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江苏省泰州中学2010-2011学年高一下学期期中考试数学试题


2010江苏省泰州中学 2010-2011 学年度第二学期 高一数学期中试卷
(总分 160 分,考试时间 120 分钟)
小题, 不需写出解答过程, 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题 空题: 纸的指定位置上. 纸的指定位置上. 1.不等式 x ? x ? 2 ≤ 0 的整数解共有
2



个. ▲ . ▲ .

2.在 ?ABC 中,如果 a : b : c = 2 : 3 : 4 ,那么 cos C =

3.在等差数列 {an } 中,当 a 2 + a 9 = 2 时,它的前 10 项和 S10 =

4.在 ?ABC 中, ∠A, ∠B, ∠C 所对的边分别是 a , b , c ,已知 A =

π
3

, a = 3 , b = 1 ,则

?ABC 的形状是




0

5.海上有 A, B 两个小岛相距 10 2n mile ,从 A 岛望 C 岛和 B 岛所成的视角为 60 ,从 B 岛 望 C 岛 和 A 岛 所 成 的 视 角 为 75 , 则 B 岛 和 C 岛 之 间 的 距 离 BC =
0



n mile .
6.若 S n 为等比数列 {an } 的前 n 项的和, 8a 2 + a5 = 0 ,则

S6 = S3





7.设关于 x 的不等式 x 2 ? 4 x + m ≤ x + 3 的解集为 A ,且 0 ∈ A , 2 ? A ,则实数 m 的取值 范围是 ▲ .

8.若 f ( x ) = sin

π
6

x ,则 f (1) + f (3) + f (5) + ? + f (2011) =
2n





9. 已知等比数 列 {an } 满足 an > 0 ,n = l, …,且 a5 ? a2 n ?5 = 2 2,

( n ≥ 3) ,则当 n ≥ 3 时,

log 2 a1 + log 2 a2 + log 2 a3 + + log 2 a2 n ?1 =




2 2 2

10.在 ?ABC 中, ∠A, ∠B, ∠C 所对的边分别是 a , b , c ,若 b + c ? 3bc = a ,且

b = 2 ,则 ∠C = a





11.设 {a n } 是正项数列,它的前 n 项和 S n 满足: 4 S n = (a n ? 1) ? (a n + 3) ,则 a1005 = ▲ .

第 1 页 共 9 页

12.已知 b < a < c ≤ 10, ab = 1 ,则

a2 + b2 1 + 的最小值是 a?b c





13.洛萨 ? 科拉茨(Lothar Collatz, 1910.7.6-1990.9.26)是德国数学家,他在 1937 年提出了一个著名的猜想:任给一个正整数 n ,如果 n 是偶数,就将它减半(即

n ) ; 2

,不断重复这样的运算,经过有限步后, 如果 n 是奇数,则将它乘 3 加 1(即 3n + 1 ) 一定可以得到 1.如初始正整数为 3,按照上述变换规则,我们得到一个数列:3,10, 5,16,8,4,2,1.对洛萨 ? 科拉茨(Lothar Collatz)猜想,目前谁也不能证明, 更不能否定.现在请你研究:如果对正整数 n ( n 为首项)按照上述规则施行变换后的 第六项为 1(注:1 可 以多次出现) ,则 n 的所有可能的取值为 ▲ .

14.我们知道,如果定义在某区间上的函数 f ( x ) 满足对该区间上的任意两个数 x1 、 x2 ,总 有不等式

f ( x1 ) + f ( x2 ) x +x ≤ f ( 1 2 ) 成立,则称函数 f ( x) 为该区间上的向上凸函数 2 2

(简称上凸). 类比上述定义,对于数列 {an } ,如果对任意正整数 n ,总有不等式:

an + an + 2 ≤ an +1 成立,则称数列 {an } 为向上凸数列(简称上凸数列). 现有数列 {an } 2
满足如下两个条件: (1)数列 {an } 为上凸数列,且 a1 = 1, a10 = 28 ; (2)对正整数 n ( 1 ≤ n < 10, n ∈ N * ) ,都有 an ? bn ≤ 20 ,其中 bn = n ? 6n + 10 .
2

则数列 {an } 中的第五项 a5 的取值范围为



.

