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高中数学学业分层测评19向量的正交分解与向量的直角坐标运算含解析新人教B版必修41003111-含答案

学业分层测评(十九) 向量的正交分解与向量的直角坐标运算 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 → 1.已知 A(3,1),B(2,-1),则BA的坐标是( ) A.(-2,-1) B.(2,1) C.(1,2) D.(-1,-2) → 【解析】 B A =(3,1)-(2,-1)=(1,2). 【答案】 C 2.(2016·威海高一检测)设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量 4a,3b-2a,c 的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量 c 等于( ) A.(1,-1) B.(-1,1) C.(-4,6) D.(4,-6) 【解析】 因为 4a,3b-2a,c 对应有向线段首尾相接,所以 4a+3b-2a+c=0, 故有 c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4) =(4,-6). 【答案】 D 3.(2016·孝感高级中学期末)若 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 用 a,b 表示为( ) A.-12a+32b B.12a-32b C.32a-12b D.-32a+12b 【解析】 设 c=λ1a+λ2b(λ1、λ2∈R),则 (-1,2)=λ1(1,1)+λ2(1,-1)=(λ1+λ2,λ1-λ2), 则???λ1+λ2=-1, ??λ1-λ2=2, ??λ1=12, ∴???λ2=-23, ∴c=12a-32b.故选 B. 【答案】 B 1 4.已知平面向量 a=(x,1),b=(-x,x2),则向量 a+b( ) A.平行于 y 轴 B.平行于第一、三角限的角平分线 C.平行于 x 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 【解析】 a+b=(0,1+x2),故平行于 y 轴. 【答案】 A 5.(2016·抚顺市质检)已知 A(-3,0),B(0,2),O 为坐标原点,点 C 在∠AOB 内,且∠ →→ → AOC=45°,设OC=λOA+(1-λ)OB(λ∈R),则 λ 的值为( ) A.15 B.13 C.25 D.23 【解析】 如图所示,∵∠AOC=45°, → ∴设 C(x,-x),则OC=(x,-x). 又∵A(-3,0),B(0,2), → → ∴λOA+(1-λ)OB=(-3λ,2-2λ), ∴?????x-=x- =32λ-2λ ? λ=25. 【答案】 C 二、填空题 6.已知点 A(2,3),B(-1,5),且A→C=13A→B,则点 C 的坐标为________. 【解析】 因→AC=13A→B,即→OC-→OA=13(O→B-O→A),所以O→C=23→OA+13→OB=23(2,3)+13(-1,5) =???1,131???. 【答案】 ???1,131??? 2 7.已知边长为单位长度的正方形 ABCD,若 A 点与坐标原点重合,边 AB,AD 分别落在 x → →→ 轴,y 轴的正方向上,则向量 2AB+3BC+AC的坐标为________. 【导学号:72010059】 【解析】 根据题意建立平面直角坐标系(如图),则各顶点的坐标分别为 A(0,0), B(1,0),C(1,1),D(0,1). → → → ∴AB=(1,0),BC=(0,1),AC=(1,1), → →→ ∴2AB+3BC+AC=(2,0)+(0,3)+(1,1) =(3,4). 【答案】 (3,4) 三、解答题 8.若向量|a|=|b|=1,且 a+b=(1,0),求 a 与 b 的坐标. 【解】 设 a=(m,n),b=(p,q), ??m2+n2=1, p2+q2=1, ? 则有 m+p=1, ??n+q=0, ? m=p=12, ?? 解得 q=- 23, ??n= 23, ? m=p=12, ??或 q= 23, ??n=- 23. 故所求向量为 a=???12, 23???,b=???12,- 23???, 或 a=???12,- 23???,b=???12, 23???. →→→ →→ → → 9.(1)已知平面上三个点 A(4,6),B(7,5),C(1,8),求AB,AC,AB+AC,AB-AC,2AB+ 3 12A→C. (2)已知 a=(1,2),b=(-3,4),求向量 a+b,a-b,3a-4b 的坐标. 【解】 (1)因为 A(4,6),B(7,5),C(1,8), → 所以AB=(7,5)-(4,6)=(3,-1), → AC=(1,8)-(4,6)=(-3,2), →→ AB+AC=(3,-1)+(-3,2) =(0,1), →→ AB-AC=(3,-1)-(-3,2)=(6,-3), 2A→B+12A→C=2(3,-1)+12(-3,2) =(6,-2)+???-32,1??? =???92,-1???. (2)a+b=(1,2)+(-3,4)=(-2,6), a-b=(1,2)-(-3,4)=(4,-2), 3a-4b=3(1,2)-4(-3,4)=(15,-10). [能力提升] 1.在四边形 ABCD 中,→AB=→DC=(1,0),B→→A + → BC → = → BD → ,则四边形 ABCD 的面积是( ) |BA| |BC| |BD| 3 A.2 B. 3 3 C. 4 3 D. 2 → → → 【解析】 BA → → → 为在BA方向上的单位向量,记为 e1=BM,类似地,设 BC → → =e2=BN, BD → |BA| |BC| |BD| → →→→ =e3=BG,所以 e1+e2=e3,可知四边形 BNGM 为菱形,且|BM|=|BG|=|BN|,所以∠MBN= →→ →→ 120°,从而四边形 ABCD 也为菱形,|AB|=|BC|=1,


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