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数学理卷·2014届河北省衡水中学高三下学期二调考试(2014.03)

2013—2014 学年度第二学期高三年级二调考试 数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题
一、

共 60 分)

选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确

答案的序号填涂在答题卡上) 1.已知 R 是实数集, M = { x | A. (1,2) 2.在复平面内,复数 A.第一象限 3. B. [0,2]

2 < 1}, N = { y | y = x
C. ?

x - 1 + 1} ,则 N I C R M = (
D. [1,2] )

)

- 2 + 3i ( i 是虚数单位)所对应的点位于( 3 - 4i
B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

3 1 =( ) o cos10 sin170o
A.4 B.2 C. -2 D. -4

4.关于统计数据的分析,有以下几个结论,其中正确的个数为( ) ①利用残差进行回归分析时,若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内,则说 明线性回归模型的拟合精度较高; ②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,期望与方差均没有变化; ③调查剧院中观众观后感时,从 50 排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是分层 抽样法; ④已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1),且 P(2≤X≤4)=0.682 6,则 P(X>4)等于 0.158 7 ⑤某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人.为了 了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为 15 人。 A.2 B.3 C.4 D.5

第 1 页 共 15 页

5.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S 2 n =4(a1+a3+a5+…+a2n-1), a1a2a3=27,则 a6=( A.27 B.81 C. 243 D.729



6.已知某几何体的三视图如右图所示,其中,正视图,侧视图均是由三角形与半圆构成, 俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.

7. 程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是 ( A. 2 B.



1 3

C. -3

D. -

1 2

8. 设锐角 DABC 的三内角 A 、 B 、 C 所对边的边长分别为 a 、 b 、 c , 且 a = 1 , B = 2 A , 则 b 的取值范围为 A. ( )

(

2, 3

)

B.

(1 , 3 )

C.

(

2, 2

)

D. (0 , 2 )

9. 在 △ABC 所在的平面内,点 P0 、 P 满足 P0 B = 数 l ,恒有 PB × PC ? P0 B × P0C , 则 A. ?ABC = 90° C. AC = BC (

1 AB , PB = l AB ,且对于任意实 4


B. ?BAC = 90° D. AB = AC

10.在平面直角坐标系中,记抛物线 y = x - x 2 与 x 轴所围成的平面区域为 M ,该抛物线与 直线

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y= kx (k>0)所围成的平面区域为 A ,向区域 M 内随机抛掷一点 P ,若点 P 落在区域 A
内的概率为 A.

1 3

8 ,则 k 的值为( 27 2 B. 3

) C.

1 2

D.

3 4

11.如图,内外两个椭圆的离心率相同,从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线 AC,BD,设内层 椭圆方程为 率为( A.

x2 y2 1 + 2 = 1(a > b > 0) ,若直线 AC 与 BD 的斜率之积为 - ,则椭圆的离心 2 a b 4



1 B. 2

2 C. 2

3 2

D.

3 4

1 1 12.已知函数 f ( x)满足f ( x ) = 2 f ( ), 当x ?[1,3] , f ( x ) = ln x ,若在区间[ , 3] 内,函数 3 x
g ( x ) = f ( x ) - ax 与 x 轴有 3 个不同的交点,则实数 a 的取值范围是(
A. (0, ) )

1 e

B. (0,

1 ) 2e

C. [

ln 3 1 , ) 3 e
共 90 分)

D. [

ln 3 1 , ) 3 2e

第Ⅱ卷(非选择题
二、

填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上)

13.设球的半径为时间 t 的函数 r (t ) ,若球的体积以均匀速度 速度与球半径的乘积为

1 增长,则球的表面积的增长 2

14. 若 ( x 2 + ) n 的二项展开式中,所有项的二项式系数和为 64 ,则该展开式中的常数项为 15. 在 △ABC 中 , 边 AC = 1 ,AB = 2, 角 A =

