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福建省厦门市双十中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题Word版含解析


福建省厦门市双十中学 2016-2017 学年高一下学期期中 考试试题

A. 3

B. 2

C. 1

D.

5 2


5.已知 tan ?? ? ? ? ?

2 ?? ?? ? 1 ? , tan ? ? ? ? ? ,则 tan ? ? ? ? 等于( 3 6? ?6 ? 2 ? 1 8
D.

数学
注意 事项: 1 .答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形

A.

1 4

B.

7 8

C.

7 9

6.函数 y ? Asin ?? x ? ? ? ? A

? ?

0, ?

0, ?

??

? 的部分图像如图所示,则( 2?





码粘贴在答题卡上的指定位置。 2 .选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。



3 .非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4 .考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 A. f ? x ? 的一个对称中心为 ?



? 4? ? ,0? ? 3 ?
1 ? 对称 12

第 I 卷(选择题) 订
一、单选题 1. cos

B. f ? x ? 的图像关于直线 x ? ? C. f ? x ? 在 ? ?? , ?

7? 的值为( 6

? ?

??
? 2

? 上是增函数 2?



D. f ? x ? 的周期为

A.

1 1 3 3 B. ? C. D. ? 2 2 2 2
b ,则 b =()



7.如图,在圆 C 中,点 A,B 在圆上, AB · AC 的值()

2.已知 a ? ? 2, ?1? , b ? ? x,3 ? ,且 a



A. 3

B. 5

C.

5

D. 3 5

班级姓名准考证号考场号座位号

1 ? tan 2 75 3. 的值是( tan75
2 3 A. 3 2 3 B. ? 3



A.只与圆 C 的半径有关; B.只与弦 AB 的长度有关 D. ?2 3



C. 2 3

C.既与圆 C 的半径有关,又与弦 AB 的长度有关 D.是与圆 C 的半径和弦 AB 的长度均无关的定值 8. 函数 y ? sin 2 ? x ? 则 m 的最小值为( A. )



4.如图,四边形 ABCD 是正方形,延长 CD 至 E ,使得 DE ? CD ,若点 P 为 BC 的中点, 且 AP ? ? AB ? ? AE ,则 ? ? ? ? ()

? ?

??

所得图像关于 y 轴对称, ? 的图像沿 x 轴向右平移 m 个单位 (m ? 0) , 4?

?

B.

3? 4

C.

? 2

D.

? 4

9. 过 x 轴上一点 P 作 x 轴的垂线, 分别交函数 y ? sinx, y ? cosx, y ? tanx 的图像于 P 1, P 2, P 3, 若 PP3 ?

16. 如图, 在直角梯形 ABCD 中, AB CD, AB ? BC, AB ? 2, CD ? 1, BC ? a ? a

0? ,P

3 PP2 ,则 PP 1 =() 8 1 3
B.

为线段 AD (含端点)上一个动点,设 AP ? xAD, PB ? PC ? y, 对于函数 y ? f ? x ? ,给出以下三

A.

1 2

C.

3 3 ? ?

D.

2 2 3 ? 4? ? ? 4? ? 上单调递增,在 ? 0 ? 在 ? 0, , 2? ? 上单调递 ? ? 3 ? ? 3 ?


个结论: ①当 a ? 2 时,函数 f ? x ? 的值域为 1, 4 ; ②对于任意的 a ③对于任意的 a

? ?

10.已知函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? 减,当 x ?

??

? ?? 6?

0 ,均有 f ?1? ? 1; 0 ,函数 f ? x ? 的最大值均为 4.

?? ,2? ? 时,不等式 m ? 3 ? f ? x? ? m ? 3 恒成立,则实数 m 的取值范围为(
B.

其中所有正确的结论序号为__________. A. ? ,1? ?2 ?

?1 ?

? ??, ?2?

C. ? ? , 4 ? ? 2 ?

? 5

?

D. ? ?2, ? 2

? ?

7? ?

11.已知函数 f ? x ? ? asinx ? bcosx (a, b 为常数, a ? 0, x ? R) ,在 x ? 则函数 y ? f ? x ?

?
4

处取得最大值,

? ?

??

? 是( 4?



A. 奇函数且它的图像关于点 ?? ,0? 对称

B. 偶函数且它的图像关于点 ?

? 3? ? , 0 ? 对称 ? 2 ?

