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立体几何第一讲 空间几何体与点线面位置关系(教师)


立体几何第(1)空间几何体
知识点 1 空间几何体的结构、三视图和直观图
1.多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都互相平行,上下底面是全等的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上下底面是相似多边形. 2.旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到. (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋 转半周得到,也可由平行于底面的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到. 3.空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用平行投影得到, 这种投影下, 与投影面平行的平面图形留下的影子, 与平面图形的形状和大小是全等和相等的,三视图包括正视图、侧视图、俯视图. 4.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,基本步骤是: (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴,两轴相交于点 O,画直观图时,把它们画成对应的 x′轴、y′轴,两轴相交于点 O′,且使∠x′O′y′=45° 或 135° ,已知图形中平行于 x 轴、y 轴的线 段,在直观图中平行于 x′轴、y′轴.已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中长度不变, 平行于 y 轴的线段,长度变为原来的一半. (2)画几何体的高 在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面, 在直观图中对应的 z′轴, 也垂直于 x′O′y′平面, 已知图形中平行于 z 轴的线段,在直观图中仍平行于 z′轴且长度不变. 考向一 空间几何体的结构特征 【例 1】(2012· 天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱 称为它的腰,以下 4 个命题中,假命题是( A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 [审题视点] 可借助几何图形进行判断. ).

解析 如图,等腰四棱锥的侧棱均相等,其侧棱在底面的射影也相等,则其腰与底面所成角 相等,即 A 正确;底面四边形必有一个外接圆,即 C 正确;在高线上可以找到一个点 O, 使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等,这个点即为外接球的球心,即 D 正确;但四棱锥 的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立).故仅命题 B 为假命题.选 B. 答案 B 【训练 1】 以下命题: ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为( A.0 B .1 ). C.2 D.3

解析 命题①错,因为这条边若是直角三角形的斜边,则得不到圆锥.命题②错,因这条腰 必须是垂直于两底的腰.命题③对.命题④错,必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行. 答案 B 考向二 空间几何体的三视图

【例 2】(2011· 全国新课标)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的 侧视图可以为( ).

答案 D 【训练 2-1】 (2011· 浙江)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直 观图可以是( ).

解析 A 中正视图,俯视图不对,故 A 错.B 中正视图,侧视图不对,故 B 错.C 中侧视 图,俯视图不对,故 C 错,故选 D. 答案 D

【训练 2-2】(2011· 山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三 棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;③存 在圆柱,其正(主)视图,俯视图如右图.其中真命题的个数是( A.3 B.2 C.1 D.0 ).

[解答] 如图①②③的正(主)视图和俯视图都与原题相同,故选 A.

答案 A 考向三 空间几何体的直观图 ).

【例 3】已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么△ABC 的平面直观图△A′B′C′的面积为( A. 3 2 a 4 B. 3 2 a 8 C. 6 2 a 8 D. 6 2 a 16

[审题视点] 画出正三角形△ABC 的平面直观图△A′B′C′,求△A′B′C′的高即可. 解析 如图①②所示的实际图形和直观图.

1 3 由斜二测画法可知,A′B′=AB=a,O′C′= OC= a, 2 4 在图②中作 C′D′⊥A′B′于 D′, 则 C′D′= 2 6 O′C′= a. 2 8

1 1 6 6 ∴S△A′B′C′= A′B′·C′D′= × a× a= a2. 2 2 8 16 答案 D 直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形的 面积是其直观图面积的 2 2倍,这是一个较常用的重要结论. 【训练 3】 如图, 矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图, 其中 O′A′=6 cm, O′C′ =2 cm,则原图形是( A.正方形 C.菱形 ). B.矩形 D.一般的平行四边形

解析 将直观图还原得?OABC,则 ∵O′D′= 2O′C′=2 2 (cm), OD=2O′D′=4 2 (cm),

C′D′=O′C′=2 (cm),∴CD=2 (cm), OC= CD2+OD2= 22+4 22=6 (cm), OA=O′A′=6 (cm)=OC, 故原图形为菱形. 答案 C 知识点 2 空间几何体的表面积与体积 1.柱、锥、台和球的侧面积和体积 面 圆柱 圆锥 积 体 积 V=Sh=πr2h 1 1 1 V= Sh= πr2h= πr2 l2-r2 3 3 3 1 1 V= (S 上+S 下+ S上S下)h= π(r2 3 3 1 +r2 2+r1r2)h 直棱柱 正棱锥 正棱台 球 2.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形;它们的表面积等于侧面积 与底面面积之和. 考向一 几何体的表面积 S 侧=Ch 1 S 侧= Ch′ 2 1 S 侧= (C+C′)h′ 2 S 球面=4πR2 V=Sh 1 V= Sh 3 1 V= (S 上+S 下+ S上S下)h 3 4 V= πR3 3

S 侧=2πrh S 侧=πrl

圆台

S 侧=π(r1+r2)l

【例 1】(2011· 安徽)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( ).

