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江西省上饶市2017-2018学年高一下学期期末考试试题(数学)

第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. cos

5? 的值为( 4



A.

1 2

B. ?

1 2

C.

2 2

D. ?

2 2


2.已知向量 a ? ?1, k ? , b ? ? 4, 2? ,且 a ? b ? 0 ,则 k 的值为( A.-1 B.-2 C.-3 D.-4

3.已知圆的方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 1,则它的圆心坐标和半径的长分别是( A. ? 2, 0 ? ,5 C. ? 0, 2 ? ,5 B. ? 2, 0 ? , 5 D. ? 0, 2 ? , 5



4.在 ?ABC 中, a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边, a ? 3 , b ? A. 30 ?
3

7 , c ? 2 ,那么 B 等于(



B. 45 ?
6 9 3n ? 6

C. 60 ? 的项数是( C. n ? 2 )

D. 120?

5.有穷数列 1, 2 , 2 , 2 ,…, 2 A. 3n ? 7 B. 3n ? 6

D. n ? 3 )

6.设 ? ? ? 0,2? ? ,已知 sin ? ? 3 cos ? ? 0 ,则 ? 的取值范围是( A. ?

?? ? ? , ? ?3 2?

B. ?

?? ? ,? ? ?3 ?

C. ?

? ? 4? ? , ? ?3 3 ?

D. ?

? ? 3? ? , ? ?3 2 ?


7.在等差数列 {an } 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450 ,则 a2 ? a8 ? ( A.45 8.已知 cos ? ? sin ? ? A. B.75 C.180 D.300

3 8

1 ,则 sin ? cos ? ? ( ) 2 1 3 B. C. 2 4

D.

3 2


9.已知等比数列 {an } 的各项都是正数,且 3a1 , A.6 B.7 C.8

1 a ?a a3 , 2a2 成等差数列,则 8 9 ? ( 2 a6 ? a7
D.9

10.已知 ?ABC 的三个顶点 A 、 B 、 C 及平面内一点 P ,若 PA ? PB ?PC ?AB ,则点 P 与 ?ABC 的位 置关系是( ) B. P 在 AB 边上或其延长线上 D. P 在 ?ABC 内部

A. P 在 AC 边上 C. P 在 ?ABC 外部

11.函数 f ( x) ? Asin(?x ? ?)( A ? 0, ? ? 0,

? ? ?) 的部分图象如图所示,则下列判断错误的是(



A.直线 x ?

?
12

是图象的一条对称轴

B. f ( x ) 在区间 ? ? ,

? ?

3? 2

? ? 上单调递减 ?

C.点 ?

? 5? ? , 0 ? 是图象的一个对称中心 ? 6 ?

D. f ( x ) 在区间 ?

2 ?? ? ? , ? 上的最大值为 2 ?4 2?

12.过点 ? 2, 0 引直线 l 与曲线 y ? 1 ? x 2 交于 A , B 两点, O 为坐标原点,当 ?AOB 的面积取最大 值时,直线 l 的斜率等于( A. )

?

?

3 3

B. ?

3 3

C. ?

3 3

D. 3

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知角 ? 的终边经过点 P ? m, ?3? ,且 cos ? ? ? 14.在数列 {an } 中, a1 ?

4 ,则 m 等于 5




1 1 , an ?1 ? 1 ? ,则 a2018 ? 2 an
2

15.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? n ? 2n ? 3 ,则 an ?



16.已知平面直角坐标内定点 A(?1, 0) , B(1, 0) , M (4,0) , N (0, 4) 和动点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,若

?1 ? ?1 ? AP ? BP ? 1 , OQ ? ? ? t ? OM ? ? ? t ? ON ,其中 O 为坐标原点,则 QP 的最小值是 ?2 ? ?2 ?



三、解答题:本大题 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知 a ? ?1, 2 ? , b ? ? ?3, 2 ? . (1)求 a ? 2b 的坐标; (2)当 k 为何值时, ka ? b 与 a ? 2b 共线.

18.已知 cos ? ?

1 13 ? , cos(? ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? . 7 14 2

(1)求 tan 2? 的值; (2)求 ? .

19.在数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ?1 ?

2an (n ? N * ) . 2 ? an

(1)求 a2 , a3 , a4 ,猜想 an ,无需证明; (2)若数列 bn ?

an ,求数列 {an } 的前 n 项和 Sn . n

20.已知函数 f ( x) ? cos2 x ? 3 sin x cos x ? 1. (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间; (2)若 f ?? ? ?

5 ? ? 2? ,? ?? , 6 ?3 3

? ? ,求 sin 2? 的值. ?

21.已知数列 {an } 满足: a1 ? 2 , an?1 ? 2an ? 2n?1 . (1)若 bn ?

an ,求证:数列 {bn } 为等差数列; 2n

(2)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .

22.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 的方程为: x2 ? y 2 ? 8x ? 11 ? 0 ,直线 l 的方程为

? 2m ?1? x ? ? m ?1? y ? 7m ? 4 ? 0 .
(1)求证:直线 l 恒过定点; (2)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时,求直线 l 的方程; (3)在(2)的前提下,若 P 为直线 l 上的动点,且圆 C 上存在两个不同的点到点 P 的距离为 5 ,求点 P 的横坐标的取值范围.

答案
一、选择题 1-5: DBBCD 二、填空题 13. -4 三、解答题 17.解:1) a ? 2b ? ?1,2? ? 2 ? ?3,2? ? ? 7, ?2? . (2) ka ? b ? k ?1, 2 ? ? ? ?3, 2 ? ? ? k ? 3, 2k ? 2 ? , 14. -1 15. ? 6-10: CCADA 11、12:BA

? 6,n ? 1 ?2n ? 1, n ? 2

16.

