45 岁的有 120 人,超过 45 岁的有 80 人.为了调查职工的

健康状况, 用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本, 应抽取超过 45 岁的职工________10________ 人.

解:依题意知抽取超过 45 岁的职工为

25 ? 80 ? 10 . 200

三、解答题 27.(安徽理 19). 为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了 n 株沙柳,各株沙柳成活与 否是相互独立的,成活率为 p,设 ? 为成活沙柳的株数,数学期望 E? (Ⅰ)求 n,p 的值并写出 ? 的分布列; (Ⅱ)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率 解:(1)由 E?

? 3 ,标准差 ?? 为

6 2



3 1 1 ? np ? 3, (?? )2 ? np(1 ? p) ? , 得 1 ? p ? ,从而 n ? 6, p ? , 2 2 2

? 的分布列为
?
P
0 1 2 3 4 5 6

1 64

6 64
则 P( A) ?

15 64
P(? ? 3),

20 64


15 64

6 64

1 64

(2)记”需要补种沙柳”为事件 A,

P( A) ?

1 ? 6 ? 15 ? 20 21 ? , 64 32



P( A) ? 1 ? P(? ? 3) ? 1 ?

15 ? 6 ? 1 21 ? 64 32

28. (安徽文 18) 在某次普通话测试中,为测试汉字发音水平,设置了 10 张卡片,每张卡片印有一个汉字的拼音,其中恰有 3 张卡片 上的拼音带有后鼻音“g”. (Ⅰ)现对三位被测试者先后进行测试,第一位被测试者从这 10 张卡片总随机抽取 1 张,测试后放回,余下 2 位的 测试,也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上,拼音都带有后鼻音“g”的概率。 (Ⅱ)若某位被测试者从 10 张卡片中一次随机抽取 3 张,求这三张卡片上,拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于 2 张的概率。

解: (1)每次测试中,被测试者从 10 张卡片中随机抽取 1 张卡片上,拼音带有后鼻音“g”的概率为

3 ,因为三位 10

被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的,因而所求的概率为

3 3 3 27 ? ? ? 10 10 10 1000

(2) 设 则

Ai (i ?1 ) ,2,3

表示所抽取的三张卡片中, 恰有 i 张卡片带有后鼻音 “g” 的事件, 且其相应的概率为 P( Ai ),

P( A2 ) ?
因而所求概率为

1 C7C32 7 ? 3 C10 40

,

P( A3 ) ?

3 C3 1 ? 3 C10 120

P( A2 ? A3 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ?
29. (北京理 17) 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 求甲、乙两人同时参加

7 1 11 ? ? 40 120 60

(Ⅰ) A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.

A 岗位服务的概率;

(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (Ⅲ)设随机变量 ? 为这五名志愿者中参加

A 岗位服务的人数,求 ? 的分布列.
3 A3 1 ? , 2 4 C5 A4 40

解: (Ⅰ)记甲、乙两人同时参加

A 岗位服务为事件 E A ,那么 P ( E A ) ?
1 . 40
?

即甲、乙两人同时参加

A 岗位服务的概率是

(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E ,那么 P ( E )

4 A4 1 ? , 2 4 C5 A4 10

所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P( E ) ? 1 ? P( E ) (Ⅲ)随机变量 ? 可能取的值为 1,2.事件“ ? 则 P (?

?

9 . 10

? 2 ”是指有两人同时参加 A 岗位服务,

? 2) ?

3 C52 A3 1 ? . 3 4 C5 A4 4

所以 P(?

? 1) ? 1 ? P(? ? 2) ?

3 , ? 的分布列是 4

?

1

3

P

3 4

1 4

30.(北京文 18) (本小题共 13 分) 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 (Ⅰ)求甲、乙两人同时参加

A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.

A 岗位服务的概率;

(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.

解: (Ⅰ)记甲、乙两人同时参加

A 岗位服务为事件 E A ,那么 P ( E A ) ?
1 . 40

3 A3 1 ? , 2 4 C5 A4 40

即甲、乙两人同时参加

A 岗位服务的概率是

4 A4 1 (Ⅱ)设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E ,那么 P ( E ) ? 2 4 ? , C5 A4 10

所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P( E ) ? 1 ? P( E ) 31. (福建理 20) (本小题满分 12 分)

?

9 . 10

某项考试按科目 A、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科目 B 的考试。已知每个科目只允 许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试,科目 A 每次考试成绩合格的概率均



2 1 ,科目 B 每次考试成绩合格的概率均为 .假设各次考试成绩合格与否均互不影响。 3 2

(Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率; (Ⅱ)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为 ? ,求 ? 的数学期望 E ? . 解:设“科目 A 第一次考试合格”为事件 “科目 B 补考合格”为事件 B2 (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为

A1 , “科目 A 补考合格”为事件 A2 ; “科目 B 第一次考试合格”为事件 B1 ,

A1 ?B1 ,注意到 A1 与 B1 相互独立,

则 P( A ? 1 ) ? 1 B

2 1 1 P( A1 ) ? P( B1 ) ? ? ? . 3 2 3
1 . 3

答:该考生不需要补考就获得证书的概率为

(Ⅱ)由已知得, ? =2,3,4,注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得

P(? ? 2) ? P( A1 ?B1 ) ? P( A1 ?A2 )

2 1 1 1 1 1 4 ? ? ? ? ? ? ? . 3 2 3 3 3 9 9
P(? ? 3) ? P( A1 ?B1 ?B2 ) ? P( A1 ?B1 ?B2 ) ? P( A1 ?A2 ?B2 )

2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 2 2 3 2 2 3 3 2 6 6 9 3
P(? ? 4) ? P( A1 ?A2 ?B2 ?B2 ) ? P( A1 ?A2 ?B1 ?B2 )

1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 3 2 2 3 3 2 2 18 18 9
故 E?

