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最新2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编10:概率、统计


最新 2013 届天津高三数学理科试题精选分类汇编 10:概率、统计 姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、填空题 1 . (天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考(一)数学(理)试题)一个社会调查机构就某

地居民的月收入调查了 10 000 人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).为了分 析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查,则在[2500,3000)(元)月收入段应抽出______________人.
频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

2 . 天津南开中学 2013 届高三第四次月考数学理试卷) ( 某校高中生共有 2000 人,其中高一年级 560 人,

高二年级 640 人,高三年级 800 人,现采取分层抽样抽取容量为 100 的样本,那么高二年级应抽取 的人数为________人.
3 . (2012-2013-2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷(理) 在如图所示的茎叶图中,乙组数 )

据的中位数是

;若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后,两组数据的 组.

平均数中较大的一组是
甲 0 5 4 5 5 1 m 7 8 9 9 乙

4 4 6 4 7 3

4 . (天津市滨海新区五所重点学校 2013 届高三联考试题数学(理)试题)某工厂生产 A, B, C 三种不同

型号的产品,三种产品数量之比依次为 2 : 3 : 4 ,现采用分层抽样的方法从中抽出一个容量为 n 的样本,样本中 A 型号的产品有 16 件,那么此样本容量 n ? __________. 5 . (天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题)某学校高一、高二、高三年级的学生人数 之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高 二年级抽取_________名学生.
6 . (天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷)某单位共有老、中、青职工 430 人,其

中青年职工 160 人,中年职工人数是老年职工人数的 2 倍.为了解职工身体状况,现采用分层抽 样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工 32 人,则该样本中的老年职工人数为_______.
·1·

二、解答题 7 . (天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考(一)数学(理)试题)在某校教师趣味投篮比

赛中,比赛规则是: 每场投 6 个球,至少投进 4 个球且最后 2 个球都投进者获奖;否则不获奖. 已 知教师甲投进每个球的概率都是
2 3

.

(Ⅰ)记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望; (Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.

8 . (天津市六校 2013 届高三第二次联考数学理试题 (WORD 版) 甲乙等 5 名志愿者被随机分到 A,B,C,D )

四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者. (1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位的概率; (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (3)设随机变量 ξ 为这 5 名志愿者咱家 A 岗位的服务的人数,求 ξ 的分布列及期望.

9 . (天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学(理)试题)某学生在上学路上要经过 4 个路

口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是 都是 2min. (Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;

1 3

,遇到红灯时停留的时间

(Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ? 的分布列及期望.

10. (天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学(理)试题)某饮料公司招聘了一名员工,现

对其进行一项测试,以确定其工资级别,公司准备了两种不同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并 且其中 4 杯为 A 饮料,另外 4 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料,若 4 杯都选对,则月工资定为 3500 元,若 4 杯中选对 3 杯,则月工资定为 2800 元,否则月工 资定为 2100 元,令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数,假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求此员工月工资的期望.

11. (天津南开中学 2013 届高三第四次月考数学理试卷)张师傅驾车从公司开往火车站,途径 4 个公交

站,这四个公交站将公司到火车站分成 5 个路段,每个路段的驾车时间都是 3 分钟,如果遇到红灯
·2·

要停留 1 分钟,假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的,并且概率都是 (1)求张师傅此行时间不少于 16 分钟的概率 (2)记张师傅此行所需时间为 Y 分钟,求 Y 的分布列和均值

1 3

12. (2012-2013-2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷(理) 为加强大学生实践、创新能力和 )

团队精神的培养, 促进高等教育教学改革, 教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分 为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛,选拔出甲、乙 等五支队伍参加决赛. (Ⅰ)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率; (Ⅱ)若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为 X ,求 X 的分布列和数学期望.

13. (天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科数学试题)(本小题满分 13 分)口袋中有大小、质地

均相同的 9 个球,4 个红球,5 个黑球,现在从中任取 4 个球。 (1)求取出的球颜色相同的概率; (2)若取出的红球数设为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望。

14. (天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学)甲,乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局

者获得这次比赛的胜利,假设在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果
·3·

相互独立,已知前 2 局中,甲,乙各胜 1 局. (1)求甲获得这次比赛胜利的概率; (2)设 ξ 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 ξ 的分布列及数学期望.

15. (天津市滨海新区五所重点学校 2013 届高三联考试题数学(理)试题)甲、乙两人参加某种选拔测

试.规定每人必须从备选的 6 道题中随机抽出 3 道题进行测试, 在备选的 6 道题中,甲答对其中每道题的概率都是
3 5

,乙只能答对其中的 3 道题.

答对一题加 10 分,答错一题(不答视为答错)得 0 分. (Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望; (Ⅱ)规定:每个人至少得 20 分才能通过测试,求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率.

16. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题)某机构向民间招募防爆犬,首先进行

入围测试,计划考察三个项目:体能,嗅觉和反应.这三个项目中只要有两个通过测试,就可以入围. 某训犬基地有 4 只优质犬参加测试,已知它们通过体能测试的概率都是 1/3,通过嗅觉测试的概率 都是 1/3,通过反应测试的概率都是 1/2.求(1)每只优质犬能够入围的概率;(2)若每入围 1 只犬给 基地记 10 分,设基地的得分为随机变量 ξ ,求 ξ 的数学期望.
17. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题)有甲,乙两个盒子,甲盒中装有 2 个小

球,乙盒中装有 3 个小球,每次随机选取一个盒子并从中取出一个小球 (1)当甲盒中的球被取完时,求乙盒中恰剩下 1 个球的概率; (2)当第一次取完一个盒子中的球时,另一个盒子恰剩下 ? 个球,求 ? 的分布列及期望 E? .
18. (天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷) (本小题满分 13 分)甲、乙、丙三人进

行象棋比赛,每两人比赛一场,共赛三场.每场比赛胜者得 3 分,负者得 0 分,没有平局,在每 一场比赛中,甲胜乙的概率为
2 3

,甲胜丙的概率为

1 4

,乙胜丙的概率为

1 5

.

(1)求甲获第一名且丙获第二名的概率;
·4·

(2)设在该次比赛中,甲得分为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

·5·

最新 2013 届天津高三数学理科试题精选分类汇编 10:概率、统计参考答案 一、填空题

25 [来源; 2. 32 3. 84; 乙
1. 4. 5.

【答案】 【答案】15

72

由题意可知 n ? (

2 2?3? 4 3 10

)?

2n 9

? 16 ,解得 n ? 72 。

解:高二所占的人数比为

3 3?3? 4

?

,所以应从高二年级抽取 50 ?

3 10

? 15 人.

6.

【答案】18 解:由题意知,中年职工和老年职工共有 270 人,则老年职工人数为 90 人.则抽出老年职工人数 为 x ,则
x 90 ? 32 160

,解得 x ? 18 .

三、解答题 7. 解:(Ⅰ)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6.

依条件可知 X~B(6,

2 3

).
k 6? k

? 2? ?1? P ( X ? k ) ? C6 ? ? ? ? ? ? ? 3? ?3?
k

( k ? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 )

X 的分布列为: X P 0
1 729

1
12 729

2
60 729

3
160 729

4
240 729

5
192 729

6
64 729

(注:每个概率 1 分,列表 1 分,共 8 分,没有过程只列表扣 3 分)
EX ? 1 729 (0 ? 1 ? 1? 12 ? 2 ? 60 ? 3 ? 160 ? 4 ? 240 ? 5 ? 192 ? 6 ? 64) = 2 3 1 2 2916 729 ?4.

或因为 X~B(6,

),所以 EX ? 6 ?

2 3 1

? 4 . 即 X 的数学期望为 4

(Ⅱ)设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A,
2 1 则 P ( A) ? C4 ? ( ) 2 ? ( ) 4 ? C4 ? ? ( )5 ? ( ) 6 ?

2

2

32 81

.

3

3

3

3

3

(每个概率计算正确一分,共三分;列一个大式子,若计算错误则无分) 答:教师甲在一场比赛中获奖的概率为
32 81 .
3 4

8.

解:(1)记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 E A ,那么 P ( E A ) ?
·6·

A3
2

?

1 40

,

C5 A4

即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是

1 40

.----------4
A4
2 4 4

(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E ,那么 P ( E ) ?

?

1 10

,

C5 A4

所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P ( E ) ? 1 ? P ( E ) ?

9 10

.-----------9

(3)随机变量 ? 可能取的值为 1,2.事件“ ? ? 2 ”是指有两人同时参加 A 岗位服务,
C5 A3 C5 A4
2 2 3

则 P (? ? 2) ?

4

?

1 4

? ? ? ?10

所以 P (? ? 1) ? 1 ? P (? ? 2) ?
? 的分布列是

3 4

,------------11

?

1
3

2
1 4

P

4
E? ? 5 4

-----------13

9.

解:(Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因为事件 A 等于事件“这 名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件 A 的概率为
1? ? 1? 1 4 ? . P ? A? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 3? ? 3? 3 27 ?

(Ⅱ)由题意,可得 ? 可能取的值为 0,2,4,6,8(单位:min). 事件“ ? ? 2k ”等价于事件“该学生在路上遇到 k 次红灯”( k ? 0,1,2,3,4), ∴ P ?? ? 2k ? ? Ck4 ? ? ? ∴即 ? 的分布列是
?
P
k 4? k

?1? ? 2? ? ?3? ? 3?

?k

? 0,1, 2, 3, 4 ? ,

0
16 81

2
32 81 16 81 ? 2? 32 81 ? 4? 8 27 ? 6?

4
8 27 8 81 ? 8? 1 81 ? 8 3

6
8 81

8
1 81

∴ ? 的期望是 E? ? 0 ?

.

10.解:(I)X 的所有可能取值为:0,1,2,3,4
P( X ? i) ? C4 C4 C5
4 1 4 ?i

(i ? 0,1, 2, 3, 4)


·7·

X P

0
1 70

1
16 70

2
36 70

3
16 70

4
1 70

(II)令 Y 表示新录用员工的月工资,则 Y 的所有可能取值为 2100,2800,3500
则P (Y ? 3500) ? P ( X ? 4) ? P (Y ? 2800) ? P ( X ? 3) ? P (Y ? 2100) ? P ( X ? 2) ? EY ? 3500 ? 1 70 ? 2800 ? 8 35 53 70 16 70 ? 2100 ? 53 70 ? 2280. 1 70

所以新录用员工月工资的期望为 2280 元.
1? ? 11.解:(1) P ? 1 ? ?1 ? ? 3? ?
4

?

