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2.2.3向量数乘运算及其几何意义


高一数学 编号:SX-13-02-004

3.类比发现向量数乘运算律: 审核人:高一数学组 班 编写时间:2013 年 11 月 组 姓名 思考:求作向量 2(3a ) 和 6a ( a 为非零向量)并进行比较,向量 2(a + b) 与向量 2a + 2b 相等吗? (从模的大小与方向两个方面进行比较)

§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
编写人:张贵云

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【学习目标】
1.掌握向量数乘的定义以及三条运算律,会利用运算律进行有关的计算; 2.理解两个向量平行的条件,能根据条件判断两个向量是否平行; 3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力,了解事物运动 变化的辩证思想。

结论:设 a 、 b 为任意向量, λ 、 μ 为任意实数,则有: (1)________________; (2)__________________; (3)___________________. 通常将(1)称为结合律, (3)称为分配律。 (2) (注意有何区别) 3.向量共线定理: 请观察 a = m - n , b = - 2m + 2n ,回答 a 、 b 有何关系?

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【重点难点】向量的数乘及运算律。 【知识链接】
1. 引言:位移、力、速度、加速度等都是向量,而时间、质量等都是数量,这些向量与数量的关系常 常在物理公式中体现。如力与加速度的关系 F = m a ,位移与速度的关系 s = v t 。这些公式都是实 数与向量间的关系。

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思考:若 a 、 b 是平行向量,能否得出 b = λa ?为什么?可得出 a = λb 吗?为什么? 结论:向量共线定理:______________________________________________________________ __________________________________________________________________ 对此定理的证明,是分两层来说明的: 其一,若存在实数 λ ,使 b = λa ,则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知 λb 与 a 平行,即 b 与 a 平行.

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2.

复习:向量的加法。

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【学习过程】
一、探索研究 1.直观感知向量的数乘意义:

已知非零向量 a , 作出 a ? a ? a 和 ? a ? ? a ? ? a , 指出相加后, 和的长度与方向有什么变化? 这些变化与哪些因素有关? 2.总结归纳向量数乘运算及其几何意义: 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 λa . 它的长度和方向规定如下: (1) (2) . .

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? ? ? ? ? |b| 其二,若 b 与 a 平行,且不妨令 a ? 0 ,设 ? = μ (这是实数概念) .接下来看 a 、 b 方向如何: |a|
① a 、b 同向, b = μa , 则 ②若 a 、b 反向, 则记 b = - μa , 总而言之, 存在实数 λ( λ = μ 或 λ = - μ ) 使 b = λa .

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5.单位向量: 单位向量:模为 1 的向量. 向量 a ( a ? 0 )的单位向量:与 a 同方向的单位向量,记作 a0 . 思考: a0 如何用 a 来表示?

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特别规定:当 ? ? 0 时, ? a ? _________ . 思考:向量的加法、减法、数乘统称为向量的线性运算,从运算结果看,向量的线性运算有什么共 同点?

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1

二.典型例题 例 1.计算 (1) ?? 5 ? ? a (2) 5( a

变式:设 e1 , e2 是两个不共线的向量,已知

?? ?? ? ??? ? ?? ?? ??? ?? ? ? ?? ??? ? ? ?? ?? ? AB ? 2e1 ? 8e2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 ,求证: A, B, D 三点共线。

? ? ? ? ? b) ? 4(a ? b) ? 3a ? ? ? ? ? ? (3) 2(2a ? 6b ? 3c) ? 3( ?3a ? 4b ? 2c)

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【学习小结】
(1)回忆整理向量数乘运算的意义、几何意义、运算律; (2)理解两向量共线定理及其证明,总结判断三点共线的方法; (3)运算律暗示我们,化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。

例 2. 如图

ABCD 的两条对角线交于点 M,且 AB = a , AD = b ,用 a , b 表示 MA , MB , MC 和

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【学习评价】
※ 自我评价: 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测: 1.设 ? , ? ? R ,则下列叙述不正确的是( )
).

MD

A.? ? a ? ??? ?a

? ? C.? ?a ? b ? ? ? a ? ? b
5 7 B. ? 5 7

B.?? ? ? ?a ? ? a ? ? a

D.? a 与 a 的方向相同 ?? ? 0?

2.若 | a |? 5, b 与 a 的方向相反,且 | b |? 7 ,则 a ? ? ?b

?? ?? ? ??? ? ?? ?? ??? ?? ? ? ?? ??? ? ? ?? ?? ? 例 3.设 e1 , e2 是两个不共线的向量,已知 AB ? 2e1 ? ke2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 ,若 A, B, D 三点共线,求 k 的值。

A.

C.

7 5

D. ?

7 5

3.设 e1 , e 2 是不共线的向量,且 a ? e1 ? 4e2 与 b ? k e1 ? e2 共线,求实数 k 。 ※ 课后作业: 课本 P91-92: 9-13

【学习反思】

2



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