1 x

2p , 过 A 作 AP ^ BC于P , 且 3

AP = l AB+ m AC,则 lm =
16. 椭 圆中有如下结论:椭 圆



x2 a2

+

y2 b2

= 1( a > b > 0) 上斜率为 1 的 弦 的 中点在直线

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x a2


+

y b2

= 0 上, 类比上述结论: 双曲线

x2 a2

-

y2 b2

= 1( a, b > 0) 上斜率为 1 的 弦 的 中点在直线

三、解答题(本题满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在答题卡相 应位置) 17.(本题满分 12 分)如图,在 DABC 中, BC 边上的中线 AD 长为 3,且 cos B =

10 , 8

1 cos ?ADC = - . 4
(Ⅱ)求 AC 边的长. (Ⅰ)求 sin ?BAD 的值;

18. (本题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,CD⊥平面 PAD, BC∥AD,PA=PD,O,E 分别为 AD,PC 的中点,PO=AD=2BC=2CD. (Ⅰ)求证:AB⊥DE; (Ⅱ)求二面角 A-PC-O 的余弦值.

19. (本题满分 12 分)今年年初,我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气,给我们 的身体健康产生了巨大的威胁。私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一,因 此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出
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一份力。为此,很多城市实施了机动车车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆 限行”的态度,随机抽查了 50 人,将调查情况进行整理后制成下表: 年龄(岁) [15,25) 5 频数 赞成人数 4 [25,35) 10 6 [35,45) 15 9 [45,55) 10 6 [55,65) 5 3 [65,75] 5 4

(Ⅰ)完成被调查人员的频率分布直方图; (Ⅱ)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查, 记选中的 4 人中不赞成“车辆限行”的人数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望.
频率 组距

0.04 0.03 0.02 0.01

15

25

35

45

55

65

75 年龄

20. (本题满分 12 分)我校某同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域) ”来庆 祝 数 学学科节 的 成 功举办 . 其中 AC 、 BD 是 过抛物 线 G 焦 点 F 的两 条 弦 , 且 其 焦 点

F ( 0 ,1) , AC × BD = 0 ,点 E 为 y 轴上一点,记 ?EFA = a ,其中 a 为锐角.
(1) 求抛物线 G 方程; (2) 当“蝴蝶形图案”的面积最小时求 a 的大小.

21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) = a x + x 2 - x ln a ( a > 0, a ? 1) . (1)求函数 f ( x ) 的单调区间;

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(2)若函数 f ( x ) 满足: ①对任意的 m1 , m2 , m1 ? m2 ,当 f ( m1 ) = f ( m2 ) 时,有 m1 + m2 < 0 成立; ②对 "x1 , x2 ? [ -1,1], f ( x1 ) - f ( x2 ) ? e - 1 恒成立.求实数 a 的取值范围.

请考生在 22,23,24 题中任选一题作答,并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号 右侧方框涂黑,按所涂题目进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本
第 6 页 共 15 页

选考题的首题进行评分。
E 分别在边 BC,AC 上,且 22.(本题满分 10 分)如图, 在正ΔABC 中, 点 D、 AD,BE 相交于点 P .



求证:(I)四点 P、D、C、E 共 圆;(II)AP

CP.

1 ì ? x = 1 + 2 t, ì x = cos q , ? 23. (本题满分 10 分) 已知直线 l : í (q 为 (t 为参数), 曲线 C1 : í ? y = sin q , ? y = 3 t. ? 2 ?
参数). (Ⅰ)设 l 与 C1 相交于 A, B 两点,求 | AB | ; (Ⅱ)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

1 3 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲 2 2 线 C2 ,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

24. (本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲
第 7 页 共 15 页

已知函数 f ( x) = 2 x - a + a . (5 分) (1)若不等式 f ( x ) ? 6 的解集为 x - 2 ? x ? 3 ,求实数 a 的值; (2) 在 (1) 的条件下, 若存在实数 n 使 f ( n) ? m - f ( - n ) 成立, 求实数 m 的取值范围. (5 分)

{

}

2013—2014 学年度第二学期高三年级二调考试数学试卷(理科) 参考答案
DBDBC 13.1 CDACA CC 14.

