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推荐-上海市七宝中学2018-2018学年度第一学期期中考试高三数学试卷(理) 精品

上海市七宝中学 2018 学年度第一学期期中考试
高三数学试卷
题号 得分 1—11 12—15 16 17 18

(理 )
19 20 21 总分

一、填空题(每题 4 分,共 44 分) 1、方程 9x ? 6 ? 3x ? 7 ? 0 的解是 . 。

2、若 A ? ?5,log2 (a ? 3)?, B ? ?a, b?. 若 A ? B ? ?1 ? ,则 A ? B ? 3、已知 f ( x) 为 R 上的减函数,则满足 f ?

?1? ? ? f (1) 的实数 x 的取值范围是 ? x?



2 4、已知集合 A ? x | x ? a ≤ 1 , B ? x x ? 5 x ? 4 ≥ 0 .若 A

?

?

?

?

B ? ? ,则实数 a 的取

值范围是



5、若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ?10n(n ? 1 , 2, 3, ) ,数列 ?nan ? 中数值最小的项是第 项.

? 2n ? 1 ? 1 ? n ? 100 ? n ?1 ( p 为常数) 6、已知 an ? ? ,则 lim an ? n ?? 1 n ? 101 p ?(1 ? ) ? n ?



7、已知 x ? 0 , y ? 0 , x,a,b,y 成等差数列, x,c,d,y 成等比数列,则 最小值是 。

( a ? b) 2 的 cd

* 8、已知数列 ?an ? 对于任意 p,q ? N ,有 a p ? aq ? a p ?q ,若 a1 ?

1 ,则 a36 ? 9



9、命题“对任意的 x ? R , x ? x ? 1≤ 0 ”的否命题是:
3 2

。 10、若函数 f ( x) ?

2x

2

? 2 ax ? a

? 1 的定义域为 R ,则 a 的取值范围为_____
n

. … π n. 若 数 列

11 、 记 数 列 {an } 前 n 项 的 积 为 π

= a1a2 … an , 设 ?n = π

1π 2

1 an ? 2 0 0 8 ( n ?)1 , n 为正整数,则使 ?n 最大的 n 的值为 2



二、选择题(每题 4 分,共 16 分) 12、 已知函数 f ( x) ? ? A. {x | x ? ?1}

1 ,g ( x) ? lg(1 ? x) 的定义域分别为 M , N 。 则M 1? x
B. {x | x ? 1} C. {x | ?1 ? x ? 1} D. ?

N= (



1 13、 若函数 f ( x) 的反函数为 f ? ,则函数 f ( x ? 1) 与 f ?1 ( x ?1) 的图象可能是( ( x)



y
2 1 2 1 1 2

y
2 1 1 B. 2

y
2 1 1 C. 2

y

O

x

O

x

O

x

O

1 D.

2

x

A.

2 an ?1 14、 若数列 {an } 满足 2 ,则称 {an } 为“等方比数列” . ? p ( p 为正常数, n ? Z ? ) an

甲:数列 {an } 是等方比数列;

乙:数列 {an } 是等比数列,则(



A.甲是乙的充分条件但不是必要条件;B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件; D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

15、定义在 R 上的函数 f ( x) 既是奇函数,又是周期函数,T 是它的一个正周期.若将方程

f ( x) ? 0 在闭区间 [?T,T ] 上的根的个数记为 n ,则 n 可能为(
A.0 三、解答题: B.1 C.3 D.5



? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ? 16、 (满分 12 分)解不等式组: ? x ?1 ? ? x ?1

17、 (满分 12 分)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程 中,室内每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时间 t (小时)成正比;药物释放完毕后,

y 与 t 的函数关系式为 y ? 16a ? ?

?1? ,如图所示。试求: ? ( a 为常数) ? 16 ?

t

(I)从药物释放开始,写出每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时间 t (小时)之间的函 数关系式; (II)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时, 学生方可进教室,那么药物释放开始,试问至少需要经过多少小时 后,学生才能回到教室?

y (毫克)

1

O 0.1

t (小时)

18、 (满分 14 分)已知 f ( x) ? x ? k ? x ? 2k (k ? 0) (1)当 x ? R , k 为常数时,求 f ( x) 的最小值,并指出取到最小值时的 x 值; (2)当 x ? N 时,且对任意的 x ,都有 f ( x) ? f (3) ? f (4) 都成立,试求 k 的取值范围。
?

