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高中数学人教a版选修2-3:1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质含解析

学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.在(a-b)20 的二项展开式中,二项式系数与第 6 项的二项式系数相同的 项是( ) B.第 16 项 D.第 18 项 A.第 15 项 C.第 17 项 【解析】 件. 【答案】 B 第 6 项的二项式系数为 C5 20,又 C15 20=C5 20,所以第 16 项符合条 ? ? ? 2 1?n 2.(2016· 吉林一中期末)已知?x + ? 的展开式的二项式系数之和为 32,则 x? ? 展开式中含 x 项的系数是( A.5 C.10 【解析】 ) B.20 D.40 根据题意,该二项式的展开式的二项式系数之和为 32, 则有 2n=32,可得 n=5, Tr+1=Cr x-r=Cr 5x2(5-r)· 5x10-3r, 令 10-3r=1,解得 r=3, 所以展开式中含 x 项的系数是 C3 5=10,故选 C. 【答案】 C 3.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则 a0+a2+a4+…+a2n 等 于( ) 【97270026】 A.2n 3n-1 B. 2 3n+1 2 C.2n+1 D. 【解析】 令 x=1,得 3n=a0+a1+a2+…+a2n-1+a2n,① 令 x=-1,得 1=a0-a1+a2-…-a2n-1+a2n,② ①+②得 3n+1=2(a0+a2+…+a2n), 3n+1 ∴a0+a2+…+a2n= .故选 D. 2 【答案】 D 4.(2016· 信阳六高期中)已知(1+2x)8 展开式的二项式系数的最大值为 a, b 系数的最大值为 b,则 的值为( a 128 256 A. B. 5 7 C. 512 5 D. 128 7 -12r-1, ? 82r≥Cr 8 ?Cr a=C4 8=70,设 b=Cr 82r,则? r r r+1 r+1 ? ?C82 ≥C8 2 , ) 【解析】 得 5≤r≤6, b 128 6 2 6 8 所以 b=C6 2 = C 2 = 7 × 2 ,所以 = .故选 A. 8 8 a 5 【答案】 A 5. 在(x- 时,S 等于( A.23 015 C.23 014 2)2 010 的二项展开式中, 含 x 的奇次幂的项之和为 S, 当 x= ) B.-23 014 D.-23 008 ?x- 2?2 010-?x+ 2 2?2 010 2 【解析】 因为 S= =-23 014. 【答案】 二、填空题 B ,当 x= 2时,S=- 23 015 2 a1 a2 a2 016 6.若(1-2x)2 016=a0+a1x+…+a2 016x2 016(x∈R),则 + 2+…+ 2 016的 2 2 2 值为________. 【解析】 1 a1 a2 a2 016 令 x=0,得 a0=1.令 x= ,得 a0+ + 2+…+ 2 016=0,所 2 2 2 2 a1 a2 a2 016 以 + 2+…+ 2 016=-1. 2 2 2 【答案】 -1 7.若 n 是正整数,则 7n+7n-1C1 n+7n-2C2 n+…+7Cn n-1除以 9 的余数是 ________. 【解析】 7n+7n-1C1 n+7n-2C2 n+…+7Cn n-1=(7+1)n-Cn n=8n-1=(9- 1)n-1=C0 n9n(-1)0+C1 n9n-1(-1)1+…+Cn n90(-1)n-1,∴n 为偶数时,余数为 0;当 n 为奇数时,余数为 7. 【答案】 7或0 8.在“杨辉三角”中,每一个数都是它“肩上”两个数的和,它开头几行 如图 135 所示. 那么, 在“杨辉三角”中, 第________行会出现三个相邻的数, 其比为 3∶4∶5. 【解析】 根据题意,设所求的行数为 n,则存在正整数 k, Ck n-1,Ck n,Ck n+1,有 Ck Ck 4 n-1 3 n = 且 = . Ck 4 Ck n n+1 5 使得连续三项 k 化简得 3 k+1 4 = , = ,联立解得 k=27,n=62. n-k+1 4 n-k 5 故第 62 行会出现满足条件的三个相邻的数. 【答案】 三、解答题 9.已知(1+2x-x2)7=a0+a1x+a2x2+…+a13x13+a14x14. (1)求 a0+a1+a2+…+a14; (2)求 a1+a3+a5+…+a13. 【解】 (1)令 x=1, 62 则 a0+a1+a2+…+a14=27=128.① (2)令 x=-1, 则 a0-a1+a2-a3+…-a13+a14=(-2)7=-128.② ①-②得 2(a1+a3+…+a13)=256, 所以 a1+a3+a5+…+a13=128. ?1 ? ? ? 10.已知? +2x?n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于 37.求展开式中 ?4 ? 二项式系数最大的项的系数. 【解】 由 C0 n+C1 n+C2 n=37,得 ?1 ? 1 ? ? 1+n+ n(n-1)=37,得 n=8.? +2x?8 4 2 ? ? 的展开式共有 9 项,其中 35 数为 . 8 [能力提升] 1.若( ? T5=C4 8? ?1? 35 ?4 4= (2x) x4,该项的二项式系数最大,系 ? 4 8 ? ? 2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则(a0+a2+…+a10)2-(a1 ) B.-1 D.-2 令 x=1,得 a0+a1+a2+…+a10=( 2-1)10, +a3+…+a9)2=( A.1 C.2 【解析】 令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+…+a10=( 故(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2 2+1)10, =(a0+a1+a2+…+a10)(a0-a1+a2-a3+…+a10) =( 2-


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