三、解答题 17.在平面直角坐标系 xOy 中,若角 ? 的始边为 x 轴的非负半轴,其终边经过点 P ? 2,4? . (1)求 tan ? 的值;

C. 奇函数且它的图像关于点 ?

? 3? ? , 0 ? 对称 ? 2 ?

D. 偶函数且它的图像关于点 ?? ,0? 对称
3

12.已知 ? ? ?

?? ? ? 3? ? ? ? ? ? , ? , ? ? ? ? ,0 ? ,且 ? ? ? ? ? sin? ? 2 ? 0,8? 3 ? 2cos2 ? ? 1 ? 0 , 2? ?2 2 ? ? 2 ? ?


2sin ?? ? ? ? ? 2cos 2
(2)求

?
2

?1
的值

?? ? 2sin ? ? ? ? 4? ?

则 sin ?

?? ? ? ? ? 的值为( ?2 ?
A. 0 B.

18.根据平面向量基本定理,若 e1 , e2 为一组基底,同一平面的向量 a 可以被唯一确定地表示 为 a = xe1 ? ye2 , 则向量 a 与有序实数对 ? x, y ? 一一对应, 称 ? x, y ? 为向量 a 的基底 e1 , e2 下的坐标; D. 1 特别地,若 e1 , e2 分别为 x, y 轴正方向的单位向量 i , j ,则称 ? x, y ? 为向量 a 的直角坐标. (I)据此证明向量加法的直角坐标公式:若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则

2 2

1 C. 2

第 II 卷(非选择题)
二、填空题 13.已知 a ? 4, b ? 3, a ? b ? 37 ,则向量 a 与 b 的夹角是__________. 14.已知

a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ;
3? 12 3 ,cos ?? ? ? ? ? ,sin ?? ? ? ? ? ? ,则 cos2? ? __________. 4 13 5

?
2

C 点在 AB 上, ?AOB ? 90 , OA ? 1, OB ? 3 , (II) 如图, 直角 ?OAB 中, 且 OC ? AB ,
求向量 OC 在基底 OA, OB 下的坐标.

?

?

15.已知直线 y ? a ? 0 为 x1 , x2 , x3 , ???, x12 ,且 x1 ?

a 1? 与函数 f ? x ? ? sin? x 在 y 轴右侧的前 12 个交点横坐标依次
, x2 ? 3? 9? , x3 ? ,则 x1 ? x2 ? x3 ???? ? x12 ? __________. 4 4

?
4

19.已知函数 f ? x ? ? sin 2? x ? 2 3cos? xsin? x ?sin ? ? x ?

? ?

??

?? ? ? sin ? ? x ? ? (? ? 0) ,且 4? ? 4?

f ? x ? 的最小正周期为 ? .
(1)求 ? 的值; (2)求函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ? ? 上单调增区间. 20.在平面直角坐标系中, O 为坐标原点, A, B, C 三点满足 OC ? (I)求证: 三点共线;

1 2 OA ? OB . 3 3

(II)已知





最小值为

,求实数

的值. 满足 ,且 ,令 f ? k ? ? a ? b .

21.已知向量

(I)求 f ? k ? ? a ? b (用 k 表示);
2 (II)若 f ? k ? ? x ? 2tx ?

1 对任意 k 2

0 ,任意 t ? ? ?1,1? 恒成立,求实数 x 的取值范围.
4 13 ?? ? sin2 x ? 1 ,若 f ? ? ? 2 ? 9 9 ?4?

22.已知函数 f ? x ? ? a sinx ? cosx ?

?

?

(1)求 a 的值,并写出函数 f ? x ? 的最小正周期(不需证明); (2)是否存在正整数 k ,使得函数 f ? x ? 在区间 0, k? 内恰有 2017 个零点?若存在,求出

?

?

k 的值;若不存在,请说明理由.

福建省厦门市双十中学 2016-2017 学年高一下学期期中 考试试题

∴ AP =(1,

1 ), 2


? ? ? ?1
∴{

数学答案
1.D 【解析】 试题分析: cos

??

1 2

7? ? ? 3 ? cos(? ? ) ? ? cos ? ? , 故选 D. 6 6 6 2

3 2 , 解得: { 1 ?? 2

??

