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2014-2015(1)概率统计(A)解答


院、系领导 审批并签名

A 卷

广 州 大 学 2014-2015 学 年 第 一 学 期 考 试 卷 解 答
课 程:概率论与数理统计(48 学时) 考 试 形 式:闭卷考试

学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________ 题 次 分 数 得 分 一 15 二 15 三 8 四 8 五 10 六 14 七 10 八 10 九 10 总 分 100 评卷人

一、选择题(每小题 3 分,总计 15 分) 1.抛一枚硬币, 重复抛 4 次, 则恰有 1 次出现正面的概率是( D ). 1 1 1 1 (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 16 6 10 4 2.设 A, B 是两事件,且 0 ? P( A) ? 1,则下面结论中错误的是( B ). (A) P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) ; (B) P( B) ? P( B | A) ? P( B | A) ; (C) P( A ? B) ? P( A) ? P( AB) ; (D) P( A ? B) ? P( A) ? P( AB) . 3.设 P( A) ? 0.6, P( AB) ? 0.1, P( B) ? 0.5 ,则 P( A ? B) ? ( D ). (A) 1; (B) 0.9; (C) 0.8; (D) 0.5. 4.设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布概率为

X 1 2 3
A. 1/3; B. 5/12;

Y

1 1/4

2 1/6 1/3

a
1/12 ). C. 1/6;

b
D. 2/3.

则 P{X ? Y ? 4} ? ( B

5. 设 X ~ N (2, 12) , 若 Y ? ( B ), 则 Y ~ N (0, 1) .
X ?2 ; 12

(A)

(B)

X ?2 2 2

;

(C)

X ?2 ; 12

(D)

X ?2 2 2

.

第 1 页 共 5 页《概率论与数理统计》A 卷

二、填空题(每小题 3 分,总计 15 分) 1.每次试验中 A 出现的概率为 p , 在三次试验中 A 出现至少一次的概率是 98/125, 则 p ? __2/5___ . 4 2.若 X ~ b(n , p) ,且 E ( X ) ? 1, D ( X ) ? ,则 P( X ? 1) = 0.67 . 5 ?cx3 , 0 ? x ? 1 3.设随机变量 X 的密度函数 f ( x) ? ? , 则常数 c ? _4______. 其它 ?0, 4.设 X 与 Y 相互独立, D(X)=3, D(Y)=2,则协方差 cov(2X+Y, X-2Y)= 2 . 5.设 X ~ N (3,18), X 1 ,..., X 16 为 X 的一个样本,则样本均值 X 的方差为 9/8 .

三、 (本题满分 8 分) 有两个口袋,甲袋中盛有 3 个白球,1 个黑球;乙袋中盛有 1 个白球,2 个黑球.由 甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋任取一球,问取得白球的概率是多少? 解: 设事件 A1 为 “由甲袋中取一球为白球”,事件 A2 为 “由甲袋中取一球为黑球”, 事件 B 为“由乙袋中取一球为白球”,则

1 1 3 1 , P ( A2 ) ? , P( B | A1 ) ? , P( B | A2 ) ? 4 4 2 4 由全概率公式
P ( A1 ) ?

??(4 分)

P( B) ? P( A1)P(B | A1) ? P( A2 )P(B | A2 )
? 3 1 1 1 7 ? ? ? ? 4 2 4 4 16

???(8 分)

四、 (本题满分 8 分) 300 台机床正在加工某种零件,机床在某时段出现故障的概率为 0.004,求机床在 这时段内出现故障数不大于 1 的概率。 解:设 X 表示机床在某时段出现故障数目,则 X ~ b(300,0.004) ,???(3 分)
1 P( X ? 1) ? 0.996300 ? C300 0.004? 0.996299

? e ? 1.2e (8 分)

?1.2

?1.2

? 2.2e

?1.2

??????(7 分)

