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【强烈推荐】高一数学必修一复习


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必修 1

第1章

集 合

§1.1 集合的含义及其表示 重难点:集合的含义与表示方法,用集合语言表达数 学对象或数学内容; 区别元素与集合等概念 及其符号表示;用集合语言(描述法)表达 数学对象或数学内容; 集合表示法的恰当选 择. 考纲要求: ①了解集合的含义、 元素与集合的“属于” 关系; ②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举 法或描述法)描述不同的具体问题. 经典例题:若 x∈R,则{3,x,x2-2x}中的元素 x 应满足什么条件?

当堂练习: 1.下面给出的四类对象中,构成集合的是( A.某班个子较高的同学 ) B.长寿的人

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C. 2 的近似值

D.倒数等于它本身的数 ) B.由 1,

2.下面四个命题正确的是(

A.10 以内的质数集合是{0,3,5,7}
2 C.方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解集是{1,1}

2,3 组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1} D.0 与{0} 表示同一个集合 3. 下面四个命题: (1)集合 N 中最小的数是 1; (2)若 -a ? Z,则 a? Z; (3)所有的正实数组成集合 R+; (4)由很小的数可组成集合 A; 其中正确的命题有( A.1 D.4 4.下面四个命题: (1)零属于空集; (2)方程 x2-3x+5=0 的解集是空集; (3)方程 x2-6x+9=0 的 解集是单元集; (4)不等式 2 x-6>0 的解集是无 限集; 其中正确的命题有( A. 1 B. 2 )个 C. 3 D. 4 )个 B.2 C.3

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5. 平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合 是( ) B.{(x,y) x ? 0, y ? 0 } } D. {x,y 且 x ? 0, y ? 0 } A.{x 且 x ? 0, y ? 0 } C. {(x,y)
x ? 0, y ? 0

6.用符号 ? 或 ? 填空: 0__________{0}
? __________Q,

, 0 }.

a__________{a} ,
?.

1 __________Z,-1__________R, 2

0__________N, {x x ? 为 9.当 a 满足 {x
3 x ? a ? 0, x ? N ?

7 . 由 所 有 偶 数 组 成 的 集 合 可 表 示 为
y ? ? x ? 8, x ? N , y ? N
2

8.用列举法表示集合 D={ ( x, y )

}

. 时, 集合 A= }表示单元集.

10.对于集合 A={2,4,6},若 a ? A,则 6-a? A, 那么 a 的值是__________. 11.数集{0,1,x2-x}中的 x 不能取哪些数值?

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12.已知集合 A={x ? N| 集合 A.

12 6- x

?N

},试用列举法表示

13.已知集合 A={ x ax ? 2 x ? 1 ? 0, a ? R, x ? R }.
2

(1)若 A 中只有一个元素,求 a 的值; 多有一个元素,求 a 的取值范围.

(2)若 A 中至

14.由实数构成的集合 A 满足条件:若 a ? A, a ? 1,则
1 1? a ?A

,证明:

(1)若 2 ? A,则集合 A 必还有另外两个元素,并求 出这两个元素;

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(2)非空集合 A 中至少有三个不同的元素。

必修 1

§1.2 子集、全集、补集

重难点:子集、真子集的概念;元素与子集,属于与 包含间的区别; 空集是任何非空集合的真子 集的理解;补集的概念及其有关运算. 考纲要求:①理解集合之间包含与相等的含义,能识 别给定集合的子集; ②在具体情景中,了解全集与空集的含义; ③理解在给定集合中一个子集的补集的含义, 会求给定子集的补集. 经典例题: 已知 A= x|x=8m+14n,、∈Z}B= x|x=2k, { m n ,{

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k∈Z} ,问:
(1)数 2 与集合 A 的关系如何? (2)集合 A 与集合 B 的关系如何? 当堂练习: 1.下列四个命题:① ? ={0} ;②空集没有子集; ③任何一个集合必有两个或两个以上的子集;④空 集是任何一个集合的子集.其中正确的有( A.0 个 A.a>1 D.a≤1 3.设 U 为全集,集合 M、N U,且 M ? N,则下列各式 成立的是( A. C.
u u

) )

B.1 个

C.2 个 B.a≥1

D.3 个 C.a<1

2. M={x|x>1},={x|x≥a}, N ? M,( 若 N 且 则


u u

M? M?

N N

B. D.

u u

M?M M?N

4. 已知全集 U={x|-2≤x≤1},A={x|-2<x< 1 =,B={x|x2+x-2=0},C={x|-2≤x<1 =,则( A.C ? A ) B.C ?
u

A

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C.

u

B=C
u

D. ) B.5 个

u

A=B

5.已知全集 U={0,1,2,3}且

A={2},则集合
C.8 个

A 的真子集共有(
A.3 个 D.7 个

6.若 A B,A C,B={0,1,2,3} C={0,2,4, , 8} ,则满足上述条件的集合 A 为________. 7.如果 M={x|x=a2+1,a? N*},P={y|y=b2- 2b+2,b ? N+},则 M 和 P 的关系为 M_________P. 8.设集合 M={1,2,3,4,5,6},A ? M,A 不是空 集,且满足:a ? A,则 6-a? A,则满足条件的集合 A 共有_____________个. 9 . 已 知 集 合 A={ ?1 ? x ? 3 } , u A={ x | 3 ? x ? 7 } , u B={ ?1 ? x ? 2 },则集合 B= . 10.集合 A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0}, 若 B A,则实数 m 的值是 . 11.判断下列集合之间的关系: (1)A={三角形},B={等腰三角形},C={等边 三角形};
2 2.A={ x | x ? x ? 2 ? 0 },B={ x | ?1 ? x ? 2 },C={ 2 x | x ? 4 ? 4 x };

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(3.A={ x | 1 ? x ? 10 ={ x | 2 x ? 1 ? 3 }; (4. A ? {x | x ?
k 2 ? 1 4

10

2 },B={ x | x ? t ? 1, t ? R },C

, k ? Z }, B ? {x | x ?

k 4

?

1 2

, k ? Z }.

2 0 R 12. 已知集合 A ? ? x | x ? ( p ? 2 ) x ? 1 ? , x ?? ,且

A ? {负实数},求实数

p 的取值范围.

13. .已知全集 U={1,2,4,6,8,12},集合 A={8,x,y,z}, 集合 B={1,xy,yz,2x},其中 z ? 6,12 ,若 A=B, 求 u A..

14.已知全集 U={1,2,3,4,5},A={x? U|x -5qx +4=0,q ? R}. (1)若 (2)若
u u

2

A=U,求 q 的取值范围; A 中有四个元素,求
u u

A 和 q 的值; A 和 q 的值.

(3)若 A 中仅有两个元素,求

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§1.3 交集、并集

重难点:并集、交集的概念及其符号之间的区别与联 系. 考纲要求:①理解两个集合的并集与交集的含义,会 求两个简单集合的并集与交集; ②能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运 算. 经 典 例 题 : 已 知 集 合 B= ? x ax
2

A=

?x x

2

?x?0 ,

?

? 2 x ? 4 ? 0 , 且 A ? B=B, 求实数 a 的取值范围.

?

当堂练习: 1 . 已 知 集 合

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M ?

?x x

2

? px ? 2 ? 0 , N ?

?

?x x

2

? x ? q ? 0 , 且M ? N ? ?2?

?

,则 p, q 的值为 ( A.
p ? ?3, q ? ?2

) . B.
p ? ?3, q ? 2

C.

p ? 3, q ? ?2

D. p ? 3, q ? 2 2.设集合 A={ x,y)|4x+y=6} B={ x,y)| ( , ( 3x +2y =7} ,则满足 C ? A ∩ B 的集合 C 的个数是 ( A.0 ) . B.1 C.2 D.3 ) .

3.已知集合 A ? ?x | ?3 ? x ? 5?,B ? ?x | a ? 1 ? x ? 4a ? 1?,且A ? B ? B ,
B ??

,则实数 a 的取值范围是(
B. 0 ? a ? 1 D. ? 4 ? a ? 1

A. a ? 1 C. a ? 0

4.设全集 U=R,集合 M ? ?x 解集是( A. M (
u

f ( x ) ? 0? , N ? ? x g ( x ) ? 0? , 则方程

f ( x) g ( x)

?0



) . B.
M

∩(

u

N)

C.