∴λ+μ=2, 故选:B. 5.C

考点:诱导公式. 2.D 【解析】∵ a ? ? 2, ?1? , b ? ? x,3? ,且 a ∴ 6 ? x ? 0 ,即 x ? ?6 ∴ b = 36 ? 9 ? 3 5 故选:D 3.D

b,

【解析】 tan ? ? ?

? ?

??

?= 6?

?? ? 2 1 tan ?? ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? ?? 6 ? ? ? ? 3 2 ? 1 ,选 C tan ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2? 1? 8 6? ? ? 1 ? tan ?? ? ? ? ? tan ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 6? 3? 2? ?
2 ? 3 3 ? ?2 3 .
6.A

1 ? tan 2 75 2 【解析】 ? ? tan75 tan150?
故选:D 4.B

【解析】由题意,设正方形的边长为 1,建立坐标系如图,

? )的部分图象, 2 T ? 5? ? ? ? 可得 A=3, = = ﹣ ,∴ω =2,再根据五点法作图可得 2× +φ=π,∴φ= , 2 ? 6 3 3 3 ? ∴y=3sin(2x+ ). 3 2? 显然,它的周期为 =π ,故排除 D; 2
【解析】根据函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< 当 x= 正确. 当x?? 故排除 B; 在 ? ??, ?

4? ? ? 4? ? 时,函数 y=f(x)=3sin(2x+ )=0,故函数的图象关于点 ? , 0 ? 对称,故 A 3 3 ? 3 ?
1 3 1 ? 时,f(x)= ,不是最值,故 f(x)的图象不关于直线 x ? ? ? 对称, 12 2 12

则 B(1,0),E(﹣1,1), ∴ AB =(1,0), AE =(﹣1,1), ∵ AP ? ? AB ? ? AE =(λ﹣μ,μ), 又∵P 是 BC 的中点时,

? ?

??

? 5? 2? ? 上,2x+ ∈[﹣ ,﹣ ],y=3sin(2x+ )不是增函数,故排除 C, ? 3 3 3 3 2?

故选:A. 点睛:函数 y ? Asin ?? x ? ? ? ? B( A ? 0, ? ? 0) 的性质 (1) ymax =A+B,ymin ? A ? B .

(2)周期 T ?

2?

?

.

π ? kπ ? k ? Z ? 求对称轴 2 π π (4)由 ? ? 2kπ ? ? x ? ? ? ? 2kπ ? k ? Z ? 求增区间;由 2 2 π 3π ? 2kπ ? ? x ? ? ? ? 2kπ ? k ? Z ? 求减区间. 2 2
(3)由 ? x ? ? ? 7.B 【解析】

3 cosx, 8 8 即 cos2x= sinx, 3
∴tanx= 由平方关系得 sin2x+ 解得 sinx= ∴ PP 1 =

8 sinx=1, 3

1 ,或 sinx=﹣3(不合题意,舍去), 3

1 . 3

故选:A.

AB
试题分析: AB ? AC ? AB ? AC ? cos ?CAB, cos ?CAB ? 2 AC

10.D 【解析】由已知条件知,x= 从而有 ω ?

AB ? AB ? AC ? AB ? AC ? cos ?CAB ? AB ? AC ? 2 ? AC
考点:向量的数量积 8.D

AB 2

2

,所以选 B

【解析】 y ? sin 2 ? x ?

? ?

??
? 4?

?? ? 1 ? cos ? 2 x ? ? 2 ? 1 ? sin2 x ? ? ? ,向右平移 m 个单位得 2 2
?
2 +k? (k ? Z) ? m= ?

y?

1 ? sin2 ? x ? m ? 2

,所以 ?2m ?

?
4

?

k? (k ? Z) 2

因此 m 的最小正值为

? ,选 D 4

4? ? ? ﹣ =2kπ+ ,k∈Z,即 8ω =12k+4,k∈Z, 3 6 2 T 4? T 2? 又由题意可得该函数的最小正周期 T 满足: ≥ 且 ≥ , 2 3 2 3 8? 3 于是有 T≥ ,0<ω≤ ,满足 0<12k+4≤6 的正整数 k 的值为 0, 3 4 1 于是 ω = , 2 1 ? ? 5? 令 t= x﹣ ,因为 x∈[π,2π],得 t∈[ , ], 2 6 6 3 ? 5? 由 y=sint,t∈[ , ], 6 3 1 1 得 y∈[ ,1],即 f(x)的值域为[ ,1], 2 2
由于 x∈[π,2π]时,不等式 m﹣3≤f(x)≤m+3 恒成立,