小题, 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤, 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 解答题: 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤 请把答案写在答题纸的指定区域内. 请把答案写在答题纸的指定区域内 15.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) = ax 2 + (b ? 2) x + 3( a ≠ 0) ,若不等式 f ( x ) > 0 的解集为 (?1,3) . (Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)若函数 f (x ) 在 x ∈ [m,1] 上的最小值为 1,求实数 m 的值.[来源:学科网 ZXXK]

第 2 页 共 9 页

16.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, ∠A, ∠B, ∠C 所对的边分别是 a , b , c . (Ⅰ)用余弦定理证明:当 ∠C 为钝角时, a + b < c ;
2 2 2

(Ⅱ)当钝角△ABC 的三边 a , b , c 是三个连续整数时,求 ?ABC 外接圆的半径.

17.(本小题满分 15 分) 在 ?ABC 中 , ∠A, ∠B, ∠C 所 对 的 边 分 别 是 a , b , c , 不 等 式

x 2 cos C + 4 x sin C + 6 ≥ 0 对一切实数 x 恒成立.
(Ⅰ)求 cos C 的取值范围; (Ⅱ)当 ∠C 取最大值,且 c = 2 时,求 ?ABC 面积的最大值并指出取最大值时 ?ABC 的形状. [来源:学科网 ZXXK]

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

18.(本小题满分 15 分) 设 S n 是等比数列 {a n } 的前 n 项和, S 3 , S 9 , S 6 成等差数列.[来源:学&科&网] (Ⅰ)求数列 {a n } 的公比 q ; (Ⅱ)求证: a3 , a9 , a 6 成等差数列; (Ⅲ)当 a m , a s , a t m, s, t ∈ [1,10], m, s, t互不相等 成等差数列时,求 m + s + t 的 值.[来源:学&科&网]

(

)

第 3 页 共 9 页

19.(本小题满分 16 分) 某企业去年年底给全部的 800 名员工共发放 2000 万元年终奖,该企业计划从今年起, 1 0 年内每年发放的年终奖都比上一年增加 60 万元,企业员工每年净增 a 人. (Ⅰ)若 a = 9 ,在计划时间内,该企业的人均年终奖是否会超过 3 万元? (Ⅱ)为使人均年终奖年年有增长,该企业每年员工的净增量不能超过多少人?

20.(本小题满分 16 分) 将数列 { a n } 中的所有项按第一排三项,以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数 表:记表中的第一列数 a1 , a 4 , a8 , ? 构成的数列为 { bn } ,已知: ①在数列 { bn } 中, b1 = 1 ,对于任何 n ∈ N * ,都有 (n + 1) bn +1 ? nbn = 0 ; ②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为 q (q > 0) 的等比数列; ③ a 66 =

2 .请解答以下问题:[来源:学科网] 5

a1 a 2 a 3 a4 a5 a6 a7 a 8 a 9 a10 a11 a12 ???

(Ⅰ)求数列 { bn } 的通项公式; (Ⅱ)求上表中第 k ( k ∈ N ) 行所有项的和 S (k ) ;
*

(Ⅲ) 若关于 x 的不等式 S (k ) + 范围.

1 1 1 1 ? x2 > 在 x ∈[ , ] 上有解,求正整数 k 的取值 k x 200 20

第 4 页 共 9 页

江苏省泰州中学 2010-2011 学年度高一年级期中考试 数 学 参 考 答 案
小题, 不需写出解答过程, 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题 空题: 纸的指定位置上. 纸的指定位置上. 1. 4 6. ? 7 2. ?

1 4

3. 10 8.

4.直角三角形 9. n ( 2n ? 1) 14. [13, 25]

5. 10 3 10. 15 或105
0 0

7. [? 3,?1)

3 2

11. 2011

12.

1 + 20 2 10

13. 4,5,32

小题, 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 解答题: 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 请把答案写在答题纸的指定区域内 15.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由条件得 ?

? f (? 1) = 0

? a ? (b ? 2) + 3 = 0 , ?? f (3) = 0 ?9a + 3(b ? 2) + 3 = 0 ?