M



N)

D. M ? N
u u

5.有关集合的性质:(1) (2) u(A ? B)=(
u

(A ? B)=(

u

A)∪(

u

B);

A) ? (

B)
?

(3) A ? ( uA)=U

(4) A

( uA)= ?

其中正

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确的个数有( A.1 D.4

)个. B. 2 C.3

6.已知集合 M={x|-1≤x<2=,N={x|x—a ≤0} ,若 M∩N≠ ? ,则 a 的取值范围是 . .
2
u

7. 已知集合 A= x|y=x2-2x-2, ∈R} B= y| { x , {

y=x2-2x+2,x∈R} ,则 A∩B=
8.已知全集 U ? ?1, 2 , 3, 4 ,?5 且, A ? (
A ? B ? ?,
u

B) ? ?1, 2? , (


A) ?B ? ?4, 5? ,
B

则 A=

,B=

A

9.表示图形中的阴影部分 A= ?( x, y ) ( uA)
y?2 x ?1

C



10. 在 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 点 集
?2

?,B= ?

( x , y ) y ? 2 x?

,则 .

?

B=
2

11. 已知集合 M= ?2, a ? 2, a 数 a 的的值.

? 4 , N ? a ? 3, a ? 2, a ? 4 a ? 6 , 且M ? N ? ? ? 2
2 2

?

?

?

,求实

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12
A?
?B











?x

x ? bx ? c ? 0 , B ?
2

?

?x

x ? mx ? 6 ? 0 , 且A ? B ? B , A
2

?

= ?2? ,求实数 b,c,m 的值.

13. 已 知 A (
u u

?

B={3}, (
u

u u

A) ∩ B={4,6,8}, A ∩
*

B)={1,5},(

A) ∪ (

B)={ x x ? 10, x ? N , x ? 3 }, 试 求

(A∪B),A,B.

14.已知集合 A= ?x ? R x

2

? 4x ? 0

? ,B= ?x ? R x

2

? 2( a ? 1) x ? a ? 1 ? 0
2

? ,且

A

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∪B=A,试求 a 的取值范围.

必修 1

第1章

集 合 ,则下列结论中正确的是 (B) ? A a (C)

§1.4 单元测试 1.设 A={x|x≤4},a= ( {a}∈A 2.若{1,2} 数是( (A)8 ) (B)7 (C)4 ) (B)M={1, (D)3 )
≠ (A) ? {a} ≠
17

?

A (D)a ? A

A ? {1,2,3,4,5},则集合 A 的个

3.下面表示同一集合的是( 2},N={(1,2)}

(A)M={(1,2)},N={(2,1)}

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(C)M= ? ,N={ ? } M={x| x
2

(D) ) (C)

? 2 x ? 1 ? 0}

,N={1} (B) ? P 或 x? Q x ) (C)

4.若 P ? U,Q ? U,且 x∈CU(P∩Q) ,则( (A) ? P 且 x? Q x x∈CU(P∪Q) (A) M∩N=N CU N ? CU M (D)x∈CUP (B) M∪N=M

5. 若 M ? U,N ? U,且 M ? N,则( (D)CUM ? CUN )
, x, y ? R}

6.已知集合 M={y|y=-x2+1,x∈R},N={y|y=x2,x∈ R},全集 I=R,则 M∪N 等于( ( A ) {(x,y)|x= {(x,y)|x ? ?
2 2 ,y? 1 2 , x, y ? R} ? 2 2 ,y ? 1 2

( B )

(C){y|y≤0,或 y≥1} {y|y<0, 或 y>1}

(D)

7.50 名学生参加跳远和铅球两项测试,跳远和铅球 测试成绩分别及格 40 人和 31 人,两项测试均不及格 的有 4 人,则两项测试成绩都及格的人数是( (A) 35 (B) 25 ) (C)

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28

(D)15

8.设 x,y ? R,A= ?( x, y) y ? x? ,B=

?

( x, y )

y x

?1

? ,则 A、B 间的关

系为( ) (A)A B (B)B A (C)A=B (D)A∩B= ? 9. 设全集为 R,若 M= ?x x ? 1? ,N= ?x 0 ? x ? 5? ,则(CUM) ∪(CUN)是( ) (A) x x ? 0? (B) ?x x ? 1或x ? 5? (C) x x ? 1或x ? 5? (D) ? ?
?x
x ? 0或x ? 5?

10.已知集合 M ? { x | x ? 3m ? 1 , m ? Z }, N ? { y | y ? 3n ? 2 , n ? Z } ,若 则 x y 与 集 合 M ,N 的 关 系 是 x ?M , y ?N , ( ) (A)x y ? M 但 ? N(B)x y ? N 但 ? M(C)x y ? M 且 ? N(D) x y ? M 且? N
0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

11.集合 U,M,N,P 如图所示,则图中阴影部分所 U 表示的集合是( )
P M N

(A)M∩(N∪P) (C)M∪CU(N∩P) 12.设 I 为全集,A ? I,B ( ) (A)CIA A∩CIB = ? CI B

(B)M∩CU(N∪P) (D)M∪CU(N∪P) A,则下列结论错误的是 (B)A∩B=B (C)

(D) CIA∩B= ?

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13.已知 x∈{1,2,x2},则实数 x=__________. 14.已知集合 M={a,0},N={1,2},且 M∩N={1},那 么 M∪N 的真子集有 个. . 15.已知 A={-1,2,3,4};B={y|y=x2-2x+2,x∈ A},若用列举法表示集合 B,则 B= 16.设 I ? ? 1 , 2 , 3 , 4 ? , A 与 B 是 I 的子集,若 A ? B ? ? 2 , 3 ? ,则 称 ( A, B) 为一个“理 想配集” ,那么符合此条件的“理想配集”的个数 是 . (规定 ( A, B) 与 ( B, A) 是两个不同的 “理想配集” ) 17. 已知全集 U={0, 2, 9}, UA)∩(CUB)={0, 1, ?, 若(C 4,5},A∩(CUB)={1,2,8},A∩B={9}, 试求 A∪B.

18.设全集 U=R,集合 A= ?x ? 1 ? x ? 4? ,B= ? y y ? x ? 1, x ? A? ,试求 CUB, A∪B, A∩B,A∩(CUB), ( CU A) ∩(CUB).

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19.设集合 A={x|2x2+3px+2=0};B={x|2x2+x+q=0}, 其中 p,q,x∈R,当 A∩B= ? 1? 时,求 p 的值
2

和 A∪B.

20. 设集合 A= ?( x, y ) y ? x

2

? 4x ? 6

?

?b ?

b ? 4ac
2

2a

,B= ?( x, y) y ? 2 x ? a? ,问:

(1) a 为何值时,集合 A∩B 有两个元素; (2) a 为何值时,集合 A∩B 至多有一个元素.

21. 已知集合 A= ?a , a , a , a ? , ?a B=
1 2 3 4

2

1

, a2 , a3 , a4

2

2

2

其中 a , a , a , a 均 ?,
1 2 3 4

为正整数,且 a

1

? a2 ? a3 ? a4

,A∩B={a1,a4}, a1+a4=10, A

∪B 的所有元素之和为 124,求集合 A 和 B.

22.已知集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+3a-

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5},若 A∩B=B,求实数 a 的值.

必修 1

第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.1.1 函数的概念和图像

重难点: 在对应的基础上理解函数的概念并能理解符 号“y=f(x) ”的含义,掌握函数定义域与值域的求 法; 函数的三种不同表示的相互间转化,函数的解 析式的表示,理解和表示分段函数;函数的作图及如 何选点作图,映射的概念的理解. 考纲要求:①了解构成函数的要素,会求一些简单函 数的定义域和值域; ②在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当 的方法(如图像法、列表法、解析法)表示 函数;

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③了解简单的分段函数,并能简单应用; 经典例题:设函数 f(x)的定义域为[0,1] , 求下列函数的定义域: (1)H(x)=f(x2+1) ; (2)G(x)=f(x+m)+f(x-m) m>0). ( 当堂练习: 1. 下列四组函数中,表示同一函数的是( A. f ( x) ? x , g ( x) ? C. f ( x) ? x
2


x)
2

x

2

B. f ( x) ? x , g ( x) ? ( D. f ( x) ?
x ?1 ?

?1

x ?1

, g ( x) ? x ? 1

x ? 1, g ( x ) ?

x ?1
2

2.函数 y ? f ( x) 的图像与直线 x ? a 交点的个数为( A.必有一个 D.可能 2 个以上 3.已知函数 f ( x) ? A . ?x x ? 1? D. ?x x ? 1, ?2? 4.函数 f ( x) ? A.5 , ??) [
4
1 1 ? x (1 ? x )



B.1 个或 2 个
1 x ?1

C.至多一个 )

,则函数 f [ f ( x)] 的定义域是( B . ?x x ? ?2?