4? 时 f(x)取得最大值 1, 3

点睛:三角函数的图象变换,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也常出现在 题目中,所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母 x 而言. 函数

y ? Asin ??x ? ? ?? x ? R? 是奇函数 ? ? ? kπ ? k ? Z ? ;函数 y ? Asin ??x ? ? ?? x ? R? 是偶函数
π π ? ? ? kπ+ ? k ? Z ? ;函数 y ? Acos ??x ? ? ?? x ? R? 是奇函数 ? ? ? kπ+ ? k ? Z ? ;函数 2 2

1 故有 { 2 , m ?3 ?1 m?3?
解得﹣2≤m

7 , 2 7 ]. 2

y ? Acos ??x ? ? ?? x ? R? 是偶函数 ? ? ? kπ ? k ? Z ? .
9.A 【解析】过 x 轴上一点 P 作 x 轴的垂线,分别交函数 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象于 P1, P2,P3, ∴线段 PP1 的长即为 sinx 的值, PP3 的长为 tanx 的值,PP2 的长为 cosx 的值; 又 PP3 ?

即 m 的取值范围是[﹣2, 故选:D. 11.B

【解析】将已知函数变形 f(x)=asinx﹣bcosx= a ? b sin(x﹣φ ),其中 tanφ=
2 2

3 PP2 , 8

? 处取得最大值, 4 ? ? ? ∴ ﹣φ=2kπ+ (k∈Z)得 φ =﹣ ﹣2kπ(k∈Z), 4 2 4
又 f(x)=asinx﹣bcosx 在 x=

b , a

∴f(x)= a 2 ? b2 sin(x+ ∴函数 y=f(x+

? ? )= a 2 ? b2 sin(x+ )= a 2 ? b2 cosx, 4 2 3? ∴函数是偶函数且它的图象关于点( ,0)对称. 2
故选:B. 点睛:本题主要考查函数的对称性,由 ? x ? ? ? k? ?

? ), 4

故答案为:﹣

33 . 65

点睛:三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,这是重要一环,通过看角之间的差别 与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式 ;二看函数名称,看函数名称之间的差异,从而 确定使用的公式, 常见的有切化弦; 三看结构特征, 分析结构特征, 可以帮助我们找到变形的方向, 如遇到分式要通分等. 15. 66? 【解析】由题意,函数的周期为 2π ,ω =1,f(x)=sinx,a= ∴x1+x2+x3+…+x12=π+5π+9π+13π+17π+21π=66π. 故答案为:66π. 16.②③ 【解析】如图所示,建立直角坐标系.

?
2

(k∈Z)可得对称轴方程,由

? x ? ? ? k? (k∈Z)可得对称中心横坐标.
12.B 【解析】 ? ? ?

2 , 2

? ?

??

? ? ? ? sin? ? 2 ? 0 ,所以 ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? 2 ? 0 2? ?2 ? ?2 ?
3

3

??

3

??

8? 3 ? 2cos2 ? ? 1 ? 0 ,所以 ? 2? ? ? cos2 ? ? 2 ? 0


?
2

? ? , 2 ? 为方程 x3 ? cosx ? 2 ? 0 的根

y ? x3 ? cosx ? 2, x ???? ,0?? y? ? 3x2 ? sinx ? 0
因此

?
2

? ? ? 2? ?

?
2

?? ?

?

?? ? ,sin ? ? ? ? ? 2 ,选 B. 4 ?2 ?
∵在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2,CD=1,BC=a(a>0), ∴B(0,0),A(﹣2,0),D(﹣1,a),C(0,a). ∵ AP =x AD ,(0≤x≤1). ∴ BP ? BA ? xAD =(﹣2,0)+x(1,a)=(x﹣2,xa), ∴ PC = BC ? BP =(0,a)﹣(x﹣2,xa)=(2﹣x,a﹣xa) ∴y=f(x)= PB ? PC =(2﹣x,﹣xa)?(2﹣x,a﹣xa) =(2﹣x)2﹣ax(a﹣xa) =(a2+1)x2﹣(4+a2)x+4.
2 ①当 a=2 时,y=f(x)=5x2﹣8x+4= 5( x ? ) ?