4分

解得: a = ?1, b = 4 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) = ? x 2 + 2 x + 3 ,

6分 8分 10 分 12 分 14 分[来源:学#科#

∵ y = f ( x ) 的对称轴方程为 x = 1 ,∴ f ( x) 在 x ∈ [m,1] 上单调 递增,

∴ x = m 时, f ( x )min = f (m ),∴ ? m 2 + 2m + 3 = 1 ,
解得 m = 1 ± 3 .∵ m < 1,∴ m = 1 ? 3 . 网] 16.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 ∠C 为钝角时, cos C < 0 , 由余弦定理得: c = a + b ? 2ab ? cos C > a + b ,
2 2 2 2 2

2分 5分 6分

即: a + b < c .
2 2 2

(Ⅱ)设 ?ABC 的三边分别为 n ? 1, n, n + 1(n ≥ 2, n ∈ Z ) ,

∵ ?ABC 是 钝 角 三 角 形 , 不 妨 设 ∠C 为 钝 角 , 由 ( Ⅰ ) 得

第 5 页 共 9 页

(n ? 1)2 + n 2 < (n + 1)2 ? n 2 ? 4n < 0 ? 0 < n < 4 ,
∵ n ≥ 2, n ∈ Z ,∴ n = 2, n = 3 ,
当 n = 2 时,不能构成三角形,舍去, 当 n = 3 时, ?ABC 三边长分别为 2,3,4 ,

9分

11 分 13 分

cos C =

2 2 + 32 ? 4 2 1 15 = ? ? sin C = , 2×2×3 4 4 c = 2 sin C 4 15 2× 4 = 8 15 . 15

?ABC 外接圆的半径 R =

14 分

17.(本小题满分 15 分) 解: (Ⅰ)由已知得:

cos C > 0 ? ? 2 cos 2 C + 3 cos C ? 2 ≥ 0 , ? 2 ?(4 sin C ) ? 24 cos C ≤ 0
∴ cos C ≥ ∴ 1 或 cos C ≤ ?2(舍去) . 2

4分

5分 6分

1 ≤ cos C < 1 2 1 , 2

(Ⅱ)∵ 0 < C < π , cos C ≥

∴ 当 ∠C 取最大值时, ∠C =
2 2 2

π
3



8分

由余弦定理得: 2 = a + b ? 2ab ? cos

π
3

? 4 = a 2 + b 2 ? ab ≥ 2ab ? ab = ab ,
12 分[来源:Z,xx,k.Com]

∴ S ?ABC =

1 π 3 ab ? sin = ab ≤ 3 , 2 3 4

当且仅当 a = b 时取等号,此时 (S ?ABC )max = 由 a = b, ∠ C =

3,

13 分 15 分

π
3

可得 ?ABC 为等边三角形.

18.(本小题满分 15 分) 解: (Ⅰ)当 q = 1 时, S 3 = 3a1 , S 9 = 9a1 , S 6 = 6a1 ,

∵ 2 S 9 ≠ S 3 + S 6 ,∴ S 3 , S 9 , S 6 不成等差数列,与已知矛盾,∴ q ≠ 1 .
由 2 S 9 = S 3 + S 6 得: 2 ?



a1 1 ? q 9 a 1 ? q 3 a1 1 ? q 6 = 1 + , 1? q 1? q 1? q
第 6 页 共 9 页

(

)

(

)

(

)

4分

即 2 1? q

(

9

) = (1 ? q ) + (1 ? q ) ? 2q
3 6

6

? q3 ?1 = 0 ,

∴ q3 = ?
3

1 1 ? q = ?3 , q 3 = 1 ? q = 1 (舍去) , 2 2
4 2
6

∴q = ?


