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数学卷·2014届江苏省扬州中学高三上学期12月月考(2013.12)


全品高考网 gk.canpoint.cn 江苏省扬州中学 2013—2014 学年第一学期月考

高三数学试卷
一、填空题:

2013.12

1 ? ? 1. 已知集合 A ? ? y | y ? x , x ? R ? , B ? ?y | y ? log 2 ( x ? 1), x ? R? ,则 A ? B ? ▲. 2 ? ?

2.已知命题 p : “若 a ? b ,则 | a |?| b | ”,则命题 p 及其逆命题、否命题、逆否命题中,正 确命题的个数是 ▲ . 3.设 x 是纯虚数, y 是实数,且 2 x ? 1 ? i ? y ? (3 ? y )i, 则x ? y 等于 4. 已知 f ( x) ? ? ▲ .

?cos ?x, x ? 0 4 ,则 f ( ) 的值为 3 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0





5. 在等差数列 {an } 中,若 a7 ? a8 ? a9 ? 3 ,则该数列的前 15 项的和为 ▲ 6. 已知直线 ? ⊥平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,有下面四个命题:



① ? ∥ ? ? ? ⊥m;② ? ⊥ ? ? ? ∥m;③ ? ∥m ? ? ⊥ ? ;④ ? ⊥m ? ? ∥ ? 其中正确命题序号是 ▲ .

7. 已知 | a | ? 1 ,| b | ? 2 ,a 与 b 的夹角为 120? , a ? b ? c ? 0 ,则 a 与 c 的夹角为▲ 8. 设 x, y 均为正实数,且

?

?

?

?

? ? ?

?

?

?



3 3 ? ? 1 ,则 xy 的最小值为 2? x 2? y





9.已知方程 x 2 +
2 2

x 1 2 2 - =0 有两个不等实根 a 和 b ,那么过点 A(a, a ), B (b, b ) 的直线 tan ? sin ?
▲ .

与圆 x ? y ? 1 的位置关系是

10. 若动直线 x ? a (a ? R ) 与函数 f ( x) ? 3 sin( x ? 于 M , N 两点,则 | MN | 的最大值为 11. 设 f1 ( x) = ▲ .

?

)与g ( x) ? cos( x ? ) 的图象分别交 6 6

?

2 f (0) - 1 , f n+ 1 ( x) = f1[ f n ( x)] ,且 an = n ,则 a2014 ? 1+ x f n (0) + 2





12. 函数 f ( x) ? x 3 ? bx 2 ? cx ? d 在区间 ? ?1, 2? 上是减函数,则 b ? c 的最大值为 ▲



),F2 (5,) ,则原点 O 到其左准 2 13.已知椭圆与 x 轴相切,左、右两个焦点分别为 F1 (1,1 线的距离为 ▲ .
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?1 3 5 ?2 4 8 和为 S ,则 S = ▲.
14. 设 A n ? ? , , ,?? , 二、解答题: 15.(本小题满分 14 分) 设向量 a ? (sin x, cos x), b ? (sin x, 3 sin x), x ? R ,函数 f ( x) ? a ? (a ? 2b) . (1)求函数 f (x) 的单调递增区间; (2)求使不等式 f ?( x) ? 2 成立的 x 的取值集合. 16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面为直角梯形,

2n ? 1 ? ? ? ? n ? N , n ? 2 ? , A n 的所有非空子集中的最小元素的 n 2 ?