C . ?x x ? ?1, ?2?

的值域是(
4

) D.??, 4 ] (
3 3

B.??, 5 ] (

C. [ 4 , ??)

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5.对某种产品市场产销量情况如图所 示, 其中:l 表示产品各年年产量的变化 规律; l 表示产品各年的销售情况.下 列叙述: ( ) (1)产品产量、销售量均以直线上升,仍可按原生 产计划进行下去; (2)产品已经出现了供大于求的情况,价格将趋跌; (3)产品的库存积压将越来越严重,应压缩产量或 扩大销售量; (4) 产品的产、 销情况均以一定的年增长率递增. 你 认为较合理的是( ) A. , , (1)(2)(3) B. , , (1)(3)(4) C. , (2) (4) D. (2)(3) ,
1 2

6 . 在 对 应 法 则 x ? y , y ? x ? b, x ? R , y ? R 中 , 若 2 ? 5 , 则 , ?2 ? ? 6. 7. 函数 f ( x) 对任何 x ? R 恒有 f ( x ? x ) ? f ( x ) ? f ( x ) , 已知 f (8) ? 3 , f ( 2) ? 则 . a b 8. 规定记号 ? ” “ 表示一种运算, a ? b ? a b ? a ? b ,、 ? R . 即 若 1? k ? 3 ,则函数 f ? x ? ? k ? x 的值域是___________. 9.已知二次函数 f(x)同时满足条件: (1) 对称轴 是 x=1; (2) f(x)的最大值为 15;(3) f(x)的两根 立 方 和 等 于 17 . 则 f(x) 的 解 析 式 是 . 10.函数 y ? 5 的值域是 .
?
1 2 1 2
?

x ? 2x ? 2
2

11 . 求 下 列 函 数 的 定 义 域 : (1) (2) f ( x) ? ( x ? 1)
0

f ( x) ? 2?

x 1 x ?1

x ?x

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12.求函数 y ? x ?

3x ? 2

的值域.

13.已知 f(x)=x2+4x+3,求 f(x)在区间[t,t+1]上的 最小值 g(t)和最大值 h(t).

D

C

14. 在边长为 2 的正方形 ABCD 的边
A B

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上有动点 M,从点 B 开始,沿折线 BCDA 向 A 点运动, 设 M 点运动的距离为 x,△ABM 的面积为 S. (1)求函数 S=的解析式、定义域和值域; (2)求 f[f(3)]的值.

必修 1 基本初等函数Ⅰ

第2章 §2.1.2 函数的简单性质

函数概念与

重难点:领会函数单调性的实质,明确单调性是一个 局部概念, 并能利用函数单调性的定义证明具体函数 的单调性,领会函数最值的实质,明确它是一个整体 概念,学会利用函数的单调性求最值;函数奇偶性概 念及函数奇偶性的判定; 函数奇偶性与单调性的综合

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应用和抽象函数的奇偶性、单调性的理解和应用;了 解映像概念的理解并能区别函数和映像. 考纲要求:①理解函数的单调性、最大(小)值及其 几何意义;结合具体函数,了解函数奇 偶性的含义;并了解映射的概念; ②会运用函数图像理解和研究函数的性质. 经典例题:定义在区间(-∞,+∞)上的奇函数 f (x)为增函数,偶函数 g(x)在[0,+∞ )上图 像与 f(x)的图像重合.设 a>b>0,给出下列不等 式,其中成立的是 ① f( b)- f(- a)> g( a)- g(- b) ( b)- f(- a)< g( a)- g(- b) ③ f a) f ( - (-b) g b) g > ( - (-a) ④ ②f

f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)
A.①④ C.①③ D.②④ B.②③

当堂练习: 1.已知函数 f(x)=2x2-mx+3,当 x ? ? ?2, ?? ? 时是增函数, 当 x ? ? ??, ?2 ? 时 是 减 函 数 , 则 f(1) 等 于 ( ) A . -3 B . 13 C.7

D.含有 m 的变数 2.函数 f ( x) ?
2 2

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1? x ? x ?1 1? x ? x ?1

是(



A. 非奇非偶函数 数奇函数 3 . 已 (2) f ( x) ?
?

B.既不是奇函数,又不是偶函 D. 奇函数 (1)
f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1

C. 偶函数 知 函 数
2

,

x ?1 ? 1? x

,(3) f ( x) ? 3x

? 3x

0( ? Q (4) f ( x) ? ?1( xx? C )Q ) ,其中是偶函数的有( ?
R

)个 C.3

A.1 D.4

B.2

4.奇函数 y=f(x) x≠0) ( ,当 x∈(0,+∞)时,f (x)=x-1,则函数 f(x-1)的图像为 ( )

5. 已知映射 f:A ? B,其中集合 A={-3,-2,-1,1,2,3,4}, 集合 B 中的元素都是 A 中元素在映像 f 下的象,且对 任意的 a ? A ,在 B 中和它对应的元素是 a ,则集合 B 中 元素的个数是( )

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A.4 D.7 6.函数 f ( x) ? ?2 x 是
2

B.5

C.6

? 4tx ? t

在区间[0, 1]上的最大值 g(t) .
2

7. 已知函数 f(x)在区间 (0, ??) 上是减函数,则 f ( x

? x ? 1)

与 f ( 3 ) 的大小关系是 . 4 8. 已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x<0 时, f(x) 是增函数,若 x1<0,x2>0,且 x ? x ,则 f ( x ) 和 f ( x ) 的大小 关系是 . 9.如果函数 y=f(x+1)是偶函数,那么函数 y=f(x) 的图像关于_________对称.
1 2
1

2

10.点(x,y)在映射 f 作用下的对应点是 (

3x ? y 2

,

3y ? x 2

)

,

若点 A 在 f 作用下的对应点是 B(2,0),则点 A 坐标 是 .
x ? 2x ?
2

1 2

13. 已知函数 f ( x) ?

,其中 x ? [1, ??) , (1)试判断它的

x

单调性;(2)试求它的最小值.

14.已知函数 f ( x) ?

2 a ?1 a

?

1 a x
2

,常数 a ? 0 。

(1)设 m ? n ? 0 ,证明:函数 f ( x) 在 [m,] 上单调递增; n (2) 0 ? m ? n 且 f ( x) 的定义域和值域都是 [m, ] , n ? m 的 设 求 n

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最大值.

13.(1) 设 f(x) 的 定 义 域 为 R 的 函 数 , 求 证 :
F ( x) ? 1 2 G ( x) ? 1 2 [ f ( x ) ? f ( ? x )] [ f ( x) ? f ( ? x)]

是偶函数; 是奇函数.
3

(2)利用上述结论, 你能把函数 f ( x) ? 3x

? 2x ? x ? 3
2

表示成一

个偶函数与一个奇函数之和的形式.

14. 在集合 R 上的映像: f : x ? z ? x
1

2

?1

,f

2

: z ? y ? 4( z ? 1) ? 1
2

.

(1)试求映射 f : x ? y 的解析式; (2)分别求函数 f1(x)和 f2(z)的单调区间; (3) 求函数 f(x)的单调区间.

必修 1

第2章

函数概念

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与基本初等函数Ⅰ §2.1.3 单元测试 1. 设集合 P= ?x 0 ? x ? 4? ,Q= ? y 0 ? y ? 2? ,由以下列对应 f 中 不能 构成 A 到 B 的映射的是 ( )A. y ? 1 x ..
2

B.

y?

1 3

x

C.

y?