点睛:函数单调性的应用不仅可以比较大小,也可解方程,即单调函数函数值相等,则自变 量也必相等. 13.120° 【解析】∵ a ? 4, b ? 3, ∴ a ?b
2

? a 2 ? b 2 ? 2a b ? 37 ,得到 a b ? ?6
a b a b ? ?6 1 ?? . 4?3 2

∴ cosa,b ?

∴向量 a 与 b 的夹角是 120° 故答案为:120° 14. ?

? 3? 12 5 2 <β<α< ,cos(α﹣β)= ,∴sin(α﹣β)= 1 ? cos ?? ? ? ? = , 4 13 13 2 3 4 2 ∵sin(α+β)=﹣ ,∴cos(α+β)=﹣ 1 ? sin ?? ? ? ? =﹣ , 5 5
【解析】∵ 则 cos2α =cos[(α+β)+(α﹣β)]=cos(α+β)cos(α﹣β)﹣sin(α﹣β)sin(α﹣β) =﹣

33 65

4 5

4 , 5

∵0≤x≤1,∴当 x=

4 4 时,f(x)取得最小值 ; 5 5

又 f(0)=4,f(1)=1,∴f(x)max=f(0)=4. 综上可得:函数 f(x)的值域为 ? , 4? . 因此①不正确.

4 12 5 3 33 ? ﹣ ?(﹣ )= ? , 5 13 13 5 65

?4 ? ?5 ?

②由 y=f(x)=(a2+1)x2﹣(4+a2)x+4. 可得:?a∈(0,+∞),都有 f(1)=1 成立,因此②正确; ③由 y=f(x)=(a2+1)x2﹣(4+a2)x+4. 可知:对称轴 x0=

化简得: OC ?

3 1 ?3 1? OA ? OB ,所以 OC 在基底 OA, OB 下的坐标为 ? , ? . 4 4 ?4 4?

4 ? a2 . 2 a2 ? 1

?

?

1 AB ,所以 4 1 3 1 AO ? OC ? AO ? OC ? OC ? OA ? OB . 4 4 4
法二(向量法):同上可得: AC ?

?

?

当 0<a≤ 2 时,1<x0,∴函数 f(x)在[0,1]单调递减,因此当 x=0 时,函数 f(x)取得 最大值 4. 当 a> 2 时,0<x0<1,函数 f(x)在[0,x0)单调递减,在(x0,1]上单调递增. 又 f(0)=4,f(1)=1,∴f(x)max=f(0)=4. 因此③正确. 综上可知:只有②③正确. 故答案为:②③. 17.(1)2.(2)

上法也可直接从 OC 开始∴

OC ? OA ? AC ? OA ?

1 1 3 1 AB ? OA ? OA ? OB ? OA ? OB . 4 4 4 4

?

?

法三(向量法):设 OC ? xOA ? yOB ,则

BC ? OC ? OB ? xOA ? ? y ? 1? OB, BA ? OA ? OB 利用 BC, BA 共线可解得.
法四(坐标法):以 O 为坐标原点, OA, OB 方向为 x, y 轴正方向建立直角坐标系(以下坐 标法建系同),则 A ?1, 0 ? , B 0, 3 ,由几何意义易得 C 的直角坐标为 ?

5 . 3

?

?

【解析】试题分析:(1)由任意角三角函数的定义直接可得 tan ? 的值;(2)先根据诱导公 式、二倍角余弦公式、两角和正弦公式化简,再根据商数关系弦化切,最后代入正切值计算结果 试题解析:(1)由任意角三角函数的定义可得: tan? ?

?3 3? ?4, 4 ? ?. ? ?

设 OC ? xOA ? yOB , 则? 则由 A, B, C 三点共线易得 x, y .

2sin? ? cos? (2)原式 = sin? ? cos? 2tan? ? 1 ? tan? ? 1 4 ?1 5 ? ? 2 ?1 3
18.(I)见解析.(II) ?

4 ?2 2

?3 3? x 1, 0 ? y 0, 3 ? x, 3 y , 又知 A ?1, 0 ? , B 0, 3 , ?4, 4 ? ?= ? ? ? ?

?

? ?

?

?

?