4 4 1 8 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? , 9 9 9 3

答:该考生参加考试次数的数学期望为

8 . 3

32. (福建文(18) (本小题满分 12 分)

三人独立破译同一份密码,已知三人各自破译出密码的概率分别为

1 1 1 , , , 且他们是否破译出密码互不影响。 5 4 3

(Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率; (Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大?说明理由. 解:记“第 i 个人破译出密码”为事件

Ai (i ? 1, 2,3) ,依题意有

1 1 1 P( A1 ) ? , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? , 且 A1 , A2 , A3 相互独立. 5 4 .3
(Ⅰ)设“恰好二人破译出密码”为事件 B ,则有

B ? A1 A2 A 3 ? A1 A 2 A3 ? A1 A2 A3
于是



A1 A2 A 3 , A1 A 2 A3 , A1 A2 A3

彼此互斥

P( B) ? P( A1 A2 A 3 ) ? P( A1 A 2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )


1 1 2 1 3 1 4 1 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? = 5 4 3 5 4 3 5 4 3 20
3 20
.

.

答:恰好二人破译出密码的概率为

(Ⅱ)设“密码被破译”为事件 C , “密码未被破译”为事件 D .

D ? A1 ?A2 ?A3 ,且 A1



A2



A3 互相独立,则有

4 3 2 2 P( D) ? P( A1 )?P( A2 )?P( A3 ) = ? ? = . 5 4 3 5

而 P(C )

? 1 ? P( D) ?

3 ,故 P(C ) ? P( D) . 5

答:密码被破译的概率比密码未被破译的概率大. 33. (广东理 17. (本小题满分 13 分) 随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品 4 件.已知生 产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单 位:万元)为 ? . (1)求 ? 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ? 的数学期望) ; (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1% ,一等品率提高为 70% .如果此时要求 1 件产品的平 均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少? 解: ? 的所有可能取值有 6,2,1,-2; P(?

? 6) ?

126 50 ? 0.63 , P(? ? 2) ? ? 0.25 200 200

P(? ? 1) ?

20 4 ? 0.1, P(? ? ?2) ? ? 0.02 200 200

故 ? 的分布列为:

?
P
(2) E?

6 0.63

2 0.25

1 0.1

-2 0.02

? 6 ? 0.63 ? 2 ? 0.25 ? 1? 0.1 ? (?2) ? 0.02 ? 4.34

(3)设技术革新后的三等品率为 x ,则此时 1 件产品的平均利润为

E( x) ? 6 ? 0.7 ? 2 ? (1 ? 0.7 ? 0.01 ? x) ? (?2) ? 0.01 ? 4.76 ? x(0 ? x ? 0.29)
依题意, E ( x) ? 4.73 ,即 4.76 ? x ? 4.73 ,解得 x ? 0.03 所以三等品率最多为 3% 34. (广东文 19) (本小题满分 13 分) 某初级中学共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表: 初一年级 女生 男生 373 377 初二年级 初三年级

x
370

y z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19. (1) 求 x 的值; (2) 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名?

(3) 已知 y ? 245,z ? 245,求初三年级中女生比男生多的概率. 解: (1)?

x ? 0.19 2000

? x ? 380

(2)初三年级人数为 y+z=2000-373+377+380+370)=500,

现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,应在初三年级抽取的人数为:

48 ? 500 ? 12 2000



(3)设初三年级女生比男生多的事件为 A ,初三年级女生男生数记为(y,z) ; 由(2)知

y ? z ? 500

,且

y, z ? N ,基本事件空间包含的基本事件有:

(245,255)(246,254)(247,253) 、 、 、??(255,245)共 11 个 事件 A 包含的基本事件有: (251,249)(252,248)(253,247) 、 、 、(254,246)、(255,245) 共 5 个

? P( A) ?

5 11

35. (海南宁夏理 19) (本小题满分 12 分)

A,B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X 和 X .根据市场分析,X 和 X 的分布列分别为
1 2 1 2

X1 P

5% 0.8

10% 0.2

X2 P

2% 0.2

8% 0.5

12% 0.3

(Ⅰ)在

A,B 两个项目上各投资 100 万元,Y 和 Y 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润,求方差 DY ,DY ;
1 2 1 2

(Ⅱ)将 x(0 ≤ x ≤100) 万元投资 A 项目,100 ? x 万元投资 B 项目, 投资 B 项目所得利润的方差的和.求

f ( x) 表示投资 A 项目所得利润的方差与
( f ( x) 取 到 最 小 值 . 注 :

f ( x) 的 最 小 值 , 并 指 出

x 为何值时,

D(aX ? b) ? a 2 DX



解: (Ⅰ)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列分别为

Y1 P

5 0.8

10

Y2
0.2

2 0.2

8 0.5

12 0.3

P

EY1 ? 5 ? 0.8 ? 10 ? 0.2 ? 6 ,
DY1 ? (5 ? 6)2 ? 0.8 ? (10 ? 6)2 ? 0.2 ? 4 ,

EY2 ? 2 ? 0.2 ? 8 ? 0.5 ? 12 ? 0.3 ? 8 ,

DY2 ? (2 ? 8)2 ? 0.2 ? (8 ? 8) 2 ? 0.5 ? (12 ? 8) 2 ? 0.3 ? 12 .
(Ⅱ)

? x ? ? 100 ? x ? f ( x) ? D ? Y1 ? ? D ? Y2 ? ? 100 ? ? 100 ?
2 2

4 ? x ? ? 100 ? x ? ? x 2 ? 3(100 ? x)2 ? ?? ? DY1 ? ? ? DY2 ? ? 100 ? 100 ? 1002 ? ? ? ? 4 (4 x 2 ? 600 x ? 3 ?1002 ) , 2 100 ? 600 ? 75 时, f ( x) ? 3 为最小值. 2? 4

当x

36. (海南宁夏文 19) (本小题满分 12 分) 为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校 6 名学生进行问卷调查,6 人得 分情况如下:5,6,7,8,9,10。把这 6 名学生的得分看成一个总体。 (1)求该总体的平均数; (2)用简单随机抽 样方法从这 6 名学生中抽取 2 名,他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率。

解: (1)总体平均数为

1 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? ? 7.5 6

(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5” 从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有:(5,6), (5,7), (5,8), (5,9), (5,10), (6,7), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9), (7,10), (8,9), (8,10), (9,10),共15个基本结果。 事件A包含的基本结果有:(5,9), (5,10), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9),共有7个基本结果;所以所求

的概率为 P

? A? ?

7 15

37. (湖北理 17) (本小题满分 12 分) 袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个( n =1,2,3,4).现从袋中任取一球. ? 表 示所取球的标号. (Ⅰ)求 ? 的分布列,期望和方差; (Ⅱ)若 ? 解: (Ⅰ) ? 的分布列为:

? a? ? b , E? ? 1 , D? ? 11,试求 a,b 的值.