2 3

x

D.

y? x
8

1

2 . 下 列 四 个 函 数 : (1)y=x+1; (2)y=x+1; (3)y=x2-1; (4)y= 1 ,其中定义域与值域相同的是
x

( ) A . (1)(2) B . (1)(2)(3) C.2)(3) D.(2)(3)(4) 3.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ? 2 ,若 f (2006) ? 10 ,则 f (?2006) 的值为
7

x

( ) A.10 D.无法确定
?1 ( x ? 0)

B. -10

C.-14

4.设函数 f ( x) ? ??1( x ? 0) ,则 (a ? b) ? (a ? b) ? f (a ? b) (a ? b) 的值为 ?
2

( ) A.a B.b C.a、b 中较小的数 D.a、b 中较大的数 5.已知矩形的周长为 1,它的面积 S 与矩形的长 x 之 间的函数关系中,定义域为( ) A. x 0?x? 1 B. x 0?x? 1 C. x 1 ?x?1

? D. ?

4 1 4

x

? x ?1

? ?

?

2

?

?

4

2

?

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2

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6.已知函数 y=x -2x+3 在[0,a](a>0)上最大值是 3, 最小值是 2,则实数 a 的取值范围是( ) A.0<a<1 B.0<a ? 2 C. ? a ? 2 D. 0 ? a ? 2 7.已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数,且在(-∞, 0] 上 是减函数,若 f (a) ? f (2) ,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤2 B . a ≤ -2 或 a ≥ 2 C.a≥-2 D.-2≤a≤2 8.已知奇函数 f ( x) 的定义域为 (??, 0) ? (0, ??) ,且对任意正 实数 x , x ( x ? x ) ,恒有 f ( x ) ? f ( x ) ? 0 ,则一定有( )
1 2

1

2

1

2

x1 ? x2

A. f (3) ? f (?5) B. f (?3) ? f (?5) C . f (?5) ? f (3) D. f (?3) ? f (?5) 9.已知函数 f ( x) ? 1 ? x 的定义域为 A,函数 y=f(f(x))的
1? x

定义域为 B,则( ) A. A ? B ? B B. A ? B ? A C. A ? B ? ? D. A ? B ? A 10.已知函数 y=f(x)在 R 上为奇函数,且当 x ? 0 时, f(x)=x2-2x,则 f(x)在 x ? 0 时的解析式是( ) 2 2 A. f(x)=x -2x B . 2f(x)=x +2x 2 C. f(x)= -x +2x D. f(x)= -x -2x 11.已知二次函数 y=f(x)的图像对称轴是 x ? x ,它在 [a,b]上的值域是 [f(b),f(a)],则 ( )A. x ? b x x x B. ? a C. ? [a, b] D. ? [a, b] 12.如果奇函数 y=f(x)在区间[3,7]上是增函数,且 最小值为 5,则在区间[-7,-3]上( ) A.增函数且有最小值-5 B. 增函数且有最大值-5 C.减函数且有最小值-5 D.减函数且有最大值-5
0 0
0 0 0

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x
2

13











f ( x) ?

1? x

2





. 14 . 设 f(x)=2x+3 , g(x+2)=f(x-1) , 则 g(x)= . 15.定义域为 [a ? 3a ? 2, 4] 上的函数 f(x)是奇函数,则 a= . 16.设 f ( x) ? x ? 3x, g ( x) ? x ? 2 ,则 g ( f ( x)) ? . 17. 作出函数 y ? ? x ? 2 x ? 3 的图像, 并利用图像回答下列
1 1 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f ( ) ? f ( ) ? 2 3
2
3 2

2

问题: (1)函数在 R 上的单调区间; 上的值域. (2)函数在[0,4]

18.定义在 R 上的函数 f(x)满足:如果对任意 x1,
1 x2∈R, 都有 f( x ? x )≤ [f(x1)+f(x2)]则称函数 f(x) , 2 2
1 2

是 R 上的凹函数.已知函数 f(x)=ax2+x(a∈R 且 a≠ 0),求证:当 a>0 时,函数 f(x)是凹函数;

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19.定义在(-1,1)上的函数 f(x)满足:对任意 x、
y y∈(-1,1)都有 f(x)+f(y)=f( 1x??xy ).

(1)求证:函数 f(x)是奇函数; (2)如果当 x∈(-1,0)时,有 f(x)>0,求证:

f(x)在(-1,1)上是单调递减函数;

20.记函数 f(x)的定义域为 D,若存在 x0∈D,使

f(x0)=x0 成立, 则称以(x0, 0)为坐标的点是函数 f(x) y

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的图像上的“稳定点” . (1)若函数 f(x)= 3x ? 1 的图像上有且只有两个相异的
x?a

“稳定点” ,试求实数 a 的取值范围; (2)已知定义在实数集 R 上的奇函数 f(x)存在有限个 “稳定点” ,求证:f(x)必有奇数个“稳定点” .

必修 1 与基本初等函数Ⅰ §2.2 指数函数

第2章

函数概念

重难点:对分数指数幂的含义的理解,学会根式与分 数指数幂的互化并掌握有理指数幂的运算性质; 指数 函数的性质的理解与应用, 能将讨论复杂函数的单调 性、 奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问 题.

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考纲要求:①了解指数函数模型的实际背景; ②理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的 意义,掌握幂的运算; ③理解指数函数的概念,并理解指数函数的单 调性与函数图像通过的特殊点; ④知道指数函数是一类重要的函数模型. 经典例题:求函数 y=3 的单调区间和值域.
? x 2 ? 2 x ?3

当堂练习: 1.数 a ? (
1 2 ) ,b ? ( ) ,c ? ( ) 3 5
4 6 ? 1

1

?

1

1

?

1 8

的大小关系是( B. b?a?c

) C. c?a?b

A. a?b?c D. c ? b ? a
1

2. 要使代数式 ( x ? 1) 有意义,则 x 的取值范围是 (
? 3


x

A.

x ?1

B.

x ?1

C.

?1

D.一切实数 3.下列函数中,图像与函数 y=4x 的图像关于 y 轴对 称的是( A.y=-4x ) B.y=4-x C. y=-4 - x

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D.y=4x+4-x 4.把函数 y=f(x)的图像向左、向下分别平移 2 个单 位长度,得到函数 y ? 2 的图像,则(
x

) C.
f ( x) ? 2
x?2

A.

f ( x) ? 2

x?2

?2

B.

f ( x) ? 2

x?2

?2

?2

D. f ( x) ? 2

x?2

?2
?x

5.设函数 f ( x) ? a C.f(1)>f(2) 6.计算. [(? 1 ) ]
2
2
3 ?8

( a ? 0, a ? 1)

,f(2)=4,则( D.f(-2)>f(2)



A . f(-2)>f(-1)
1 ?2 ?( ) ? 8
x ?1 ?
2

B . f(-1)>f(-2) . . 是 奇 函 数 , 则

? ( ?4)

?15

7.设 x ? x ? 1 ? a ,求 x ? 8 . 已 知 f ( x) ? 1
2 mn
x

m?n

3 ?1

?m

f ( ?1)

=
f ( x) ? a
x ?1


? 1( a ? 0, a ? 1)

9 . 函 数 点

的 图 像 恒 过 定


x

10.若函数 f ? x ? ? a

? b ? a ? 0, a ? 1?

的图像不经过第二象限, .
a
2

则 a, b 满足的条件是 11.先化简,再求值: (1) (2)
? 1 ?1 ?2 ? 1 ?1 ? 3 2

b

3

a b
2

,其中 a ? 256, b ? 2006 ;

b

a
1
8

[ a 2 b( a b ) 2 ( a ) 2 ]

,其中 a ? 2

?

1 3

,b ?



2

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12.(1)已知 x ? [-3,2],求 f(x)= 1 ? 1 ? 1 的最小值与
4
x

2

x

最大值. (2)已知函数 f ( x) ? a 的值. (3)已知函数 y ? a
2x
x ?3 x ?3
2

在[0,2]上有最大值 8,求正数 a 在区间[-1,1]上的最大

? 2a ? 1(a ? 0, a ? 1)
x

值是 14,求 a 的值.

13.求下列函数的单调区间及值域: (1)
2 x ( x ?1) f ( x) ? ( ) 3



(2) y ? 1 ? 2 ;
x

4

x

(3)求函数 f ( x) ? 2

?

x ?3 x ? 2

2

的递增区间.

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14.已知 f ( x) ? a

x

?

x?2 x ?1

( a ? 1)

(1)证明函数 f(x)在 (?1, ??) 上为增函数;(2)证明方程
f ( x) ? 0 没有负数解.