AD // BC , ?BAD ? 90? , PA 垂直于底面 ABCD , PA ? AD ? AB ? 2 BC ? 2 , M , N 分别为 PC , PB 的中点. (1)求证: PB ? DM ; (2)求点 B 到平面 PAC 的距离.
17.(本小题满分 14 分) 某种商品原来每件售价为 25 元,年销售 8 万件. (1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2000 件,要使销售的总收入不低 于原收入,该商品每件定价最多为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新 和营销策略改革,并提高定价到 x 元.公司拟投入 . 万元作为固定宣传费用,投入

1 2 ( x ? 600) 万元作为技改费用,投入 50 6

1 x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量 a 5

至少应达到多少万件时, 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时 ... ... 商品的每件定价. 18.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? 1 ,设曲线 y ? f ? x ? 在点 ? xn , yn ? 处的切线与 x 轴的交点为
2

? xn?1 , 0 ? ,其中 x1 为正实数.
(1)用 xn 表示 xn ?1 ; (2) x1 ? 2 ,若 an ? lg

xn ? 1 ,试证明数列 ?an ? 为等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; xn ? 1

(3)若数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ?

n ? n ? 1? ,记数列 {a n ? bn } 的前 n 项和 Tn ,求 Tn .. 2

19. (本小题满分 16 分) 2 2 如图所示, 已知圆 C : ( x ? 1) ? y ? 8, 定点A(1,0), M 为圆上一动点,点 P 是线段 AM 的垂直平分线与直线 CM 的交点. (1)求点 P 的轨迹曲线 E 的方程;
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C P O A M

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(2) 设点 P ( x0 , y0 ) 是曲线 E 上任意一点, 写出曲线 E 在点 P ( x0 , y0 ) 处的切线 l 的方程; (不 要求证明) (3) 直线 m 过切点 P ( x0 , y0 ) 与直线 l 垂直, C 关于直线 m 的对称点为 D , 点 证明: 直线 PD 恒过一定点,并求定点的坐标. 20. (本小题满分 16 分) 设 a ? 0 ,两个函数 f ( x) ? e ax , g( x) ? b ln x 的图像关于直线 y ? x 对称. (1)求实数 a, b 满足的关系式; (2)当 a 取何值时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 有且只有一个零点; (3)当 a ? 1 时,在 ( ,??) 上解不等式 f (1 ? x) ? g ( x) ? x .
2

1 2

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………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………

数学(附加题)
21. B.(本小题满分 10 分)

?1? 已知二阶矩阵 M 有特征值 ? ? 8 及对应的一个特征向量 e1 ? ? ? ,并且矩阵 M 对应的变 ?1? 换将点 (?1, 2) 变换成 (?2, 4) , 求矩阵 M..

姓名_____________ 学号

C.(本小题满分 10 分)

高三___________

? 3 t ?x ? 2 ? ? 2 (t为参数) 在直角坐标系中,参数方程为 ? 的直线 l ,被以原点为极点, 1 ?y ? t ? 2 ?

x 轴的正半轴为极轴,极坐标方程为 ? ? 2 cos ? 的曲线 C 所截,求截得的弦长.

22. (本小题满分 10 分)
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设函数 f ( x, n) ? ?1 ? x ? , n ? N ? .
n

?

?

(1)求 f ( x, 6) 的展开式中系数最大的项;
1 3 5 7 9 (2)若 f (i, n) ? 32i ( i 为虚数单位),求 Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn .

23. (本小题满分 10 分) 电子蛙跳游戏是: 青蛙第一步从如图所示的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 顶点 A 起跳,每 步从一顶点跳到相邻的顶点. (1)求跳三步跳到 C1 的概率 P ; (2) 青蛙跳五步, X 表示跳到过 C1 的次数, 用 求随机变量 X 的概率分布及数学期望 E ( X ) .
D1 A1 B1 C1

D A B

C

高三数学月考试卷参考答案

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2013.12 一、填空题 1.

?0,?? ?

2.2

3. ? 1 ?

5 i 2

4.

3 2

5.15

6. ① 7. 90? ③

8.16

9. 相切

? 1? 10.2 11. ? ? ? ? 2?