五、 (本题满分 10 分) 设随机变量 X 的分布函数为

x ?1 ?0 ?4 1? x ? 2 ? ? F ( x) ? ?17 11 2? x?3 ? ?17 ? x?3 ?1

第 2 页 共 5 页《概率论与数理统计》A 卷

(1)求 X 的概率分布律; (2)求 E (2 X ? 1) . 解: (1)由 F ( x) 是一个阶梯型函数,知 X 是一个离散型随机变量, F ( x) 的跳跃点 分别为 1,2,3,对应的跳跃高度分别为 4/17,7/17,6/17. 故 X 的概率分布为 X 1 2 3 ------5 分 4 7 6 P 17 17 17 (2)E(2X+1)=(2+1)*4/17+(2*2+1)*7/17+(2*3+1)*6/17=89/17.------10 分 六、 (本题满分 14 分) 设连续型随机变量 X 的概率密度为 ?x ? A 0 ? x ? 1 f ( x) ? ? 其它 ? 0 (1)求常数 A ; (2)求数学期望 E ( X ) ; (3)求方差 D( X ) . 解: (1)由 ?
1

?? ??

f ( x)dx ? 1 得

(2) (3)

x2 ? Ax |1 0 ? 0.5 ? A ? 1, A ? 0.5 A ? 1 .------4 分 ?0 2 1 1 x3 x 2 1 1 1 7 E ( X ) ? ? x( x ? )dx ? ( ? ) ? ? ? .------8 分 0 2 3 4 0 3 4 12 1 1 1 4 x3 1 1 1 5 2 2 E ( X ) ? ? x ( x ? )dx ? ( x ? ) ? ? ? .------11 分 0 2 4 6 0 4 6 12 5 72 11 D( X ) ? E ( X 2 ) ? E ( X ) 2 ? ? 2 ? .------14 分 12 12 144 ( x ? A)dx ?

七、 (本题满分为 10 分) 设随机变量 X 与 Y 独立,下表列出二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律及其边缘分布 律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处:
X
Y

1

2

3
1 24 1 8 1 6

pi .
1 4 3 4

1 1 8 12 3 1 2 8 4 1 1 p. j 2 3 (每对一空格 1 分,全对 10 分)
1

1

第 3 页 共 5 页《概率论与数理统计》A 卷

八、 (本题满分 10 分) 某种型号元件的寿命 X (单位:年) 服从指数分布, 其参数? =ln2.购买这种元件 100 个, 求使用 1 年后有效的元件数在 40?60 之间的概率. 【提示: 利用中心极限定理】 附表:标准正态分布数值表 ?( z) ? z ? z 解: 0 0.5 0.692 1.0 0.841 0.500 ?(z) 所求概率为
?

??

1 ?u2 /2 e du 2? 1.5 2.0
0.977

2.5 0.994

3.0 0.999

0.933

P( X ? 1) ? ?1 ?e ??x dx ? e ?? ? e ?ln 2 ? 0.5

??????????? 3 分

(2) 以 Y 表示购买的 100 个元件使用 1 年后有效的元件数, 则 Y ~ b(100, 0.5). E(Y) =100? 0.5 =50, D(Y) =100? 0.5? (1? 0.5) =25 由中心极限定理, Y * ? ??????????? 5 分

Y ? EY 近似服从标准正态分布. 故 D(Y )

P(180 ? Y ? 220 ) ? P(

40 ? 50 Y ? 50 60 ? 50 ? ? ) 5 5 5 = P(? 2 ? Y*? 2)

= ?(2) ? ?(? 2) = 2 ?(2) ? 1 = 2? 0.977 ? 1 = 0.954

??????????? 8 分

??????????? 10 分

九、 (本题满分 10 分) 设总体 X 服从正态分布 N ( ? ,16) , x1 , x2 ,?, xn 是来自总体 X 的一组样本观察值,求 参数 ? 的最大似然估计值. 解:似然函数为
L( x1 ,..., x n ; ? ) ? ?
i ?1 n

1 4 2?

e

( x ?? )2 ? i 32

? (4 2? ) ?n exp{?

? (x
i ?1

n

i

? ?)2 } -----------5 分

32

取对数得

第 4 页 共 5 页《概率论与数理统计》A 卷

ln L( x1 ,..., xn ; ? ) ? ?n ln 4 d ln L( x1 ,..., x n ; ? ) ? d? ? ? x, 最大似然估计为 ?
n

? 2? ?
16

n

i ?1

( xi ? ? ) 2 32
----------------------------8 分

?i?1 ( xi ? ? )

?0
--------------------------10 分

第 5 页 共 5 页《概率论与数理统计》A 卷



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