19、 (满分 14 分)设函数 f ( x) ? lg

ax ? 5 的定义域为 A ,若命题 p : 3 ? A 与命题 q :1? A x2 ? a

有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围。

20、 (满分 18 分)已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1, a2 ? a ? 1(a ? 1, a 为常数) ,前 n 项和 Sn 恒为 正值,且当 n ? 2 时,

1 1 1 ? ? Sn an an?1

(1)证明 ?Sn ? 是等比数列; (6 分) (2)求 ?an ? 的通项公式; (4 分) (3)试比较

an ? an ? 2 与 an ?1 的大小,并给出证明。 (8 分) 2

21、 (满分 18 分) 已知定义域为 ?0,1? 的函数 f ( x) 同时满足以下三条: (1) 对任意的 x ??0,1? , 总 有

f (x ? )
2

(; 2 ) f (1) ? 1 ; ( 3 ) 若 x1 ? 0 , x2 ? 0 x 则 1有 0 ,1 ? x2 ? ,

f ( 1x?

x )?

( f

1

x ? )

成立。解答下列各题: ( f2 x )

(Ⅰ)求 f (0) 的值; (4 分) (Ⅱ)函数 g ( x) ? 2 x ? 1在区间 ?0,1? 上是否同时适合(1) , (2 ) , (3)?并给出证明; (6 分) (Ⅲ) 假定存在 x0 ??0,1? , 使得 f ( x0 ) ??0,1? 且 f ? f ( x0 )? ? x0 , 试求出 f ( x0 ) 的解析式, 并 说明理由。 (8 分)

上海市七宝中学 2018 学年度第一学期期中考试
高三数学试卷参考答案
一、填空题

(理 )

1、 log3 7 ;2、

0) ??1,1,5? ; 3、 (??,

(1, ? ?) ;4、 (2, 3)
3

;5、 3

项;

6、1;7、4;8、 4 ; 二、选择题

9、存在 x0 ? R ,使 x0

(理)22(文) 11; , 0? ;11、 ? x02 ? 1 ? 0 ;10、??1

12、 (C)13(A )14(B)15(D) 三、解答题:

16、解:由 x

2

? 3x ? 4 ? 0 得 x ? R ;由
1 )。 2

x 1 ? 1 ,分类讨论得 x ? ( ?1, ? ) ; 2 x ?1

所以原不等式的解: x ? ( ?1, ?

17、解: (1)依题意,两函数都经过点 ?

1 ? 1 ? ,1 ? ,药物释放过程中, y ? 10t (0 ? t ? ) ,药物释放完 10 ? 10 ?

? 10t 1 1 t ?10 1 ? (t ? ) ,所以 y ? ? 1 t ? 1 毕后, y ? ( ) 10 16 10 ?( ) ? 16
(2)当空气中每立方米的含药量降低到

(0 ? t ?

1 10

1 (t ? ) 10



0.25 毫克以下时,学生方可进教室,由

1 t? 1 0.25 ? ( ) 10 ? t ? 0.6 16
18、解: (1)

f ( x) ? x ? k ? x ? 2k ? 2k ? k ? k ,当且仅当 k ? x ? 2k 时取等号;
? k ? 3 ? 2k ? 2 ? k ? 3 ,所以 k ?? 2,3? ?k ? 4 ? 2k
3? A
,则有

(2)由题意得: ?

19 、 解 : 设 由 题 意 得 : 当

3a ? 5 5 ? 0 ? a ? ( , 9; ) 当 q :1? A 9?a 3
q
假 , 则

,则有

a ?5 ? 0或a=1 ? a ? 5 或a ? 1; 1? a



P



?5 ? a ? ? ,5 ? ?3 ?

; 若

P



q

真, 则

a ??9, ??? ? ? ??,1? ;
故: a ? ?

?5 ? ,5 ? ??9, ??? ? ? ??,1? ?3 ?
? 2 时,

20、解: (1)当 n

1 1 1 1 1 ? ? ? ? , Sn an an ?1 Sn ? Sn ?1 Sn ?1 ? Sn

化简得: Sn

2

? Sn?1Sn?1 (n ? 2), 又由 a1 ? 1, a2 ? a ?1 可求得 a3 ? a(a ?1),

?S1 ? 1, S2 ? a, S3 ? a2 ,
2 ? 当 n ? 2 时, Sn ? Sn?1Sn?1 恒成立.

而 Sn 恒为正值,故

?Sn ? 是等比数列,公比为 a.