?
P

0

1

2

3

4

1 2

1 20

1 10

3 20

1 5

∴ E? ? 0 ?

1 1 1 3 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 1.5. 2 20 10 20 5

1 1 1 3 1 ? ? (0 ? 1.5)2 ? ? (1 ? 1.5)2 ? ? (2 ? 1.5) 2 ? ? (3 ? 1.5) 2 ? ? (4 ? 1.5) 2 ? ? 2.75. (Ⅱ)由 2 20 10 20 5
D? ? a2 D? ,得 a ×2.75=11,即 a ? ?2. 又 E? ? aE? ? b, 所以
2

当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4. ∴?

? a ? 2, ? a ? ?2, 或? 即为所求. ?b ? ? 2 ? b ? 4

38. (湖南理 16) (本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试

合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是

1 2

,且

面试是否合格互不影响.求: (Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率; (Ⅱ)签约人数 ? 的分布列和数学期望. 解: 用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A,B,C 相互独立,

且 P(A)=P(B)=P(C)=

1 . 2

(Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率是 1 ? P( ABC ) ? 1 ? P( A) P( B) P(C ) (Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1,2,3.

1 7 ? 1 ? ( )3 ? . 2 8

P(? ? 0) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC )
= P( A) P( B) P(C ) ? P( A) P( B) P(C ) ? P( A) P( B) P(C ) = (

1 3 1 2 1 3 3 ) ?( ) ?( ) ? . 2 2 2 8

P(? ? 1) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC )
= P( A) P( B) P(C ) ? P( A) P( B) P(C ) ? P( A) P( B) P(C ) = (

1 3 1 3 1 3 3 ) ?( ) ?( ) ? . 2 2 2 8

1 P(? ? 2) ? P( ABC ) ? P( A) P( B) P(C ) ? . 8

1 P(? ? 3) ? P( ABC ) ? P( A) P( B) P(C ) ? . 8
所以,

? 的分布列是

?

0

1

2

3

P

3 8

3 8

1 8

1 8

3 3 1 1 ? 的期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1. 8 8 8 8
39.(湖南文 16) (本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约。甲表示只要面试 合格就签约,乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约。设每人

面试合格的概率都是

1 ,且面试是否合格互不影响。求: 2

(I)至少有一人面试合格的概率; (II)没有人签约的概率。 解:用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A,B,C 相互独立, 且 P( A) ?

1 P( B) ? P(C ) ? . 2

(I)至少有一人面试合格的概率是 1 ? P ( A ? B ? C )

1 7 ? 1 ? P( A) P( B) P(C ) ? 1 ? ( )3 ? . 2 8
(II)没有人签约的概率为 P( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C )

P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C )

1 1 1 3 ? ( )3 ? ( )3 ? ( ) 3 ? . 2 2 2 8
40.(江西理 18) (本小题满分 12 分) 某柑桔基地因冰雪灾害,使得果林严重受损,为此有关专家提出两种拯救果林的方案,每种方案都需分两年实施; 若实施方案一,预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4;第二 年可以使柑桔产量为上一年产量的 1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.5、0.5. 若实施方案二,预计当年可以使柑桔产 量达到灾前的 1.2 倍、1.0 倍、0.8 倍的概率分别是 0.2、0.3、0.5; 第二年可以使柑桔产量为上一年产量的 1.2 倍、

1.0 倍的概率分别是 0.4、0.6. 实施每种方案,第二年与第一年相互独立。令 ?i 桔产量达到灾前产量的倍数. (1) .写出 ?1、? 2 的分布列; (2) .实施哪种方案,两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?

(i ? 1, 2) 表示方案 i 实施两年后柑

(3) .不管哪种方案,如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量,预计可带来效益 10 万元;两年后柑桔产量恰好达 到灾前产量,预计可带来效益 15 万元;柑桔产量超过灾前产量,预计可带来效益 20 万元;问实施哪种方案所带来 的平均效益更大? 解: (1) ?1 的所有取值为 0.8、 、 、 0.9 1.0 1.125、 , ? 2 的所有取值为 0.8、 、 、 、 , 1.25 0.96 1.0 1.2 1.44

?1 、 ? 2 的分布列分别为: ?1
P 0.8 0.2 0.8 0.3 0.9 0.15 0.96 0.2 1.0 0.35 1.0 0.18 1.125 0.15 1.2 0.24 1.25 0.15 1.44 0.08

?2
P

(2)令 A、B 分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件,

P( A) ? 0.15 ? 0.15 ? 0.3 ,

P( B) ? 0.24 ? 0.08 ? 0.32

可见,方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大 (3)令 ? i 表示方案 i 所带来的效益,则

?1
P

10 0.35

15 0.35

20 0.3

?2
P 所以 E?1

10 0.5

15 0.18

20 0.32

? 14.75, E?2 ? 14.1,可见,方案一所带来的平均效益更大。

41.(江西文 18)本小题满分 12 分) 因冰雪灾害, 某柑桔基地果林严重受损, 为此有关专家提出一种拯救果树的方案, 该方案需分两年实施且相互独立. 该 方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别是 0.2、0.4、0.4;第二年可以使 柑桔产量为第一年产量的 1.5 倍、1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4. (1)求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率; (2)求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.

解: (1)令 A 表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件

P( A) ? 0.2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.3 ? 0.2
(2)令 B 表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件

P( B) ? 0.2 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.3 ? 0.48
42.(辽宁理 18) 某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近 100 周的统计结果如下表所示: 周销售量 频数 2 20 3 50 4 30

⑴根据上面统计结果,求周销售量分别为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率; ⑵已知每吨该商品的销售利润为 2 千元, ? 表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元),若以上述频率作为概率,且 各周的销售量相互独立,求 ? 的分布列和数学期望. 解(Ⅰ)周销售量为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2,0.5 和 0.3. (Ⅱ) ? 的可能值为 8,10,12,14,16,且

P( ? =8)=0.22=0.04,P( ? =10)=2×0.2×0.5=0.2,P( ? =12)=0.52+2×0.2×0.3=0.37, P( ? =14)=2×0.5×0.3=0.3,P( ? =16)=0.32=0.09.

