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11-12学年高中数学 1.1.1 变化率问题同步练习 新人教A版选修2-2


选修 2-2
一、选择题

1.1

第 1 课时 变化率问题

1.在平均变化率的定义中,自变量 x 在 x0 处的增量 Δ x( A.大于零 C.等于零 [答案] D [解析] Δ x 可正,可负,但不为 0,故应选 D. B.小于零 D.不等于零

)

2.设函数 y=f(x),当自变量 x 由 x0 变化到 x0+Δ x 时,函数的改变量 Δ y 为( A.f(x0+Δ x) C.f(x0)·Δ x [答案] D [解析] 由定义,函数值的改变量 Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0),故应选 D. 3.已知函数 f(x)=-x +x,则 f(x)从-1 到-0.9 的平均变化率为( A.3 C.2.09 [答案] D [解析] f(-1)=-(-1) +(-1)=-2.
2 2

)

B.f(x0)+Δ x D.f(x0+Δ x)-f(x0)

)

B.0.29 D.2.9

f(-0.9)=-(-0.9)2+(-0.9)=-1.71.
∴平均变化率为

f(-0.9)-f(-1) -1.71-(-2)
-0.9-(-1)
2



0.1

=2.9,故应选 D. )

4.已知函数 f(x)=x +4 上两点 A,B,xA=1,xB=1.3,则直线 AB 的斜率为( A.2 C.2.09 [答案] B [解析] f(1)=5,f(1.3)=5.69. ∴kAB= B.2.3 D.2.1

f(1.3)-f(1) 5.69-5
1.3-1 = 0.3
2

=2.3,故应选 B. )

5.已知函数 f(x)=-x +2x,函数 f(x)从 2 到 2+Δ x 的平均变化率为( A.2-Δ x C.2+Δ x [答案] B [解析] ∵f(2)=-2 +2×2=0, ∴f(2+Δ x)=-(2+Δ x) +2(2+Δ x)
2 2

B.-2-Δ x D.(Δ x) -2·Δ x
2

-1-

=-2Δ x-(Δ x) , ∴

2

f(2+Δ x)-f(2) =-2-Δ x,故应选 B. 2+Δ x-2
)

Δy 2 6. 已知函数 y=x +1 的图象上一点(1,2)及邻近一点(1+Δ x,2+Δ y), 则 等于( Δx A.2 C.2+Δ x [答案] C [解析] Δ y f(1+Δ x)-f(1) = Δx Δx
2

B.2x D.2+(Δ x)
2

[(1+Δ x) +1]-2 = =2+Δ x.故应选 C. Δx 7.质点运动规律 S(t)=t +3,则从 3 到 3.3 内,质点运动的平均速度为( A.6.3 C.3.3 [答案] A [解析] S(3)=12,S(3.3)=13.89, ∴平均速度 v = B.36.3 D.9.3
2

)

S(3.3)-S(3) 1.89
3.3-3 = 0.3

=6.3,故应选 A.

1 2 3 8.在 x=1 附近,取 Δ x=0.3,在四个函数①y=x、②y=x 、③y=x 、④y= 中,平均

x

变化率最大的是( A.④ C.② [答案] B

) B.③ D.①

[解析] Δ x=0.3 时,①y=x 在 x=1 附近的平均变化率 k1=1;②y=x 在 x=1 附近的 平均变化率 k2=2+Δ x=2.3; ③y=x 在 x=1 附近的平均变化率 k3=3+3Δ x+(Δ x) =3.99; 1 1 10 ④y= 在 x=1 附近的平均变化率 k4=- =- .∴k3>k2>k1>k4,故应选 B. x 1+Δ x 13 9.物体做直线运动所经过的路程 s 可以表示为时间 t 的函数 s=s(t),则物体在时间间 隔[t0,t0+Δ t]内的平均速度是( A.v0 C. ) B. Δt s(t0+Δ t)-s(t0) D.
3 2

2

s(t0+Δ t)-s(t0) Δt

s(t) t

[答案] C [解析] 由平均变化率的概念知 C 正确,故应选 C.
-2-

1 2 ? 1? 10.已知曲线 y= x 和这条曲线上的一点 P?1, ?,Q 是曲线上点 P 附近的一点,则点 Q 4 ? 4? 的坐标为( ) 1 2? ? B.?Δ x, (Δ x) ? 4 ? ? 1 2? ? D.?Δ x, (1+Δ x) ? 4 ? ?