法六(坐标法):完全参照《必修 4》P99 例 8(2)的模型和其解答过程,此处略. 法七(几何图形法):将 OC 分解在 OA, OB 方向,利用平几知识算出边的关系亦可. 法八(向量法):设 OC ? xOA ? yOB ,则 x ? y ? 1 ①; 由 OC ? AB ? OC ? AB ? 0, ? xOA ? yOB ? OB ? OA ? 0 ?

?3 1? , ?. ?4 4?
1 CB ,用 OA 、 OB 表示 OC 即可;根据几何性质得出 3

?

??

?

yOB ? xOA ? ? x ? y ? OA ? OB ? 0 ? 3 y ? x ? 0 ②,由①,②解得 x ?
2 2

【解析】试题分析:( I)利用平面向量的坐标运算即可证明结论成立; ( II)根据几何性质得出 AC ? 所以 OC 在基底 OA, OB 下的坐标为 ?

3 1 ,y? . 4 4

?3 1? , ?. ?4 4?

AC ?

1 AB ,再用 OA 、 OB 表示 OC 即可. 4
试题解析: (I)证明:根据题意: a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ? a ? x1i ? y1 j , b ? x2i ? y2 j ∴ a ? b ? ? x1 ? x2 ? i ? ? y1 ? y2 ? j ,(4 分)∴ a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .

19.(1)

? ? ? 5? ? ? ? 1 (2) ? ? 0, ? , ? , ? ? 3 6
? ? ? ?

【解析】试题分析:(1)先根据二倍角公式、诱导公式以及配角公式将函数化为基本三角函 数形式, 再根据正弦函数周期公式求 ?(2) 先根据正弦函数性质求单调增区间, 再与 ? 0, ? ? 求交集, 得增区间 试题解析:(1) f ? x ? ?

1 3 (II)解:法一(向量法):根据几何性质,易知 ?OAB ? 60 ? CA ? , CB ? , 2 2 1 1 4 1 从而 AC ? CB ,所以 AO ? OC ? CO ? OB ? OC ? OA ? OB , 3 3 3 3

?

?

1 ? cos2? x 1 ? 3sin2? x ? cos2? x 2 2

?? 1 ? ? 2sin ? 2? x ? ? ? 6? 2 ?
2? ? ? 即可得 ? ? 1 由题意得 2?

2 即 ? 1? m

?

?

2

? m4 ? 2 ?

1 1 1 2 ,∴ m ? ,∴ m ? ? . 2 4 2

点睛:平面向量与三角函数交汇点较多,向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与 三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题,其解法都差不多,首先都是利用向 量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”,再利用三角函数的相关知识进行求解. 21.(1) 见解析.(2) ?1 ? 2, 2 ? 1? .

?? 1 ? (2)由(1)知 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? 6? 2 ?
则由函数单调递增性可知: 2k? ? 整理得 k? ?

?

?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

,k ?Z

【解析】试题分析:(Ⅰ)根据 a ? b ? 1 ,对 ka ? b ? 3 a ? kb 两边平方即可求出 a ? b 的值,从而得出 f ? k ? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

,k ?Z

所以 f ? x ? 在 ? 0, ? ? 上的增区间为 ? 0, ? , ? ,? ? ? 3? ? 6 ? 点睛:三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换把函 数化为 y ? Asin ?? x ? ? ? ? B 的形式再借助三角函数图象研究性质,解题时注意观察角、函数名、 结构等特征. 20.(1)见解析;(2) m ? ?

?

??

? 5?

k 2 ?1 ; 4k
1 ,这样根据条件即可得到 2

?

(Ⅱ)先根据基本不等式求出 k=1 时,f(k)取最小值

1 1 ? x 2 ? 2tx ? 对任意的 t∈[﹣1,1]恒成立,即得到 g(t)=2xt﹣x2+1≥0 对任意的 t∈[﹣1,1] 2 2
恒成立,从而得到 {

g ? ?1? ? 0

g ?1? ? 0

,这样即可解出 x 的取值范围.

1 . 2

试题解析: (1)由题设得 a ? b
2 2

【解析】试题分析:(1)根据向量的共线定理即可证明; (2)根据向量的数量积的运算化简 f(x),再换元,分类讨论即可求出. 试题解析: (1)∵ OC ? ∴ BC ?

