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2018届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟考试理科数学试题及答案 精品

2017~2018 学年度第二学期高三年级一模 考试 数学(理科)试卷(A 卷)
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题: (本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在四个 选项中,只有一项是符合要求的) 1.设全集为实数集 R, M ? ? x x 2 ? 4? , N ? ?x 1 ? x ? 3? ,则图中阴影部分表 示的集合是( ) B. ? x ?2 ? x ? 2? D. ? x x ? 2?
a?i 为纯虚数” a?i

A. ? x ?2 ? x ? 1? C. ? x 1 ? x ? 2?

2.设 a ? R, i 是虚数单位,则“ a ? 1 ”是“ 的( )

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

3.若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2011 ? a2012 ? 0 , a2011 ? a2012 ? 0 ,则 使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大正整数 n 是( A.2011 B.2012 ) C.4022 D.4023

4. 在某地区某高传染性病毒流行期间, 为了建立指标显示疫情已受控

制,以便向该地区居众显示可 以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续 7 天每天新增感 染人数不超过 5 人” ,根据连续 7 天的新增病例数计算,下列各选项中,一定符合上述指标的是( ①平均数 x ? 3 ;②标准差 S ? 2 ;③平均数 x ? 3 且标准差 S ? 2 ; ④平均数 x ? 3 且极差小于或等于 2;⑤众数等于 1 且极差小于或等于 1。 A.①② B.③④ C.③④⑤ D.④⑤ )

5.在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,对角线 B1D 与平面 A1BC1 相交于点 E,则 点 E 为△A1BC1 的( A.垂心 ) B.内心 C.外心 D.重心

?3 x ? y ? 6 ? 0, ? 6. 设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 若目标函数 z ? ax ? by (a, b ? 0) 的最 ? x, y ? 0, ?

大值是 12,则 a 2 ? b2 的最小值是( A.
6 13

) D.
36 13

B.

36 5

C.

6 5

7.已知三棱锥的三视图如图所示, 则它的外接 球表面积为( ) C.8 ?
1

A.16 ? B.4 ?

D. 2 ?

8. 已知函数 f ? x ? ? 2sin(?x ? ?) (? ? 0, ?? ? ? ? ?) 图像的一部分 (如图所示) ,则 ? 与 ? 的值分别为( A.
11 5? ,? 10 6


7 ? ,? 10 6

B. 1, ?

2? 3

C.

D. , ?

4 5

? 3

9. 双 曲 线 C 的 左 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 且 F2 恰 为 抛 物 线

y 2 ? 4 x 的焦点,设双曲线 C

与该抛物线的一个交点为 A ,若 ?AF1F2 是以 AF1 ) D. 2 ?
3

为底边的等腰三角形,则双曲线 C 的离心率为( A.
2

B. 1 ?

2

C. 1 ?

3

10. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实 数 x1 , x2 ,不等式
x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) 恒成立,则不等式 f (1 ? x) ? 0 的解集为

(

) A. (??,0) B. ?0,??? C. (??,1) D. ?1,???

11.已知圆的方程 x 2 ? y 2 ? 4 ,若抛物线过点 A(0,-1),B(0,1)且以圆 的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是( A. + =1(y≠0) 3 4 C. + =1(x≠0) 3 4 )

x2 y2 x2 y2

B. + =1(y≠0) 4 3 D. + =1 (x≠0) 4 3

x2 y2 x2 y2

12. 设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若 f (0) ? 2008 ,且对任意 x ? R ,满足
) =( f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2x , f ( x ? 6) ? f ( x) ? 63 ? 2x ,则 f (2008

) D.2 2006 ? 2008

A. 2 2006 ? 2007

B.2 2008 ? 2006

C.2 2008 ? 2007

第Ⅱ卷

非选择题

(共 90 分)

二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置) 13.在区间[-6,6],内任取一个元素 xO ,若抛物

? 线 y=x2 在 x=xo 处 的 切 线 的 倾 角 为 ? , 则 ? ? ? , ? 的概率 ? ?4 4 ?

? 3?