(Ⅱ)∵ 2a9 ? a 3 ? a 6 = 2a1 q ? a1 q ? a1 q = a1 q 2q ? 1 ? q
8 2 5 2 6

(

3

)= 0,
9分

∴ 2a9 = a 3 + a 6 ,∴ a3 , a9 , a 6 成等差数列.
(Ⅲ) S 3 , S 9 , S 6 成等差数列

? 2q 6 ? q 3 ? 1 = 0 ? 2q 6 = q 3 + 1 ? 2a1 q 6 = a1 q 3 + a1 ? 2a 7 = a 4 + a1 , ∴ a1 , a 7 , a 4 成GP 或 a 4 , a 7 , a1成GP ,则 m + s + t = 12 ,
11 分

同理: a 2 , a8 , a 5 成GP 或 a 5 , a8 , a 2 成GP ,则 m + s + t = 15 ,[来源:学。科。网]

a 3 , a 9 , a 6 成GP 或 a 6 , a 9 , a 3成GP ,则 m + s + t = 18 , ∴ m + s + t 的值为 12, , . 15 18
19.(本小题满分 16 分) 解: (Ⅰ)设从今年起的第 x 年(今年为第 1 年)该企业人均发放年终奖为 y 万元. 则 4分 解法 1:由题意,有 5分 解 7分 所以,该企业在 10 年内不能实现人均至少 3 万元年终奖的目标. 8分 解 法 7分
第 7 页 共 9 页

15 分

y=

2000 + 60 x ( x ∈ N * ,1 ≤ x ≤ 10) 800 + ax 2000 + 60 x ≥3 , 800 + 10 x







x≥

40 > 10 3



2 : 由 于 x ∈ N * ,1 ≤ x ≤ 10 , 所 以

2000 + 60 x 30 x ? 400 ?3= <0 800 + 10 x 800 + 10 x

所 以 , 该 企 业 在 10 年 内 不 能 实 现 人 均 至 少 3 万 元 年 终 奖 的 目 标. 8分

(Ⅱ)解法 1: 设 1 ≤ x1 < x 2 ≤ 10 , 则

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) =


2000 + 60 x 2 2000 + 60 x1 (60 × 800 ? 2000a)( x 2 ? x1 ) = > 0 ,13 分 ? (800 + ax 2 )(800 + ax1 ) 800 + ax 2 800 + ax1
以 ,

60 × 800 ? 2000a > 0
15 分





a < 24 .

所以,为使人均发放的年终奖年年有增长,该企业员工每年的净 增量不能超过 23 人. 16 分

解法 2: y =

2000+ 60x = 800 + ax

2000+ 60x + 60 ?

800 800 80 ? 60 ? 2000? 60 ? a a = 1 (60 + a) 800 80 a a( x + ) x+ a a
800 <0 a

13 分 由 题 意 , 得

2000 ? 60 ?
15 分







a < 24 .

所以,为使人均发放的年终奖年年有增长,该企业员工每年的净增量不能超过 23 人. 16 分 20.(本小题满分 16 分)[来源:学.科.网 Z.X.X.K] 解: Ⅰ) (n + 1) bn +1 ? nbn = 0 , ( 由 得数列 { nbn } 为常数列。 nbn = 1 ? b1 = 1 , 故 所以 bn = 分 (Ⅱ)∵ 3 + 4 + ? + 11 = 63 , ∴表中第一行至第九行共含有 { an } 的前 63 项, a66 在表中第十行第三列. 7分 故
q = 2.

1 . n

4

a66 = b10 ? q 2



而 9分

b10 =

1 10






S (k ) = bk (1 ? q k + 2 ) 1 k + 2 = (2 ? 1) . 1? q k

10 分

第 8 页 共 9 页

(Ⅲ) f ( x) = 故

1 1 ? x2 1 = ? x 在 x ∈[ x x 200
f (x)

,

1 ] 上单调递减, 20
最 小 11 分 值 是



f(

1 1 ) = 20 ? . 20 20
若关于 x 的不等式 S (k ) + 设
m( k ) = S ( k ) +

1 1 1 ? x2 在 x ∈[ > k x 200
1 1 k +2 = ?2 k k

,

1 ] 上有解, 20
则 必 须

, 12 分

m(k ) > 20 ?

1 . 20

m(k + 1) ? m(k ) = m(1) = m(2) = 8

1 1 2 k + 2 ( k ? 1) m(k + 1) 2k ? 2k + 3 ? ? 2k + 2 = ≥ 0 (或 = ≥1) , k +1 k k ( k + 1) m(k ) k +1





数 14 分

m( k )



k≥2



k ∈ N*









增. 而 m( 4) = 16 , m(5) = 数. 16 分

128 ,所以 5

k 的取值范围是大于 4 的一切正整

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