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2013自主招生之函数及方程(一)


自主招生习题-----函数及方程(一)
雷州一中
1.(2006 年复旦)设 f ( x ) 是定义在实数集上的周期为 2 的周期函数,且是偶函数. 已知当
x ? ?2 , 3 ? 时, f ( x ) ? x ,则当 x ? ?? 2 , 0 ? 时, f ( x ) 的解析式为

.

2. (2006 年复旦) 函数 y ? 2 x ? 1 ? 2 x 的最值为

.

3.(2006 年复旦)已知函数 f ( x ) 的定义域为 ? 0 ,1 ? ,则函数 g ( x ) ? f ( x ? c ) ? f ( x ? c ) 在
0 ? c ? 1 2

时的定义域为
a

.
b c

4.(2002 上海交大保送生)若 3 ? 4 ? 6 ,则 5. (2010 华科) 记函数 f ( x ) 的反函数为 f
3 2 ?1

1 a

?

1 2b

?

1 c
3

?
x 2

. , f 则
?1

(x) , 已知 f ( x ) ? log

(2) ?

.

6.(2011 华约)已知 f ( x ) ? x ? x ? 2 x ? 1 ,点 P (? 1,1) ,切线过 P 而切点不是 P ,则 该切线斜率为 .
x ? ax ? a 3

7. (2002 上海交大保送生)函数 y ? ? log 取值范围是 .

?

2

?

在 ? ? ,1 ?

?

3 上单调递增,则实数 a 的

?

8. (2011 年清华保送) f ( x ) ? max x ? 6 , 9. (2008 上海交大)函数 y ?
x ?1 x ?8
2

?

x ,则 f ( x ) min ?

?

.

的最大值为

.
1

10. (2000 上海交大保送生)设 f ( x ) 的原函数是 x ? 1 ,则 ? f ( 2 x ) dx ?
0

.

11. (2012 北约)求函数 y ? x ? 2 ? x ? 1 ? x 的递增区间 12. ( 2007
2 2

. , 求

北 大 ) 已 知 函 数 f ( x ) ? x ? 53 x ? 196 ? x ? 53 x ? 196 .
1? x x ?1

f (1) ? f ( 2 ) ? ? ? f ( 50 )

13.(2004 上海交大)已知 f 1 ( x ) ? 且 f 3 ( x ) ? f 6 ( x ) ,求 f 28 ( x ) ?

,对于一切正整数 n ,都有 f n ? 1 ( x ) ? f 1 ? f n ( x ) ? , .
2

14.(2001 上海交大)已知函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? 2 , x ? ?t , t ? 1? 的最小值为 g (t ) ,试写 出 g (t ) 的解析式 .

1

15.(2004 同济)试求 f ( x ) ? 4 ? 2 x ? x 1 ? x 的最大值与最小值
2 2

.

16.(2004 复旦)若存在 M ,使任意 t ? D ( D 为函数 f ( x ) 的定义域) ,都有 f ( x ) ? M ,
1 x 1 x
? ? 1? ? 上是否有界? 2?

则称函数 f ( x ) 有界. 问函数 f ( x ) ?

sin

在 x ? ? 0,

.

17.(2006 复旦)设函数 y ? f ( x ) 对于一切实数 x 均满足 f ?5 ? x ? ? f ?5 ? x ? ,且方程
f ( x ) ? 0 恰好有 6 个不同的实根,则这 6 个实根的和为

.

x?2

x ?1 2x ?1 3x ? 2

x?3 2 x ? 3 ? 0 的实根的个数为 3x ? 5
3

18.(2006 复旦)方程 f ? x ? ? 2 x ? 2
3x ? 3

.

19. ( 2008 复 旦 ) 设 x 1 , x 2 , x 3 是 方 程 x ? x ? 2 ? 0 的 三 个 根 , 则 行 列 式
x1 x2 x3 x2 x3 x1 x3 x1 ? x2
8

.

20.(2004 复旦) x ? 1 ? x ?
4

?

2 x ? 1 ? x ? ax
2 4

?

2

? 1 ? ,则 a ?

. 个实数解

21. (2002 上海交大)方程 a ? x
2

2

?

2 ? x ,1 ? a ?

?

2 ,则方程有

?

22.(2005 复旦)定义在 R 上的函数 f ( x ) ? x ? 1 ? 满足 f ? x ? ? 2 f ? 则 f ? 2004

? x ? 2002 ? ? ? 4015 ? x , ? x ?1 ?

??

.
x a

23.(2003 复旦)解方程 x

log

?

x a

2 2

,得 x ?

.

24.(2000 上海交大)方程 3 ? 16
2

x

? 2 ? 81

x

? 5 ? 36 的解 x ?
x

.

25. (2000 上海交大) 方程 7 x ? ? k ? 13 ? x ? k ? k ? 2 ? 0 的两根分别在区间 ? 0 ,1 ? 和 ?1, 2 ?
2

内,则 k 的取值范围

.
x x?4 ? kx 有四个不同的实数解,则 k 的取值范围
2

26. (2011 年卓越联盟)若关于 x 的方程 为 .

27.(2011 北大)过 f ( x ) ? ax ? sin x 上两点 A , B 的切线互相垂直,求实数 a ?

.

2

3


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