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广东省新会一中高三上学期第三次测验数学理试题_图文

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新会一中 2013 届高三级第一学期理科第三次数学测验试题

本试卷共 4 页,共 20 题,满分 150 分,考试用时 120 分钟.

试卷类型:

B

注意事项:

1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡

上,并用 2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂试卷类型.

2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区

域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔

和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

第一部分 选择题(共 40 分)

一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合 A ? ?x | x是菱形或矩形?, B ? ?x | x是矩形?,则 CAB ? ( )

A.?x | x是菱形?

B.?x | x是内角都不是直角的菱形?

C.?x | x是正方形?

D.?x | x是邻边都不相等的矩形?

2.已知向量 a ? (1,1), 2a ? b ? (4, 2) ,则向量 a, b 的夹角的余弦值为( )

A. 3 10 10

B. ? 3 10 10

C. 2 2

D. ? 2 2

3.设集合 M ? {x | x ?1 ? 2} , N ? {x | x(x ? 3) ? 0},那么“ a ? M ”是

“ a ? N ”的( )

A.必要而不充分条件

B.充分而不必要条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.已知向量 p ? ?2, ?3? , q ? ? x, 6? ,且 p // q ,则 p ? q 的值为( )

A. 5

B. 13

C. 5

5.函数 y ? cos? (x ? ? ) ? sin? (x ? ? ) 的最小正周期为(

?

?

A. ? 4

B. ? 2

C. ?

D.13

D. 2?

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6.当 ? ? ? x ? ? 时,函数 f (x) ? sin(2? ? x) ? 3 cos(2? ? x) ? sin?? 2013? ? ? ??

2

2

?

6?

的最大值和最小值分别是( )

A. 5 , ? 1 22

B. 5 , 3 22

C. 3 , ? 1 22

D. 3 , ? 3 22

7.已知函数 f (x) ? x ? 2 x , g(x) ? x ? ln x , h(x) ? x ? x ?1的零点分别为

x1 , x2 , x3 ,则 x1 , x2 , x3 的大小关系是( )

A. x1 ? x2 ? x3

B. x2 ? x1 ? x3

C. x1 ? x3 ? x2

D. x3 ? x2 ? x1

8.

定义在 R 上的函数

f (x)

?lg x ? 2 ,

?? ?

1,

x ? 2 若关于 x 的方程 x?2

f 2 (x) ? bf (x) ? c ? 0 恰好有 5 个不同的实数解 x1, x2 , x3 , x4 , x5 ,则

f (x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ? ( )

A. lg 2

B. lg 4

C. lg 8

D.1

第二部分 非选择题(共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.

9.在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, AB ? BC ?

.

2

? 10. x ? 1dx ? 0

.

11.已知? 为锐角,且 cos(? ? ? ) ? 4 , 则 cos? =

.

45

12.函数 f (x) ? | x ? 2 | ?1 的定义域为



log2 (x ?1)

13.平面直角坐标系中, O 是坐标原点,已知两点 A(2,1), B(?1,?2) ,若点 C 满足

OC ? sOA ? tOC ,且 s ? t ? 1 ,则点 C 的轨迹方程是

.

14 飞机的航线和山顶 C 在同一个铅锤平面内,已知飞机的高
度保持在海拔 h (km),飞行员先在点 A 处看到山顶的俯角

为? ,继续飞行 a (km)后在点 B 处看到山顶的俯角为 ? ,

试用 h 、 a 、? 、 ? 表示山顶的海拔高度为

(km).

