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2015山东理科数学试题及答案


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2015 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟,考试结 束后,将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项:
1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类 填写答题卡和试卷规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案试卷上无效. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答, 答案必须必须写在答题卡各题目指定区域相 应的位置,不能写在试卷上,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案, 不能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤.

注意事项:
如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P( A)+P(B).

第Ⅰ卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)已知集合 A={ x | x2-4 x+3<0},B={ x | 2 <x <4},A∩B=( (A)(1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4) (2)若复数 z 满足 (A)1-i )

z =i,其中 i 为虚数单位,则 z=( 1? i
(B)1+i (C)-1-i (D)-1+i

)

(3)要得到函数 y=sin(4x- (A)向左平移个
? 单位 12
3

? )的图象,只需要将函数 y=sin4x 的图象( 3

)

(B)向右平移个

? 单位 12

? (C)向左平移个 单位

(D)向右平移个

? 单位 3

2015 山东理科数学试题 第 1 页 (共 4 页)

(4)已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60°, 则 BD ? CD =( (A) ? a2
3 2

)

(B) ? a2

3 4

(C)

3 2 a 4

(D) )

3 2 a 2

(5)不等式| x-1|―| x-5|<2 的解集是( (A)(-00,4) (B)(-00,1) (C)(1,4)

(D)(1,5) )

?x ? y ? 0 (6)已知 x,y 满足约束条件 ? ? x ? y ? 2 ,若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a =( ?y ? 0 ?

(A) 3

(B) 2

(C) -2

(D)-3

(7)在梯形 ABCD 中,∠ABC=

? , AD//BC,BC= 2AD= 2AB= 2. 将梯形 ABCD 绕 AD 所 2
)

在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( (A)

2? 3

(B)

4? 3

(C)

5? 3
)

(D)2π

(8)已知某批零件的误差(单位:毫米)服从正态分布 N(0,3),从中随机抽取一件,其长度 误差落在区间(3,6)内的概率为(

(附: 若随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ, σ? )), 则 P(μ-σ<ξ<μ+σ)= 68.26%, P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)
= 95.44%.)

(A)4.56%

(B)13.59%

(C)27.18%

(D)31.74%

(9)一条光线从点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1 相切,则反射光所 在直线的斜率为( (A) ? ) (B) ?

3 5 或? 3 5

2 3 或? 2 3

(C) ?

5 4 或? 4 5

(D) ?

4 3 或? 3 4
)

?3 x ? 1, x ? 1 f (a) (10)设函数 f (x)= ? x ,f ( f (a))=2 则满足的 a 取值范围是( 2 , x ? 1 ?

(A)[ ,1]

2 3

(B)[0,1]

(C)[ ,+∞) (D) [1,+∞)

2 3

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

2015 山东理科数学试题 第 2 页 (共 4 页)

(11)观察下列各式:
0 0 C1 =4 ; 1 0 C3 +C 1 =4 ; 3

开始
2 0 2 C5 +C 1 +C 5 =4 ; 5

n=1,T=1
3

C0 7

+C 1 7

2 +C 7

+C 3 7

=4 ;

? 照此规律,当 n∈N 时,
?1 C0 +C 1 +C 2 +?+C n = 2 n ?1 2 n ?1 2 n ?1 2 n ?1

n<3 是
n T=T+ ?0 x dx 1



. n=n+1

输出 T 结束

(12)若“?x∈[0, ],tan x≤m”是真命题,则实 数 m 的最小值为 . .
(第 13 题图)

? 4

(13)执行右边的程序框图,则输出的 T 的值为

(14)已知函数 f (x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则 a +b= (15)平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1:

.

x2 y2 ? =1( a>0, b>0) 的渐近线与抛物线 C2: a 2 b2

x 2=2py (p >0)交于 A,B,若△OAB 的垂心是 C2 的焦点,则 C1 的离心率为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. (16)(本题满分 12 分) 设函数 f(x)=sin x cos x-cos2(x+ (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)在锐角?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,
A 若 f ( )=0,求△ABC 面积的最大值. 2
D F E

.

? ). 4

(17)(本题满分 12 分) 如图,在三棱台 DEF-ABC 中,AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 中点. (Ⅰ)求证:BD∥平面 FGH; (Ⅱ)若 CF⊥平面 ABC,AB⊥BC,CF=DE,
A

G H B

C

(第 17 题图)

∠BAC=45° ,求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角(锐角)的大小.