1 2? ? A.?1+Δ x, (Δ x) ? 4 ? ? 1 2? ? C.?1+Δ x, (Δ x+1) ? 4 ? ? [答案] C

1 2 [解析] 点 Q 的横坐标应为 1+Δ x,所以其纵坐标为 f(1+Δ x)= (Δ x+1) ,故应选 4 C. 二、填空题 Δy 3 11.已知函数 y=x -2,当 x=2 时, =________. Δx [答案] (Δ x) +6Δ x+12 [解析]
3 2

Δ y (2+Δ x) -2-(2 -2) = Δx Δx
2

3

3



(Δ x) +6(Δ x) +12Δ x Δx
2

=(Δ x) +6Δ x+12. 1 1 12.在 x=2 附近,Δ x= 时,函数 y= 的平均变化率为________. 4 x 2 [答案] - 9 1 1 - Δ y 2+Δ x 2 1 2 [解析] = =- =- . Δx Δx 4+2Δ x 9 1 13.函数 y= x在 x=1 附近,当 Δ x= 时的平均变化率为________. 2 [答案] [解析] 6-2 Δy 1+Δ x- 1 1 = = = 6-2. Δx Δx 1+Δ x+1
2

14.已知曲线 y=x -1 上两点 A(2,3),B(2+Δ x,3+Δ y),当 Δ x=1 时,割线 AB 的斜 率是________;当 Δ x=0.1 时,割线 AB 的斜率是________. [答案] 5 4.1 [解析] 当 Δ x=1 时,割线 AB 的斜率 Δ y (2+Δ x) -1-2 +1 (2+1) -2 k1= = = =5. Δx Δx 1
-32 2 2 2

当 Δ x=0.1 时,割线 AB 的斜率

k2=

Δ y (2+0.1) -1-2 +1 = =4.1. Δx 0.1

2

2

三、解答题 15. 已知函数 f(x)=2x+1, g(x)=-2x,分别计算在区间[-3, -1], [0,5]上函数 f(x) 及 g(x)的平均变化率. [解析] 函数 f(x)在[-3,-1]上的平均变化率为

f(-1)-f(-3) [2×(-1)+1]-[2×(-3)+1]
-1-(-3) = 2 函数 f(x)在[0,5]上的平均变化率为

=2.

f(5)-f(0)
5-0

=2.

函数 g(x)在[-3,-1]上的平均变化率为

g(-1)-g(-3)
-1-(-3)

=-2.

函数 g(x)在[0,5]上的平均变化率为

g(5)-g(0)
5-0

=-2.

2 16.过曲线 f(x)= 2的图象上两点 A(1,2),B(1+Δ x,2+Δ y)作曲线的割线 AB,求出当

x

1 Δ x= 时割线的斜率. 4 [解析] 割线 AB 的斜率 k= (2+Δ y)-2 Δ y = (1+Δ x)-1 Δ x

2 2-2 (1+Δ x) -2(Δ x+2) 72 = = . 2 =- Δx (1+Δ x) 25 17.求函数 y=x 在 x=1、2、3 附近的平均变化率,判断哪一点附近平均变化率最大? [解析] 在 x=2 附近的平均变化率为
2

f(1+Δ x)-f(1) (1+Δ x)2-1 k1= = =2+Δ x; Δx Δx
在 x=2 附近的平均变化率为

f(2+Δ x)-f(2) (2+Δ x)2-22 k2= = =4+Δ x; Δx Δx
在 x=3 附近的平均变化率为

f(3+Δ x)-f(3) (3+Δ x)2-32 k3= = =6+Δ x. Δx Δx
对任意 Δ x 有,k1<k2<k3,
-4-

∴在 x=3 附近的平均变化率最大. 18.(2010·杭州高二检测)路灯距地面 8m,一个身高为 1.6m 的人以 84m/min 的速度在地 面上从路灯在地面上的射影点 C 处沿直线离开路灯. (1)求身影的长度 y 与人距路灯的距离 x 之间的关系式; (2)求人离开路灯的第一个 10s 内身影的平均变化率. [解析] (1)如图所示,设人从 C 点运动到 B 处的路程为 xm,AB 为身影长度,AB 的长度 为 ym,由于 CD∥BE, 则 即

AB BE = , AC CD y 1.6 1 = ,所以 y=f(x)= x. y+x 8 4

(2)84m/min=1.4m/s,在[0,10]内自变量的增量为

x2-x1=1.4×10-1.4×0=14, f(x2)-f(x1)= ×14- ×0= .
7 f(x2)-f(x1) 2 1 所以 = = . x2-x1 14 4 1 即人离开路灯的第一个 10s 内身影的平均变化率为 . 4 1 4 1 4 7 2

-5-


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