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2016届宁夏回族自治区银川一中高三第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)


绝密★启用前

2016 届宁夏回族自治区银川一中高三第一次模拟考试数学(理)试题 (解析版)
(银川一中第一次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选考题, 其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后,将本试 卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、 准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位 置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选择题答 案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.
x 1.已知集合 M ? x x ? 1 , N ? x 2 ? 1 ,则 M ? N =

?

?

?

?

A. ?

B.

? x 0 ? x ? 1?

C.

? x x ? 0?

D.

? x x ? 1?

[来源 :学*科*网 Z*X*X*K]

【知识点】集合的运算 【试题解析】因为 ,所以

所以故答案为:B 【答案】B

2.复数 Z ? A.i

2i 的虚部是 1? i
B.-i C.1 D.-1

【知识点】复数综合运算 【试题解析】因为 所以虚部是 1 故答案为:C 【答案】C =

1 3.在等比数列 {an } 中,若 a1 ? , a4 ? 3 ,则该数列前五项的积为 9
A.± 3 【知识点】等比数列 【试题解析】因为 , B.3 C.± 1 D.1

所以 故答案为:D 【答案】D 4.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示, 则该三棱锥的体积为 A.4 3 C.12 3 B.8 3 D.24 3
[来源:学科网]

【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】因为底面积 所以 故答案为:A 【答案】A 5.二项式 ( x ? 高

2 10 ) 展开式中的常数项是 x2

A.360

B.180

C.90

D.45

【知识点】二项式定理与性质 【试题解析】因为 ,



,得



所以常数项是 故答案为:B 【答案】B 6.在 ?ABC 中, tan A ? A.-1

1 3 10 ,则 tan C = , cos B ? 2 10
C. 3 D.-2

B.1

【知识点】两角和与差的三角函数同角三角函数的基本关系式 【试题解析】因为

所以 故答案为:A 【答案】A 7.若对任意非零实数 a , b ,若 a ? b 的运算规则 如右图的程序框图所示,则 (3 ? 2) ? 4 的值是
13 A. 12

开始 输入 a,b 是 输出
b?1 a

a≤b?

否 输出
a ?1 b

B. C.

1 2 3 2

结束

D.9 【知识点】分段函数,抽象函数与复合函数算法和程序框图 【试题解析】因为

所以 故答案为:C 【答案】C 8.函数 f ( x) ? 3sin(2 x ? A.



?
3

? ? ), ? ? (0, ? ) 满足 f ( x ) ? f ( x) ,则 ? 的值为
C.

? 6

B.

? 3

5? 6

D.

2? 3

【知识点】函数的奇偶性诱导公式 【试题解析】因为函数 为偶函数,令 得 此时 满足 为偶函数。 ,所以

所以故答案为:C 【答案】C 9.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c,

?a , b, c ? (0,1)? ,已知他投篮一次得分的数学期望是 2,则 2 ?
a

1 的最小值为 3b

A.

32 3

B.

28 3

C.

14 3

D.

16 3

【知识点】随机变量的期望与方差均值定理 【试题解析】因为由已知得 所以

所以 故答案为:D 【答案】D 10.双曲线 A. 3

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 y ? x2 ? 1 相切,则该双曲线的离心率为 2 a b
B.2 C. 5 D. 6

【知识点】导数的概念和几何意义双曲线 【试题解析】因为 求导得, 设切点为 ,

所以切线方程为

,过原点

,所以







所以得 故答案为:C 【答案】C 11.已知函数 f ( x ) 定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? e x ( x ? 1) ,给出下列命题: ①当 x ? 0 时, f ( x) ? e x (1 ? x) ③ f ( x ) ? 0 的解集为 ( ?1,0) ? (1,? ?) 其中正确命题个数是 A.1 【知识点】函数综合 【试题解析】因为①当 ③ 的解集为 时,可得 ;④ ;②函数 ,都有 B.2 C.3 D. 4 1 4 7 2 3 ②函数 f ( x ) 有 2 个零点 ④ ?x 1 , x 2 ? R ,都有 | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? 2

有-1,0,1 三 个零点; 5 6 8 9

所以,①②均不正确,③④正确。 故答案为:B 【答案】B 12.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为 1,2?? 9 的 9 个 小正方形,使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂 颜色都不相同,且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜 色,则符合条件的所有涂法共有( A.18 B.36 )种 C.72 D.108
[来源:学 .科 .网 Z.X.X.K]

【知识点】排列组合综合应用 【试题解析】因为 故答案为:D 【答案】D

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.曲线 y ?
2 与直线 y ? x ? 1 及 x ? 4 所围成的封闭图形的面积为 x

.