2015

?7 ? ,n ? 2 5 34 15 12. ? 13. 14. ? 4 2 n ?1 17 2 ? , n ? 3, n ? N * ? 2

二、解答题 15.解:(1) f ( x) ? a ? (a ? 2b) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2(sin 2 x ? 3 sin x cos x)

? 1 ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 ? 2(sin 2 x ?
? 2 ? 2(sin 2 x cos
由 2 k? ?

?

?
2

? 2x ?

?
6

? cos 2 x sin ) ? 2 ? 2sin(2 x ? ) . 6 6 6

?

3 1 ? cos 2 x ? ) 2 2

?

…………5′

? 2 k? ?

?

2

,得 k? ?

?

∴f ( x) 的单调递增区间为 [k? ? (2) 由 f ( x) ? 2 ? 2sin(2 x ?

?

) ,得 f ?( x) ? 4 cos(2 x ? ) . 6 6 ? 1 ? ? ? 由 f ?( x) ? 2 ,得 cos(2 x ? ) ? ,则 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , 6 2 3 6 3
即 k? ?

?

, k? ? ] ( k ? Z ) . 6 3

?

6

? x ? k? ?

?

3

( k ? Z) ,

…………8′

?

?

12

? x ? k? ?

?

4

使 (k ? Z) . ∴ 不 等 式 f ?( x) ? 2 成 立 的 x 的 取 值 集 合 为

? ? ? ? ? x k? ? ? x ? k? ? , k ? Z ? .……14′ 12 4 ? ?
16.解: (1)因为 N 是 PB 的中点,PA=AB, 所以 AN⊥ PB,因为 AD⊥ PAB,所以 AD⊥ 面 PB,又因为 AD∩ AN=A 从而 PB⊥ 平面 ADMN,因为 平面 ADMN, 所以 PB⊥ DM. …………7′ (2) 连接 AC,过 B 作 BH⊥ AC,因为 PA ⊥ 底面 ABCD , 所以平面 PAB⊥ 底面 ABCD ,所以 BH 是点 B 到平面 PAC 的距离. AB ? BC 2 在直角三角形 ABC 中,BH= ……………14′ = 5 AC 5 17.解: (1)设每件定价为 x 元,依题意,有 (8 ?

x ? 25 ? 0.2) x ? 25 ? 8 , 1 整理得 x 2 ? 65 x ? 1000 ? 0 ,解得 25 ? x ? 40 .

∴ 要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为 40 元.………7′ (2)依题意, x ? 25 时, 不等式 ax ? 25 ? 8 ? 50 ?

1 2 1 ( x ? 600) ? x 有解, 等价于 x ? 25 时, 6 5

a?

150 1 1 150 1 150 1 ? x ? 有解, ? ? x?2 ? x ? 10 ?当且仅当x ? 30时,等号成立 ? , x 6 5 x 6 x 6
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? a ? 10.2 .
∴ 当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时,才可能使明年的销售收入不低于原 收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为 30 元.……14′ 18.解: (1)由题可得 f ? ? x ? ? 2 x ,所以在曲线上点 xn , f ? xn ? 处的切线方程为

y ? f ? xn ? ? f ? ? xn ?? x ? xn ? ,即 y ? ? x ? 1? ? 2 xn ? x ? xn ?
2 n

?

?

2 2 令 y ? 0 ,得 ? xn ? 1 ? 2 xn ? xn ?1 ? xn ? ,即 xn ? 1 ? 2 xn xn ?1

?

?

由题意得 xn ? 0 ,所以 xn ?1 ?

2 xn ? 1 ………………5′ 2 xn

2 xn ? 1 ?1 2 xn ? 1 xn ?1 ? 1 2 xn x 2 ? 2 xn ? 1 (2)因为 xn ?1 ? ,所以 an ?1 ? lg ? lg 2 ? lg n 2 xn ? 1 2 xn xn ?1 ? 1 xn ? 2 xn ? 1 ?1 2 xn

? x ? 1? ? lg n 2 ? xn ? 1?

