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广东省新会一中高三上学期第二次测验数学理试题_图文

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广东省江门市新会一中 2013 届高三第一学期第二次检测

理科数学试题

注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡 上,并用 2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂试卷类型. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔 和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

第一部分 选择题(共 40 分)

一. 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.集合 M ?{y y ? 8 , x, y ? N}的元素个数是( x?3

A.2 个

B.4 个

C.6 个

) D.8 个

2.下列命题中,真命题是( )

A. ?x0 ? R, e x0 ? 0

B. ?x ? R,2x ? x2

C. a ? b ? 0 的充要条件是 a ? ?1 b

D. a ? 1, b ? 1是 ab ? 1的充分条件

3.将函数 y ? sin 4x 的图象向左平移 ? 个单位,得到 y ? sin(4x ? ?) 的图象,则? =( ) 12

A. ? ? 12

B. ? ? 3

C. ? 3

D. ? 12

4.函数 f (x)=2x +x3 ? 2 在区间 (0,1) 内的零点个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

5.已知

x

?

ln

?

,

y

?

log5

2,

z

?

?1
e2

,则(



A. x ? y ? z

B. z ? x ? y

C. z ? y ? x

D. y ? z ? x

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6.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ,则点 P 恰好取自阴影部分

的概率为( )

A. 1 4

B. 1 5

C. 1 6

D. 1 7

7.设函数

D(

x)

?

?1, x为有理数 ??0, x为无理数

,则下列关于

D(

x)

的结论错误的是(



A.值域为{0,1} B.偶函数

C.不是周期函数

D.不是单调函数

8. 函数 f (x) 在 [a, b] 上有定义,若对任意 x1, x2 ? [a, b] ,有

f ( x1

? 2

x2 )

?

1[f 2

( x1 ) ?

f ( x2 )] ,则称

f (x) 在[a, b] 上具有性质 P 。设

f (x) 在[1,3]

上具有性质 P ,现给出如下命题:

① f (x) 在[1,3] 上的图像时连续不断的;

② f (x2 ) 在[1, 3] 上具有性质

P;

③若 f (x) 在 x ? 2 处取得最大值 1,则 f (x) ? 1, x ? [1,3] ;

④对任意 x1, x2 , x3, x4 ?[1,3] ,有

f( x1

?

x2

? 4

x3

?

x4

)?

1[ 4

f

(x1 ) ?

f

(x2 ) ?

f

(x3 ) ?

f

(x4 )] 。

其中真命题的序号是( )

A.①②

B.①③

C.②④

D.③④

第二部分 非选择题(共 110 分)

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.

9.函数

f

?x?

?

1
ln ? x ?1?

?

4 ? x2 的定义域为

.

10. y ? (log 1 a) x 在 R 上为减函数,则 a 的取值范围是

.

2

11.当函数 y ? sin x ? 3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取得最大值时, x ?

.

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12.已知 F (x) ? f (x) ? x2 是奇函数,且 f (1) ? 1,若 g(x) ? f (x) ? 2 ,则

g(?1) ?

.

13.已知函数 f (x) ? x(x ? c)2 在 x ? 2 处有极大值,则 c ?

.

14.已知函数 f (x) ? e|x?a|( a 为常数).若 f (x) 在区间[1,??) 上是增函数,则 a 的取值范

围是

.

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算

步骤.
15.(本题满分 12 分)函数 f (x) ? Asin(?x ? ? ) ?1( A ? 0,? ? 0 )的最大值为 3, 6
其图像相邻两条对称轴之间的距离为 ? , 2
(1)求函数 f (x) 的解析式和当 x ?[0,? ] 时 f (x) 的单调减区间;

(2)设? ? (0, ? ) ,则 f (? ) ? 2 ,求? 的值.

2

2

16. (本小题满分 12 分) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人 获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 1 ,乙每次投篮投中的
3 概率为 1 ,且各次投篮互不影响.
2 (Ⅰ) 求甲获胜的概率;
(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数? 的分布列与期望.

17. (本题满分 14 分)

P

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA 丄平面 ABCD ,

AC 丄 AD , AB 丄 BC , ?BAC ? 45? , PA=AD=2 , AC=1.

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A

B C

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(Ⅰ)证明: PC 丄 AD ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? D 的正弦值; (Ⅲ)设 E 为棱 PA 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 300 ,求 AE 的长.
18.(本题满分 14 分) 已知函数 f (x) ? x ? a x ? ln x, (a为常数) .
(1)当 a ? 5 时,求 f (x) 的极值; (2)若 f (x) 为增函数,求实数 a 的取值范围.
19. (本题满分 14 分)
设函数 f (x) ? x4 ? ax3 ? 2x2 ? b(x ? R) ,其中 a,b ? R . (Ⅰ)若函数 f (x) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围;
(Ⅱ)若对于任意的 a ???2,2? ,不等式 f (x) ? 1在 x ? ??1,1? 恒成立,求 b 的取值范
围.
20.(本题满分 14 分) 已知函数 f (x) ? ex ? ax2 ? ex, a ? R
(Ⅰ)若曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求函数 f (x) 的单调区
间;
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(Ⅱ)试确定 a 的取值范围,使得曲线 y ? f ( x) 上存在唯一的点 P ,曲线在该点处 的切线与曲线只有一个公共点 P 。