? 的分布列为
?
P
8 0.04 10 0.2 12 0.37 14 0.3 16 0.09

E?

=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4(千元)

43.(辽宁文 18)(本小题满分 12 分) 某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近 100 周的统计结果如下表所示: 周销售量 频数 2 20 3 50 4 30

(Ⅰ)根据上面统计结果,求周销售量分别为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率; (Ⅱ)若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求 (ⅰ)4 周中该种商品至少有一周的销售量为 4 吨的概率; (ⅱ)该种商品 4 周的销售量总和至少为 15 吨的概率. 解: (Ⅰ)周销售量为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2,0.5 和 0.3.

(Ⅱ)由题意知一周的销售量为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2,0.5 和 0.3, 故所求的概率为 (ⅰ) P 1 (ⅱ) P 2

? 1 ? 0.7 4 ? 0.7599 .
3 ? C4 ? 0.5 ? 0.33 ? 0.34 ? 0.0621 .

44.(全国Ⅰ理 20 文 20)(本小题满分 12 分) 已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物, 呈阴性即没患病.下面是两种化验方法: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止. 方案乙:先任取 3 只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只,然后再逐个 化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验. (Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率; (Ⅱ) ? 表示依方案乙所需化验次数,求 ? 的期望. (文科不求) 解: (Ⅰ)分别用

Ai 、 Bi 表示依甲、乙方案需要化验 i 次,则:

1 4 1 1 4 3 1 1 4 3 2 2 P( A1 ) ? , P( A2 ) ? ? ? , P( A3 ) ? ? ? ? , P( A4 ) ? ? ? ? 。 5 5 4 5 5 4 3 5 5 4 3 5
次数 概率 1 0.2 2 0.2 3 0.2 4 0.4

P( B2 ) ?

3 2 1 C4 C4 C1 2 3 1 C 2 C1 3 2 ? 3 ? 1 ? ? ? ? 0.6 , P ( B3 ) ? 4 ? 2 ? ? ? 0.4 3 3 1 C5 C5 C3 5 5 3 C5 C3 5 3

次数 概率

2 0.6

3 0.4

P( A) ? P(甲2乙2) P(甲3次及以上) 0.2 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.72 . ? ?
(Ⅱ) ? 表示依方案乙所需化验次数, ? 的期望为 E? 45.(全国Ⅱ理 18) (本小题满分 12 分) 购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得 10 000 元的赔偿金.假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一 年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为 1 ? 0.999 (Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率
104

? 2 ? 0.6 ? 3 ? 0.4 ? 2.4 .



p;

(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元,为保证盈利的期望不小于 0,求每位投保人应

交纳的最低保费(单位:元) . 解:各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是 记投保的 10 000 人中出险的人数为 ? ,则 ? (Ⅰ)记

p,

~ B(104,p) .
000 元赔偿金,则 ,

A 表示事件:保险公司为该险种至少支付 10
4

A 发生当且仅当 ? ? 0 ,

P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? P(? ? 0) ? 1 ? (1 ? p )10
又 P( A)

? 1 ? 0.99910

4

,故

p ? 0.001 .

(Ⅱ)该险种总收入为 10 000a 元,支出是赔偿金总额与成本的和. 支出 盈利 盈利的期望为 由?

10 000? ? 50 000 ,

? ? 10 000a ? (10 000? ? 50 000) ,
E? ? 10 000a ? 10 000E? ? 50 000 ,

~ B(104, ?3 ) 知, E? ? 10 000 ?10?3 , 10

E? ? 104 a ? 104 E? ? 5 ?104

? 104 a ? 104 ?104 ?10?3 ? 5 ?104 .
E? ≥ 0 ? 104 a ? 104 ?10 ? 5 ?104 ≥ 0 ? a ? 10 ? 5 ≥ 0 ? a ≥15 (元) .
故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元. 46.(全国Ⅱ文 19) (本小题满分 12 分) 甲、乙两人进行射击比赛,在一轮比赛中,甲、乙各射击一发子弹.根据以往资料知,甲击中 8 环,9 环,10 环的 概率分别为 0.6,0.3,0.1,乙击中 8 环,9 环,10 环的概率分别为 0.4,0.4,0.2. 设甲、乙的射击相互独立. (Ⅰ)求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率; (Ⅱ)求在独立的三轮比赛中,至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率. 解:记

A1,A2 分别表示甲击中 9 环,10 环,

B1,B2 分别表示乙击中 8 环,9 环,

A 表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数, B 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数,
C1,C2 分别表示三轮中恰有两轮,三轮甲击中环数多于乙击中的环数.

(Ⅰ)

A ? A1 ?B1 ? A2 ?B1 ? A2 ?B2 ,

P( A) ? P( A1 ?B1 ? A2 ?B1 ? A2 ?B2 ) ? P( A1 ?B1 ) ? P( A2 ?B1 ) ? P( A2 ?B2 ) ? P( A1 )?P( B1 ) ? P( A2 )?P( B1 ) ? P( A2 )?P( B2 )

? 0.3? 0.4 ? 0.1? 0.4 ? 0.1? 0.4 ? 0.2 .
(Ⅱ) B

? C1 ? C2 ,

P(C1 ) ? C32 [ P( A)]2 [1 ? P( A)] ? 3 ? 0.22 ? (1 ? 0.2) ? 0.096 ,
P(C2 ) ? [ P( A)]3 ? 0.23 ? 0.008 ,

P( B) ? P(C1 ? C2 ) ? P(C1 ) ? P(C2 ) ? 0.096 ? 0.008 ? 0.104 .
47.(山东理 18) (本小题满分 12 分) 甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队 3 人,每人回答一个问题,答对者对本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中

每人答对的概率均为

2 2 2 1 ,乙队中 3 人答对的概率分别为 , , ,且各人回答正确与否相互之间没有影响.用 ? 表 3 3 3 2

示甲队的总得分. (Ⅰ)求随机变量 ? 的分布列和数学期望; (Ⅱ)用

A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件,用 B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,

求 P( AB) . 解: (Ⅰ)解法一:由题意知, ? 的可能取值为 0,1,2,3,且

1 2 ? 2? 2 ? 2? 1 P (? ? 0) ? C ? ?1 ? ? ? , P (? ? 1) ? C3 ? ? ? 1 ? ? ? , 3 ? 3? 9 ? 3 ? 27
0 3

3

2

8 ?2? ? 2? 4 3 ?2? P(? ? 2) ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ? , P (? ? 3) ? C3 ? ? ? ? . ?3? ? 3? 9 ? 3 ? 27
2 3

2

3

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 27

2 9

4 9

8 27

? 的数学期望为 E? ? 0 ?
解法二:根据题设可知, ?