2015 山东理科数学试题 第 3 页 (共 4 页)

(18)(本题满分 12 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 2Sn=3 n+3. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足 an bn=log 3 2,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn. (19)(本题满分 13 分) 若 n 是一个三位正整数,且 n 的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则 称 n 为“三位递增数”(如 137,359,567 等). 在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数, 且只能抽取一次,得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除,参加者得 0 分;若能被 5 整除,但不能被 10 整除,得-1 分;若能被 10 整除, 得 1 分. (Ⅰ)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数” ; (Ⅱ)若甲参加活动,求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX. (20)(本题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:
x2 y2 3 ? 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,左、 2 a b 2

右焦点分别是 F1,F2,以 F1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以 1 为半径的圆相 交,且交点在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 E:
x2 y2 ? =1,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交 2 4a 4b 2

椭圆 E 于 A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q; (ⅰ)求
OQ OP

的值;

(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值. (21)( 本题满分 14 分) 设函数 f (x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中 a ∈ R . (I)讨论函数 f (x)极值点的个数,并说明理由; (II)若? x >0,f (x)≥0 成立,求 a 的取值范围.

2015 山东理科数学试题 第 4 页 (共 4 页)

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2015 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

理科数学试题参考答案
一、选择题 (1)C (2)A (3)B (4)D (5)A (6)B 二、填空题 (11) 4
n -1

(7)C (8)B (9)D (10)C
3 2

(12) 1 (13)

11 6

(14) ?

3 2

(15)

三、解答题
sin 2 x ? (16) 解:(Ⅰ)由题意知 f(x)= 2


1 ? cos(2 x ? 2

?
2

)

sin 2 x 1 ? sin 2 x 1 ? = sin 2 x ? 2 2 2

由 - 由
?
2

?
2

+2kπ ≤ 2x ≤

?
2

+2k π,k∈Z,可得 -

?
4

+kπ ≤ x ≤

?
4

+k π,k∈Z;

+2kπ ≤ 2x ≤

3? ? 3? +2k π,k∈Z,可得 +kπ ≤ x ≤ +k π,k∈Z; 2 4 4

所以 f(x)的单调递增区间是[- 单调递增区间是[ (Ⅱ)若 f (
?
4
+kπ ,

?
4

+kπ ,

?
4

+k π]( k∈Z);

3? +k π]( k∈Z). 4

1 A 1 )= sin A ? =0, sin A ? . 2 2 2

由题意知 A 为锐角,所以 cos A ?

3 . 2

由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA. 可得 1+ 3 bc=b2+c2≥2bc. 即 bc≤2+ 3 ,且当 b=c 时等号成立. 因此, ab sin A ≤
1 2

2? 3 . 4 2? 3 . 4
D F E O G H B C

所以,△ABC 面积的最大值为 (17)(Ⅰ)证法一

连接 DG,CD. 设 CD∩GF=O. 在三棱台 DEF-ABC 中,AB=2DE, G 为 AC 中点, 可得 DF∥GC,DF=GC. 所以 四边形 DFCG 是平行四边形. 则 O 为 DC 的中点.
2015 山东理科数学试题答案 第 1 页(共 7 页)
A

(第 20 题解答图一)

又 H 是 BC 的中点,所以 OH∥BD. 又 OH ?平面 FGH,BD?平面 FGH, 所以 BD∥平面 FGH. 证法二 在三棱台 DEF-ABC 中,BC=2EF, H 为 BC 中点, 可得 BH∥EF,BH=EF. 所以 四边形 BHFE 是平行四边形. 可得 BE∥HF. 在△ABC 中,G 为 AC 中点,H 为 BC 中点,所以 GH∥AB. GH∩HF=H,所以平面 FGH∥平面 ABED. 又 BD ?平面 ABED,所以 BD∥平面 FGH. (Ⅱ)解法一 设 ABC=2,CF=1, 在三棱台 DEF-ABC 中,G 为 AC 中点,
1 DF= AC=GC, DF∥GC, 2
A G H C y

z
D E

F

可得四边形 DGCF 是平行四边形. 因此 GD∥CF. 又因为 CF⊥平 ABC,所以 GD⊥平面 ABC.

x (第 20 题解答图二)

B

在△ABC 中,由 AB⊥BC,∠BAC=45° ,G 为 AC 中点, 所以 AB=AC,GB⊥GC, 因此 GB,GD,GC 两两垂直. 以 G 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 G-xyz. 所以 G(0,0,0),B( 2 ,0,0),C(0, 2 ,0),D(0,0,1). 可得 H( 2 , 2 ,0),F(0, 2 ,1).
2 2

故 GH =( 2 , 2 ,0), GF =(0, 2 ,1).
2 2

设 n =(x,y,z)是平面 FGH 的一个法向量,
?n ? GH ? 0, 由? ? ? ?n ? GF ? 0,
x ? y ? 0, 可得 ? ? ? 2 y ? z ? 0.