A.48

B.32+8 17

C.48+8 17

D.80

[审题视点] 由三视图还原几何体,把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积. 解析 换个视角看问题,该几何体可以看成是底面为等腰梯形,高为 4 的直棱柱,且等腰梯 形的两底分别为 2,4,高为 4,故腰长为 17,所以该几何体的表面积为 48+8 17. 答案 C 【训练 1】 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于( A. 3 C.2 3 B.2 D.6 ).

解析 由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为 2 的正三角形、侧棱为 1 的 直三棱柱,则此三棱柱的侧面积为 2× 1× 3=6. 答案 D 考向二 几何体的体积

【例 2-1】?(2011· 广东)如图,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图) 和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为( ).

A.18 3

B.12 3

C.9 3

D.6 3

[审题视点] 根据三视图还原几何体的形状,根据图中的数据和几何体的体积公式求解.

解析 该几何体为一个斜棱柱, 其直观图如图所示, 由题知该几何体的底面是边长为 3 的正 方形,高为 3,故 V=3× 3× 3=9 3. 答案 C 以三视图为载体考查几何体的体积, 解题的关键是根据三视图想象原几何体的形 状构成, 并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系, 然后在直观图中求解. 【例 2-2】一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中 E、F 分别是 PB、AD 的中点). (Ⅰ)求证:EF⊥平面 PBC;

(Ⅱ)求三棱锥 B—AEF 的体积。

【训练 2】 (2012· 东莞模拟)某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体 积等于( 28 A. π 3 4 C. π+8 3 ). 16 π 3

B.

D.12 π

解析 由三视图可知,该几何体是底面半径为 2,高为 2 的圆柱和半径为 4 28 1 的球的组合体,则该几何体的体积为 π×22× 2+ π= π. 3 3 答案 A

考向三 空间多面体与球的关系 【例 3-1】 .如图, 正四棱锥 P ? ABCD 底面的四个顶点 A, B, C , D 在球 O 的同一 个大圆上,点 P 在球面上,如果 VP? ABCD ? A. 4? B. 8? C. 12?

16 ,则球 O 的表面积是 3
D. 16?

【例 3-2】直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各顶点都在同一球面上,若 AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,求 此球的表面积。

【训练 3-1】半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方体棱长

为 6 ,求球的表面积和体积.

【 训 练 3-2 】 已 知 过 球 面 上 A, B, C 三 点 的 截 面 和 球 心 的 距 离 为 球 半 径 的 一 半 , 且

AB ? BC ? CA ? 2 ,求球的表面积 解:设截面圆心为 O? ,连结 O?A ,设球半径为 R ,
则 O?A ?

2 3 2 3 , ? ?2 ? 3 2 3
2 2 2

在 Rt ?O?OA 中, OA ? O?A ? O?O , ∴R ?(
2

2 3 2 1 2 ) ? R , 3 4

∴R ?

4 , 3
2

∴ S ? 4? R ?

64 ?。 9
考向四 几何体的展开与折叠

【例 4】?(2012· 广州模拟)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90° ,CD∥AB,AB=4, AD=CD=2,将△ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 DABC,如图 2 所示.

(1)求证:BC⊥平面 ACD; (2)求几何体 DABC 的体积. [审题视点] (1)利用线面垂直的判定定理,证明 BC 垂直于平面 ACD 内的两条相交线即可; (2)利用体积公式及等体积法证明. (1)证明 在图中,可得 AC=BC=2 2,

从而 AC2+BC2=AB2,故 AC⊥BC, 取 AC 的中点 O,连接 DO, 则 DO⊥AC,又平面 ADC⊥平面 ABC,平面 ADC∩平面 ABC=AC,DO? 平面 ADC,从而