1 2 4 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?2. 27 9 9 27
? 2? ~ B ? 3, ? , ? 3?
k 3? k k 3

?2? ? 2? 因此 ? 的分布列为 P (? ? k ) ? C ? ? ? ? ? 1 ? ? ?3? ? 3?
因为 ?

2k ?C ? 3 3
k 3

,k

? 01 2,. , 3 ,

2 ? 2? ~ B ? 3, ? ,所以 E? ? 3 ? ? 2 . 3 ? 3?

(Ⅱ) 解法一: C 表示 用 “甲得 2 分乙得 1 分” 这一事件, D 表示 用 “甲得 3 分乙得 0 分” 这一事件, 所以 且 C,D 互斥,又

AB ? C ? D ,

? 2 ? ? 2 ? ? 2 1 1 1 2 1 1 1 1 ? 10 P(C ) ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 , ? 3 ? ? 3 ? ?3 3 2 3 3 2 3 3 2? 3
2 3

2

?2? ?1 1 1? 4 P( D) ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ?3? ?3 3 2? 3
3 3

3



由互斥事件的概率公式得 P( AB) ?

P(C ) ? P( D) ?

10 4 34 34 . ? ? ? 34 35 35 243

解法二:用 由于事件

Ak 表示“甲队得 k 分”这一事件,用 Bk 表示“乙队得 k 分”这一事件, k ? 01 2,. , 3 ,

A3 B0 , A2 B1 为互斥事件,故有 P( AB) ? P( A3 B0 ? A2 B1 ) ? P( A3 B0 ) ? P( A2 B1 ) . A3 与 B0 独立,事件 A2 与 B1 独立,因此

由题设可知,事件

P( AB) ? P( A3 B0 ) ? P( A2 B1 ) ? P( A3 ) P( B0 ) ? P( A2 ) P( B1 )
22 ? 1 1 1 2 ? 34 ?2? ? 1 1? 1 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? C32 ? 2 ? ? ? 2 ? ? C2 ? 2 ? ? . 3 ?2 3 2 3 ? 243 ?3? ?3 2?
48.(山东文 18) (本小题满分 12 分) 现有 8 名奥运会志愿者,其中志愿者
3

A1,A2,A3 通晓日语, B1,B2,B3 通晓俄语, C1,C2

通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个小组. (Ⅰ)求

A1 被选中的概率;

(Ⅱ)求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 解: (Ⅰ)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名, 其一切可能的结果组成的基本事件空间

(A (A (A ? ? { ( A1,B1,C1 ), 1,B1,C2 ), 1,B2,C1 ) , ( A1,B2,C2 ), 1,B3,C1 ) , ( A1,B3,C2 ) , ( A2,B1,C1 ), 2,B1,C2 ), 2,B2,C1 ) , ( A2,B2,C2 ) , (A (A ( A2,B3,C1 ) , ( A2,B3,C2 ) , ( A3,B1,C1 ), 3,B1,C2 ), 3,B2,C1 ) , (A (A ( A3,B2,C2 ), 3,B3,C1 ), 3,B3,C2 ) } (A (A
由 18 个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等, 因此这些基本事件的发生是等可能的. 用 M 表示“

A1 恰被选中”这一事件,则

(A (A M ? { ( A1,B1,C1 ), 1,B1,C2 ), 1,B2,C1 ) , ( A1,B2,C2 ), 1,B3,C1 ), 1,B3,C2 ) } (A (A
事件 M 由 6 个基本事件组成,因而 P( M ) ?

6 1 ? . 18 3

(Ⅱ)用 N 表示“ B1,C1 不全被选中”这一事件, 则其对立事件 N 表示“ B1,C1 全被选中”这一事件, 由于 N

(A (A ? { ( A1,B1,C1 ), 2,B1,C1 ), 3,B1,C1 ) },事件 N

有 3 个基本事件组成,

所以 P( N ) ?

3 1 1 5 ? ,由对立事件的概率公式得 P( N ) ? 1 ? P( N ) ? 1 ? ? . 18 6 6 6

49.(陕西理 18) (本小题满分 12 分) 某射击测试规则为:每人最多射击 3 次,击中目标即终止射击,第 i 次击中目标得 4 ? i 中目标得 0 分.已知某射手每次击中目标的概率为 0.8,其各次射击结果互不影响. (Ⅰ)求该射手恰好射击两次的概率; (Ⅱ)该射手的得分记为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望. 解: (Ⅰ)设该射手第 i 次击中目标的事件为

(i ? 1,3) 分,3 次均未击 2,

Ai (i ? 1, 3) , 2,
P( A1 ) P( A2 ) ? 0.2 ? 0.8 ? 0.16 .

则 P( A1 ) ? 0.8,P ( A1 ) ? 0.2 , P( A1 A2 ) ?

(Ⅱ) ? 可能取的值为 0,1,2,3. ? 的分布列为

?
P

0 0.008

1 0.032

2 0.16

3 0.8

E? ? 0 ? 0.008 ? 1? 0.032 ? 2 ? 0.16 ? 3 ? 0.8 ? 2.752 .
50.(陕西文 18) (本小题满分 12 分) 一个口袋中装有大小相同的 2 个红球,3 个黑球和 4 个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回. (Ⅰ)连续摸球 2 次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率; (Ⅱ)如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过 3 次的概率. 解: (Ⅰ)从袋中依次摸出 2 个球共有
2 A92 种结果,第一次摸出黑球、第二次摸出白球有 A32 A4

种结果,则所求概率

P? 1

2 A32 A4 1 3 4 1 ? (或P ? ? ? ) . 1 2 A9 6 9 8 6 1 A2 1 A9 1 1 A7 A2 A92 1 A72 A2 A93

(Ⅱ)第一次摸出红球的概率为

,第二次摸出红球的概率为

,第三次摸出红球的概率为

,则摸球

次数不超过 3 次的概率为

1 1 1 1 A2 A7 A2 A72 A2 7 P2 ? 1 ? 2 ? 3 ? . A9 A9 A9 12

51.(四川理 18) (本小题满分 12 分) 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5 ,购买乙种商品的概率为 0.6 ,且购买甲种商品与购买乙 种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的。 (Ⅰ)求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (Ⅱ)求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (Ⅲ)记 ? 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求 ? 的分布列及期望。 解:记

A 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲种商品,
记 B 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买乙种商品,

记 C 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种, 记 D 表示事件:进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种, (Ⅰ) C

? A? B ? A? B

P ? C ? ? P A ? B ? A ? B ? P A ? B ? P A ? B ? P ? A? ? P B ? P ? A? ? P B

?