必修 1 与基本初等函数Ⅰ §2.3 对数函数

第2章

函数概念

重难点: 理解并掌握对数的概念以及对数式和指数式 的相互转化, 能应用对数运算性质及换底公式灵活地 求值、化简;理解对数函数的定义、图像和性质,能 利用对数函数单调性比较同底对数大小, 了解对数函 数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活

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应用. 考纲要求:①理解对数的概念及其运算性质,知道用 换底公式能将一般对数转化成自然对 数或常用对数; 了解对数在简化运算中 的作用; ②理解对数函数的概念;理解对数函数的单调 性,掌握函数图像通过的特殊点; ③知道对数函数是一类重要的函数模型; ④了解指数函数 y ? a 与对数函数 y ? log x 互为反函
x

a

数 ? a ? o, a ? 1? . 经典例题:已知 f(logax)= a ( x ≠1. (1) f x) (2) 求 ( ; 求证: (x) f 是奇函数; (3) 求证:f(x)在 R 上为增函数.
2

? 1)

x ( a ? 1)
2

,其中 a>0,且 a

当堂练习:

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1.若 lg 2 ? a, lg 3 ? b ,则 lg 0.18 ? ( A. 2a ? b ? 2 D. a ? 3b ? 1 2. a 表示 设 A.1 ? D. 1
2
1 3? 5

) C. 3a ? b ? 2

B. a ? 2b ? 2

的小数部分, log 则 B.2 ? 的值域是(

2a

(2 a ? 1)

的值是 (

) C. 0

3.函数 y ?
[1 A. ? 3,1 ? 3]

lg( ?3 x ? 6 x ? 7)
2

) C. ??) [0,

B. [0,1]

D.{0} 4. 设函数
?x2 , x ? 0 f ( x) ? ? , 若f ( x0 ) ? 1, 则x0 的取值范围为 ( ?lg( x ? 1), x ? 0



A. (-1, 1) D. (??, ?1) ? (9, ??)

B. (-1, +∞)

C.??, 9) ( ) B. 偶 D. 偶

5. 已知函数 f ( x) ? ( 1 ) , 其反函数为 g ( x) , g ( x) 是 则 (
x
2

2

A. 奇函数且在 (0, +∞) 上单调递减 函数且在(0,+∞)上单调递增 C. 奇函数且在 (-∞, 上单调递减 0) 函数且在(-∞,0)上单调递增 6.计算 log
2008

[log 3 (log 2 8)]

=



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7.若 2.5x=1000,0.25y=1000,求 1 ? 1 ?
x y
3



8. 函数 f(x)的定义域为[0,1],则函数 f [log (3 ? x)] 的定义 域为 则 a 的取值范围是 函 数 点 , 则 . . . 的 图 像 必 过 定 9.已知 y=loga(2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数, 10.函数 y ? f ( x)( x ? R) 图像恒过定点 (0,1) ,若 y ? f ( x) 存在反
y ? f ( x)
?1

y ? f ( x) ? 1

?1

11.若集合{x,xy,lgxy}={0,|x|,y},则 log8 (x2+y2)的值为多少.

12.(1) 求函数 y ? (log (2)已知 2 log
2 1 2 2

x
2

3

)(log 2

x 4

)

在区间 [2
2

2 , 8]

上的最值.
4 x )

x ? 5 log 1 x ? 3 ? 0,

求函数 f ( x) ? (log

x 8

) ? (log 1
2

的值域.

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13.已知函数

f ( x) ? log a

1 ? mx x ?1

( a ? 0, a ? 1)

的图像关于原点对

称. (1)求 m 的值; (2)判断 f(x) 在 (1, ??) 上的单调性,并根据定义证明.

14.已知函数 f(x)=x2-1(x≥1)的图像是 C1,函数

y=g(x)的图像 C2 与 C1 关于直线 y=x 对称.
(1)求函数 y=g(x)的解析式及定义域 M; (2)对于函数 y=h(x),如果存在一个正的常数 a,使 得定义域 A 内的任意两个不等的值 x1,x2 都有|h(x1) -h(x2)|≤a|x1-x2|成立, 则称函数 y=h(x)为 A 的利 普希茨Ⅰ类函数.试证明:y=g(x)是 M 上的利普希茨 Ⅰ类函数.

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必修 1 与基本初等函数Ⅰ §2.4 幂函数

第2章

函数概念

重难点:掌握常见幂函数的概念、图像和性质,能利 用幂函数的单调性比较两个幂值的大小. 考纲要求:①了解幂函数的概念; ②结合函数 y ? x, y ? x , y ? x , y ?
2 3

1 x

1

, y ? x2

的图像,了解他

们的变化情况. 经典例题:比较下列各组数的大小: (1)1.5 ,1.7 ,1;
10 7
?
1 3 1 3

(2) (-

2 2

) , (-

?

2 3

) ,1.1 ; (3)3.8 ,3.9 , (-1.8) ;
2 3 2 5 3 5

2 3

?

4 3

(4)31.4,

51.5.

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当堂练习: 1.函数 y=(x -2x) 的定义域是(


2

1 2



A.{x|x≠0 或 x≠2}
2 5

B. (-∞,0) ? (2,+∞) ) D. (0,2) )
y c1

C. (-∞,0) ? [2,+∞ A. (-∞, 1) +∞ ] 一象限的图像, 那么一定有( A . n<m<0 C.m>n>0 )

3.函数 y= x 的单调递减区间为( B. (-∞, 0) D. (-∞,+∞)

C. [0,
c2

3.如图,曲线 c1, c2 分别是函数 y=xm 和 y=xn 在第 0 x

B . m<n<0 D.n>m>0 ) B.幂函数 D. 若幂

4.下列命题中正确的是(
?

A.当 ? ? 0 时,函数 y ? x 的图像是一条直线 的图像都经过(0,0)(1,1)两点 ,

C. 幂函数的 y ? x 图像不可能在第四象限内
?

函数 y ? x 为奇函数,则在定义域内是增函数
?

5.下列命题正确的是(



A. 幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的

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函数 B. 图像不经过(—1,1)为点的幂函数一定不是 偶函数 C. 如果两个幂函数的图像具有三个公共点,那么 这两个幂函数相同 D. 如果一个幂函数有反函数,那么一定是奇函数 6 . 用 “ <” 或 ”>” 连 结 下 列 各 式 : 0.32
0.34
0.5 0.6

0.32

0.5



0.8?0.4

0.6?0.4



7. 函数 y=
x

1
2-m-m
2

在第二象限内单调递增, m 的最大 则 _.
4

负整数是_______ 是 则 a 的取值范围是

8.幂函数的图像过点(2, 1 ), 则它的单调递增区间 .
a

9. x∈(0, 1), 设 幂函数 y= x 的图像在 y=x 的上方, . 是减函数.
3
3 4

10. 函数 y= x 在区间上
?

11.试比较 0.16 ,1.5
3

5

0.75

, 6.25 8

的大小.

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4 5

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12.讨论函数 y=x 的定义域、值域、奇偶性、单调 性。

13.一个幂函数 y=f (x)的图像过点(3, 个幂函数 y=g(x)的图像过点(-8, -2), (1)求这两个幂函数的解析式; 函数的奇偶性; 察得 f (x)< g(x)的解集.

4

27

),另一

(2)判断这两个

(3)作出这两个函数的图像,观

14.已知函数 y=

4

15-2 x-x 2



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(1)求函数的定义域、值域; (2)判断函数的奇 偶性; (3)求函数的单调区间.

