新版贵州省遵义四中高三上学期第一次月考数学(文)试卷(含答案)

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遵义四中 20xx 届高三第一次月考试卷（文数）

注意事项：

1.本试卷共分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分；考试时间 120 分钟。

2.考试开始前，用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，准考证号填写清楚，并在相应位置粘贴条

形码。

3.客观题答题时，请用 2B 铅笔答题；主观题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在 规定区域以外的答题不给得分；在．试．卷．上．作．答．无．效．。

第Ⅰ卷（选择题部分 共 60 分）
一.选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）

1．已知集合

，

A.

B.

C.

，则 D.

（）

2．已知复数 满足

，则 （ ）

A.

B.

C.

D.

3．下列函数中，既是偶函数，又在

上单调递增的是（ ）

A.

B.

C.

D.

4．函数

的定义域是（ ）

A.

B.

C.

D.

5．给出下列四个命题，其中假命题是（ ） A. B. C. D.

6．设函数 A. 1 7．函数

（）

B. 2

C. 3

D. 4

的零点所在的区间（ ）

A.

B.

C.

8．设函数 定义在实数集上，

D. ，且当 x≥1 时，

A.

B.

，则有（ ）

C.

D.

9．已知奇函数 在 上是增函数，若

则 的大小关系为( )

A.

B.

C.

，

，

，

D.

10．函数

的大致图像是（ ）

A

B

C

D

11．已知函数 实数 的取值范围为（ ）

，函数

恰有三个不同的零点，则

A.

B.

C.

D.

12．已知实数 根，则 的取值范围为（ ）

若关于 的方程

有三个不同的实

A.

B.

C.

D.

第Ⅱ卷（非选择题部分 共 90 分）
二.填空题（本题共四小题，每小题 5 分，共 20 分）

13．幂函数 14．已知函数 __________．

在

上为增函数，则 ____________

，若 的值域为 ，则实数 的取值范围是

15 ． 设 函 数

，则

在点

处的切线方程为__________．

16.已知函数

在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是

______ ___．

三.解答题（本题共 70 分，作答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17．已知函数 （1）求 的单调递增区间；

（2）求 在区间

上的最大值和最小值；

18．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 名

学生，按其数学成绩（均为整数）分成六组

，

，…，

到如下部分频率分布直方图，观察图中的信息，回答下列问题：

后得

（1）补全频率分布直方图； （2）估计本次考试的数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）用分层抽样的方法在分数段为

的学生成绩中抽取一个容量为 6 的样本，

再从这 6 个样本中任取 2 人成绩，求至多有 1 人成绩在分数段

内的概率.

19．如图，在四棱锥

中，底面

是边长为

的正方形，侧面

底面

，设

分别为

（1）求证：

平面

；

，且 的中点.

（2）求证：面

平面

；

20．已知椭圆

(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M(0，2)是椭圆的一

个顶点，△F1MF2 是等腰直角三角形．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点 M 分别作直线 MA，MB 交椭圆于 A，B 两点，设两直线的斜率分别为 k1，k2，且

k1＋k2＝8，证明：直线 AB 过定点

.

21．已知函数

（1）当 时，求 的单调区间；

（2）若

时，

恒成立，求整数 的最小值；

请考生在第（22）～（23）两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计 分.做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.

22.（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程

直角坐标系 中，直线

（ 为参数），曲线

（ 为参数），

以该直角坐标系的原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的方程

为

.

（1）分别求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；

（2）设直线 交曲线 于 两点，直线 交曲线 于 两点，求 的长.

23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲

已知函数

．

（1）求 的值域；

（2）若 的最大值为 ，已知

均为正实数，且

．

，求证：

选择题：BBDBC DCCCA BA

参考答案

填空题：13. 2 14.

15.

16 .

17．（Ⅰ）最小正周期为 ，单调递增区间是

；

（Ⅱ）最大值 ，最小值 ．

【解析】试题分析：（Ⅰ）将函数 化简为

，最小正周期

，

令

，求出 的范围，得到函数 的单调递增区间；（Ⅱ）

根据 的范围，求出

，再求出最大值和最小值。

试题解析：（Ⅰ）因为

， 故 最小正周期为
得

故 的增区间是

（Ⅱ）因为

，所以

． ．

于是，当

，即 时，

取得最大值 ；

当

，即

时，

取得最小值 ．

点睛：本题主要考查了两角和的正弦公式，辅助角公式，正弦函数的性质，熟练掌握公

式是解答本题的关键。

22．（1） ，（2）121， （3）
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出分数在[120，130）内的频率，由此能补全频率分布直方图． Ⅱ）利用频率分布直方图估计平均分． （Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为 6 的样本， 需在[110，120）分数段内抽取 2 人成绩，分别记为 m，n，在[120，130）分数段内抽取