DO⊥平面 ABC,∴DO⊥BC, 又 AC⊥BC,AC∩DO=O,∴BC⊥平面 ACD. (2)解 由(1)可知,BC 为三棱锥 BACD 的高,BC=2 2,S△ACD=2,∴VBACD= 1 1 4 2 S · BC= × 2× 2 2= , 3 △ACD 3 3 4 2 由等体积性可知,几何体 DABC 的体积为 . 3 知识点 3 空间点、直线、平面之间的位置关系 1.平面的基本性质 (1)公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在这个平面内. (2)公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. (3)公理 3:如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且 所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 推论 1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
?平行 ?共面直线? ? ? ?相交 ? ?异面直线:不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,把 a′与 b′所成 的锐角或直角叫做异面直线 a,b 所成的角(或夹角). π? ②范围:? ?0,2?. 3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5.平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 6.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 考向一 平面的基本性质

【例 1】正方体 ABCDA1B1C1D1 中,P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1 的中点,那么,正方体 的过 P、Q、R 的截面图形是( A.三角形 B.四边形 ). C.五边形 D.六边形

[审题视点] 过正方体棱上的点 P、Q、R 的截面要和正方体的每个面有交线.

解析

如图所示,作 RG∥PQ 交 C1D1 于 G,连接 QP 并延长与 CB 交于 M,连接 MR 交 BB1 于 E, 连接 PE、RE 为截面的部分外形. 同理连 PQ 并延长交 CD 于 N,连接 NG 交 DD1 于 F,连接 QF,FG. ∴截面为六边形 PQFGRE. 答案 D 【训练 1】 下列如图所示是正方体和正四面体,P、Q、R、S 分别是所在棱的中点,则四个 点共面的图形是________.

解析

在④图中,可证 Q 点所在棱与面 PRS 平行,因此,P、Q、R、S 四点不共面.可证①中四 边形 PQRS 为梯形;③中可证四边形 PQRS 为平行四边形;②中如图所示取 A1A 与 BC 的中 点为 M、N 可证明 PMQNRS 为平面图形,且 PMQNRS 为正六边形. 答案 ①②③ 考向二 【例 2】如图所示, 异面直线

正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点.问: (1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由. [审题视点] 第(1)问,连结 MN,AC,证 MN∥AC,即 AM 与 CN 共面;第(2)问可采用反证

法. 解

(1)不是异面直线.理由如下: 连接 MN、A1C1、AC. ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点, ∴MN∥A1C1.又∵A1A 綉 C1C, ∴A1ACC1 为平行四边形, ∴A1C1∥AC,∴MN∥AC, ∴A、M、N、C 在同一平面内,故 AM 和 CN 不是异面直线. (2)是异面直线.证明如下: ∵ABCDA1B1C1D1 是正方体, ∴B、C、C1、D1 不共面. 假设 D1B 与 CC1 不是异面直线, 则存在平面 α,使 D1B? 平面 α,CC1? 平面 α, ∴D1,B、C、C1∈α,与 ABCDA1B1C1D1 是正方体矛盾. ∴假设不成立,即 D1B 与 CC1 是异面直线. 【训练 2-1】 在下图中,G、H、M、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直 线 GH、MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).

解析 如题干图(1)中,直线 GH∥MN; 图(2)中,G、H、N 三点共面,但 M?面 GHN,因此直线 GH 与 MN 异面; 图(3)中,连接 MG,GM∥HN,因此 GH 与 MN 共面; 图(4)中,G、M、N 共面,但 H?面 GMN, ∴GH 与 MN 异面.所以图(2)、(4)中 GH 与 MN 异面. 答案 (2)(4) 【训练 2-2】(2011· 四川)l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 ( A.l1⊥l2,l2⊥l3? l1∥l3 ).

B.l1⊥l2,l2∥l3? l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3? l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点? l1,l2,l3 共面 正解 在空间中,垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故 A 错;两平行线中的一条垂 直于第三条直线, 则另一条也垂直于第三条直线, B 正确; 相互平行的三条直线不一定共面, 如三棱柱的三条侧棱,故 C 错;共点的三条直线不一定共面,如三棱锥的三条侧棱,故 D 错. 答案 B 考向三 异面直线所成的角

【例 3】?(2011· 宁波调研)正方体 ABCDA1B1C1D1 中. (1)求 AC 与 A1D 所成角的大小; (2)若 E、F 分别为 AB、AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所成角的大小. [审题视点] (1)平移 A1D 到 B1C,找出 AC 与 A1D 所成的角,再计算.(2)可证 A1C1 与 EF 垂 直. 解

(1)如图所示,连接 AB1,B1C,由 ABCDA1B1C1D1 是正方体, 易知 A1D∥B1C,从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成的角. ∵AB1=AC=B1C, ∴∠B1CA=60° . 即 A1D 与 AC 所成的角为 60° .

