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人教新课标A版高二数学《选修1-1》3.1.3 导数的几何意义


第三章 导数及其应用 §3.1 变化率与导数 3.1.3 导数的几何意义 1.函数y=f(x )在点x0处的导数的几何意义 (1)几何意义:是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的 斜率 _____. y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) (2)相应的切线方程:_____________________. 2.导函数的概念 y? ? f ? ? x ? ? lim (1)定义式: ?x ?0 f ? x ? ?x ? ? f ? x ? . ?x (2)f′(x0)与f′(x)的区别:f′(x0)是一个确定的数,f′(x)是随x的 变化而变化的一个函数. 1.曲线在某点处的切线与曲线的公共点是否只有一个? 提示:不一定.曲线在某点处的切线只是一个局部概念,是该 点处割线的极限情况,在其他地方可能还有公共点. 2.导数与切线有何联系? 提示:函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)是曲线f(x)在x=x0处的切 线的斜率,即k=f′(x0). 3.设曲线y=f(x)=ax2在点(1,a)处的切线 与直线2x-y-6=0平行,则a=________. 【解析】f′(x)= = lim a ? x ? ?x ? ? ax 2 lim ?x ?0 ?x 2 2 2ax?x ? a ? ?x ? ? lim ? 2ax ? a?x ? ? 2ax, ?x?0 ?x?0 ?x 由题意得f′(1)=2,故2a=2,∴a=1. 【答案】1 1.导数的几何意义 如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意 一点, Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM∥x 轴,QM∥y轴,β为PQ的倾斜角. y y=f(x) Q ?y P O ? ?x M x 则MP=Δx,MQ=Δy, ?y ?x ?y =tanβ.显然, ? x 是割线PQ的斜 率.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时, 割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲 线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0 时,割线PQ的斜率称为曲线在点P处的切线的斜率. 即k切线=f′(x0)= f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?y ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x lim 这个概念:(1)提供了求曲线上某点切线的斜率的 一种方法;(2)说明了切线斜率的本质——函数在 x=x0处的导数. 2.“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、 “导数”之间的区别与联系 (1)区别 ①函数在一点处的导数,就是在该点附近的函数 值的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是 一个常数,不是变量. ②函数的导数,是对某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数f′(x). (2)联系:函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函 数f′(x)在x=x0处的函数值,即f′(x0)=f′(x)|x=x0.这也 是求函数在点x0处的导数的方法之一.所以,求函 数在一点处的导数,通常是先求出函数的导函数, 再计算这点的导函数值. 题目类型一、求切线方程 【技法点拨】 1.求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程的三 个步骤 (1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0),即切线 的斜率(关键词:斜率). (2)根据直线的点斜式方程,写出切线方程:yf(x0)=f′(x0)(x-x0)(关键词:写

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