65 81

(2)












k


4? k















X,



? 1? ?2? k ?1? X ~ B? 4, ?, P ( X ? k ) ? C 4 ? ? ? ? ? 3? ?3? ? 3?

, k ? 0,1,2,3,4 ,依题意, Y ? X ? 15 ,则 Y 的分布列

为 Y P 15
16 81

16
32 81

17
8 27 1 3 ? 15 ? 49 3

18
8 81

19
1 81

Y 的均值为 E (Y ) ? E ( X ? 15) ? E ( X ) ? 15 ? 4 ?

12.解: (Ⅰ)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件 A ,则
P ? A? ? 2 ? 3! 5! ? 1 10 1 10

. .???????3 分

所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为 (Ⅱ)随机变量 X 的可能取值为 0, 1, 2, 3 .
P ? X ? 0? ? P ? X ? 1? ? P ? X ? 2? ? P ? X ? 3? ? 2 ? 4! 5! 3 ? 2 ? 3! 5! ? 2 5 ? 3 10 ? 1 5 1 10

, , ,

2 ? 2!? 3 ? 2! 5! 2 ? 3! 5! ?

. ?????.11 分
·8·

随机变量 X 的分布列为:

因为 EX ? 0 ?

2 5

? 1?

3 10

? 2?

1 5

? 3?

1 10

? 1,

所以 随机变量 X 的数学期望为 1 .?????.13 分 13.

14.解:(1)若甲胜,那么以后的情况有两种.一是后两局甲全胜,一是后三局甲胜两局.甲全胜的概率是
0.6*0.6=0.36.后三局甲胜两局有二种情况,则概率是 2*0.6*0.6*0.4=0.288. 所以甲获胜的概率是 0.36+0.288=0.648. (2)设进行的局数为ξ,则ξ的可取值为 2,3, p(ξ= 2)= 0.6*0.6+0.4*0.4=0.52, p(ξ= 3)= 2*0.6*0.6*0.4+2*0.4*0.4*0.6=0.48. Eξ=2*0.52+3*0.48=2.48

15.

【解】设乙的得分为 X , X 的可能值有 0,10, 20,30
P X ? 0) ? ( C3 C6
3

3

?

1 20

P X ? 10) ? (

C3 C3 C6
3

2

1

?

9 20

P X ? 20) ? (

C3 C3 C6
3

1

2

?

9 20

P X ? 30) ? (

C3 C6

3

3

?

1 20

乙得分的分布列为:
·9·

X

0
1

10
9 20

20
9 20

30
1 20

P

20

EX ? 0 ?

1 20

? 10 ?

9 20

? 20 ?

9 20

? 30 ?

1 20

? 15

所以乙得分的数学期望为 15 (2) 乙通过测试的概率为
1 20 3 ? 9 20 3 2 5 ? 1 2 81 125 81 125 22 125 22 125 103 125

甲通过测试的概率为( ) ? C3 ( )
3 2

2

?

5

5

甲、乙都没通过测试的概率为(1 ?

1 2

) ? (1 ?

) ?

因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为 1 ?
16.解:(1)每只优质犬入围概率相等:

?

p= ? ?

1 1 1 3 3 2

?

1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 1 3 1 4 3 4 3 40 3

(2)ξ 的取值为 0,1,2,3,4 服从 ξ ~B(4, ) Eξ = Eη =
? 10 ?

1 1 3 2 2 17.解:(1) P ? C3 ( ) ? ? ? 2 2 2 16

(2) ? ? 1, 2, 3
3 2 1 4 1 1 4 P (? ? 1) ? C3 ( ) ? C3 ( ) ? 2 2 8 1 2 1 P (? ? 3) ? ( ) ? 2 4 E? ? 1 3 3 1 1 3 P (? ? 2) ? ( ) ? C2 ( ) ? 2 2 8 15 8 2 3 ? 1 4 ? 1 6

18.解: (1)甲获第一,则甲胜乙且甲胜丙,所以甲获第一的概率为
1 5 4 5 1 6 ? 4 5 ? 2 15

丙获第二,则丙胜乙,其概率为 1 ?

?



所以甲获第一名且丙获第二名的概率为

·10·

(2) ? 可能取的值为 0,3,6.
P (? ? 0) ? (1 ?
2 3

2 3

)(1 ?
1 4

1 4

)?

1 4

P (? ? 3) ?

(1 ?

)?

1 4

(1 ?

2 3

)?

7 12

P (? ? 6) ?

2 3

?

1 4

?

1 6

所以 ? 的分布列为
?

0
1 4

3
7 12

6
1 6

P E? = 0 ?
1 4 ? 3? 7 12 ? 6? 1 6 ? 11 4

·11·


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