必修 1 与基本初等函数Ⅰ

第2章 基本初等函数Ⅰ单元测试

函数概念

1.碘—131 经常被用于对甲状腺的研究,它的半衰 期大约是 8 天(即经过 8 天的时间,有 一半的碘— 131 会衰变为其它元素).今年 3 月 1 日凌晨,在一 容器中放入一定量的碘 —131,到 3 月 25 日凌晨, 测得该容器内还 剩有 2 毫克的碘—131, 3 月 1 日 则 凌晨,放人该容器的碘—131 的含量是( ) A.8 毫克 B.16 毫克 y C.32 毫 y y 克 D.64 毫克 0 x 0 x 0 x x -2 2.函数 y=0.5 、 y=x 、y=log0.3x 的图像形状 (1) (2) (3) 如图所示,依次大致是 ( ) A. (2) (1) (3) B. (2) (1) (3)

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C. (1) (3) (2) D. (3) (2) (1) 3.下列函数中,值域为(-∞,+∞)的是( A.y=2x
-2

) C.y=x

B.y=x2 D.y=log ax (a>0, a≠1)

4.下列函数中,定义域和值域都不是(-∞,+∞) 的是( A.y=3x )

B.y=3x C.y=x -2 D.y=log 2x x 5.若指数函数 y=a 在[-1,1]上的最大值与最小 值的差是 1,则底数 a 等于 A. 1 ?
2 5

B. ?1 ?
2

5

C. 1 ?
2

5

D.

5 ?1 2

6.当 0<a<b<1 时,下列不等式中正确的是( A. (1-a) >(1-a)b -a) >(1-a)
b
b 2 1 b

) C. (1

B. (1+a)a>(1+b)b

D.(1-a)a>(1-b)b
log 2 x ( x ? 0)
x

7.已知函数 f(x)= ? ? ( ) A.9 D.- 1
9

?3 ( x ? 0)

,则 f[f( 1 ) ]的值是
4

B. 1
9

C.-9

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8.若 0<a<1,f(x)=|logax|,则下列各式中成立 的是( ) A . f(2) > f( 1 ) > f( 1 ) B . f( 1 ) > f(2) > f( 1 )
3
4 4

3

C.f( )>f(2)>f( )
1
1

D.f( )>f( )>f(2)
1

1

3
1 2

4
2

4

3
x

9.在 f1(x)= x ,f2(x)=x ,f3(x)=2 ,f4(x) =log x 四个函数中,当 x1>x2>1 时,使 1 [f(x1)+f
1 2

2

(x2) f( x ? x )成立的函数是( ]<
1 2

) C.f3

2

A.f1(x)=x (x)=2x

1 2

B.f2(x)=x2 D.f4(x)=log x
1 2
2

10.函数 f ( x) ? lg( x ? ax ? a ? 1)(a ? R) ,给出下述命题:① f ( x) 有 最小值; ②当 a ? 0时, f ( x) 的值域为 R; ③当 a ? 0时, f ( x)在[3 ? ?) 上 有反函数.则其中正确的命题是( ) A.①②③ B.②③ C.①② D . ① ③ 11.不等式 0.3 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.6 的解集是 . 12 . 若 函 数 y ? 2 ? a ? 2 的 图 像 关 于 原 点 对 称 , 则
x x
x ?x

a?



13.已知 0<a<b<1,设 aa, ab, ba, bb 中的最大值是 M, 最小值是 m,则 M= 14 . 设 函 数 是 .
f ( x) ?
a

,m=
l o x g a ( 满足0 , ? ?a 则? ) 1 f
?1


9

( f9 )

的 值2

,

( l

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4

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15.幂函数的图像过点(2, 1 ), 则它的单调递增区间 是 16.化简与求值: 值; (2) 3 log
7

. (1)已知 (
2? 3) ?( 2?
x

3) ? 4
x

,求 x 的

2 ? log 7 9 ? 2 log 7 (

3 2 2

)



17.已知 f (x)=lg(x2+1), 求满足 f (100x-10x+1) -f (24)=0 的 x 的值

18. 已 知
0 ? ac ? 1

f ( x) ? l g x

,若当 0?a ?b?c 时,

f (a) ? f (b) ? f (c)

,试证:

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19. 已知 f (x)= e

x

?e 2

?x

且 x∈[0, +∞



(1) 判断 f (x)的奇偶性; (2) 判断 f (x)的单调性, 并用定义证明;(3) 求 y=f (x)的反函数的解析式.

20.已知: f ( x) ? lg(a 单调性;

x

?b )
x

(a>1>b>0) .

(1)求 f (x) 的定义域; (2)判断 f (x) 在其定义域内的 (3)若 f (x) 在(1,+∞)内恒为正,试比较 a-b 与 1 的大小.

必修 1

第2章

函数概念

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与基本初等函数Ⅰ §2.5 函数与方程 重难点:理解根据二次函数的图像与 x 轴的交点的 个数判断一元二次方程的根的个数及函数零点的概 念,对“在函数的零点两侧函数值乘积小于 0”的理 解;通过用“二分法”求方程的近似解,使学生体会 函数的零点与方程根之间的关系, 初步形成用函数观 点处理问题的意识. 考纲要求:①结合二次函数的图像,了解函数的零点 与方程根的联系, 判断一元二次方程根 的存在性及根的个数; ②根据具体函数的图像,能够用二分法求相应 方程的近似解. 经典例题:研究方程|x2-2x-3|=a(a≥0)的不同 实根的个数.

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当堂练习: 1.如果抛物线 f(x)= x2+bx+c 的图像与 x 轴交于两 点(-1,0)和(3,0),则 f(x)>0 的解集是( A. (-1,3) D.
(??, ?1] ? [3, ??)



B.[-1,3]

C. (??, ?1) ? (3, ??)

2. 已知 f(x)=1-(x-a)(x-b), 并且 m, 是方程 f(x)=0 n 的两根,则实数 a,b,m,n 的大小关系可能是( A. m<a<b<n D.m<a<n<b 3.对于任意 k∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(k-4)x- 2k+4 的值恒大于零,则 x 的取值范围是 A.x<0 D.x<1 4. 设方程 2x+2x=10 的根为 ? ,则 ? ? ( A.(0,1) D.(3,4) 5.如果把函数 y=f(x)在 x=a 及 x=b 之间的一段图像 近似的看作直线的一段,设 a≤c≤b,那么 f(c)的近 B.(1,2) ) C.(2,3) B.x>4 C.x<1 或 x>3 B. a<m<n<b ) C. a<m<b<n

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似值可表示为(
1 A. [ f (a) ? f (b)]

) C.f(a)+ c ? a [ f (b) ? f (a)]
b?a

B. f (a) f (b)

D.f(a)



2 c?a b?a

[ f (b) ? f ( a )]

6.关于 x 的一元二次方程 x2+2(m+3)x+2m+14=0 有两 个不同的实根,且一根大于 3,一根小于 1,则 m 的取值 范围是 7. 当 a . 时,关于 x 的一元二次方程

x2+4x+2a-12=0 两个根在区间[-3,0]中. 8.若关于 x 的方程 4x+a·2x+4=0 有实数解,则实数

a 的取值范围是___________.
9.设 x1,x2 分别是 log2x=4-x 和 2x+x=4 的实根,则 x1+x2= 10.已知 f ( x) ? x
3 2


? bx ? cx ? d

,在下列说法中:

(1)若 f(m)f(n)<0,且 m<n,则方程 f(x)=0 在区间(m,n) 内有且只有一根; (2) 若 f(m)f(n)<0,且 m<n,则方程 f(x)=0 在区间 (m,n)内至少有一根; (3) 若 f(m)f(n)>0,且 m<n,则方程 f(x)=0 在区间 (m,n)内一定没有根;

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(4) 若 f(m)f(n)>0,且 m<n,则方程 f(x)=0 在区间 (m,n)内至多有一根; 其中正确的命题题号是 . 11.关于 x 的方程 mx2+2(m+3)x+2m+14=0 有两个不同 的实根,且一个大于 4,另一个小于 4,求 m 的取值 范围.

12.已知二次函数 f(x)=a(a+1)x2-(2a+1)x+1, a ? N .
*

(1)求函数 f(x)的图像与 x 轴相交所截得的弦长; (2) 若 a 依次取 1,2,3,4,---,n,时, 函数 f(x) 的图像与 x 轴相交所截得 n 条弦长分别为 l , l , l
1 2 3

,?, l n



l1 ? l2 ? l 3 ? ? ? l n

的值.

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13.
2

已 .











f ( x) ? ax ? bx ? c和一次函数g ( x) ? ?bx, 其中a, b, c ? R

且满足 a ? b ? c,

f (1) ? 0

(1)证明:函数 f ( x)与g ( x) 的图像交于不同的两点 A,B; (2)若函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x)在[2, 3] 上的最小值为 9,最大值 为 21,试求 a, b 的值; (3) 求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围.

14.讨论关于 x 的方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的 实根个数.

