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1.1.3.1 导数的几何意义


3.1.3
A.30° C.135° 1 解析 ∵y=2x2-2,

导数的几何意义
). B.45° D.165°

3? 1 ? 1.已知曲线 y=2x2-2 上一点 P?1,-2?,则过点 P 的切线的倾斜角为( ? ?

∴y′=

1 ?1 2 ? 2 ?2x -2? ( x +Δ x ) - 2 - 2 ? ? Δx 1 2 Δx 2(Δx) +x· = Δx ? 1 ? ?x+2Δx?=x. ? ?



3? ? ∴y′|x=1=1.∴点 P?1,-2?处切线的斜率为 1,则切线的倾斜角为 45°. ? ? 答案 B 2.已知曲线 y=2x3 上一点 A(1,2),则 A 处的切线斜率等于( A.2 C.6+6Δ x+2(Δ x)2 解析 ∵y=2x ,∴y′= =2 =2
3

).

B.4 D.6 Δy = Δx 2(x+Δx)3-2x3 Δx

(Δx)3+3x(Δx)2+3x2Δx Δx [(Δx)2+3xΔx+3x2]=6x2.

∴y′|x=1=6.∴点 A(1,2)处切线的斜率为 6. 答案 D 3.设 f(x)存在导函数,且满足 (1,f(1))处的切线斜率为( A.2 C.1 解析 f(1)-f(1-2Δ x) =-1,则曲线 y=f(x)上点 2Δ x

). B.-1 D.-2

f(1)-f(1-2Δx) = 2Δx

f(1)-f(1-2Δx) 2Δx

1

=f′(1)=-1. 答案 B 4.曲线 y=2x-x3 在点(1,1)处的切线方程为________. 解析 求出 y=2x-x3 在(1,1)处的斜率为-1,故方程为 x+y-2=0. 答案 x+y-2=0 5.设 f(x)为可导函数,且满足条件 f(1)-f(1-x) =-2,则曲线 y=f(x) 2x

在点(1,f(1))处的切线的斜率是________. 解析 由 答案 -4 6.求过点 P(-1,2)且与曲线 y=3x2-4x+2 在点 M(1,1)处的切线平行的直线. 解 先求曲线 y=3x2-4x+2 在点 M(1,1)处的斜率, k=y′(1)= = 3(1+Δ x)2-4(1+Δ x)+2-3+4-2 Δx (3Δ x+2)=2. f(1)-f(1-x) 1 =- 2 , ∴ 2x 2f′(1)=-2,f′(1)=-4.

设过点 P(-1,2)且斜率为 2 的直线为 l,则由点斜式: y-2=2(x+1),化为一般式:2x-y+4=0. 所以,所求直线方程为 2x-y+4=0. 7.设函数 f(x)在 x=x0 处的导数不存在,则曲线 y=f(x)( A.在点(x0,f(x0))处的切线不存在 B.在点(x0,f(x0))处的切线可能存在 C.在点 x0 处不连续 D.在 x=x0 处极限不存在 解析 函数 f(x)在 x=x0 处的导数不存在,只能说明过点(x0,f(x0))的直线斜率不 存在,此时直线与 x 轴垂直,所以在点(x0,f(x0))处的切线可能存在. 答案 B 1 ?1 ? 8.函数 y=-x 在?2,-2?处的切线方程是( ? ? A.y=4x C.y=4x+4
2

).

).

B.y=4x-4 D.y=2x-4

- 解析 ∵y′=

1 1 + x+Δx x = Δx

Δx x(x+Δx) 1 =x2, Δx

?1? ? 1? ∴f′?2?=4,∴切线方程是 y+2=4?x-2?, ? ? ? ? 得 y=4x-4. 答案 B 9.若曲线 y=2x2-4x+p 与直线 y=1 相切,则 p 的值为________. 解析 设切点为(x0,1),f′(x0)=4x0-4,由题意知,4x0-4=0,x0=1,即切点

为(1,1),所以 1=2-4+p, ∴p=3. 答案 3 1? 1 1 ? 10.已知曲线 y=x -1 上两点 A?2,-2?,B2+Δ x,-2+Δ y,当Δ x=1 时割 ? ? 线 AB 的斜率为________. 解析 ∵Δy=f(2+Δx)-f(2)= Δy 1 ∴kAB= =-6. Δx 1 答案 -6 11.曲线 y=x2-3x 上的点 P 处的切线平行于 x 轴,求点 P 的坐标. 解 设 P(x0,y0), Δ y=(x+Δ x)2-3(x+Δ x)-(x2-3x) =2x· Δ x+(Δ x)2-3Δ x, Δ y 2x·Δ x+(Δ x)2-3Δ x = =2x+Δ x-3. Δx Δx Δy = Δx (2x+Δ x-3)=2x-3, -Δx 1 =-6, 2(2+Δx)

3 9 ∴ y ′ |x = x0 = 2x0 - 3 ,令 2x0 - 3 = 0 得 x0 = 2 ,代入曲线方程得 y0 =- 4 , 9? ?3 ∴P?2,-4?. ? ? 12.(创新拓展)已知抛物线 y=ax2+bx+c 通过点 P(1,1) ,Q(2,-1),且在点
3

Q 处与直线 y=x-3 相切,求实数 a、b、c 的值. 解 ∵曲线 y=ax2+bx+c 过 P(1,1)点,∴a+b+c=1.① ∵y′=2ax+b,∴y′|x=2=4a+b,∴4a+b=1.② 又曲线过 Q(2,-1)点,∴4a+2b+c=-1,③ 联立①②③解得 a=3,b=-11,c=9.

4



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