2

? 2 lg

xn ? 1 ? 2an 即 an ?1 ? 2an , xn ? 1
x1 ? 1 n ?1 ? 2 ? 2n ?1 lg 3 ………10′ x1 ? 1

所以数列 ?an ? 为等比数列故 an ? a1 2n ?1 ? lg

(3)当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 1



当 n ? 2 时, bn ? S n ? S n ?1 ?

n ? n ? 1? n ? n ? 1? ? ?n 2 2

b 所以数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? n ,故数列 ?an ? n ? 的通项公式为 an ? n ? n ? 2n ?1 lg 3 b
?Tn ? ?1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? ? ? n ? 2n ?1 ? lg 3
① 2 的 2Tn ? 1? 2 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n lg 3 ? ① ②

?

?

? 得 ① ② ?Tn ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n ?1 ? n ? 2n lg 3
故 Tn ? n ? 2n ? 2n ? 1 lg 3 ………………16′ 19.解: (1)? 点 P 是线段 AM 的垂直平分线,∴ =PM PA

?

?

?

?

PA+PC=PM+PC=2 2>AC=2,
∴ 动点 N 的轨迹是以点 C(-1,0) ,A(1,0)为焦点的椭圆. 椭圆长轴长为 2a ? 2 2 , 焦距 2c=2. ∴ 曲线 E 的方程为

? a ? 2 , c ? 1, b 2 ? 1.
………5′

x2 ? y 2 ? 1. 2

x0 x ? y0 y ? 1 .………8′ 2 (3)直线 m 的方程为 x0 ( y ? y0 ) ? 2 y0 ( x ? x0 ) ,即 2 y0 x ? x0 y ? x0 y0 ? 0 .
(2)曲线 E 在点 P ( x0 , y0 ) 处的切线 l 的方程是
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设点 C 关于直线 m 的对称点的坐标为 D ? m, n ? ,

? 2 x 3 ? 3 x0 2 ? 4 x0 ? 4 x ? n m? 0 ?? 0 ? ? m ?1 x0 2 ? 4 2 y0 ? ? 则? ,解得 ? 4 3 2 ?n ? 2 x0 ? 4 x0 ? 4 x0 ? 8 x0 ?2 y ? m ? 1 ? x0 n ? x y ? 0 0 0 ? ? 0 2 2 y0 (4 ? x0 2 ) ? 2 ?
? 直线 PD 的斜率为 k ?

n ? y0 x0 4 ? 4 x03 ? 2 x0 2 ? 8 x0 ? 8 ? m ? x0 2 y0 (? x03 ? 3x0 2 ? 4) x0 4 ? 4 x03 ? 2 x0 2 ? 8 x0 ? 8 ( x ? x0 ) 2 y0 (? x03 ? 3 x0 2 ? 4)

从而直线 PD 的方程为: y ? y0 ? 即x?

2 y0 (? x03 ? 3 x0 2 ? 4) y ? 1 , 从而直线 PD 恒过定点 A(1, 0) .………16′ x0 4 ? 4 x03 ? 2 x0 2 ? 8 x0 ? 8
ax ax

20.解: (1)设 P( x,e ) 是函数 f ( x) ? e 图像上任一点,则它关于直线 y ? x 对称的点

P, e ax,x) 在函数 g( x) ? b ln x 的图像上,? x ? b ln e ax ? abx ,? ab ? 1 . ( (2)当 a ? 0 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 有且只有一个零点,两个函数的图像有且只有一 ax 个交点,? 两个函数关于直线 y ? x 对称,? 两个函数图像的交点就是函数 f ( x) ? e ,的 图像与直线 y ? x 的切点. ax ax ax ax , ax 设切点为 A( x0,e 0 ) , x0 =e 0 f ( x) ? ae ,? ae 0 =1 ,? ax0 =1 ,? x0 =e 0 =e ,
?当 a ?

