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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,必修一) 第三章函数的应用 3.1.1 课时作业]


第三章 § 3.1 3.1.1

函数的应用 函数与方程

方程的根与函数的零点

课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数,理解 二次函数的图象与 x 轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以 及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理.

1.函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴的交点和相应的 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关 系

函数图象 Δ>0 Δ<0 判别式 Δ=0 与 x 轴交点个数 ____个 ____个 ____个 方程的根 ____个 ____个 无解 2.函数的零点 对于函数 y=f(x),我们把________________叫做函数 y=f(x)的零点. 3.方程、函数、图象之间的关系 方程 f(x)=0__________?函数 y=f(x)的图象______________?函数 y=f(x)__________. 4.函数零点的存在性定理 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是________的一条曲线,并且有____________,那 么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内________,即存在 c∈(a,b),使得__________,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根.

一、选择题 1.二次函数 y=ax2+bx+c 中,a· c<0,则函数的零点个数是( ) A.0 个 B.1 个 C .2 个 D.无法确定 2. 若函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象为一条连续不断的曲线, 则下列说法正确的是( ) A.若 f(a)f(b)>0,不存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 B.若 f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 C.若 f(a)f(b)>0,有可能存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 D.若 f(a)f(b)<0,有可能不存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 3.若函数 f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点为 2,那么函数 g(x)=bx2-ax 的零点是( ) 1 1 A.0,- B.0, 2 2 1 C.0,2 D.2,- 2 x 4.函数 f(x)=e +x-2 的零点所在的一个区间是( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)

2 ? ?x +2x-3, x≤0, 5.函数 f(x)=? 零点的个数为( ?-2+ln x, x>0 ?

)

A.0 C .2

B.1 D.3

6.已知函数 y=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示,则实数 b 的取值范围是( ) A.(-∞,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,+∞) 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7.已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,-2 是它的一个零点,且在(0,+∞)上是增函 数,则该函数有______个零点,这几个零点的和等于______. 8.函数 f(x)=ln x-x+2 的零点个数为________. 9.根据表格中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一个实根所在的区间为(k,k+1)(k ∈N),则 k 的值为________. x ex x+2 -1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 2 7.39 4 3 20.09 5

三、解答题 10.证明:方程 x4-4x-2=0 在区间[-1,2]内至少有两个实数解.

11.关于 x 的方程 mx2+2(m+3)x+2m+14=0 有两实根,且一个大于 4,一个小于 4,求 m 的取值范围.

能力提升
?x2+bx+c,x≤0, ? 12.设函数 f(x)=? 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则方程 f(x)=x 的 ? ?2, x>0, 解的个数是( ) A.1 B.2 C .3 D.4 13.若方程 x2+(k-2)x+2k-1=0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间, 求 k 的取值范围.

1.方程的根与方程所对应函数的零点的关系 (1)函数的零点是一个实数,当自变量取该值时,其函数值等于零. (2)根据函数零点定义可知,函数 f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的根,因此判断一个函数是 否有零点,有几个零点,就是判断方程 f(x)=0 是否有实根,有几个实根. (3)函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程 f(x)=g(x)的实数根,也就是函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象交点的横坐标. 1 2.并不是所有的函数都有零点,如函数 y= . x 3.对于任意的一个函数,即使它的图象是连续不断的,当它通过零点时,函数值也不一 定变号.如函数 y=x2 有零点 x0=0,但显然当它通过零点时函数值没有变号.

第三章 函数的应用 § 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点
知识梳理 1.2 1 0 2 1 2.使 f(x)=0 的实数 x 3.有实数根 与 x 轴有交点 有零点 4.连续 不断 f(a)· f(b)<0 有零点 f(c)=0 作业设计 1.C [方程 ax2+bx+c=0 中,∵ac<0,∴a≠0, ∴Δ=b2-4ac>0, 即方程 ax2+bx+c=0 有 2 个不同实数根, 则对应函数的零点个数为 2 个.] 2.C [对于选项 A,可能存在根; 对于选项 B,必存在但不一定唯一; 选项 D 显然不成立.] 3.A [∵a≠0,2a+b=0, a 1 ∴b≠0, =- . b 2 a 1 令 bx2-ax=0,得 x=0 或 x= =- .] b 2 4.C [∵f(x)=ex+x-2, f(0)=e0-2=-1<0, f(1)=e1+1-2=e-1>0, ∴f(0)· f(1)<0, ∴f(x)在区间(0,1)上存在零点.] 5.C [x≤0 时,令 x2+2x-3=0,解得 x=-3. x>0 时,f(x)=ln x-2 在(0,+∞)上递增, f(1)=-2<0,f(e3)=1>0,∵f(1)f(e3)<0 ∴f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点. 总之,f(x)在 R 上有 2 个零点.] 6. A [设 f(x)=ax3+bx2+cx+d, 则由 f(0)=0 可得 d=0, f(x)=x(ax2+bx+c)=ax(x-1)(x -2)?b=-3a,又由 x∈(0,1)时 f(x)>0,可得 a>0,∴b<0.] 7.3 0 解析 ∵f(x)是 R 上的奇函数,∴f(0)=0,又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,由奇函数的 对称性可知,f(x)在(-∞,0)上也单调递增,由 f(2)=-f(-2)=0.因此在(0,+∞)上只有 一个零点,综上 f(x)在 R 上共有 3 个零点,其和为-2+0+2=0. 8.2 解析 该函数零点的个数就是函数 y=ln x 与 y=x-2 图象的交点个数.在同一坐标系中 作出 y=ln x 与 y=x-2 的图象如下图:

由图象可知,两个函数图象有 2 个交点,即函数 f(x)=ln x-x+2 有 2 个零点. 9.1 解析 设 f(x)=e2-(x+2),由题意知 f(-1)<0,f(0)<0,f(1)<0,f(2)>0,所以方程的一个 实根在区间(1,2)内,即 k=1. 10.证明 设 f(x)=x4-4x-2,其图象是连续曲线. 因为 f(-1)=3>0,f(0)=-2<0,f(2)=6>0. 所以在(-1,0),(0,2)内都有实数解.

从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解. 11.解 令 f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14. ?m>0 ?m<0 依题意得? 或? , ?f?4?<0 ?f?4?>0 ? ? ?m>0 ?m<0 19 即? 或? ,解得- <m<0. 13 26 m + 38<0 26 m + 38>0 ? ? ? ? 12.C
? ? ?16-4b+c=c, ?b=4, [由已知? 得? ?4-2b+c=-2, ?c=2. ? ?

2 ? ?x +4x+2,x≤0, ? ∴f(x)= ? ?2, x>0.

当 x≤0 时,方程为 x2+4x+2=x, 即 x2+3x+2=0, ∴x=-1 或 x=-2; 当 x>0 时,方程为 x=2, ∴方程 f(x)=x 有 3 个解.] 13.解 设 f(x)=x2+(k-2)x+2k-1. ∵方程 f(x)=0 的两根中,一根在(0,1)内,一根在(1,2)内, 2k-1>0 f?0?>0 ? ? ? ? ∴?f?1?<0 ,即?1+k-2+2k-1<0 ? ? ?f?2?>0 ?4+2k-4+2k-1>0 1 2 ∴ <k< . 2 3



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