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三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算 步骤.
15.(本题满分 12 分)叙述并证明余弦定理.
16. (本题 12 分)已知集合 A ? {x | x2 ? 7x ? 6 ? 0, x ? N ?} ,集合 B ? {x || x ? 3 |? 3, x ? N ?},集合 M ? {(x, y) | x ? A, y ? B}
(1)求从集合 M 中任取一个元素是(3,5)的概率; (2)从集合 M 中任取一个元素,求 x ? y ? 10 的概率; (3)设? 为随机变量,? ? x ? y ,写出? 的分布列,并求 E? .
17. (本题满分 14 分)如图所示的长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长 为 2 的正方形, O 为 AC 与 BD 的交点, BB1 ? 2 , M 是线段 B1D1 的中点.
(1)求证: BM // 平面 D1AC ; (2)求证: D1O ? 平面 AB1C ; (3)求二面角 B ? AB1 ? C 的大小.
第 17 题 图 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

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18.(本题满分 14 分)设函数 y ? f (x) 在 (a,b) 上的导函数为 f ' (x) , f ' (x) 在 (a,b)

上的导函数为 f ''(x) ,若在 (a,b) 上, f ''(x) ? 0 恒成立,则称函数 y ? f (x) 在 (a,b) 上

为“凸函数”.已知 f (x) ? 1 x 4 ? 1 mx3 ? 3 x 2 .

12 6

2

(1)若 f (x) 是区间 (?1,3) 上的“凸函数”,求 m 的值.

(2)若当实数 m 满足 m ? 2 时,函数 f (x) 在 (a,b) 上总为“凸函数”,求 b ? a 的最
大值.

19. (本题满分 14 分)在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警 戒水域.点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于
点 A 北偏东 45 且与点 A 相距 40 2 海里的位置 B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A
北偏东 45 +? (其中 sin? = 26 , 0 ? ? ? 90 )且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C.
26 (1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (2)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.

B

450 ? A

C 东

E
20.(本题满分 14 分)已知函数 f (x) ? 1 x3 ? x 2 ? ax ? a(a ? R) 3
(1) 当 a ? ?3 时,求函数 f (x) 的极值; (2) 若函数 f (x) 的图象与 x 轴有且只有一个交点,求 a 的取值范围.
第三次测验答案
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BCAB CAAD

9.

?

1 2

10.1

11. 7 2 10

12.[3 , ? ?)

13.x-y-1=0

14. h ? a sin? sin ? (或 h ? a tan? tan ? )

sin(? ?? )

tan ? ? tan?

15.叙述并证明余弦定理。 解 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的

余弦之积的两倍。或:在 ? ABC 中,a,b,c 为 A,B,C 的对边,有

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A

b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C 证法一 如图 a2 ? BC ? BC

(4 分)

? ( AC ? AB) ? ( AC ? AB)

?

2
AC

?

2 AC

?

AB

?

2
AB

? AC2 ? 2 AC ? AB COSA ? AB2

? b2 ? 2bc cos A ? c2

即 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A

同理可证 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C (12 分)

证法二 已知 ? ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,建立直

角坐标系,则 C(b cos A,b sin A), B(c, 0) ,

?a2 ? BC2 ? (b cos A ? c)2 ? (b sin A)2

? b2 cos2 A ? 2bc cos A ? c2 ? b2 sin2 A

b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B

同理可证

b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B, c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C.

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16.(本小题满分 12 分)已知集合 A ? {x | x2 ? 7x ? 6 ? 0, x ? N ?} ,集合

B ? {x || x ? 3 |? 3,

x ? N ?},集合 M ? {(x, y) | x ? A, y ? B} (1)求从集合 M 中任取一个元素是(3,5)的概率; (2)从集合 M 中任取一个元素,求 x ? y ? 10 的概率;

(3)设? 为随机变量,? ? x ? y ,写出? 的分布列,并求 E? 。

16.古典概型 解:(1)设从 M 中任取一个元素是(3,5)的事件为 B,则 P(B) ? 1
36

所以从 M 中任取一个元素是(3,5)的概率为 1 36

(4 分)

(2)设从 M 中任取一个元素, x ? y ? 10 的事件为 C ,有

(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)

则 P(C)= 1 ,所以从 M 中任取一个元素 x ? y ? 10 的概率为 1

6

6

(3)? 可能取的值为 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

(4 分)