【知识点】积分 【试题解析】因为所求为 所以 故答案为:4-2ln2 【答案】4-2ln2 14.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a 2 ? b 2 ? c 2 , 则
a cos B ? _______________ c

1 4

【知识点】余弦定理

【试题解析】因为

所以 故答案为: 【答案】 15.在区间[0,2]上任取两个实数 a,b,则函数 f(x)=x3+ax-b 在区间[-1,1]上有且只有一个零点的概率 是 .

【知识点】线性规划利用导数研究函数的单调性零点与方程 【试题解析】 因为 所以为使函数 f(x)=x3+ax-b 在区间[-1,

1]上有且只有一个零点,只需



所以

故答案为: 【答案】 16.已知三棱柱 ABC ? A1 B1 C 1 的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为 3 ,

AB ? 2 , AC ? 1, ?BAC ? 60 ? ,则此球的表面积等于__________.

【知识点】空间几何体的表面积与体积 【试题解析】因为 ,

,取 所以外接球半径 故答案为: 【答案】

中点

,则球心为

中点,

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 理科数学试卷 第 3 页(共 6 页) 17. (本小题满分 12 分) 在等差数列 {an } 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 {bn } 的各项均为正数, b1 ? 1 ,公比 为 q (q ? 1) ,且 b2 ? S 2 ? 12 , q ? (1)求 an 与 bn ; (2)证明:

S2 . b2

1 1 1 1 2 ? ? ?? ? ? . 3 S1 S 2 Sn 3

【知识点】数列综合应用

【试题解析】 (1) 设

的公差为

, 因为

所以

解得



(舍) , 故

. , .

(2)因为

,所以







因为

,所以

,于是



所以 【答案】详见解析 18.(本小题满分 12 分)

.即



某学校研究性学习小组对该校高三学生视 力情况进行调查,在高三的全体 1000 名学生中 随机抽取了 100 名学生的体检表,并得到如图 的频率分布直方图. (1)若直方图中后四组的频数成等差数列, 试估计全年级视力在 5.0 以下的人数; (2)学习小组成员发现,学习成绩突出的 学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与 学习成绩是否有关系,对年级名次在 1~50 名和 951~1000 名的学生进行了调查,得到右表中数据, 根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系? (3)在(2)中调查的 100 名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 9 人,进一步调查 他们良好的护眼习惯,并且在这 9 人中任取 3 人,记名次在 1~50 的学生人数为 X ,求 X 的分布 列和数学期望. 附:

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

【知识点】概率综合 【试题解析】 (1)设各组的频率为 ,

由图可知,第一组有 3 人,第二组 7 人,第三组 27 人, 因为后四组的频数成等差数列,

所以后四组频数依次为 所以视力在 5.0 以下的频率为 3+7+27+24+21=82 人, 故全年级视力在 5.0 以下的人数约为

(2) 因此在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系. (3)依题意 9 人中年级名次在 1~50 名和 951~1000 名分别有 3 人和 6 人, 可取 0、1、2、3 , ,

, 的分布列为

的数学期望 【答案】详见解析

19. (本小题满分 12 分) π 如图(1)所示,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠BAD= ,AB=BC=1,AD=2,E 是 AD 的 2 中点,O 是 AC 与 BE 的交点.将△ABE 沿 BE 折起到△A1BE 的位置,如图(2)所示. (1)证明:CD⊥平面 A1OC; (2)若平面 A1BE⊥平面 BCDE,求平面 A1BC 与平面 A1CD 所成锐二面角 的余弦值.

【知识点】立体几何综合 【试题解析】(1)证明:在图(1)中, 因为 AB=BC=1,AD=2,E 是 AD 的中点, ∠BAD= ,所以 BE⊥AC,BE∥CD.

即在图(2)中,BE⊥OA1,BE⊥OC, 又 OA1∩OC=O,OA1? 平面 A1OC,OC? 平面 A1OC, 从而 BE⊥平面 A1OC. 又 CD∥BE, 所以 CD⊥平面 A1OC. (2)

由已知,平面 A1BE⊥平面 BCDE, 又由(1)知,BE⊥OA1,BE⊥OC, 所以∠A1OC 为二面角 A1BE C 的平面角, 所以∠A1OC= .

如图,以 O 为原点,OB,OC,OA1 所在直线分别 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 因为 A1B=A1E=BC=ED=1,BC∥ED, 所以 B( ,0,0)E(- ,0,0),A1(0,0, ),C(0, ,0)



=(-



,0),

=(0,

,-

)



=(-

,0,0).