?

?

? ?

?

? ?

? ?

? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5
(Ⅱ) D ?

A? B

P D ? P A ? B ? P A ? P B ? 0.5 ? 0.4 ? 0.2

? ? ? ? ? P ? D ? ? 1 ? P ? D ? ? 0.8 ? ? ?

(Ⅲ) ?

? B ? 3, 0.8? ,故 ? 的分布列

P ?? ? 0 ? ? 0.23 ? 0.008 P ?? ? 2 ? ? C32 ? 0.82 ? 0.2 ? 0.384
所以 E?

1 P ?? ? 1? ? C3 ? 0.8 ? 0.22 ? 0.096

P ?? ? 3? ? 0.83 ? 0.512

? 3 ? 0.8 ? 2.4

52.(四川文 18) (本小题满分 12 分) 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5 ,购买乙种商品的概率为 0.6 ,且购买甲种商品与购买乙 种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的。 (Ⅰ)求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (Ⅱ)求进入商场的 3 位顾客中至少有 2 位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率。 解: (Ⅰ)记

A 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲种商品,

记 B 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买乙种商品, 记 C 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种,

C ? A? B ? A? B

?

? ?

?
?

P ?C ? ? P A ? B ? A ? B ? P A? B ? P A? B

?

? ? ? ? P ? A? ? P ? B ? ? P ? A? ? P ? B ?
? 0.5

?

? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6

(Ⅱ)记

A2 表示事件:进入商场的 3 位顾客中都未选购甲种商品,也未选购买乙种商品;

D 表示事件:进入商场的 1 位顾客未选购甲种商品,也未选购买乙种商品;
E 表示事件:进入商场的 3 位顾客中至少有 2 位顾客既未选购甲种商品,也未选选购乙种商品;
D ? A? B
P D ? P A ? B ? P A ? P B ? 0.5 ? 0.4 ? 0.2
2 P ? A2 ? ? C2 ? 0.22 ? 0.8 ? 0.096

? ?

?

?

? ? ? ?

P ? A3 ? ? 0.23 ? 0.008

P ? E ? ? P ? A1 ? A2 ? ? P ? A1 ? ? P ? A2 ? ? 0.096 ? 0.008 ? 0.104
53.(天津理 18) (本小题满分 12 分)

甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为

1 1 与 p ,且乙投球 2 次均未命中的概率为 . 2 16

(Ⅰ)求乙投球的命中率

p;

(Ⅱ)若甲投球 1 次,乙投球 2 次,两人共命中的次数记为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望. 解: (Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件 A, “乙投球一次命中”为事件 B;

由题意得

?1 ? P?B ??2 ? ?1 ? p ?2 ?

1 3 5 3 ,解得 p ? 或 (舍去) ,所以乙投球的命中率为 4 16 4 4

(Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知 P

? A? ? 1 , P?A? ? 1 , P?B ? ? 3 , P?B ? ? 1 ,
2 2 4 4

? 可能的取值为 0,1,2,3,故
1 ?1? 1 P?? ? 0? ? P A P B ? B ? ? ? ? ? 2 ?4? 32

???

?

2

1 ?1? 1 P?? ? 1? ? P? A?P B ? B ? C P?B ?P B P A ? ? ? ? ? 2 ?4? 32
1 2

?

?

????

2

?

1 ?1? 3 1 1 7 ?? ? ? 2? ? ? ? 2 ?4? 4 4 2 32
2

2

1 ?3? 9 P?? ? 3? ? P? A?P?B ? B ? ? ? ? ? ? 2 ?4? 32

P?? ? 2? ? 1 ? P?? ? 0? ? P?? ? 1? ? P?? ? 3? ?

15 32

? 的分布列为
?
P
0 1 2 3

1 32

7 32

15 32

9 32

? 的数学期望 E? ? 0 ?

1 7 15 9 ? 1? ? 2? ? 3? ?2 32 32 32 32

54.(天津文 18) (本小题满分 12 分)

甲、 乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球, 命中率分别为 求乙投球的命中率 2 次的概率.

1 1 与p, 且乙投球 2 次均未命中的概率为 (Ⅰ) . 2 16

(Ⅱ)求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率; (Ⅲ)若甲、乙两人各投球 2 次,求两人共命中 p;

解: (Ⅰ)解法一:设“甲投球一次命中”为事件 A, “乙投球一次命中”为事件 B.

由题意得

?1 ? P?B ??2 ? ?1 ? p ?2 ?

1 3 5 3 ,解得 p ? 或 (舍去) ,所以乙投球的命中率为 . 4 16 4 4

解法二:设设“甲投球一次命中”为事件 A, “乙投球一次命中”为事件 B. 由题意得 P( B) P( B) ?

1 1 1 3 ,于是 P( B) ? 或 P ( B ) ? ? (舍去) ,故 p ? 1 ? P( B) ? . 16 4 4 4

所以乙投球的命中率为

3 . 4

(Ⅱ)解法一:由题设和(Ⅰ)知 P

? A? ? 1 , P?A? ? 1 .
2 2

故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 1 ? P

?A ? A? ? 3 4
2

解法二:由题设和(Ⅰ)知 P

? A? ? 1 , P?A? ? 1
2
1

故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 C 2 P

? A?P?A? ? P? A?P? A? ? 3
4

(Ⅲ)由题设和(Ⅰ)知, P

? A? ? 1 , P?A? ? 1 , P?B ? ? 3 , P?B ? ? 1
2 2 4

4

甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次有三种情况:甲、乙两人各中一次;甲中两次,乙两次均不中;甲两次均不中,
1 1 ? A?P?A?? C2 P?B ?P?B ? ?