2

a ? 2b ? ?1,2? ? 2 ? ?3,2? ? ?7, ?2?
∵ ka ? b 与 a ? 2b 共线, ∴ 7 ? 2k ? 2? ? ?2 ? k ? 3? , ∴k ? ?



1 2.

1 ? ,0 ? ? ? , 7 2 1 2 4 3 2 得 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ( ) ? , 7 7
18.解: (1)由 cos ? ?

? tan? ?

sin ? 4 3 7 ? ? ?4 3, cos? 7 1

于是 tan 2? ?

2 tan? 2? 4 3 8 3 . ? ? ? 2 47 1 ? tan ? 1 ? (4 3 ) 2

(2)由 0 ? ? ? ? ? 又 ? cos( ? ? ? ) ?

?
2

,得 0 ? ? ? ? ?

?
2



13 , 14

13 3 3 , ? sin(? ? ? ) ? 1 ? cos2 (? ? ? ) ? 1 ? ( ) 2 ? 14 14
由 ? ? ? ? (? ? ? ) 得: cos ? ? cos[? ? (? ? ? )]

? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ?

1 13 4 3 3 3 1 ? ? ? ? . 7 14 7 14 2

?? ?

?
3

.

2an 19.解: (1)∵a1=1,an+1= , 2+an ∴a2= 2a1 2 2a2 2 2a3 2 = ,a3 = = ,a4 = = . 2+a1 3 2+a2 4 2+a3 5

2 猜想:an= . n+1 an 2 1 1 (2)由(1)知:bn= = =2[ ], n n(n+1) n n+1 从而 sn=b1+b2+…+bn 2n =2=2= . n+1 20.解: (1) f ( x) ? cos2 x ? 3 sin x cos x ? 1 ?
? cos(2 x ?

1 ? cos2 x 3 ? sin 2 x ? 1 2 2

?
3

)?

3 . 2

T?

2? ?? . 2
?
3 ? 2k? ,

由 2k? ? ? ? 2 x ? 得 k? ?

2? ? ? x ? k? ? ( k ? Z ) . 3 6 2? ? , k? ? ] ( k ? Z ) . 3 6

∴函数 f ( x ) 的单调递增区间是 [k? ?

5 ? 3 5 ? 2 (2)∵ f (? ) ? ,∴ cos(2 x ? ) ? ? , cos(2? ? ) ? ? . 3 2 6 6 3 3

? 5? ? ? 2? ? ∵ ? ? ? , ? ,∴ 2? ? ? (? , ) , 3 3 ?3 3 ?
sin(2? ?

?
3

) ? ? 1 ? cos2 (2? ?

?
3

) ??

5 . 3

∴ sin 2? ? sin(2? ?

?
3

?

?
3

)?

1 ? 3 ? 2 3? 5 sin(2? ? ) ? cos(2? ? ) ? . 2 3 2 3 6

21.解: (1)证明:由条件得 所以 bn+1﹣bn=1, 所以{bn}为等差数列; (2)由(1)得 bn ? ∴

an ?1
2
n ?1

?

an
2n

? 1 ? bn ? 1 ? bn ? 1 ,

b1 ? (n ? 1) ? 1 ? n

an ? n, 2n

∴ an ?

n ? 2n ,
2 n

∴Sn=1?2+2?2 +…+n?2 , ∴2Sn=1?22+…+(n﹣1)?2n+n?2n+1, 由错位相减得: .

22.解: (1) m?2 x ? y ? 7? ? x ? y ? 4 ? 0 , 由?

?2 x ? y ? 7 ? 0 ?x ? 3 得? , ? x? y?4 ? 0 ?y ?1

即直线 l 过定点 M ?3,1? . ( 2 )方法一:由题意可知:圆心 C: ?4,0? ,

? k MC ? ?1 ,
又? 当所截弦长最短时, kMC ? kl ? ?1 ?kl ? 1 ,

?直线方程为y ? x ? 2 .
方法二:∵圆心 ? 4, 0 ? 到直线 ? 2m ?1? x ? ? m ?1? y ? 7m ? 4 ? 0 的距离,

d?

4 ? 2m ? 1? ? 7m ? 4

? 2m ? 1? ? ? m ? 1?
2

2

?

m 5m2 ? 6m ? 2

?

m2 , 5m2 ? 6m ? 2

设弦长为 l ,则

1 2 l ? d 2 ? r2 , 4

当所截弦长最短时, d 取最大值, ∴d ?

m2 1 1 ? ,令 ? t , 2 6 2 m 5m ? 6m ? 2 5? ? 2 m m

?

1 . 2t ? 6t ? 5
2

令 g ? t ? ? 2t 2 ? 6t ? 5 ? 2 ? t 2 ? 3t ?

? ?

9 9? ? ??5 4 4?

? 3? 1 ? 2?t ? ? ? , ? 2? 2
3 1 时, g ? t ? 取到最小值 . 2 2 1 2 此时 m ? ? ? , d 取最大值,弦长取最小值, t 3
当t ? ? 直线上方程为 y ? x ? 2 ? 0 . ( 3 )设 P ? x0 , x0 ? 2? , 当以 P 为圆心,

2

5 为半径画圆 P ,当圆 P 与圆 C 刚 好相外切时,
2 2

CP ?

? x0 ? 4? ? ? x0 ? 2?

?2 5,

解得 x0 ? 0 或 6 , 由题意,圆 P 与圆心有两个交点时符合题意, ∴点 P 横坐标的取值范围为 ? 0, 6 ? .



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