4 人成绩，分别记为 a，b，c，d，由此利用列举法能求出至多有 1 人成绩在分数段[120， 130）内的概率．

试题解析：

（1）分数在[120，130）内的频率 长方形的高为 0.03

，因此补充的

（2）估计平均分为
（3）由题意，[110，120）分数段的人数与[120，130）分数段的人数之比为 1：2， 用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为 6 的样本， 需在[110，120）分数段内抽取 2 人成绩，分别记为 m，n； 在[120，130）分数段内抽取 4 人成绩，分别记为 a，b，c，d； 设“从 6 个样本中任取 2 人成绩，至多有 1 人成绩在分数段[120，130）内”为事件 A， 则基本事件共有{（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）， （a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d）,（c，d）}，共 15 个． 事件 A 包含的基本事件有{（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c）， （n，d）}共 9 个．

∴P（A）＝ ＝ ．
19．（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）利用线面平行的判定定理：连接

，只需证明

，

利用中位线定理即可得证；（2）利用面面垂直的判定定理：只需证明

面

，

进而转化为证明

，

，易证三角形

为等

腰直角三角形，可得

；由面

面

的性质及正方形

的性质可证

面

，得

法

试题解析：（1）证明：因为

可得结果. 为正方形，连接

又因为在

中， 为

中点， 为

；（3）利用等体积

交

于点 ，

中点，∴

，且

平面

， 平面

，∴

平面

；

（2）证明：因为

为正方形，∴

，又面

面

，平面

平面

，

平面

，所以

平面 ，所以

，∴

，又

是等腰直角三角形，且，即

，又因为

，且

平面

，所以

平面

，又

平面

（3）因为

，所以点 到平面

，∴平面

平面

；

的距离等于点 到平面

距离，

所以 ，所以三棱锥

的体积是.

点睛：本题主要考查了线面平行的判定，面面垂直的判定和三棱锥体积的求法，属于基

础题；常见的判定线面平行的方式有 1、利用三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、

利用面面平行等；由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个

证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在.

20．(1)

;(2)见解析.

【解析】试题分析：

(1)由题意求得

，则椭圆的方程为

;

(2)分类讨论直线的斜率不存在和直线斜率存在两种情况即可证得直线 AB 过定点

. 试题解析： (1)因为 b＝2，△F1MF2 是等腰直角三角形，所以 c＝2，所以 a＝2 ，
故椭圆的方程为 ＋ ＝1. (2)证明：①若直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y＝kx＋m，

A 点坐标为(x1，y1)，B 点坐标为(x2，y2)，联立方程得，

消去 y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，

则 x1＋x2＝－

，x1x2＝

.

由题知 k1＋k2＝ ＋ ＝8，

所以

＋

＝8，即 2k＋(m－2) ＝8.

所以 k－ ＝4，整理得 m＝ k－2.

故直线 AB 的方程为 y＝kx＋ k－2，即 y＝k －2。

所以直线 AB 过定点

.

②若直线 AB 的斜率不存在，设直线 AB 的方程为 x＝x0，A(x0，y0)，

B(x0，－y0)，则由题知 ＋

＝8，

得 x0＝－ .此时直线 AB 的方程为 x＝－ ，

显然直线 AB 过点

.

综上可知，直线 AB 过定点

.

21．（Ⅰ）递增区间为

，递减区间为

；（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数

的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即

可；（Ⅱ）问题转化为 最小值即可.

恒成立，令

，根据函数的单调性求出 的

试题解析：（Ⅰ）由题意可得

的定义域为

,当 时，

,

所以

，由

可得

，所以

或

解得

或

；由

可得

，所以

或

，解得

综上可知 （Ⅱ）若 以

递增区间为

，递减区间为

，

时，

恒成立，则

恒成立，因为 ，所

恒成立，即

恒成立，令

，则

所以 数，

，因为

在

上是减函数，且

时，

，

，

，所以 在 上为增函数，在

，又因为

，所以

上是减函

22．(1)

，

；（2）

.

【解析】试题分析：（1）曲线

为参数），利用平方关系消去参数化为

普通方程：

，展开代入互化公式可得极坐标方程，曲线 的方程为

，即

，利用互化公式可得直角坐标方程；

（2）直线

为 参 数 ）， 可 得 普 通 方 程 ：

，可得极坐标方程：

，分别代入极坐标方程即可得出，

.

试题解析：（1）圆 的标准方程为：

，即：

，

圆 的极坐标方程为：

，即：

，

（1）曲线 ：

（ 为参数），化为普通方程：

，展开可得：

，可得极坐标方程：

曲线 的方程为

，

，即

.

即

化为直角坐标方程：

.

（2）直线 .

（ 为参数），可得普通方程：

，可得极坐标方程：

∴

，

，

∴

.

【名师点睛】本题考查圆的参数方程、普通方程和极坐标方程的转化、直线的参数方程，

消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代

入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角

坐标方程，只要将

和

换成 和 即可.

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