14.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是 15. 在 ?ABC 中, P 是 BC 边中点,角 A , B ,C 的对边分别是 a , b , c , 若 cAC ? aPA ? bPB ? 0 ,则 ?ABC 的形状为 。

16.在 x 轴的正方向上,从左向右依次取点列 ?Aj ?, j ? 1,2,?,以及在第 一象限内的抛物线 y 2 ? x 上从左向右依次取点列
3 2

?Bk ?, k ? 1,2,? ,使 ?Ak ?1Bk Ak ( k ? 1,2,? )都是等边三角形,其中 A0 是坐标
原点,则第 2005 个等边三角形的边长是 。

三、解答题(共 6 个题, 共 70 分,把每题的答案填在答卷纸的相应 位置) 17.(本题 12 分) 在△ ABC 中, a, b, c 是角 A, B, C 对应的边,向量 m ? (a ? b, c) , n ? ?a ? b,?c? , 且 m ? n ? ( 3 ? 2)ab . (1)求角 C ; (2) 函数 f ( x) ? 2 sin( A ? B) cos 2 (?x) ? cos( A ? B) sin( 2?x) ? 1 的相邻两个 (? ? 0)
2

极值的横坐标分别为 x0 ?

?
2

、 x 0 ,求 f ( x) 的单调递减区间.

18.(本题 12 分)

已知四边形 ABCD 满足 AD / / BC , BA ? AD ? DC ? BC ? a ,E 是 BC 的中点, 将△BAE 沿 AE 翻折成 ?B1 AE, 使面B1 AE ? 面AECD ,F 为 B1D 的中点. (1)求四棱锥 B1 ? AECD 的体积; (2)证明: B1E / /面ACF ; (3)求面 ADB1与面ECB1 所成锐二面角的余弦值.

1 2

19.(本题 12 分) 现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者 选择,为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定 自己去参加哪个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点 数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (2) 求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概 率; (3)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=

|X-Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望 Eξ.

20.(本题12分) 已知椭圆 C : x 2
a
2

?

( a ? b ? 0 )过点 (2 , 0) ,且椭圆 C y2 ?1 2 b

的离心率为 1 .
2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
N 两点,且 (Ⅱ)若动点 P 在直线 x ? ?1 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M ,

P 为线段 MN 中点,再过 P 作直线 l ? MN .求直线 l 是否恒过定点,如果

是则求出该定点的坐标,不是请说明理由。

21. (本题 12 分) 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 ??e,0? ? ? 0, e? 上 的 奇 函 数 , 当 x ? ? 0, e? 时 ,
f ( x) ? ax ? ln x (其中

e 是自然界对数的底, a ? R )

(1)求 f ( x) 的解析式; ( 2)设 g ( x) ? 成立; (3)是否存在实数 a,使得当 x ???e,0? 时, f ( x) 的最小值是 3 ?如果 存在,求出实数 a 的值;如果不存在,请说明理由。
ln x
1 a ? ?1 时,且 x ? ?? e,0? , f ( x) ? g ( x) ? 恒 ,求证:当 ,x ? ? ?e,0? 2 x

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的 第一题记分.答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 已知 PQ 与圆 O 相切于点 A, 直线 PBC 交圆于 B、 C 两点, D 是圆上一点, 且 AB∥CD,DC 的延长线交 PQ 于点 Q (1) 求证: AC 2 ? CQ ? AB (2) 若 AQ=2AP,AB=
3 ,BP=2,求

QD.

23.(本小题满分 10 分) 选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 ?
? x ? a cos? ? y ? b sin ?

(a>b>0,

? 为参数),以Ο为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线

C2 是圆心在极轴上且经过极点的圆,已知曲线 C1 上的点 M (2, 3) 对应 的参数 ? =
? ? ? , ? ? 与曲线 C2 交于点 D ( 2 , ) 3 4 4

(1)求曲线 C1,C2 的方程; (2)A(ρ1,θ),Β(ρ2,θ+ )是曲线 C1 上的两点,求 的值。
? 2
1

?

2 1

?

1
2 ?2

24.(本小题满分 l0 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 | 2x ? 1 | ? | x ?1 |? log2 a (其中 a ? 0 ) . (1)当 a ? 4 时,求不等式的解集; (2)若不等式有解,求实数 a 的取值范围

2018~2018 学年度第二学期高三年级一模考试

数学(理科)答案 一、选择题 (A)卷 CACDD (B)CCADD 二、填空题 13、
11 12

DBABC

CC

BDACB

CC

14、 ?