P(? ? 2) ? 1 , P(? ? 3) ? 2 , P(? ? 4) ? 3 , P(? ? 5) ? 4 , P(? ? 6) ? 5 , P(? ? 7) ? 6

36

36

36

36

36

36

P(? ? 8) ? 5 , P(? ? 9) ? 4 , P(? ? 10) ? 3 , P(? ? 11) ? 2 , P(? ? 12) ? 1

36

36

36

36

36

? 的分布列为

?2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

1 1

1 2

12345654321 P
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36

E? ? 2? 1 ? 3? 2 ? 4? 3 ? 5? 4 ? 6? 5 ? 7 ? 6 ? 8? 5 ? 9? 4 ?10? 3 ?11? 2 ?12? 1 ? 7

36 36 36 36 36 36 36 36

36

36

36

(4 分)
17.如图所示的长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,O 为 AC 与 BD 的交点, BB1 ? 2 , M 是线段 B1D1 的中点.
(Ⅰ)求证: BM // 平面 D1AC ;

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第 17 题

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(Ⅱ)求证: D1O ? 平面 AB1C ;

(Ⅲ)求二面角 B ? AB1 ? C 的大小.

17 解:(Ⅰ)连接 D1O ,如图,∵ O 、M 分别是 BD 、B1D1 的中点,BD1D1B 是矩形,

∴四边形 D1OBM 是平行四边形,∴ D1O // BM .

…2 分

∵ D1O ? 平面 D1AC , BM ? 平面 D1AC , ∴ BM // 平面 D1AC .………………………… 4 分 (Ⅱ)连接 OB1 ,∵正方形 ABCD 的边长为 2 , BB1 ? 2 ,

∴ B1D1 ? 2 2 , OB1 ? 2 , D1O ? 2 ,

则 OB12 ? D1O2 ? B1D12 ,∴ OB1 ? D1O . ……6 分

∵在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AC ? BD , AC ? D1D ,

∴ AC ? 平面 BDD1B1 ,又 D1O ? 平面 BDD1B1 ,

∴ AC ? D1O ,又 AC OB1 ? O ,

∴ D1O ? 平面 AB1C .

………………8 分

(Ⅲ)在平面 ABB1 中过点 B 作 BE ? AB1 于 E ,连结 EC ,

∵ CB ? AB , CB ? BB1,

∴ CB ? 平面 ABB1 ,又 AB1 ? 平面 ABB1 ,

………………9 分

∴ CB ? AB1 ,又 BE ? AB1 ,且 CB BE ? B ,

∴ AB1 ? 平面 EBC ,而 EC ? 平面 EBC ,

…………10 分

∴ AB1 ? EC .∴ ?BEC 是二面角 B ? AB1 ? C 的平面角.

………12 分

在 Rt?BEC 中, BE ? 2 3 , BC ? 2 3

∴ tan ?BEC ? 3 , ?BEC ? 60 ,∴二面角 B ? AB1 ? C 的大小为 60 .

…14



解法 2(坐标法):(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系.连接 D1O ,则点 O(1,1, 0) 、

D1(0, 0, 2) ,

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∴ OD1 ? (?1, ?1, 2) 又点 B(2, 2, 0) , M (1,1, 2) ,

∴ BM ? (?1, ?1, 2)

∴ OD1 ? BM ,且 OD1 与 BM 不共线, ∴ OD1 // BM .

又 D1O ? 平面 D1AC , BM ? 平面 D1AC ,

∴ BM // 平面 D1AC .

…………………………………4 分

(Ⅱ)∵ OD1 ?OB1 ? (?1, ?1, 2) ? (1,1, 2) ? 0 ,

OD1 ? AC ? (?1, ?1, 2) ? (?2, 2, 0) ? 0

∴ OD1 ? OB1 , OD1 ? AC ,即 OD1 ? OB1 , OD1 ? AC , 又 OB1 AC ? O ,∴ D1O ? 平面 AB1C . ……………………8 分 (Ⅲ)∵ CB ? AB , CB ? BB1,∴ CB ? 平面 ABB1 ,

∴ BC ? (?2, 0, 0) 为平面 ABB1 的法向量.