10 49

15. 15

16.

x a
2

-

y b2

=0

17.

第 8 页 共 15 页

--------6 分 (Ⅱ)在 DABD 中,由正弦定理,得

AD BD 3 BD ,即 ,解得 BD = 2 …8 分 = = sin B sin ?BAD 3 6 6 8 4




DC = 2

,





DADC



,











,



AC 2 = AD 2 + DC 2 - 2 AD × DC cos ?ADC

18. .解法一: (Ⅰ)设 BD ?OC = F ,连接 EF , E、 F 分别是 PC 、 OC 的中点,则 EF / / PO ,…1 分 已 知 CD ^ 平 面 PAD , CD ? 平 面 ABCD , 所 以 平 面 ABCD ^ 平面 PAD , 又 PA = PD , O 为 AD 的中点,则 PO ^ AD , 而平面 ABCD ? 平面PAFD = AD , 所以 PO ^ 平面 ABCD , 所以 EF ^ 平面 ABCD , 又 AB ? 平面 ABCD ,所以 AB ^ EF ; 在 D ABD 中, AB
2

1 = 32 + 22 - 2 ? 3 ? 2 ? ( - ) = 16 ,所以 AC = 4 ……………………12 分 4

P

E

……3 分

A

H B

O F C

D

+ BD2 = AD2 , AB ^ BD ;

又 EF ? BD = F ,所以 AB ^ 平面 BED , 又 DE ? 平面 BED ,所以 AB ^ DE . ……6 分 (Ⅱ)在平面 ABCD 内过点 A 作 AH ^ CO 交 CO 的延长线于 H ,连接 HE , AE , 因为 PO ^ 平面 ABCD ,所以 POC ^ 平面 ABCD , 平面 POC ? 平面 ABCD = AH ,所以 AH ^ 平面 POC , PC ? 平面 POC ,所以 AH ^ PC ; 在 DAPC 中, AP = AC , E 是 PC 中点,故 AE ^ PC ; 所以 PC ^ 平面 AHE ,则 PC ^ HE . 所以 ?AEH 是二面角 A - PC - O 的平面角. ……10 分 设 PO = AD = 2 BC = 2CD = 2 ,

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而 AE

2

= AC 2 - EC 2 , 2 7 14 AH = ,则 sin ?AEH = , 2 7 2
42 . 7
……12 分

AE =

所以二面角 A - PC - O 的余弦值为 解法二:

因为 CD ^ 平面 PAD , CD ? 平面 ABCD ,所以平面 ABCD ^ 平面 PAD , 又 PA = PD , O 是 AD 的中点,则 PO ^ AD ,且平面 ABCD ? 平面PAFD = AD , 所以 PO ^ 平面 ABCD .

如图,以 O 为原点,以 OB, OD, OP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标 系.

uuu r uuur uuu r

……2 分

A(0, -1,0)

B(1,0,0)

C (1,1,0)

D(0,1, 0)

1 1 E ( , ,1) 2 2

P

z

P(0, 0, 2) …4 分 uuu r uuur 1 1 uuu r uuur AB = (1,1,0) DE = ( , - ,1) , AB × DE = 0 , 所 以 2 2 uuur uuu r (Ⅱ) AC = (1, 2,0) , PC = (1,1, -2) ,
设平面 PAC 的法向量为 m = ( x, y, z ) ,

E

AC ^ DE .……6 分

A B x

O C

Dy

uuur ìm × AC = 0 ì x + 2 y = 0 ? 则í ?í uuu r m × PC = 0 ?x + y - 2z = 0 ? ? 1 令 x = 2 ,得 m = (2, -1, ) . ……8 分 2 uuu r uuu r uuu r uuur 又 BD × PO = 0 , BD × OC = 0 ,
所以平面 POC 的法向量 BD = (-1,1, 0) ,

uuu r

……10 分

uuu r uuu r m × BD 42 uuu r =cos m, BD = , 7 | m || BD |
所以二面角 A - PC - O 的余弦值为

42 . 7
第 10 页 共 15 页

……12 分

19.解: (Ⅰ)各组的频率分别是 0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1 . 所以图中各组的纵坐标分别是 0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01 .
频率 组距