1 2

15、等边三角形

16. 2005

三、解答题 17 、 解 : ( 1 ) 因 为
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3ab ,

m ? (a ? b , c ), n ? (a ? b ,?c ), m ? n ? ( 3 ? 2)ab

,所以

故 cos C (2) f

?

3 ,?0 ? C ? ? ,?C ? ? 2 6

.

---------5 分
1 2

(x ) ? 2 sin(A ? B ) cos 2 (?x ) ? cos(A ? B ) sin(2?x ) ?

= 2 sinC cos 2 (?x ) ? cosC sin(2?x ) ? 1 = cos 2 (?x ) ?
6
3 1 sin(2?x ) ? 2 2

2

= sin(2?x ? ? )

----------8 分
?
2

因为相邻两个极值的横坐标分别为 x0 ? 为T
? ? ,? ?1

、 x 0 ,所以 f

( x ) 的最小正周期

所以 f

(x ) ? sin(2x ? ? 2x ?

?
6

)

---------10 分
3? , k ?Z 2 6 3

由 2k? ? ?

?
6

2

? 2k? ?

所以 f ( x) 的单调递减区间为 [k? ? ? , k? ? 2 ? ], k ? Z .

---------12 分
2

18、解:(1)取 AE 的中点 M,连结 B1M,因为 BA=AD=DC= 1 BC=a,△ABE 为等边三角形,则 B1M= AECD, 所以
1 3 ? a3 V ? ? a ? a ? a ? sin ? 3 2 3 4 3 a ,又因为面 2

B1AE⊥面 AECD,所以 B1M⊥面

---------4 分

(2)连结 ED 交 AC 于 O,连结 OF,因为

AECD 为菱形,OE=OD 所以 FO∥B1E, 所以 B1E / /面ACF 。---------7 分 (3)连结 MD,则∠AMD= 90 0 ,分别以 ME,MD,MB1 为 x,y,z 轴建系,则
3 a a ,0) E ( ,0,0) , C (a , 2 2 3 3 a 3a a a ,0) , B 1 (0,0, a ) , 所 以 1 , EB 1 ? (? ,0, ) A (? ,0,0) , D (0, 2 2 2 2 2 a 3a a 3a AD ? ( , ,0) , AB 1 ? ( ,0, ) , 设 面 ECB1 的 法 向 量 为 u ? (x , y , z ) 2 2 2 2

, ,

?a 3 ay ? 0 ? x ? ?2 2 , ? 3 ? a ? x ? az ? 0 ? 2 ? 2

令 x=1,
v ? (1,?

u ? (1,?

3 3 , ) ,同理面 3 3

ADB1 的法向量为 所 以

3 3 ,? ) , 3 3 1 1 1? ? 3 3 3 cos ? u ,v ?? ? , 1 1 1 1 5 1? ? ? 1? ? 3 3 3 3

故面 ADB1与面ECB1 所成锐二面角的余弦值为 3 .--------12 分
5

1 19.解:依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 ,去参 3 2 加乙游戏的概率为 .设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 3
i 1 i 2 4 ?i ( )( ) Ai (i=0,1,2,3,4),则 P( Ai ) ? C 4 3 3

(1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率
8 2 1 2 2 2 P( A2 ) ? C 4 ( ) ( ) ? 3 3 27

3分

(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人 数”为事件 B,则 B ? A3 ? A4 , 由于 A3 与 A4 互斥,故

1 3 1 3 2 4 1 4 P( B) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? C 4 ( ) ( ) ? C4 ( ) ? 3 3 3 9

所以,这 4 个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的 1 概率为 . 9 7分

(3) ξ的所有可能取值为 0,2,4. 由于 A1 与 A3 互斥,A0 与 A4 互斥, 故
P(? ? 0) ? P( A2 ) ? 8 , 27 17 。 81 P(? ? 2) ? P( A1 ) ? P( A3 ) ? 40 81

P (? ? 4) ? P ( A0 ) ? P ( A4 ) ?

