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《1.1.3导数的几何意义》同步练习1

《1.1.3导数的几何意义》同步练习 基础巩固训练 一、选择题(每小题3分,共18分) 1.(2014·衡水高二检测)若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y+1=0,则 ( ) A.f′(x0)>0 C.f′(x0)<0 B.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在 【解题指南】曲线在点x=x0处的导数,即为切线的斜率. 【解析】选C.切线的方程为2x+y+1=0,即y=-2x-1,斜率为-2,故曲线在x=x0处的导数 为-2,即f′(x0)=-2<0. 2.设曲线y=x2在点P处的切线斜率为3,则点P的坐标为( A.(3,9) C. B.(-3,9) D. ) 【解题指南】设出点P的坐标,求出导函数,利用曲线在切点处的导数值是切线的斜率 列出方程求出点P. y), 【解析】 选C.设P(x, 根据定义, 可求得其导数y′=2x, 令2x=3, 得x= , 所以P 故选C. , 3.曲线y=4x-x3在点(-1,-3)处的切线方程是( A.y=7x+4 C.y=x-4 【解析】选D. 切线方程为y=x-2,故选D. B.y=7x+2 D.y=x-2 ) 2 =1+3Δ x- (Δ x) ,所以切线斜率k=1, 4.(2014·银川高二检测)若曲线f(x)=x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为 ( ) A.4x-y-4=0 C.4x-y+3=0 B.x+4y-5=0 D.x+4y+3=0 【解析】选A.根据定义可求导数f′(x)=2x,则2x=4,x=2;切点(2,4),切线斜率k=4, 所以l的方程为4x-y-4=0,故选A. 【误区警示】此题易把切线的斜率和垂线的斜率混淆而造成错误. 5.曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为 ( ) A. B. C. D. 2 【解析】选C.根据定义可求得y′=3x ,y′|x=1=3,切线方程为3x-y-2=0,与x轴的交点 坐标为 ,与x=2的交点坐标为(2,4),围成三角形面积为 × ×4= . 6.(2014·广州高二检测)在函数y=x3-9x的图象上,满足在该点处的切线的倾斜角小于 ,且横、纵坐标都为整数的点的个数是( A .0 B.1 C.2 ) D .3 2 【解析】选A.根据导数定义求得,y′=3x -9, 令0≤y′<1得3≤x < 2 , 显然满足该不等式的整数x不存在, 3 因此在函数y=x -9x的图象上,满足在该点处的切线的倾斜角小于 ,且横、纵坐标都 为整数的点的个数是0.故选A. 二、填空题(每小题4分,共12分) 7.(2014· 无锡高二检测)已知曲线y= -1上两点A 当Δ x=1时,割线AB的斜率为________. 【解题指南】本题考查直线斜率的求法,根据割线的斜率k= 【解析】Δ y= = = 所以 =即k= == , . - = . 求解. B , , 所以当Δ x=1时, k=答案:8.抛物线y=f(x)=2x2-x在(1,1)点处的切线斜率为________. =- . 【解析】 因为 答案:3 =3+2Δ x, 令Δ x趋于0, 则3+2Δ x趋于3.所以切线的斜率k=3. 9.已知曲线y=f(x)=2x2+1在点M处的瞬时变化率为-4,则点M的坐标为________. 【解析】当Δ x→0时, =2Δ x+4x0→4x0,由4x0=-4,得x0=-1, 所以点M的坐标是(-1,3). 答案:(-1,3) 三、解答题(每小题10分,共20分) 10.(2014·安顺高二检测)已知抛物线y=f(x)=x2+3与直线y=2x+2相交,求它们交点处的 切线方程. 【解析】由方程组 得x -2x+1=0, 2 解得x=1,y=4,所以交点坐标为(1,4), 又 =Δ x+2. 当Δ x趋于0时Δ x+2趋于2.所以在点(1,4)处的切线斜率k=2. 所以切线方程为y-4=2(x-1),即y=2x+2. 【变式训练】已知曲线y=f(x)=x+ 上一点A 率.(2)点A处的切线方程. 【解题指南】求曲线在A处切线的斜率kA,即求 【解析】(1)Δ y=f(2+Δ x)-f(2) =2+Δ x+ = +Δ x, = = = . . ,用斜率定义求:(1)点A处切线的斜 (2)切线方程为y- = (x-2), 即3x-4y+4=0. 11.(2014·贵阳高二检测)证明:过曲线xy=1上的任何一点P(x0,y0)(x0>0)的切线与两 坐标轴围成的三角形的面积是一个常数. 【解题指南】先求函数y= 的导数,表示出过P(x0,y0)的切线方程,再求切线的截距, 从而表示出面积. 【证明】由xy=1,得y= , 根据导数定义可得, y′=所以k=- , 过点P(x0,y0)的切线方程为y-y0=- (x-x0), 令x=0得y= ,令y=0得x=2x0, 所以过P(x0,y0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S= × ×2x0=2是一个常数. 能力提升训练 一、选择题(每小题4分,共16分) 1.(2014· 天津高二检测)已知函数y=f(x)的图象如图,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是 ( ) , A.f′(xA)>f′(xB) C.f′(xA)=f′(xB) B.f′(xA)< f′(xB) D.不能确定 【解析】选B.分别作出A,B两点处的切线,由图可知kB>kA,即f′(xB)>f′(xA). 2.(2014·荆州高二检测)已知曲线f(x)=lnx在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,-1),则 x0的值为( A. ) B.1 C.e D.10 【解析】选B.依题意得,题中的切线方程是y-lnx0= (x-x0);又该切线经过点(0,-1), 于是有-1-lnx0= (-x0),由此得lnx0=0,x0=1,选B. 3.(2014· 天津高二检测)设f(x)为可导


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