可得平面 FGH 的一个法向量 n =(1,-1, 2 ).

2015 山东理科数学试题答案 第 2 页(共 7 页)

因为 GB 是平面 ACFD 的一个法向量, 所以 cos ? GB, n ??
GB ? n GB ? n ? 2 1 ? . 2 2 2

所以 平面 FGH 与平面 ACFD 所成角(锐角)的大小是 60° . 解法二 作 HM⊥AC 于点 M,作 MN⊥GF 于点 N,连接 NH. 由 CF⊥平面 ABC,得 HM⊥FC. 又 FC∩AC=C,所以 HM⊥平面 ACFD. 因此 GF⊥NH. 所以 ∠MNH 即为所求的角.
1 2 在△BGC 中,MH∥BG,MH= BG= , 2 2
B A G D F E O N M H C

(第 20 题解答图三)

由△CNM∽△GCF, 可得
GM MN 6 = . 从而 MN= . GF FC 6

由 HM⊥平面 ACFD,MN ?平面 ACFD, 所以 HM⊥MN. 因此 tan ?MNH ?
HM ? 3 . 从而 ∠MNH=60° . MN

所以 平面 FGH 与平面 ACFD 所成角(锐角)的大小是 60° . (18)解:(Ⅰ)因为 2Sn=3n+3,所以 2a1=3+3. a1=3. 当 n>1 时,2Sn-1=3n-1+3, 此时 2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1. 即 an=3n-1. 所以数列{an}的通项公式是 an= ?
?3, n ? 1,
n ?1 ?3 , n ? 1.

(Ⅱ)因为 an bn=log 3 an,所以 bn= . 当 n>1 时,bn=31- log 3 3n-1=(n-1)· 31- . 所以 T1=b1= . 当 n>1 时, Tn=b1+b2+?+bn= +[1×3-1+2×3-2+?+(n-1)· 31-n]. 3Tn=1+[1×3+2×3-1+?+(n-1)· 32-n].
2015 山东理科数学试题答案 第 3 页(共 7 页)
n n

1 3

1 3

1 3

两式相减得 2Tn= +(30+3-1+3-2+?+32-n)-(n-1)· 31-n.


2 3

2 1 ? 31?n 13 6n ? 3 + -(n-1)· 31-n= + . 3 6 2 ? 3n 1 ? 3?1

所以 Tn=

13 6n ? 3 + . 12 4 ? 3 n

经检验 n=1 时也适合. 综上 Tn=
13 6n ? 3 + . 12 4 ? 3n

(19)解:(Ⅰ)个位数是 5 的“三位递增数”有 125,135,145,235,245. (Ⅱ)由题意知,全部“三位递增数”的个数为 C 3 =84, 9 随机变量 X 的取值为:0, -1, 1,因此 P(X=0)=
3 2 1 11 . C8 C2 2 1 ? ? ,P(X=-1)= 4 ? ,P(X=1)=1 ? ? 3 3 3 14 42 C9 3 C9 14

所以 X 的分布列为 X P 则 EX= 0 ? ? (?1) ?
2 3

0
2 3 1 11 4 ? 1? ? . 14 42 21

-1

1
11 42

1 14

(20)解:(Ⅰ)由题意知 2a=4,a=2. 又
c 3 ? , a2-c2=b2,解得 b=1. a 2
x2 ? y2 ? 1. 4

所以椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 椭圆 E 的方程为 (ⅰ)设 P(x0,y0). 因为 又
?2
4
2 x0 2 ? y0 ? 1. 4

x2 y2 ? ? 1. 16 4

OQ ? ? ,由题意知 Q(-λ x0,-λ y0). OP

2 (??x0 ) 2 (??y0 ) 2 ?2 x0 2 ? ? 1,即 ( ? y0 ) ?1. 16 4 4 4

? 1 . λ=2.