所以ξ的分布列是

ξ P

0 8 27

2 40 81

4 17 81

8 40 17 148 ? 2? ? 4? ? 12 分 27 81 81 81 4 0 0) 在椭圆 C 上,所以 2 ? 2 ? 1 , 所以 a 2 ? 4 , 20.解: (Ⅰ)因为点 (2 , a b

随机变量ξ的数学期望 E? ? 0 ?

-------

1分
c a 1 2

因为椭圆 C 的离心率为 1 ,所以 ? ,即
2

a 2 ? b2 1 ? , ------- 2 分 a2 4

解得 b2 ? 3 ,

所以椭圆 C 的方程为
3 3 2 2

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

-------

4分

(Ⅱ)设 P(?1, y0 ) , y0 ? (? , ) , ① 当 直 线 MN 的 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 MN 的 方 程 为 y ? y0 ? k ( x ? 1) ,
M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,

由?

?3x2 ? 4 y 2 ? 12 ,

? y ? y0 ? k ( x ? 1) ,

2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? (8ky0 ? 8k 2 ) x ? (4 y0 ? 8ky0 ? 4k 2 ?12) ? 0 ,

所 以 x1 +x2 ? ?
?

8ky0 ? 8k 2 , 3 ? 4k 2

因 为 P 为 MN 中 点 , 所 以

x1 ? x2 = ?1 , 即 2

8ky0 ? 8k 2 = ? 2. 3 ? 4k 2

所以 kMN ?

3 ( y0 ? 0) , 4 y0

-------

8分

4 y0 4y , 所以直线 l 的方程为 y ? y0 ? ? 0 ( x ? 1) , 3 3 4 y0 1 1 ( x ? ) ,显然直线 l 恒过定点 ( ? , 0) . ------- 10 分 即y?? 4 3 4

因为直线 l ? MN , 所以 kl ? ?

②当直线 MN 的斜率不存在时, 直线 MN 的方程为 x ? ?1 , 此时直线 l 为 x
0) . 轴,也过点 (? , 0) .------- 12 分 综上所述直线 l 恒过定点 (? , 1 4 1 4

21.解: (1) 设 x ?[?e, 0) , 则 ? x ? (0, e] , 所以 f (? x) ? ?ax ? ln(? x) 又因为 f ( x) 是定义在 [?e, 0) (0, e] 上的奇函数,所以 f ( x) ? ? f (? x) ? ax ? ln(? x) 故函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? ?
?ax ? ln(? x), x ?[?e,0) … ?ax ? ln x, x ? (0, e]

2分

(2)证明:当 x ?[?e, 0) 且 a ? ?1 时,
ln(? x) ln( ? x) 1 ? ,设 h( x) ? ?x ?x 2 1 x ?1 因为 f ?( x) ? ?1 ? ? ? ,所以当 ?e ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调 x x f ( x) ? ? x ? ln(? x), g ( x) ?

递 减 ; 当 ?1 ? x ? 0 时 , f ?( x) ? 0 , 此 时 f ( x) 单 调 递 增 , 所 以
f ( x)min ? f (?1) ? 1 ? 0
ln(? x) ? 1 ,所以当 ?e ? x ? 0 时, h?( x) ? 0 ,此时 h( x) 单调 x2 1 1 1 1 递减,所以 h( x)max ? h(?e) ? ? ? ? ? 1 ? f ( x) min e 2 2 2 1 所以当 x ?[?e, 0) 时,f ( x) ? h( x), 即 f ( x) ? g ( x) ? ………………………… 2

又因为 h?( x) ?

6分

(3)解:假设存在实数 a ,使得当 x ?[?e, 0) 时, f ( x) ? ax ? ln(? x) 有最小 值是 3, 则 f ?( x) ? a ? ?
1 x ax ? 1 x 1 x

(ⅰ)当 a ? 0 , x ?[?e, 0) 时, f ?( x) ? ? ? 0 . f ( x) 在区间 [?e, 0) 上单调递 增,
f ( x)min ? f (?e) ? ?1,不满足最小值是3

(ⅱ)当 a ? 0 , x ?[?e, 0) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 [?e, 0) 上单调递增,
f ( x)min ? f (?e) ? ?ae ?1 ? 0 ,也不满足最小值是3
1 1 ( ⅲ ) 当 ? ? a ? 0 , 由 于 x ?[?e, 0) , 则 f ?( x) ? a ? ? 0 , 故 函 数 e x
f ( x) ? ax ? ln(? x)