参考答案

ADCB DCCD

9.{x ?1 ? x ? 2且x ? 0} ; 10. (1 ,1) ; 2

13. 6 ;

14. (??,1]

11. 5? ; 6

12. ?1

15.解:(Ⅰ)∵函数 f ? x? 的最大值是 3,

∴ A ?1 ? 3,即 A ? 2

∵ 函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ? , 2
∴ 最小正周期T ? ? ,∴? ? 2

所以 f (x) ? 2sin(2x ? ? ) ?1。 6

令 ? ? 2k? ? 2x ? ? ? 3? ? 2k? , k ? Z

2

62

即 ? ? k? ? x ? 5? ? k? , k ? Z

3

6

∵ x ?[0,? ]

------1 分
------3 分 ------4 分

∴ f ? x? 的单调减区间为 [? , 5? ]·········
36

------8 分

(Ⅱ)∵ f (? ) ? 2sin(? ? ? ) ?1 ? 2 ,

2

6

即 sin(? ? ? ) ? 1 , 62

∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ? ? ? ? ? ? ? ,

2

6

63

∴? ? ? ? ? ,故? ? ? 。

66

3

------9 分 ------12 分

16.解:设 Ak , Bk 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中,则

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P

?

Ak

?

?

1 3



P

?

Bk

?

?

1 2



k ??1, 2,3?

(1)记“甲获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生

? ? ? ? 的概率计算公式知, P ?C ? ? P ? A1 ? ? P A1 B1A2 ? P A1 B1 A2 B2 A3

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? P ? A1 ? ? P A1 P B1 P ? A2 ? ? P A1 P B1 P A2 P B2 P ? A3 ?

?

1 3

?

2 3

?

1 2

?

1 3

?

? ??

2 3

2
? ??

?

? ??

1 2

2
? ??

?

1 3

? 1 ? 1 ? 1 ? 13 3 9 27 27

(2)? 的所有可能为:1, 2,3

------5 分

? ? 由独立性知: P ?? ? 1? ? P ? A1 ? ? P

A1B1

?1?2?1 ? 2 332 3

? ? ? ? P?? ? 2? ? P

A1 B1 A2

?P

A1 B1 A2B2

?

2 3

?

1 2

?

1 3

?

? ??

2 3

?2 ? ?

? ??

1 2

?2 ? ?

?

2 9

? ? P ?? ? 3? ? P

A1 B1 A2 B2

?

? ??

2 3

?2 ??

? ??

1 2

?2 ??

?

1 9

综上知,? 有分布列

?

1

2

3

P

2

2

3

9

从而, E? ? 1? 2 ? 2? 2 ? 3? 1 ? 13 (次) 3 9 99


答:甲获胜的概率为 13 ;甲的投篮次数的期望为 13 次。

27

9

------12 分

1 9 ------9 分
------11

17.(1)以 AD, AC, AP 为 x, y, z 正半轴方向,建立空间直角左边系 A ? xyz

则 D(2, 0, 0),C(0,1, 0), B(? 1 , 1 , 0), P(0, 0, 2) 22

PC ? (0,1, ?2), AD ? (2, 0, 0) ? PC AD ? 0 ? PC ? AD

------4



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(2) PC ? (0,1, ?2),CD ? (2, ?1, 0) ,设平面 PCD 的法向量 n ? (x, y, z)



??n ? ?? n

PC CD

? ?

0 0

?

?y ? 2z ??2x ? y

? ?

0 0

?

? ? ?

y ? 2z x?z

取 z ? 1 ? n ? (1, 2,1)

AD ? (2, 0, 0)是平面 PAC 的法向量

cos ? AD,n ?? AD n ? 6 ? sin ? AD,n ?? 30

AD n 6

6

得:二面角 A ? PC ? D 的正弦值为 30 6

------9 分

(3)设 AE ? h ?[0, 2] ;则 AE ? (0, 0, 2) , BE ? (1 , ? 1 , h),CD ? (2, ?1, 0) 22

cos ? BE,CD ?? BE CD ?

3

? 3 ? h ? 10 即 AE ? 10

BE CD

10 ? 20h2 2

10

10

------14 分

18.解:函数 y ? f (x) 的定义域为 (0,? ?) , ------1 分

(1) 当 a ? 5 时, f ?(x) ? 2x ? 5 x ? 2 ? (2 x ?1)( x ? 2)

2x

2x

令 f ?(x) ? 0 得 x ? 1 ,或 x ? 4 4
------3 分

f ?(x) , f (x) 随 x 的变化情况如下表

x

(0, 1)

1

(1 ,4)

4

4

4

4

f ?(x)

?

