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学案3.3一元二次不等式及其解法答案


学案 3.3 一元二次不等式及其解法
基础梳理 2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 填下表:
{x|x>x2 或 x<x1} {x|x1<x<x2} b? ? ?x|x≠- ? 2a? ? ? R ?

若 a<0 时,可以先将二次项系数化为正数,对照上表求解. 【小试身手】
1. (1)解析 ∵(x-1)(x-2)<0,∴1<x<2.故原不等式的解集为(1,2).答案 (1,2) 1 (2)解析 ∵2x2-x-1=(x-1)(2x+1)>0,∴x>1 或 x<- . 2 1 1? ? ? 故原不等式的解集为? ?-∞,-2?∪(1,+∞).答案 ?-∞,-2?∪(1,+∞). 1? ? (3) 解析 ∵9x2+6x+1=(3x+1)2≥0,∴9x2+6x+1≤0 的解集为?x|x=-3?. ? ? 1? ? 答案 ?x|x=-3?. ? ? 2 (4)解析:由 x -4ax-5a2>0,得(x-5a)(x+a)>0,∵ a<0,∴ x<5a 或 x>-a. 答案:x>-a或x<5a
? ? ??x+1??x-2?≤0, ?-1≤x≤2, x-2 2.解析:∵ ≤0?? ?? ∴x∈(-1,2].答案:B x+1 ?x+1≠0 ? ? ?x≠-1, ?x2-1<0, ?-1<x<1, ? ? 3. 解析:? 2 ?? ?0<x<1. 答案:C ?x -3x<0 ?0<x<3 ? ?

1 4. 解析 ∵x=-2, 是方程 ax2+bx-2=0 的两根,∴ 4

2 1 1 =?-2?× =- , ?- a 4 2 ? b 7 ?-a=-4,

∴a=4,b=7.∴ab=28. 答案 C 5.解析:由Δ1<0,即a2-4(-a)<0,得-4<a<0;由Δ2≥0,即a2-4(3-a)≥0,得a≤-6或a≥2. 答案: (-4,0) (-∞,-6]∪[2,+∞) ?a-1?x+1 1 6. [答案] [解析] 原不等式可化为 <0.∵解集为{x|x<1 或 x>2}, 2 x-1 ∴a-1<0 且- 1 1 =2.∴a= . 2 a-1

考向一

一元二次不等式的解法

【例 1】 [审题视点] 对 x 分 x≥0、x<0 进行讨论从而把 f(x)>3 变成两个不等式组. ?x≥0, ?x<0, ? ? 解 由题意知? 2 或? 2 解得:x>1.故原不等式的解集为{x|x>1}. ? ? ?x +2x>3 ?-x +2x>3, 学案答案第 9 页

解一元二次不等式的一般步骤是:(1)化为标准形式;(2)确定判别式 Δ 的符号;(3)若 Δ≥0,则求出该不等式对应的二次方程的根,若 Δ<0,则对应的二次方程无根;(4)结合二次函 数的图象得出不等式的解集.特别地,若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式,则可 立即写出不等式的解集. 3 2 ? ? ?x≤-2或x≥1, ?2x +x-3≥0, 【训练 1】解析 依题意知? 解得? 2 ?3+2x-x >0, ? ? ?-1<x<3. ∴1≤x<3.故函数 f(x)的定义域为[1,3). 答案 [1,3)

考向二
2 2

含参数的一元二次不等式的解法

【例 2】 (1)解 ∵12x -ax>a ,∴12x2-ax-a2>0, a a 即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,得:x1=- ,x2= . 4 3 a a? a a ? ①a>0 时,- < ,解集为?x|x<-4或x>3?; 4 3 ? ? 2 ②a=0 时,x >0,解集为{x|x∈R 且 x≠0}; a a? a a ? ③a<0 时,- > ,解集为?x|x<3或x>-4?. 4 3 ? ? a a? ? 综上所述:当 a>0 时,不等式的解集为?x|x<-4或x>3?; ? ? 当 a=0 时,不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠0}; a a? ? 当 a<0 时,不等式的解集为?x|x<3或x>-4?. ? ? (2)解: ax ? ax ? 1 ? 0.
2

(?)

(1) a ? 0 时, (?) ? ?1 ? 0 ? x ? R.
2 (2) a ? 0 时,则 ? ? a ? 4a ? 0 ? a ? 0 或 a ? ?4 ,

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a 此时两根为 x1 ? , x2 ? . 2a 2a
①当 a ? 0 时, ? ? 0 ,? (?) ?

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a ; ?x? 2a 2a

②当 ? 4 ? a ? 0 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ? R ; ③当 a ? ?4 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ? R且x ? ?

1 ; 2

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a ④当 a ? ?4 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ? . 或x? 2a 2a

学案答案第 10 页

综上,可知当 a ? 0 时,解集为(

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a , ); 2a 2a
1 1 ) ? ( ? ,?? ); 2 2

当 ? 4 ? a ? 0 时,解集为 R ; 当 a ? ?4 时,解集为( ? ?,?

