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高考数学专题五数列第练等差数列与等比数列交汇题练习(新)-课件


【步步高】 (浙江专用)2017 年高考数学 专题五 数列 第 35 练 等差 数列与等比数列交汇题练习
训练目标 训练题型 (1)等差数列、等比数列知识的综合应用;(2)学生解题能力的培养. (1)利用基本量法求数列通项;(2)利用数列的性质求解数列问题;(3)数列和函 数的综合应用. (1)用列方程(组)的方法可以解决等差、等比数列基本量的问题;(2)恰当选用 数列的性质可简化计算.

解题策略

一、选择题 1.(2015·福建闽南四校期末)已知数列{an}是公差为 2 的等差数列,且 a1,a2,a5 成等比数 列,则 a2 的值为( )

A.3 B.-3 C.2 D.-2 2.(2015·洛阳期末)已知等差数列{an}的公差和首项都不等于 0,且 a2,a4,a8 成等比数列, 则

a1+a5+a9 等于( a2+a3

)

A.2 B.3 C.5 D.6 3.(2015·郑州质检)已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 a4-2a7+3a8=0,数列{bn}是等比 数列,且 b7=a7,则 b2b8b11 等于( A.1 B.2 C.4 D.8 4. (2015·河北邢台一中期末)已知正项等差数列{an}满足 an+1+an-1=an(n≥2), 等比数列{bn} 满足 bn+1bn-1=2bn(n≥2),则 log2(a2+b2)等于( A.-1 或 2 C.2 B.0 或 2 D.1 )
2 2

)

5.(2015·达州统考)已知数列{an}为等差数列,数列{bn}是各项为正数的等比数列,其公比

q≠1.若 a4=b4,a12=b12,则(
A.a8=b8 C.a8<b8 二、填空题

) B.a8>b8 D.a8>b8 或 a8<b8

6.(2015·厦门质检)若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e ,则 ln a1+ln a2 +…+ln a20=________. 7.(2015·西安六校联考)已知实数 a1,a2,a3,a4 依次构成公差不为零的等差数列,若去掉 其中一个数后, 其余三个数按原来顺序构成一个等比数列, 则此等比数列的公比为________.

5

1

8.(2015·河北名校联考)已知向量 a=(2,-n),b=(Sn,n+1),n∈N ,其中 Sn 是数列{an} 的前 n 项和.若 a⊥b,则数列{

*

an }的最大项的值为________. an+1an+4

9.设{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2 且 a1,a3,a6 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn =________. 三、解答题 10.(2015·江门模拟)设数列{an}的前 n 项和 Sn= (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; 1 4 n 5 (3)证明:对一切正整数 n,有 2+ 2+…+ 2< . a1 a2 an 4
2

n(n+1)(4n-1)
6

,n∈N .

*

2

答案解析 1.A [∵a1,a2,a5 成等比数列,∴a2=a1·a5, ∴a2=(a2-2)(a2+6),解得 a2=3.] 2.B [∵a2,a4,a8 成等比数列,∴a4=a2a8, 即(a1+3d) =(a1+d)(a1+7d),∴a1=d, ∴
2 2 2 2

a1+a5+a9 3a1+12d = =3.故选 B.] a2+a3 2a1+3d
2

3.D [由已知,得 2a7=a4+3a8=a1+3d+3a1+21d=4a1+24d=4(a1+6d)=4a7, ∴a7=2 或 a7=0(舍去), ∴b7=2,∴b2b8b11=b1q·b1q ·b1q =b1q =(b1q ) =b7=8.] 4.C [由题意可知 an+1+an-1=2an=an, 解得 an=2(n≥2). 又因为 bn+1bn-1=bn=2bn(n≥2), 所以 bn=2(n≥2), 所以 log2(a2+b2)=log24=2.] 5.B [∵{bn}为等比数列,其公比 q≠1, ∴b4≠b12,∴a4≠a12,∴a8= 6.50 解析 ln a1+ln a2+…+ln a20=ln a1a2…a20, 而 a1a20=a2a19=…=a9a12=a10a11=e , 所以 ln a1a2…a20=ln(e ) =50. 1 7. 或 2 2 解析 设公差为 d,公比为 q,若去掉 a1, 则 a3=a2a4,即(a1+2d) =(a1+d)(a1+3d), 所以 d=0(舍去); 若去掉 a2,则 a3=a1a4,即(a1+2d) =a1(a1+3d), 所以 a1=-4d,则 q= =
2 2 2 2 2 5 10 5 2 2 7 10 3 18 6 3 3

a4+a12
2

> a4a12= b4b12=b8.]

a3 a1+2d -2d 1 = = ; a1 a1 -4d 2
2

若去掉 a3,则 a2=a1a4,即(a1+d) =a1(a1+3d), 所以 a1=d,则 q= =
2

a2 a1+d =2; a1 a1

若去掉 a4,则 a2=a1a3,
3

即(a1+d) =a1(a1+2d),所以 d=0(舍去). 8. 1 9

2

解析 ∵a⊥b,∴a·b=2Sn-n(n+1)=0, ∴Sn= ∴

n(n+1)
2

,∴an=n. 1 , 4 n+ +5

an n = = an+1·an+4 (n+1)(n+4)

n

4 当 n=2 时,n+ 取最小值 4,

n

此时

an 1 取到最大值 . an+1an+4 9

9. + 4 4

n2 7n

解析 由题意设等差数列公差为 d,则 a1=2,a3=2+2d,a6=2+5d. 又∵a1,a3,a6 成等比数列,∴a3=a1a6, 即(2+2d) =2(2+5d),整理得 2d -d=0. 1 ∵d≠0,∴d= , 2
2 2 2

n(n-1) n2 7n ∴Sn=na1+ d= + .
2 4 4 1×2×3 10.(1)解 a1=S1= =1. 6 (2)解 当 n>1 时,an=Sn-Sn-1=

n(n+1)(4n-1) (n-1)n(4n-5)
6
*



6

=n(2n-1).

当 n=1 时,n(2n-1)=1=a1,∴? n∈N ,an=n(2n-1). (3)证明 由(2)知,当 n>1 时,

n2 1 1 1 < , 2= 2= 2 an (2n-1) 4n -4n+1 4n(n-1)
1 4 n ∴ 2+ 2+…+ 2<1+
2

a1 a2

an

1 1 1 + +…+ 4×2×1 4×3×2 4n(n-1)

1 1 1 1 1 1 =1+( - )+( - )+…+[ - ] 4 4×2 4×2 4×3 4×(n-1) 4n 1 1 1 5 =1+( - )<1+ = . 4 4n 4 4 1 5 当 n=1 时, 2=1< . a1 4

4

1 4 n 5 * ∴? n∈N , 2+ 2+…+ 2< . a1 a2 an 4

2

5



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