……2 分 ……4 分

0.03 0.02 0.01 15 25 35 45 55 65 75 年龄

(Ⅱ) x 的所有可能取值为:0,1,2,3……………6 分

……5 分

C42 C62 6 15 45 15 p (x = 0 ) = 2 × 2 = × = = , C5 C10 10 45 225 75
1 1 1 2 C62 C4 C4 × C6 C4 4 15 6 24 102 34 p (x = 1) = 2 × 2 + 2 × = × + × = = , 2 C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 75 1 1 1 2 2 C4 × C6 C4 C4 C4 4 24 6 6 66 22 p (x = 2 ) = 2 × + 2× 2 = × + × = = , 2 C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 75 1 C4 C42 4 6 12 4 p (x = 3) = 2 × 2 = × = = , C5 C10 10 45 225 75

……10 分

所以 x 的分布列是:

x
p
6 . 5

0

15 75

1 34 75

2 22 75

3

4 75
……11 分 ……12 分

所以 x 的数学期望 Ex =

第 11 页 共 15 页

21.

第 12 页 共 15 页

当 a > 1 时, f ( m2 ) = f ( m1 ) > f ( - m1 ) ,由于 f ( x ) 在 (-?,0) 上单调递减,所以

m2 < - m1 , m1 + m 2 < 0 .同理 0 < a < 1 , m1 + m 2 > 0 .
当 f ( m1 ) = f ( m2 ) 时,当且仅当 a > 1 时,有 m1 + m2 < 0 成立. ② a > 1 时,由(1)可得 [ f ( x)]min = f (0) = 1 , ……8 分

[ f ( x)]max = max{ f (1), f (-1)},

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22. 证 明 : ( I ) 在 DABC 中 , 由

1 1 BC , CE = CA, 知: 3 3 DABD ≌ DBCE ,………………2分 \?ADB = ?BEC 即 ?ADC + ?BEC = p . BD =
所以四点 P , D , C , E 共圆;………………5分 (II)如图,连结 DE . 在 DCDE 中, CD = 2CE , ?ACD = 60 , 由正弦定理知 ?CED = 90o .………………8分 由四点 P , D , C , E 共圆知, ?DPC = ?DEC , 所以 AP ^ CP. ………………10分 23.解.(I) l 的普通方程为 y = 联立方程组 则 | AB |= 1 .
o

3 ( x - 1), C1 的普通方程为 x 2 + y 2 = 1.

ì 1 3 ? y = 3 ( x - 1), 解得 l 与 C1 的交点为 A(1,0) , B ( ,), í 2 2 2 2 ? ? x + y = 1, 1 cos q , 1 3 2 (q 为参数).故点 P 的坐标是 ( cos q , sin q ) , 3 2 2 sin q . 2

ì ?x= ? (II) C2 的参数方程为 í ?y = ? ? 从而点 P 到直线 l 的距离是

第 14 页 共 15 页

3 3 cos q sin q - 3 | 3 p 2 2 = d= [ 2 sin(q - ) + 2] , 2 4 4 p 6 由此当 sin(q - ) = -1 时, d 取得最小值,且最小值为 ( 2 - 1) . 4 4 |
24. 解 :( Ⅰ ) 由 2 x - a + a ? 6 得 2 x - a ? 6 - a , ∴ a - 6 ? 2 x - a ? 6 - a , 即

a -3 ? x ? 3, ∴ a - 3 = -2 ,∴ a = 1 。┈┈┈┈5 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) = 2 x - 1 + 1 ,令 j ( n ) = f ( n ) + f ( -n ) ,

1 ì ? 2 - 4 n, n ? - 2 ? 1 1 ? 则, j ( n ) = 2n - 1 + 2n + 1 + 2 = í4, - <n? 2 2 ? 1 ? n> ?2 + 4n, 2 ?
∴ j ( n ) 的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是 [ 4, +? ) 。┈┈┈┈┈10 分

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