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a 当 a ? ?4 时,解集为( ? ?, )?( ,?? ). 2a 2a
解含参数的一元二次不等式的一般步骤: (1)二次项若含有参数应讨论是等于 0,小于 0,还是大于 0,然后将不等式转化为二次项系数为 正的形式.(2)判断方程的根的个数,讨论判别式 Δ 与 0 的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集 形式. 【训练 2】解 由(1-ax)2<1,得 a2x2-2ax<0,即 ax(ax-2)<0,当 a=0 时,x∈?. 2? 2 2 当 a>0 时,由 ax(ax-2)<0,得 a2x? ?x-a?<0,即 0<x<a. 当 a<0 时,a<x<0. ? 2 ? 0<x< ?;当 a<0 综上所述:当 a=0 时,不等式解集为空集;当 a>0 时,不等式解集为?x? a ? ? ? ? 2 ? 时,不等式解集为?x? <x<0?. ? ?a ?

考向三

分式及高次不等式的解法

?a-2?x 【例 3】[解析] (1)原不等式可化为 ≥0. x+1 ①当 a=2 时,原不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠-1}. ②当 a>2 时,原不等式的解集为{x|x≥0 或 x<-1}. ③当 a<2 时,原不等式的解集为{x|-1<x≤0}. x2-2x-3 (2)原不等式等价变形为 2 >0, x -3x+2 等价变形为(x2-2x-3)(x2-3x+2)>0, 即(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)>0. 由穿根法可得所求不等式解集为{x|x<-1 或 1<x<2 或 x>3}.

x2 【训练3】[解析] (1)将 x1=3,x2=4 分别代入方程 -x+12=0, ax+b 学案答案第 11 页

?3a+b=-9, 得? 16 ?4a+b=-8.

9

?a=-1, ? x2 解得? 所以 f(x)= (x≠2). 2-x ?b=2. ?

?k+1?x-k x2-?k+1?x+k x2 (2)不等式即为 < ,可化为 <0,即(x-2)(x-1)(x-k)>0. 2-x 2-x 2-x ①当 1<k<2 时,解集为 x∈(1,k)∪(2,+∞);

②当 k=2 时,不等式为(x-2)2(x-1)>0,解集为 x∈(1,2)∪(2,+∞);

③当 k>2 时,解集为 x∈(1,2)∪(k,+∞).

考向四
+m-2 的图像全部在 x 轴下方,

不等式恒成立问题

【例4】[解析] (1)对所有实数 x,不等式 mx2-2x+m-2<0 恒成立,即函数 f(x)=mx2-2x

当 m=0 时,-2x-2<0,显然对任意 x 不能恒成立;
?m<0, ? 当 m≠0 时,由二次函数图像可知, ? ? ?Δ=4-4m?m-2?<0,

解得 m<1- 2,综上可知 m 的取值范围是(-∞,1- 2). (2)设 g(m)=(x2+1)m-2x-2,它是一个以 m 为自变量的一次函数,由 x2+1>0 知 g(m)在[- 1,1]上为增函数,则由题意只需 g(1)<0 即可, 即 x2+1-2x-2<0,解得 1- 2<x<1+ 2. 即 x 的取值范围是(1- 2,1+ 2). 不等式 ax2+bx+c>0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a=0 时,b=0,c>0; ? ?a>0, 当 a≠0 时,? 不等式 ax2+bx+c<0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a=0 时, ?Δ<0; ? 学案答案第 12 页

?a<0, ? b=0,c<0;当 a≠0 时,? ? ?Δ<0. 【训练4】解 法一 f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为 x=a. ①当 a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增, f(x)min=f(-1)=2a+3.要使 f(x)≥a 恒成立,只需 f(x)min≥a,即 2a+3≥a,解得-3≤a<-1; ②当 a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2,由 2-a2≥a,解得-1≤a≤1. 综上所述,所求 a 的取值范围为[-3,1]. 法二 令 g(x)=x2-2ax+2-a,由已知,得 x2-2ax+2-a≥0 在[-1,+∞)上恒成立,

Δ>0, ? ? 即 Δ=4a2-4(2-a)≤0 或?a<-1, 解得-3≤a≤1.所求 a 的取值范围是[-3,1]. ? ?g?-1?≥0. 考向五 不等式恒成立问题 【例 5】[分析] 抓住主干,理解题意,正确将不等式关系转化成不等式问题是关键. [ 解析 ] x? (1) 按现在的定价上涨 x 成时,上涨后的定价为 p ? ?1+10? 元,每月卖出数量为

y? n? ?1-10?件,每月售货总金额是 npz 元, ?10+x??10-y? x? ? y 因而 npz=p? n?1-10? . ?1+10?· ?,所以 z= 100 (2)在 y=kx 的条件下,z= 25?1-k? 1 ? ?x-5?1-k??2? ?100+ ?, · - k · 100 ? k k ?? ? 5?1-k? . k
2

由于 0<k<1,所以使 z 取大值时 x 的值是 x=

2 (3)当 y= x 时,z= 3

2 ? ?10+x?? ?10-3x? ,要使每月售货总金额有所增加,即 z>1, 100

?10-2x?>100,即 x(x-5)<0,所以 0<x<5,所以所求 x 的范围是(0,5). 应有(10+x)· 3 ? ?
不等式应用题,一般可按如下四步进行: (1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系; (2)引进数学符号,用不等式表示不等关系;(3)解不等式;(4)回归实际问题. 【训练 5】[解析] 设产销量为每年 x 万瓶,则销售收入为每年 70x 万元,从中征收的税金 为 70x· R%万元,其中 x=100-10R.由题意,得 70(100-10R)R%≥112, 整理,得 R2-10R+16≤0. ∵Δ=36>0,方程 R2-10R+16=0 的两个实数根为 x1=2,x2=8. 然后画出二次函数 y=R2-10R+16 的图像,由图像得不等式的解为:2≤R≤8. 学案答案第 13 页



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