乙中 2 次。概率分别为 C 2 P

3 , 16

P? A ? A?P B ? B ?

?

?

1 , 64

P A ? A P ?B ? B ? ?

?

?

9 64

所以甲、乙两人各投两次,共命中 2 次的概率为

3 1 9 11 . ? ? ? 16 64 64 32

55.(浙江理 19) (本题 14 分)

一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出 1 个球,得到黑球的概率是

2 ;从袋中任意 5

摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是

7 9



(Ⅰ)若袋中共有 10 个球, (i)求白球的个数; (ii)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 ? ,求随机变量

? 的数学期望 E? 。

(Ⅱ)求证:从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个黑球的概率不大于

7 。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。 10

解: (Ⅰ) (i)记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件 A,

设袋中白球的个数为 x ,则 P ( A)

? 1?

2 C10? x 7 ? ,得到 x ? 5 .故白球有 5 个. 2 C10 9

(ii)随机变量 ? 的取值为 0,1,2,3,分布列是

?
P

0

1

2

3

1 12

5 12

5 12

1 12

? 的数学期望 E? ?

1 5 5 1 3 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? . 12 12 12 12 2

(Ⅱ)证明:设袋中有 n 个球,其中

y 个黑球,由题意得 y ?

2 n, 5

所以 2y ? n , 2 y ≤ n ? 1 ,故

y 1 ≤ . n ?1 2

记“从袋中任意摸出两个球,至少有 1 个黑球”为事件 B,则

P( B) ?

2 3 y 2 3 1 7 ? ? ≤ ? ? ? . 5 5 n ? 1 5 5 2 10
2 n n ,红球的个数少于 .故袋中红球个数最少. 5 5

所以白球的个数比黑球多,白球个数多于

56. (浙江文 19) (本题 14 分)

一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球,已知袋中共有 10 个球,从中任意摸出 1 个球,得到黑球的概率是

2 ; 5

从中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是

7 9

.求:

(Ⅰ)从中任意摸出 2 个球,得到的数是黑球的概率; (Ⅱ)袋中白球的个数。 解: (Ⅰ)解:由题意知,袋中黑球的个数为 10 ?

2 ? 4. 记“从袋中任意摸出两个球,得到的都是黑球”为事件 A, 5

2 C4 2 . 则 P ( A) ? 2 ? C10 15

(Ⅱ)解:记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件 B。设袋中白球的个数为 x,则

P( B) ? 1 ? P( B) ? 1 ?

2 C n ?1 7 ? , 得到 x ? 5 2 9 Cn

57.(重庆理 18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分.) 甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛:第一局由甲、乙参加而丙轮空,以后每一局由前一局的获胜者与轮 空者进行比赛,而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满 6 局时停止.设在每局

中参赛者胜负的概率均为

1 2

,且各局胜负相互独立.求:

(Ⅰ) 打满 3 局比赛还未停止的概率; (Ⅱ)比赛停止时已打局数 ? 的分布列与期望 E ? . 解:令

Ak , Bk , Ck 分别表示甲、乙、丙在第 k 局中获胜.

(Ⅰ)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知,打满 3 局比赛还未停止的概率为

P( A1C2 B3 ) ? P( B1C2 A3 ) ?

1 1 1 ? ? . 23 23 4

(Ⅱ) ? 的所有可能值为 2,3,4,5,6,且

P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( B1B2 ) ?

1 1 1 ? ? , 22 22 2 1 1 1 ? ? . 23 23 4

P(? ? 3) ? P( A1C2C3 ) ? P( B1C2C3 ) ?

P(? ? 4) ? P( A1C2 B3 B4 ) ? P( B1C2 A3 A4 ) ?

1 1 1 ? ? . 24 24 8
1 1 1 ? 5? , 5 2 2 16 1 1 1 ? 5? , 5 2 2 16

P(? ? 5) ? P( A1C2 B3 A4 A5 ) ? P( B1C2 A3 B4 B5 ) ? P(? ? 6) ? P( A1C2 B3 A4C5 ) ? P( B1C2 A3 B4C5 ) ?
故有分布列

?
P

2

3

4

5

6

1 2

1 4

1 8

1 16

1 16

从而 E? ? 2 ?

1 1 1 1 1 47 (局). ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 6 ? ? 2 4 8 16 16 16

58.(重庆文 18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 8 分, (Ⅱ)小问 5 分.) 在每道单项选择题给出的 4 个备选答案中,只有一个是正确的.若对 4 道选择题中的每一道都任意选定一个答案,求 这 4 道题中: (Ⅰ)恰有两道题答对的概率; (Ⅱ)至少答对一道题的概率. 解: “选择每道题的答案”为一次试验,则这是 4 次独立重复试验,且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率



1 .由独立重复试验的概率计算公式得: 4

(Ⅰ)恰有两道题答对的概率为

1 3 27 P4 (2) ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? . 2 4 4 128

(Ⅱ)解法一:至少有一道题答对的概率为

1 3 81 175 1 ? P4 (0) ? 1 ? C0 ( )0 ( ) 4 ? 1 ? ? . 4 4 4 256 256
解法二:至少有一道题答对的概率为

1 3 3 1 3 3 2 1 4 1 C1 ( )( )2 ? C4 ( )2 ( )2 ? C3 ( )3 ( ) ? C4 ( )4 ( )0 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ? 108 54 12 1 175 ? ? ? ? . 256 256 256 256 256

59.(四川延考文 18)(本小题满分 12 分) 一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类:

A 类、 B 类、 C 类.检验员定时从该生产线上任取

2 件产品进行

一次抽检,若发现其中含有 C 类产品或 2 件都是 B 类产品,就需要调整设备,否则不需要调整.已知该生产线上生 产的每件产品为

A 类品, B 类品和 C 类品的概率分别为 0.9 , 0.05 和 0.05 ,且各件产品的质量情况互不影响.

(Ⅰ)求在一次抽检后,设备不需要调整的概率; (Ⅱ)若检验员一天抽检 3 次,求一天中至少有一次需要调整设备的概率. 解: (Ⅰ)设

Ai 表示事件“在一次抽检中抽到的第 i 件产品为 A 类品” i ? 1, 2 . ,

Bi 表示事件“在一次抽检中抽到的第 i 件产品为 B 类品” i ? 1, 2 . , Ci 表示事件“一次抽检后,设备不需要调整” .
则C

? A1 ? A2 ? A1 ? B2 ? B1 ? A2 .