设平面 A1BC 的法向量 n1=(x1,y1,z1),平面 A1CD 的法向量 n2=(x2,y2,z2),平面 A1BC 与平面 A1CD 的夹角为θ , 则 得 取 n1=(1,1,1);



取 n2=(0,1,1),

从而 cos θ =|cos〈n1,n2〉|=





即平面 A1BC 与平面 A1CD 所成锐二面角的余弦值为 【答案】详见解析 20.(本小题满分 12 分) 以椭圆 C :



x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的中心 O 为圆心, a 2 ? b 2 为半径的圆称为该椭圆的“准 2 a b
6 S ?OFQ . 2

圆”.设椭圆 C 的左顶点为 P ,左焦点为 F ,上顶点为 Q ,且满足 PQ ? 2 , S ?OPQ ? (1)求椭圆 C 及其“准圆”的方程;

(2)若椭圆 C 的“准圆”的一条弦 ED (不与坐标轴垂直)与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,试证明: 当 OM ? ON ? 0 时,试问弦 ED 的长是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

【知识点】椭圆 【试题解析】 ( 1 )设椭圆 的左焦点 ,由 得 ,又

,即



,所以



则椭圆

的方程为

;椭圆

的“准圆”方程为



(2)设直线

的方程为

,且与椭圆

的交点



联列方程组

代入消元得:



可 得







, 所以

此时

成立,

则原点

到弦

的距离



得原点

到弦

的距离为

,则



故弦 的长为定值. 【答案】详见解析 21.(本小题满分 12 分)

[来源:Zxxk.Com]

已知函数 f ( x) ? ln( 1 ? x ) ? ax.(a ? 0)
2

(1)若 f ( x) 在 x ? 0 处取得极值,求 a 的值; (2)讨论 f ( x) 的单调性; (3)证明: (1 ? )(1 ?

1 9

1 1 )...(1 ? 2 n ) ? e (n ? N * , e 为自然对数的底数). 81 3

【知识点】导数的综合运用

【试题解析】 (1)



的一个极值点,则

,验证知 =0 符合条件

(2) 1)若 =0 时, 单调递增,在 单调递减;

2)若

上单调递减 3)若

再令



综上所述,若

上单调递减,





若 (3)由(2)知,当 当



【答案】详见解析

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲. 如图,AB 是⊙O 的直径,C、F 是⊙O 上的两点, OC⊥AB,过点 F 作⊙O 的切线 FD 交 AB 的延长线于 点 D.连接 CF 交 AB 于点 E. (1)求证:DE2=DB?DA; (2)若 DB=2,DF=4,试求 CE 的长. F A O E B D C

【知识点】几何选讲 【试题解析】 (1)证明:连接 OF.

因为 DF 切⊙O 于 F,所以∠OFD=90°. 所以∠OFC+∠CFD=90°. 因为 OC=OF,所以∠OCF=∠OFC. 因为 CO⊥AB 于 O,所以∠OCF+∠CEO=90°. 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以 DF=DE. 因为 DF 是⊙O 的切线,所以 DF2=DB?DA. 所以 DE2=DB?DA. (2)解: DF2=DB?DA,DB=2,DF=4. DA= 8, 从而 AB=6, 则 . 又由(1)可知,DE=DF=4, BE=2,OE=1. 从而 在 中, .

【答案】详见解析 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐 标系与参数方程. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? ? x ? ?5 ? 2 cos t ? ? y ? 3 ? 2 sin t

, (t 为参数) ,在以原点 O

为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中, 直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? B 两点的极坐标分别为 A(2,

?
4

A, )?? 2,

?
2

), B(2, ? ) .

(1)求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)点 P 是圆 C 上任一点,求△PAB 面积的最小值.

【知识点】参数方程

【试题解析】 (1)由



消去参数 t,得 所以圆 C 的普通方程为 由 得 , ,

, .

即 , 换成直角坐标系为 , 所以直线 l 的直角坐标方程为 (2) 并且 ,

. 在直线 l 上,

化为直角坐标为

设 P 点的坐标为



则 P 点到直线 l 的距离为



, 所以 面积的最小值是

【答案】详见解析 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | . (1)解不等式: f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) ? 4 ; (2)已知 a ? 2 ,求证: ?x ? R, f (ax) ? af ( x) ? 2 恒成立.

【知识点】绝对值不等式 【试题解析】 (1)解: ①当 时,不等式为 是不等式的解; ②当 时,不等式为 是不等式的解; 时,不等式为 是不等式的解. 综上所述,不等式的解集为 (2)证明: , . ,即 ,即

,即 ,



恒成立,

③当

,即



, 恒成立. 【答案】详见解析



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