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必修 1 与基本初等函数Ⅰ

第2章 §2.6 函数模型及其应用

函数概念

重难点: 将实际问题转化为函数模型, 比较常数函数、 一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异,结 合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类 型的函数增长的含义. 考纲要求:①了解指数函数、对数函数以及幂函数的 增长特征,知道直线上升、指数增长、 对数增长等不同函数类型增长的含义; ②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂 函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的 函数模型)的广泛应用. 经典例题:1995 年我国人口总数是 12 亿.如果人口 的自然年增长率控制在 1.25%,问哪一年我国人口总

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数将超过 14 亿.

当堂练习: 1.某物体一天中的温度 T 是时间 t 的函数: T(t)=t3-3t+60,时间单位是小时,温度单位是 ?C ,当 t=0 表示中午 12:00,其后 t 值取为正,则上午 8 时的 温度是( A. 8
?C ?C

) B. ?C 112 D.18 ?C C. 58

2.某商店卖 A、B 两种价格不同的商品,由于商品 A 连续两次提价 20%,同时商品 B 连续两次降价 20%, 结果都以每件 23.04 元售出, 若商店同时售出这两种 商品各一件,则与价格不升、不降的情况相比较,商 店盈利的情况是: ( A . 多 赚 5.92 元 C.多赚 28.92 元 ) B . 少 赚 5.92 元 D.盈利相同

3. 某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生 产,如外购,每个价格是 1.10 元;如果自己生产,则每

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月的固定成本将增加 800 元,并且生产每个配件的材 料和劳力需 0.60 元,则决定此配件外购或自产的转 折点是( A . 1000 C.1400 D.1600 )件(即生产多少件以上自产合算) B . 1200

4.在一次数学实验中, 运用图形计算器采集到如下 一组数据. x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则 x,y 的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中 a,b 为待定系数) ( A . y=a+bX C.y=a+logbx D.y=a+b/x ) B . y=a+bx

5.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的 函数关系式是 y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N) , 若每台产品的售价为 25 万元, 则生产者不亏本时 (销 售收入不小于总成本)的最低产量是( A.100 台 台 B.120 台 D.180 台 ) C. 150

6.购买手机的“全球通”卡,使用须付“基本月租

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费”(每月需交的固定费用)50 元,在市内通话时每 分钟另收话费 0.40 元;购买“神州行”卡,使用时 不收“基本月租费” ,但在市内通话时每分钟话费为 0.60 元.若某用户每月手机费预算为 120 元,则它 购买_________卡才合算. 7.某商场购进一批单价为 6 元的日用品,销售一段 时间后, 为了获得更多利润, 商场决定提高销售价格。 经试验发现,若按每件 20 元的价格销售时,每月能 卖 360 件,若按 25 元的价格销售时,每月能卖 210 件,假定每月销售件数 y (件)是价格 x (元/件) 的一次函数。试求 y 与 x 之间的关系 式 价格定为 每月的最大利润是 . 时,才能时每月获得最大利润. . 在商品不积压,且不考虑其它因素的条件下,问销售

8.某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路. 该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之 间的差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比, 根据对市场进行抽样调查显示:每付出 100 元的广告

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费,所得的销售额是 1000 元.问该企业应该投入 广告费,才能获得最大的广告效应. 9.商店出售茶壶和茶杯,茶壶每只定价为 20 元,茶 杯每只定价 5 元,该店制定了两种优惠办法: (1)买 一只茶壶送一只茶杯; (2)按总价的 92%付款;某顾 客需购茶壶 4 只,茶杯若干只(不少于 4 只).则当 购买茶杯数 时, 按(2)方法更省钱. 10.一块形状为直角三角形的铁皮,直角边长分别为 40cm 和 60cm,现要将它剪成一个矩形,并以此三角形 的直角为矩形的一个角,则矩形的最大面积 是 .
6

11.某医药研究所开发一种新 药,如果成人按规定的剂量服 用,据监测:服药后每毫升血 液中的含药量 y 与时间 t 之间 近似满足如图所示的曲线.

y(微克)

O

1

10

t(小时)

(1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式; (2)据测定:每毫升血液中含药量不少于 4 微克时 治疗疾病有效, 假若某病人一天中第一次服药时间为 上午 7:00,问一天中怎样安排服药的时间(共 4 次)

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效果最佳.

12.某省两个相近重要城市之间人员交流频繁,为了 缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为 公共交通车,已知如果该列火车每次拖 4 节车厢,能 来回 16 次;如果每次拖 7 节车厢,则能来回 10 次. 每日来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数, 每节 车厢一次能载客 110 人,问:这列火车每天来回多少 次,每次应拖挂多少节车厢才能使营运人数最多?并 求出每天最多的营运人数.

13. 市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数 量的关系作数据分析,发现有如下规律:该商品的价 格每上涨 x%(x>0),销售数量就减少 kx% (其中 k 为正常数).目前,该商品定价为 a 元, 统计其销售

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数量为 b 个. (1)当 k= 1 时,该商品的价格上涨多少,就能使销售
2

的总金额达到最大. (2)在适当的涨价过程中,求使销售总金额不断增加 时 k 的取值范围.

14.某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数 量分别为 l 万件,1.2 万件,1.3 万件.为了估测以 后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据.用 一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份 x 的关系, 模 拟函数可以选用二次函数或函数 y ? ab
x

?c

(其中 a,b,

c 为常数).已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件, 请问用以上哪个函数作为模拟函数较好.并说明理 由. 必修 1 与基本初等函数Ⅰ 第2章 函数概念

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函数的概念与基本初等函数Ⅰ章节测试 1.函数 y ? (1 ? x ) 的定义域是( ) A. ?x x ? R且x ? 0? B. ?x x ? R且x ? 1? C. ?x x ? R或x ? 0或x ? 1? D. ?x x ? R且x ? 0且x ? 1? 6 2 . log5( +1)+log2( -1)=a , 则 2 log5( 6 -1)+log2( 2 +1)= ( ) A.-a B. 1 C.a-1
?1 ?1

a

D.1-a 3.关于 x 的方程 9 ? 4 ? 3 ? a ? 0 有实根则 a 的取值范 围是( ) A. a ? 4 B. ?4 ? a ? 0 C. ?3 ? a ? 0 D. a<0 4.已知集合 M ? ?x | y ? 3 , y ? 3?, N ? {x | y ? log x, y ? 1}, 则M ? N =( )
?| x ? 2| ?| x ? 2|
x 1 3

A. {x | x ? 1} D. {x | 1 ? x ? 1}
3

B .

{x | 0 ? x ? 1}

C .

1 {x | 0 ? x ? } 3

5. 函数 f(x)的图像与 g(x)=( 1 )x 的图像关于直线 y=x
3

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A . ?1, ?? ?

B . ? ??,1?

C . ? 0,1?

6.二次函数 y=f(x)满足 f(3+x)=f(3-x),且 f(x)=0 有两个实根 x1、x2,则 x1+x2 等于( )

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A.0 B.3 C.6 D.不能确定 7.下面四个结论:①偶函数的图像一定与 y 轴相交; ②奇函数的图像一定过原点;③偶函数的图像关于 y 轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R),其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8 . 设 f ( x) ? lg(10 ? 1) ? ax是偶函数,g ( x) ? 4 ? b 是奇函数,那么a ? b 的 值 为
x x

2

x

( A. 1
1 2

) B. -1 D. 1
2

C. -

9.设函数

?( ) x ? 8( x ? 0) ? f ( x) ? ? 3 ,若 ? x ( x ? 0) ?
1

f(a)>1,则实数 a 的

取值范围是( ) A. (?2,1) B. (??, ?2) ∪ (1, ??) C. (1,+ ∞) D. (??, ?1) ∪(0,+∞) 10 . R 上 的 函 数 y=f(x) 不 恒 为 零 , 同 时 满 足 f(x+y)=f(x)f(y),且当 x>0 时,f(x)>1,则当 x <0 时,一定有( ) A.f(x)<-1 B . - 1 < f(x) < 0 C.f(x)>1 D.0<f(x)<1 11. 已知函数 f (3 ? x) 的定义域是[2, 若 Fx() g(fl?]) x ? , 3], 3[ o
1 2

则函数 F ( x) 的定义域是



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7 7 7

12.已知函数 f ( x) ? 值是 13.设函数
?1, ? f ( x ) ? ?0, ? ?1, ?