? 1 ,对 ka ? b ? 3 a ? kb 两边平方得,

k 2 a 2 ? 2ka ? b ? b 2 ? 3 a 2 ? 2ka ? b ? k 2b 2 .
整理易得 f ? k ? ? a ? b ?

?

?

1 2 1 1 OA ? OB ,∴ OC ? OB ? OA ? OB 3 3 3 3

1 BA ∴ BC 3

k 2 ?1 ?k 4k

0? .

BA ,
(2) f ? k ? ?

又∵ BC 与 BA 有公共点 B ∴ A, B, C 三点共线. (2)由 A ?1,cosx ? , B ?1 ? sin x,cos x ?, x ? ?0,

k 2 ?1 k 1 1 ? ? ? ,当且仅当 k ? 1 时取等号, 4k 4 4k 2
1 对任意的 k 2 1 1 0 恒成立,等价于 ? x 2 ? 2tx ? , 2 2

2 欲使 f ? k ? ? x ? 2tx ?

? ?? . ? 2? ?

即 g ?t ? ? 2xt ? x ?1 ? 0 在 t ? ?1,1 上恒成立,而 g ? t ? 在 ?1,1 为单调函数或常函数,所
2

?

?

?

?

∴ OC ?

1 2 ? 2 ? OA ? OB ? ?1 ? sinx, cosx ? , 3 3 ? 3 ?

g ?1? ? 2 x ? x 2 ? 1 ? 0 以{ , g ? ?1? ? ?2 x ? x 2 ? 1 ? 0
解得 1 ? 2 ? x ? 2 ? 1 , 故实数 x 的取值范围为 ?1 ? 2, 2 ? 1? .

AB ? ? sinx,0 ? ,故 AB ? sin 2 x ? sinx ,
2? ? 从而 f ? x ? ? OA? ? OC ? ? 2m2 ? ? sinx 3? ?
= cos 2 x ? 2m2sinx ? 1 ? ?sin 2 x ? 2m2sinx ? 2 ? ? sinx ? m2 又 sinx ? 0,1 ,∴当 sinx ? 1 时, f ? x ? 取最小值.

?

?

22.(1) a ? 1 , T ? ? (2) 存在正整数 k ? 504

?

?

2

? m4 ? 2 ,

? ?

【解析】试题分析:(1)代入 f ?

?? ? ? ,解得 a ? 1 ,根据周期定义可得 T ? ? (2)先 ?4?

? ?? ?? ? 研究一个周期内零点 ,根据绝对值分两类: x ? ?0, ? 和x ? ? , ? ? ,再根据同角关系转化为 ? 2? ?2 ?
二次函数,根据二次方程解的情况讨论零点情况,最后根据 一个周期内零点 个数确定 k 的值 试题解析:(1) a ? 1 , T ? ? (2)存在 n ? 504 ,满足题意 理由如下: 当 x ? ?0,

4 ? ?? 时, f ? x? ? ?sinx ? cosx? ? sin2x ? 1,设 t ? sinx ? cosx ,则 t ? ?1, 2 ? , ? ? ? 9 ? 2? ?4 2 5 ?4 5 5 t ? t ? , t 2 ? t ? ? 0 可得 t ? 1 或 t ? ,由 9 9 9 9 4

sin2 x ? t 2 ? 1 ,则 g ? t ? ?

t ? sinx ? cosx
图像可知, x 在 ? 0,

? ?? ? 上有 4 个零点满足题意 ? 2?

当 x ??

4 ?? ? , ? ? 时, f ? x ? ? ?sinx ? cosx ? ? sin2 x ? 1 , t ? sinx ? cosx ,则, t ? 1, 2 ? ? 9 ?2 ?

?

sin2 x ? 1 ? t 2 ,h ? t ? ?
所以 x 在 ?

4 2 13 4 13 13 t ? t ? , t 2 ? t ? ? 0 ,t ? 1 或 t ? ? , 因为 t ? 1, 2 ? , ? 9 9 9 9 4

?

?? ? , ? ? 上不存在零点。 ?2 ?

综上讨论知:函数 f ? x ? 在 0, ? ? 上有 4 个零点,而 2017 ? 4 ? 504 ? 1,因此函数 0,504? 在有 2017 个零点,所以存在正整数 k ? 504 满足题意.

?

?

?



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