由已知

P( Ai ) ? 0.9 , P( Bi ) ? 0.05 , i ? 1, 2 . P( A1 ? A2 ) ? P( A1 ? B2 ) ? P( B1 ? A2 )

所以,所求的概率为 P(C ) ?

? 0.92 ? 2 ? 0.9 ? 0.05 ? 0.9 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,一次抽检后,设备不需要调整的概率为 P(C ) ? 0.9 . 故所求概率为:

1 ? 0.93 ? 0.271

60.(四川延考理 18) (本小题满分 12 分) 一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类:

A 类、 B 类、 C 类。检验员定时从该生产线上任取

2 件产品进行

一次抽检,若发现其中含有 C 类产品或 2 件都是 B 类产品,就需要调整设备,否则不需要调整。已知该生产线上生 产的每件产品为

A 类品, B 类品和 C 类品的概率分别为 0.9 , 0.05 和 0.05 ,且各件产品的质量情况互不影响。

(Ⅰ)求在一次抽检后,设备不需要调整的概率; (Ⅱ)若检验员一天抽检 3 次,以 ? 表示一天中需要调整设备的次数,求 ? 的分布列和数学期望。 解: (Ⅰ)设

Ai 表示事件“在一次抽检中抽到的第 i 件产品为 A 类品” i ? 1, 2. ,

Bi 表示事件“在一次抽检中抽到的第 i 件产品为 B 类品” i ? 1, 2. ,
。 C 表示事件“一次抽检后,设备不需要调整” 则C

? A1 ? A2 ? A1 ? B2 ? B1 ? A2 。 ? 0.9 , P( Bi ) ? 0.05 i ? 1, 2. P( A1 ? A2 ) ? P( A1 ? B2 ) ? P( B1 ? A2 )

由已知 P( Ai )

所以,所求的概率为 P(C ) ?

? 0.92 ? 2 ? 0.9 ? 0.05 ? 0.9 。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知一次抽检后,设备需要调整的概率为

p ? P(C ) ? 1 ? 0.9 ? 0.1,依题意知 ? ~ B(3,0.1) , ? 的分布列为

?
p
E? ? np ? 3 ? 0.1 ? 0.3 。

0 0.729

1 0.243

2 0.027

3 0.001



更多相关文章:
2017概率与统计练习题高三文(学生版).doc
2017概率与统计练习题高三文(学生版)_数学_高中教育_教育专区。适合北京地区使用的概率与统计优秀练习 概率与统计练习题 选择填空部分 1(2017年东城期末)(7)为...
高中概率与统计试题.doc
高中概率与统计试题 - 概率与统计 1. (安徽理 19). 为防止风沙危害,某
高中概率与统计试题.doc
高中概率与统计试题 - 概率与统计 一、选择题 2. (福建理 5)某一批花生种
概率与统计高考数学(文)试题分项版解析20180328.doc
概率与统计高考数学(文)试题分项版解析20180328 - 高考文科数学试题分类汇编训练:概率与统计 1.【2017 课标 1,文 2】为评估一种农作物的种植效果,选了 n 块地...
高中概率与统计试题.doc
高中概率与统计试题 - 高中概率与统计试题,概率统计知识点6,概率统计公式6,小
高考数学概率与统计试题汇编-.doc
高考数学概率与统计试题汇编- - 2015 年福建理科 4.为了解 某社区居民的
高中数学概率与统计解答题)汇总.doc
高中数学概率与统计解答题)汇总_幼儿读物_幼儿教育_教育专区。高中数学概率与统计解答题)汇总,高中统计与概率知识点,高中数学概率公式大全,统计与概率公式,高中数学...
高考大题概率与统计.ppt
高考大题概率与统计 - 规范答题强化课(六) 高考大题概率与统计 类型一
2018年高考必备必考-统计与概率大题汇总 (理科解答含答案).doc
2018年高考必备必考-统计与概率大题汇总 (理科解答含答案)_高考_高中教育_教育专区。2018年高考必备必考-统计与概率大题汇总 一对一个性化辅导教学设计 任课老师:...
高中数学概率统计练习题.doc
高中数学概率统计练习题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学概率统计综合
2015年高考数学概率与统计试题汇编.doc
2015年高考数学概率与统计试题汇编 - 2015 年福建理科 4.为了解 某社
2016高考复习概率与统计试题及详解.doc
2016高考复习概率与统计试题及详解 - 专题 1.重庆市 2013 年各月的平
高考理科统计与概率常考题型及训练.doc
高考理科统计与概率常考题型及训练 - 高考统计与概率知识点、题型及练习 一.随机
2016年高考试题概率与统计汇编.doc
2016年高考试题概率与统计汇编_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第一部分 2016 年高考试题概率与统计 1.【2016 高考新课标 1 文数】为美化环境,从红、黄、白...
高中数学概率与统计综合练习题.doc
高中数学概率与统计综合练习题 - 概率与统计练习题 1.某省重点中学从高二年级学
高中数学概率与统计解答题).doc
高中数学概率与统计解答题) - 概率与统计解答题 1、A、B 是治疗同一种疾病的
精美编排-高中数学专题-概率与统计-含答案_图文.doc
精美编排-高中数学专题-概率与统计-含答案 - 高考理科数学试题分类汇编:11 概率与统计 一、选择题 1 (普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) )某...
2018高考理科概率与统计专题.doc
2018高考理科概率与统计专题 - 2017 高考理科专题 一、选择题 概率与统计(解析) 1. 5 个车位分别停放了 A, B, C, D, E,5 辆不同的车,现将所有车开出...
高中数学分章节训练试题:27概率与统计.doc
高中数学分章节训练试题:27概率与统计 - 高考数学精品资料 高三数学章节训练题 27《概率与统计》 时量:60 分钟 满分:80 分 班级: 姓名: 计分: 个人目标:□...
高考数学易错题集锦概率与统计.doc
高考数学易错题集锦概率与统计_高考_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 高考数学易错题集锦概率与统计_高考_高中教育_教育专区。概率与统计 学校:___...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图