9
x

x

9 ?3

,则 f ( 1 ) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? f ( 4 ) ? f ( 5 ) ? f ( 6 ) 的
7 7 7


x?0 x?0 x?0

,则方程 x ? 1 ? (2 x ? 1) 的解
f ( x)

为 . 14.密码的使用对现代社会是极其重要的.有一种密 码其明文和密文的字母按 A、 C?与 26 个自然数 1, B、 2,3,?依次对应。设明文的字母对应的自然数为 x , 译为密文的字母对应的自然数为 y .例如,有一种解 碼方法是按照以下的对应法则实现的:x ? y , 其中 y 是 .按照此对 3x ? 2 被 26 除所得的余数与 1 之和( 1 ? x ? 26 ) 应法则,明文 A 译为了密文 F,那么密文 UI 译成明 文为______________. 15.设函数
?2? x ? 1,x ? 0 , ? f ( x) ? ? 1 , ?x 2 x?0 ?

若 f ( x ) ? 1 ,则 x0 的取值范围
0

是 . 16.设 x?[2,4],函数 f ( x) ? log (a x) ? log
2 1 a

1 a
2

( ax)

的最大值为 0,

最小值为 ? ,求 a 的值.
1 8

17.设 f ( x) ? 3 , f
x

?1

(18) ? a ? 2, g ( x) ? 3 ? 4
ax

x

的定义域是区间[0,1],

(1)求 g(x)的解析式;

(2)求 g(x)的单调区间;

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(3)求 g(x)的值域.

18.已知 f(x)= ( x ? 2 ) ,(x ? 2).
2

x?2

(1)求 f —1(x)及其单调区间; (2)若 g(x)=3+ 求其最小值.

x

+

1 f ( x)
?1

,

19.在中国轻纺市场,当季节即将来临时,季节性服 装价格呈上升趋势,设某服装开始时定价为 10 元, 并且每周(七天)涨价 2 元,5 周后保持 20 元的价格 平稳销售,10 周后当季节即将过去时,平均每周削 价 2 元,直到 16 周末,该服装已不再销售. (1)试建立价格 P 与周次 t 的函数关系. (2)若此服装每件进价 Q 与周次 t 之间的关系为 Q=- 0.125(t-8)2+12,t∈[0,16] t∈N.试问:该服 , 装第几周每件销售利润 L 最大.

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20.巳知函数 f(x)=loga x ? 2 ,定义域为[α ,β ],值
x?2

域 为 [logaa( β —1),logaa( α —1)], 且 f(x) 在 [α ,β ]上是减函数. (1)求证:α >2; (2)求实数 a 的取值范围.

必修 1 为( )
0}

必修 1 综合测试
1}

1.设全集 U=R,集合 A = {x | x < - 1或x

,B = {x | ln x

0}

,则 (? A) ? B
U

A . {x | - 1 ? x D. {x | 0 < x < 1}

B . {x | 0 < x

1}

C. ?

2.方程 log 5 (2x ? 1) = log 5 ( x ? 2) 的解集是( A.{3} B.{-1} C . D.{1,3} 3.函数 f ( x) ? x ? 2 ? 1 的定义域是(
2

) { - )

1,3}

x?3

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A. [2, 3) D. [2, 3) ? (3, ? ?)

B . (3, ? ?)

C . [2, 3) ?

(3, ? ?)

4.下表表示 y 是 x 的函数,则函数的值域是(



x
y

0? x?5

5 ? x ? 10

10 ? x ? 15

15 ? x ? 20

2 B. [2, 5]

3

4 C. {2, 3, 4, 5}

5

A. (0, 20] D.N

5.已知 a = 0.6 ,b = 2 , c = log 3 ,则 a, b, c 之间的大小关系为
1.2
0.3
3



) B . a< c< b C . a< b< c

A . c< b< d D. b < c < a
2 6. 已知函数 f ( x) = ì??í? log , x,
- x

x < 0, x ? 0,

? ?

81

若 f ( x) = 1 , x 的值为 则 ( 4 B.3

) C.2

A.2 或3
1? x

D.-2 或 3 )

7.函数 y ? lg 1 ? x 的图像(

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A. 关于 x 轴对称 于原点对称

B. 关于 y 轴对称 D.关于直线 y ? x 对称
x

C. 关

8.根据表格中的数据,可以判定方程 e -x-2=0 的一 个根所在的区间为( x -1 x e 0.37 x+2 1 A.(-1,0) D. (2,3) 9 若 f ( x) ? ? x ? 2    x ? 10 ,则 f(5)的值等于( ?
? f ( f ( x ? 6))  x<10



0 1 2 3 1 2.72 7.39 20.09 2 3 4 5 B.(0,1) C .

(1,2)

) . 12

A.10 D.13

B.11

C

10. 已知函数 f(x)满足 f( 式是( A.log2x D.x 11
-2

)= log 2 x|x| x+|x|

2

, f(x)的解析 则 . 2-x

) B.-log2x C







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A={(x,y)|x+y-2=0},B={(x,y)|x-2y+4=0},C={(x,y) |y=3x+b},若(A∩B)? C,则 b=
a ? 4 a ?1
2



12. 已知函数 y ? x 是偶函数, 且在(0,+∞)是减函数, 则整数 a 的值是 . 13.已知函数 y = log ( x + b) 的图像如图所示,则 y a 、 b
a

的值分别为




-2

1

14.已知定义在实数集 R 上的偶函 数 f ( x) 在区间 ?0, ? ?? 上是单调增函数 , 若 是 15.已知函数 f ( x) = x - 1,
2



x

f(1)<f(2x - 1), 则 x 的 取 值 范 围

g ( x) = - x

,令 ?(x) ? max[ f (x),

g ( x)]

(即 f(x)和 g(x)中的较大者),则 ?(x) 的最小值是 ___________. 16.设 0 ? x ? 2 ,求函数 y ? 4
x? 1 2

? 3? 2 ? 5
x

的最大值和最小值.
2

17.已知关于 x 的二次函数 f ( x) = x

+ (2t - 1) x + 1 - 2t



(1)求证:对于任意 t ? R ,方程 f (x) = 1 必有实数根;
3 (2)若 1 < t < 4 ,求证:方程 f (x) = 0 在区间 (- 1, 2 0)及(0, 1 2 )

上各有

一个实数根.

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18.对于函数 f ( x) = a -

2 2 +1
x

(a

R)

, (2)是否存在实数

(1)判断并证明函数的单调性;

a,使函数 f ( x) 为奇函数.证明你的结论.
19. 在距 A 城 50km 的 B 地发现稀有金属矿藏,现知 由 A 至某方向有一条直铁路 AX, 到该铁路的距离为 B 30km,为在 AB 之间运送物资,拟在铁路 AX 上的某点

C 处筑一直公路通到 B 地.已知单位重量货物的铁路
运费与运输距离成正比,比例系数为 k ( k >0); 单位
1 1

重量货物的公路运费与运输距离的平方成正比, 比例 系数为 k ( k >0).设单位重量货物的总运费为 y 元,
2 2

AC 之间的距离为 xkm.
(1) 将 y 表示成 x 的函数;(2)若 k = 20k ,则当 x 为何
1 2

B

值时,单位重量货物的总运费最少.并求出最少运 50k 30k
A

费. C

m

m

D

X

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20.已知定理: a, b 为常数,g ( x) 满足 g (a ? x) ? g (a ? x) ? 2b , “若 则函数 y ? g ( x) 的图像关于点 (a ,b )中心对称” .设函数
f ( x) ? x ?1? a a?x

,定义域为 A.

⑴试证明 y ? f ( x) 的图像关于点 (a, ?1) 成中心对称; ⑵当 x ? [a ? 2, a ? 1] 时, 求证:( x) ? [? 1 , 0] ;3) ( 对于给定的 x ? A , f
2
1

设计构造过程: x
xi ? A ( i? 2 , 3 , 4 . . . )

2

? f ( x1 ), x3 ? f ( x2 )

,?, x

n ?1

? f ( xn )

.如果

,构造过程将继续下去;如果 x ? A ,构造
i

过程将停止.若对任意 x ? A ,构造过程可以无限进行
1

下去,求 a 的值.



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