2 ? 当 n ? 2 时, Sn ? Sn?1Sn?1 恒成立,

而 Sn 恒为正值,故

?Sn ? 是等比数列,公比为 a。

(2) a1

1, n ? 1; ? ? 1,? an ? ? n?2 n ? 2. ?? a ? 1? ? a

1 ? a ? a ? 1? a1 ? a3 ? a2 ? ? ? a ? 1? 2 2 2 a 2 ? 3a ? 3 1 ?? 3 ? 3? 3 ? ?? a ? ? ? ? ? , (3)当 n=1 时, ? 2 2? 2 ? 4? ?? ? 8 ? a1 ? a3 ? a2 . 2

an ? an ? 2 ? an ?1 2 当 n ? 2 时, (a ? 1)a n ? 2 ? (a ? 1)a n (a ? 1)3 a n ? 2 ? ? (a ? 1)a n ?1 ? , 2 2

Sn ? an?1 恒为正值,
? a ? 0 且 a ? 1,

? 若 0<a<1,则

an ? an ? 2 ? an ?1 ? 0; 2 an ? an ? 2 ? an ?1 ? 0 若 a ? 1 时,则 2 an ? an ? 2 ? an ?1 ; 总之,当 n=1 时,则 2 an ? an ? 2 ? an ?1 ; 当 n ? 2 时,若 0<a<1 时,则 2 an ? a n ? 2 ? an ?1. 若 a>1, 2

21 、 (理)解: (Ⅰ)取

x1 ? x2 ? 0 得 f ? 0? ? f ? 0? ? f ? 0? ? f ? 0? ? 0, 又由 (1) f ? 0? ? 0,故

f ? 0? ? 0 .

(Ⅱ)显然 g 若 x1

? x? ? 2x ?1, 在 ?0,1? 上满足 ?1? g ? x? ? 0,(2) g ?1? ? 1 .

? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1,



? 2x1 ? x2 ? 2x1 ? 2x2 ? 1 ? ? 2x2 ? 1?? 2x1 ? 1? ? 0,
(2 ) (3 ) ? x ? 适合(1)

x1 ? x2 x1 x2 g ? x1 ? x2 ? ? ? ?1 ? ? ? g ? x1 ? ? g ? x2 ?? ??2 ?2 ? 1 ? 2 ? 1? ?

故g

(Ⅲ)猜想 事实上,

f ( x0 ) ? x0 。由(3)知任给 m, n ??0,1? , m ? n 时 f ? m? ? f ? n? .

m, n ??0,1?, m ? n 知 n ? m ??0,1? ,

? f ? n? ? f ? n ? m ? m? ? f (n ? m) ? f (m) ? f (m).
若 x0 若 x0 故 x0

? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ? f ? f ( x0 )? ? x0 , 前后矛盾;
? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ? f ? f ( x0 )? ? x0 , 前后矛盾;

? f ( x0 ).
f ( x) ? 2 | x ? m ? 1| 满足 f (2) ? ?2 ,可得 m ? 1 或 m ? ?3 ; x?4 2| x| 2| x| ,由题意只需研究 f ( x ) ? 在 x ? (?? , 0] 上的单调性, x?4 x?4

21、 (文)解: (1)函数 又m

? 0 ,所以 m ? 1 .

(2)因为 m 该函数在区间

? 1 ,所以 f ( x ) ?

? ??,0? 内为单调递增函数.
? x2 ? 0 ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
? 2 x1 ? 2 x2 8( x1 ? x2 ) ? ? x1 ? 4 x2 ? 4 ( x1 ? 4)( x2 ? 4)

证明:任取 x1

由于 x1

? x2 ? 0 ,? x1 ? x2 ? 0 , x1 ? 4 ? 0 , x2 ? 4 ? 0 ,

?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
y ? f ( x) 在区间 ? ??,0? 为增函数.
2| x| ? kx ----① x?4 2 2 ?0 ? x ? 4? , x?4 k

故函数

(3)原方程即为

1?

显然, x 当x

? 0 恒为方程的 1 个解;

2?

? 0 时,①式等价于: k ?

所以,当 4 ?

2 1 ? 1? ? 0 ? 0 ? k ? ,即当 k ? ? 0, ? 时方程在区间 ? ??,0? 有 1 个解,此外无解; k 2 ? 2?
2 2 ? 0 ? x ? 4? x?4 k

3?
由x

当x

? 0 且 x ? 4 时,①式等价于: k ?

? 4?

2 1 1? ? ? 0 ? k ? ? 或 k ? 0 .所以,当 k ? ? ??, ? ? k 2 2? ?

? 0, ?? ? 时,

原方程在区间 所以当 0 ?

?0, ??? 有 1 个实数解,此外无解.
1 时,有三个解。 2
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k?



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