(3)当 a =1 时,设 r ( x) ? f (1 ? x)+g ? x ? ? x 2 ? e1? x ? ln x ? x 2 ,则

1 1 ? 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 有且只有一个零点 x ? e ; x0 e

1 1 ?1 ? r, x) ? -e1? x+ ? 2 x ,当 x ? ? ,1? 时, ? 2 x ? 2 ? 1 ? 1,-e1? x ? ?1 , r, x)<0 , ( ( x x ?2 ? 1 , 当 x ? ?1, +? ? 时, ? 2 x ? 1 ? 2 ? -1,-e1? x ? 0 , r ( x)<0 . x ?1 ? ? r ( x) 在 ? , ?? ? 上是减函数. ?2 ? 又 r (1) =0,? 不等式 f (1 ? x)+g ? x ? ? x 2 解集是 ?1, ?? ? .
?a 21.B.解:设 M= ? ?c
?a b ? ?c d ? ? ?

b? ?a b ? ? ,则 ? c d ? d? ? ?

?a ? b ? 8, ?1? ?1? ?8? ?1? =8 ?1? = ?8? ,故 ?c ? d ? 8. ? ? ? ? ? ? ?

?? a ? 2b ? ?2, ? ?1? ? ?2 ? ? 2 ? = ? 4 ? ,故 ??c ? 2d ? 4. ? ? ? ? ?

?6 2? 联立以上两方程组解得 a=6,b=2,c=4,d=4,故 M= ? ? .………10′ ?4 4? C.解:由题意知,直线 l 的倾斜角为 30 ? ,并过点 A (2,0) ;曲线 C 是以(1,0)为 圆心、半径为 1 的圆,且圆 C 也过点 A (2,0) ;设直线 l 与圆 C 的另一个交点为 B ,在

Rt?OAB 中, AB ? 2 cos 30 ? ? 3 .…………10′
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3 22.解: (1)展开式中系数最大的项是第 4 项= C6 ? x ? ? 20 x 3 ;………5′ 3

(2)由已知, (1+i ) ? 32i ,两边取模,得 ( 2) n ? 32 ,所以 n ? 10 .
n
1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 所以 Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn = C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10

0 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 ? ? C10-C10 ? C10-C10 ? C10-C10 ? ? ? C10-C10+C10-C10 ? C10 ? i ? 32i

0 1 2 9 10 而 (1+i )10 ? C10 ? C10i ? C10i 2 ? ?? ? C10i 9 ? C10 i10

1 3 5 7 9 所以 C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? 32.

…………10′

23.解:将 A 标示为 0,A1、B、D 标示为 1,B1、C、D1 标示为 2,C1 标示为 3,从 A 跳到 B 记为 01,从 B 跳到 B1 再跳到 A1 记为 121,其余类推.从 0 到 1 与从 3 到 2 的概率为 1,从 1

1 2 ,从 1 到 2 与从 2 到 1 的概率为 . 3 3 2 1 2 (1)P=P(0123)=1 ? ? = ; ………4′ 3 3 9
到 0 与从 2 到 3 的概率为 (2)X=0,1,2. =1 ? P(X=1)=P(010123)+P(012123)+P(012321)

1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 ? 1 ? ? +1 ? ? ? ? +1 ? ? ? 1 ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 26 2 1 1 6 = ,P(X=2)=P(012323)=1 ? ? ? 1 ? = , 81 3 3 3 81 49 P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= 81
或 P(X=0)=P(010101)+P(010121)+P(012101)+P(012121)

1 1 1 2 2 2 2 1 ? 1 ? ? 1+1 ? ? 1 ? ? +1 ? ? ? ? 1+1 ? 3 3 3 3 3 3 3 3 26 6 38 (X) ? =1 +2 ? = .…………10′ X ? E 0 1 81 81 81 p 49 26 81 81
=1 ?

2 2 2 2 49 , ? ? ? = 3 3 3 3 81
2

6 81

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