是 [?e, 0) 上的增函数.所以 f ( x)min ? f (?e) ? ?ae ?1 ? 3 ,解

得 a ? ? ? ? (舍去) ( ⅳ ) 当 a ? ? 时 , 则 当 ?e ? x ?
1 1 时 , f ?( x) ? a ? ? 0 , 此 时 函 数 a x 1 1 f ( x) ? ax ? ln(? x) 是减函数 ;当 ? x ? 0 时, f ?( x) ? a ? ? 0 ,此时 函数 a x
f ( x) ? ax ? ln(? x) 是增函数.

4 e

1 e

1 e

所以 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln(? ) ? 3 ,解得 a ? ?e2 综 上 可 知 , 存 在 实 数 a ? ?e2 , 使 得 当 x ?[?e, 0) 时 , f ( x) 有 最 小 值 3 …………12 分

1 a

1 a

22.(Ⅰ)因为 AB∥CD,所以∠PAB=∠AQC, 又 PQ 与圆 O 相切于点 A, 所以∠PAB=∠ACB, 因为 AQ 为切线,所以∠QAC=∠CBA,所以△ACB∽△CQA,所以 所以 AC 2 ? CQ ? AB ………5 分
BP AP AB 1 ? ? ? ,由 PC PQ QC 3 AC AB ? CQ AC

,

(Ⅱ)因为 AB∥CD,AQ=2AP,所以

AB=

3 ,BP=2



QC ? 3 3 ,PC=6

AP 为圆

O 的切线 ? AP2 ? PB ? PC ? 12 ? QA ? 4 3
16 3 3

又因为 AQ 为圆 O 的切线 ? AQ 2 ? QC ? QD ? QD ? 10 分 23.解: (1)将 M (2, 3) 及对应的参数φ=
? ? 2 ? a cos ? ? 3 , ? ? 3 ? b sin ? ? 3 ?
?a ? 4 x2 y2 所以 ? , 所 以 C1 的方程为 ? ? 1 , 16 4 b ? 2 ?

………

? x ? a cos? ? ? ,? ? ;代入 ? 得 3 4 ? y ? b sin ?

设圆 C2 的半径 R,则圆 C2 的方程为:ρ=2Rcosθ(或(x-R)2+y2=R2), 将点 D ( 2 , ) 代入得:
4

?

∴R=1 分

∴圆 C2 的方程为:ρ=2cosθ(或(x-1)2+y2=1)--------5

(2)曲线 C1 的极坐标方程为:

? 2 cos2 ?
16

?

? 2 sin 2 ?
4

? 1 ,将 A(ρ1,θ),

? ?12 cos2 ? ?12 sin 2 ? ? ?1, Β(ρ2,θ+ )代入得: 2 16 4

? ? 2 2 cos2 (? ? )
16
1 1

2 ?

? ? 2 2 sin 2 (? ? )
4

2 ?1

cos2 ? sin 2 ? sin 2 ? cos2 ? 1 1 5 所以 2 ? 2 ? ( ? )?( ? )? ? ? ?1 ?2 16 4 16 4 16 4 16



1

?

2 1

?

1

?

2 2

的值为

5 。 16

--------10 分

24.解:(Ⅰ)当 a=4 时,不等式即|2x+1|-|x-1|≤2,当 x < ? 不等式为-x-2≤2, 等式为 3x≤2,解得? 此时 x 不存在. 综上,不等式的解集为{ x | ? 4 ≤ x ≤ }
2 3

1 时, 2



得? 4 ≤ x < ?

1 1 ; 当? ≤ x ≤ 1 时,不 2 2

1 2 ≤ x ≤ ;当 x>1 时,不等式为 x+2≤2, 2 3

--------5 分
x?? ? 1 2

?? x ? 2 ? 3x (Ⅱ)设 f(x)=|2x+1|-|x-1|= ? ?x ? 2 ?
故f (x) 的最小值为? 解得 a ≥
2 , 4 2 ,??) 。 4

1 ? x ?1 2 x ?1

3 3 , 所以, 当f ( x) ≤log2a 有解, 则有 log 2 a ? ? , 2 2

即 a 的取值范围是 [

--------10 分
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