OQ ? 2. OP

2015 山东理科数学试题答案 第 4 页(共 7 页)

(ⅱ) 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 将 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程, 可得 (1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-16=0. 由 ⊿>0, 可得 m 2<4+16k 2. 则有 x1+x2= ?
8km 4m 2 ? 16 . 2 ,x1x2= 1 ? 4k 1 ? 4k 2



所以 |x1-x2|=

4 16k 2 ? 4 ? m 2 . 1 ? 4k 2

因为 直线 y=kx+m 与 y 轴交于点(0,m ), 所以 △OAB 的面积 S= |m |· |x1-x2|
= =

1 2

2 16k 2 ? 4 ? m 2 m 1 ? 4k 2 2 (16k 2 ? 4 ? m 2 )m 2 1 ? 4k 2 m2 m2 ) . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

= 2 (4 ?



m2 =t. 1 ? 4k 2

将 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程, 可得 (1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-4=0. 由 ⊿≥0, 可得 m 2≤1+4k 2. 由① ② 可得 0< t ≤1.
2 所以 S= 2 (4 ? t )t ? 2 ? t ? 4t .



故 S≤ 2 3 . 当且仅当 t =1,即 m 2=1+4k 2 时取得最大值 2 3 . 由(ⅰ)知 △ABQ 的面积 3S, 所以 △ABQ 面积的最大值为 6 3 . (21)解:(Ⅰ)由题意知 函数 f (x)的定义域为(-1,+∞).
2 f ′(x)= 1 ? a(2 x ? 1) ? 2ax ? ax ? a ? 1 .

x ?1

x ?1

令 g(x)=2ax +ax-a+1,x∈(-1,+∞). (1)当 a=0 时,g(-1)=1. 此时 f ′(x)>0,函数 f (x)在(-1,+∞)单调递增,无极值点; (2)当 a>0 时,⊿=a2-8a(-a+1)=a(9a-8).

2

2015 山东理科数学试题答案 第 5 页(共 7 页)

①当 0<a≤ 时,⊿≤0,g(x)≥0, f ′(x)≥0,函数 f (x)在(-1,+∞)单调递增,无极值点; ②当 a> 时,⊿>0, 设方程 2ax 2+ax-a+1=0 的两个根分别为 x 1,x 2(x 1<x 2), 因为 x 1+x 2= ? ,所以 x 1< ? ,x 2> ? . 由 g(-1)=1>0,可得 -1<x 1< ? . 所以 当 x∈(-1,x 1)时,g(x)>0,f ′(x)>0,函数 f (x)在(-1,+∞)单调递增; 当 x∈( x 1,x 2)时,g(x)<0,f ′(x)<0,函数 f (x)在(-1,+∞)单调递减; 当 x∈(x 2,+∞)时,g(x)>0,f ′(x)>0,函数 f (x)在(-1,+∞)单调递增; 因此 函数 f (x)有两个极值点. (3)当 a<0 时,⊿>0, 可得 x 1<-1, 当 x∈(-1,x 2)时,g(x)>0,f ′(x)>0,函数 f (x)在(-1,+∞)单调递增; 当 x∈(x 2,+∞)时,g(x)<0,f ′(x)<0,函数 f (x)在(-1,+∞)单调递减; 所以 函数 f (x)有一个极值点. 综上所述 当 a<0 时,函数 f (x)有一个极值点; 当 0≤a≤ 时,函数 f (x)无极值点; 当 a> 时,函数 f (x)有两个极值点. (Ⅱ)由(Ⅰ)知, (1)当 0≤a≤ 时,函数 f (x)在(0,+∞)单调递增, 因为 f (0)=0, 所以 x∈(0,+∞)时,f (x)>0,符合题意; (2) <a≤1 时,由 g(0)≥0,得 x 2≤0, 所以 函数 f (x)在(0,+∞)单调递增. 又 f (0)=0,所以 x∈(0,+∞),f (x)>0,符合题意; f (x)>0,符合题意; (3)当 a>0 时,g(0)<0,可得 x 2>0. 所以 x∈(0,x 2)时,函数 f (x)在(0,x 2)单调递减,
8 9 8 9 8 9 8 9 1 4 1 2 1 4 1 4

8 9

8 9

2015 山东理科数学试题答案 第 6 页(共 7 页)

因为 f (0)=0, 所以 x∈(0,x 2)时,f (x)<0,不符合题意; (4)当 a<0 时,设 h(x)=x-ln(x+1). 因为 x∈(0,+∞),h ′(x)=1-
1 x = >0. 1? x 1? x

所以 h(x)在(0,+∞)单调递增. 因此 当 x∈(0,+∞)时,h(x)>h(0)=0. 即 ln(x+1)<x. 可得 f (x)<x+a(x2-x)=ax2+(1-a)x, 当 x>1- 时,ax2+(1-a)x<0, 此时 f (x)<0,不合题意. 综上所述,a 的取值范围[0,1].
1 a

2015 山东理科数学试题答案 第 7 页(共 7 页)



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