∵ OD1 ? OB1 , OD1 ? AC ,

∴ OD1 ? (?1, ?1, 2) 为平面 AB1C 的法向量.



cos

?

BC, OD1

??

1 2



∴ BC 与 OD1 的夹角为 60 ,即二面角 B ? AB1 ? C 的大小为 60 .…14 分

(Ⅲ)(法三)设二面角 B ? AB1 ? C 的大小为? , ?AB1C 在平面 AB1B 内的射影就是

?AB1B ,根据射影面积公式可得 cos?

?

S?AB1B S?AB1C

S , ?AB1B

?

1 2

?

AB

?

B1B

?

2,

S?AB1C

?

1 2

?

AC

?

B1O

?

2

2

∴ cos?

?

S?AB1B S?AB1C

?

2

2 2

?

1 ,∴二面角 B ? 2

AB1 ? C 的大小为 60

…14 分

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18. 设函数 y ? f (x) 在 (a,b) 上的导函数为 f ' (x) , f ' (x) 在 (a,b) 上的导函数为

f ''(x) ,若在 (a,b) 上, f ''(x) ? 0 恒成立,则称函数 y ? f (x) 在 (a,b) 上为“凸函数”。

已知 f (x) ? 1 x 4 ? 1 mx3 ? 3 x 2 。

12 6

2

(1)若 f (x) 是区间 (?1,3) 上的“凸函数”,求 m 的值。

(2)若当实数 m 满足 m ? 2 时,函数 f (x) 在 (a,b) 上总为“凸函数”,求 b ? a 的最
大值。

19.在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 且与
点 A 相距 40 2 海里的位置 B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45 +? (其中 sin? = 26 , 0 ? ? ? 90 )且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C.
26 (I)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.
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解: (I)如图,AB=40 2 ,AC=10 13 ,

?BAC ? ? ,sin? ? 26 . 26

由于 0 ? ? ? 90 ,所以 cos? = 1 ? ( 26 )2 ? 5 26 .

26

26

由余弦定理得

BC= AB2 ? AC2 ? 2 AB AC cos? ? 10 5.

所以船的行驶速度为

10 2

5

?

15

5 (海里/小时).

3

(II)解法一 如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系,设点 B、C 的坐标分别 是 B(x1,y2), C(x1,y2),BC 与 x 轴的交点为 D.

由题设有,x1=y1=

2 AB=40, 2

x2=ACcos ?CAD ? 10 13 cos(45 ? ? ) ? 30 ,

y2=ACsin ?CAD ? 10 13 sin(45 ?? ) ? 20.
所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k= 20 ? 2 ,直线 l 的方程为 y=2x-40. 10
又点 E(0,-55)到直线 l 的距离 d= | 0 ? 55 ? 40 | ? 3 5 ? 7. 1? 4
所以船会进入警戒水域. 解法二: 如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q.在△ABC 中,由余弦定理 得,
cos ?ABC ? AB2 ? BC2 ? AC2 2AB ? BC

= 402 ? 2 ? 102 ? 5 ? 102 ?13 = 3 10 .

2 ? 40 2 ?10 5

10

从而

sin ?ABC ? 1 ? cos2 ?ABC ? 1 ? 9 ? 10 . 10 10

在 ?ABQ 中,由正弦定理得,

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AQ=

AB sin ?ABC

40 2 ? 10

?

10 ? 40.

sin(45 ? ?ABC) 2 ? 2 10

2 10

由于 AE=55>40=AQ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 QE=AE-AQ=15. 过点 E 作 EP ? BC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离.

在 Rt ?QPE 中,PE=QE·sin ?PQE ? QE ?sin ?AQC ? QE ?sin(45 ? ?ABC)

=15 ? 5 ? 3 5 ? 7. 所以船会进入警戒水域. 5
20.已知函数 f (x) ? 1 x3 ? x2 ? ax ? a(a ? R) (1)当 a ? ?3 时,求函数 f (x) 的极 3
值;
(2) 若函数 f (x) 的图象与 x 轴有且只有一个交点,求 a 的取值范围。

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