(2)如图所示,连接 AC、BD,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, AC⊥BD,AC∥A1C1, ∵E、F 分别为 AB、AD 的中点, ∴EF∥BD,∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1.

即 A1C1 与 EF 所成的角为 90° . 【训练 3】 A 是△BCD 平面外的一点,E,F 分别是 BC,AD 的中点. (1)求证:直线 EF 与 BD 是异面直线; (2)若 AC⊥BD,AC=BD,求 EF 与 BD 所成的角. (1)证明 假设 EF 与 BD 不是异面直线,则 EF 与 BD 共面,从而 DF 与 BE 共面,即 AD 与 BC 共面,所以 A、B、C、D 在同一平面内,这与 A 是△BCD 平面外的一点相矛盾.故直线 EF 与 BD 是异面直线. (2)解

如图,取 CD 的中点 G,连接 EG、FG,则 EG∥BD,所以相交直线 EF 与 EG 所成的角, 即为异面直线 EF 与 BD 所成的角. 1 在 Rt△EGF 中,由 EG=FG= AC,求得∠FEG=45° ,即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 2 45° . 考向四 点共线、点共面、线共点的证明 【例 4】?正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证: (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点. [审题视点] (1)由 EF∥CD1 可得; (2)先证 CE 与 D1F 相交于 P,再证 P∈AD. 证明 (1)如图,连接 EF,CD1,A1B.

∵E、F 分别是 AB、AA1 的中点, ∴EF∥BA1. 又 A1B∥D1C,∴EF∥CD1,

∴E、C、D1、F 四点共面. (2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE 与 D1F 必相交,设交点为 P, 则由 P∈CE,CE? 平面 ABCD, 得 P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA, ∴P∈直线 DA,∴CE、D1F、DA 三线共点. 【训练 4】 如图所示,已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是边 AB、AD 的中点,F、G CF CG 2 分别是边 BC、CD 上的点,且 = = ,求证:三条直线 EF、GH、 CB CD 3 AC 交于一点. 证明 ∵E、H 分别为边 AB、AD 的中点, 1 CF CG 2 ∴EH 綉 BD,而 = = , 2 CB CD 3 FG 2 ∴ = ,且 FG∥BD. BD 3 ∴四边形 EFGH 为梯形,从而两腰 EF、GH 必相交于一点 P. ∵P∈直线 EF,EF? 平面 ABC,∴P∈平面 ABC. 同理,P∈平面 ADC. ∴ P 在平面 ABC 和平面 ADC 的交线 AC 上,故 EF、GH、AC 三直线交于一点.

基础练习: 1.(2011· 陕西)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( 2π A.8- 3 C.8-2π

).

π B.8- 3 2π D. 3

解析 圆锥的底面半径为 1, 高为 2, 该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积, 即 V=22× 2 1 2 - ×π×12× 2=8- π,正确选项为 A. 3 3 答案 A 2.(2011· 浙江)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可 以是( ).

解析 所给选项中,A、C 选项的正视图、俯视图不符合,D 选项的侧视图不符合,只有选 项 B 符合. 答案 B 3.(2011· 北京)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的 是( A.8 C.10 ). B.6 2 D.8 2

解析 由三视图可知, 该几何体的四个面都是直角三角形, 面积分别为 6,6 2, 8,10,所以面积最大的是 10,故选择 C. 答案 C 4.(2011· 湖南)设右图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( 9 A. π+12 2 C.9π+42 9 B. π+18 2 D.36π+18 ).

解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体,球的直径为 3, 4 3?3 长方体的底面是边长为 3 的正方形,高为 2,故所求体积为 2× 32+ π? 3 ?2? 9 = π+18. 2 答案 B

5.已知 a,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b( A.一定是异面直线 C.不可能是平行直线

).

B.一定是相交直线 D.不可能是相交直线

解析 由已知直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线, 但不可能为平行直线, 若 b∥c, 则 a∥b,与已知 a、b 为异面直线相矛盾. 答案 C 6.(2011· 浙江)下列命题中错误的是( ).

A.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B.如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C.如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α∩β=l,那么 l⊥平面 γ D.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β 解析 对于 D, 若平面 α⊥平面 β, 则平面 α 内的直线可能不垂直于平面 β, 甚至可能平行于 平面 β,其余选项均是正确的. 答案 D


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