0

__
0

f (x)

递增

? 9 ? ln 4 4

递减

? 6 ? ln 4

(4,? ?) ?
递增

由上表可得函数的极大值为 f (1 ) ? ? 9 ? ln 4 ,极小值为 f (4) ? ? 6 ? ln 4 . 44
------7 分

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(2) 由题意得 f ?(x) ? 1 ? a ? 1 ? 2x ? a x ? 2 ? 0 在区间 (0,? ?) 恒成立, ----8

2x x

2x



即 2x ? a x ? 2 ? 0 在区间 (0,? ?) 恒成立,

∴ a ? 2( x ? 1 ) 在区间 (0,? ?) 恒成立. x
----10 分

∵ x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 2 ,当且仅当 x ? 1 , 即 x ? 1时等号成立.

x

x

x

∴ a ? 2(

x?

1 x

)

min

=4



所以 a 的取值范围是(- ?,4] .

----14 分

----13

19. (Ⅰ)解: f ?(x) ? x(4x2 ? 3ax ? 4) , ------1 分
显然 x ? 0 不是方程 4x2 ? 3ax ? 4 ? 0 的根.

为使 f (x) 仅在 x ? 0 处有极值,必须 4x2 ? 3ax ? 4 ? 0 成立, ------3



即有 ? ? 9a2 ? 64 ? 0 .

解得 ? 8 ? a ? 8 .

3

3

所以 a 的取值范围是[? 8 , 8] . 33



------6

(Ⅱ)由条件 a ?[?2, 2],可知 ? ? 9a2 ? 64 ? 0 ,从而 4x2 ? 3ax ? 4 ? 0 恒成

立.------8 分

当 x ? 0 时, f ?(x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?(x) ? 0 .

因此函数 f (x) 在[?1,1]上的最大值是 f (1) 与 f (?1) 两者中的较大

者.

------11 分

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为使对任意的 a ?[?2, 2],不等式 f (x) ? 1在[?1,1]上恒成立,

当且仅当

? ? ?

f f

(1) ? (?1)

1 ?

1

,即

?b ?? b

? ?

?2 ?2

? ?

a a

在 a ?[?2, 2]上恒成

立.

------13 分

所以 b ? ?4 ,因此满足条件的 b 的取值范围是

(??, ?4] .

------14 分

20.解:(Ⅰ) f (x) ? ex ? ax2 ? ex ? f ?(x) ? ex ? 2ax ? e

------1 分

由题意得: f ?(1) ? e ? 2a ? e ? 0 ? a ? 0

------2 分

f ?(x) ? ex ? e ? 0 ? x ? 1, f ?(x) ? 0 ? x ? 1

得:函数 f (x) 的单调递增区间为 (1, ??) ,单调递减区间为 (??,1)

------4 分

(Ⅱ)设 P(x0 , f (x0 )) ; 则过切点 P 的切线方程为 y ? f ?(x0 )(x ? x0 ) ? f (x0 ) ------5 分

令 g(x) ? f (x) ? f ?(x0 )(x ? x0 ) ? f (x0 ) ;则 g(x0 ) ? 0

切线与曲线只有一个公共点 P ? g(x) ? 0 只有一个根 x0

g?(x) ? f ?(x) ? f ?(x0 ) ? ex ? ex0 ? 2a(x ? x0 ) ,且 g?(x0 ) ? 0

-----6 分

(1)当 a ? 0 时, g?(x) ? 0 ? x ? x0, g?(x) ? 0 ? x ? x0

得:当且仅当 x ? x0 时, g(x)min ? g(x0 ) ? 0

由 x0 的任意性, a ? 0 不符合条件 (2)当 a ? 0 时,令 h(x) ? ex ? ex0 ? 2a(x ? x0 ) ? h?(x) ? ex ? 2a ? 0 ? x ? x? ? ln(?2a)

------8 分

①当 x? ? x0 时, h?(x) ? 0 ? x ? x0, h?(x) ? 0 ? x ? x0

当且仅当 x ? x0 时, g?(x) ? g?(x0 ) ? 0 ? g(x) 在 x ? R 上单调递增

? g(x) ? 0 只有一个根 x0

②当 x? ? x0 时, h?(x) ? 0 ? x ? x?, h?(x) ? 0 ? x ? x?

------10

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得: g?(x?) ? g?(x0 ) ? 0 ,又 x ? ??, g?(x) ? ??, x ? ??, g?(x) ? ??

存在两个数 x0 ? x?? 使, g?(x0 ) ? g?(x??) ? 0

得: g?(x) ? 0 ? x0 ? x ? x?? ? g(x??) ? g(x0 ) ? 0 又 x ? ??, g?(x) ? ??

存在 x1 ? x?? 使 g(x??) ? 0 ,与条件不符。

③当 x? ? x0 时,同理可证,与条件不符

------12 ------13 分

从上得:当 a ? 0 时,存在唯一的点 P(ln(?2a), f (ln(?2a)) 使该点处的切线与曲线只有
一个公共点 P
------14 分

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