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高一三角函数《4.8正弦函数、余弦函数的图像和性质》教案


4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质
教学目标 1.会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数的图像,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像; 2.了解周期函数与最小正周期的意义,会求 y=Asin(ωx+ψ)的周期,了解奇偶函数的意义,能判断函 数的奇偶性; 3.通过正弦、余弦函数图像理解正弦函数、余弦函数的性质,培养学生的数形结合的能力; 4.简化正弦、余弦函数的绘制过程,会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin(ωx+ψ) 的简图; 5.通过本节的学习培养学生的化归能力、转化思想. 教学建议 知识结构: 知识结构:

重点与难点分析: 重点与难点分析: 本节重点是正弦函数、余弦函数的图像形状及其主要性质(定义域、值域、最值、周期性、奇偶性、 单调性).正弦、余弦函数在实际生活中应用十分广泛,函数的图像和性质是应用的重要基础,也是解决 三角函数的综合问题的基础,它能较好的综合三角变换的所有内容,可进一步深入研究其它函数的相关性 质.函数图像可以直观的反映函数的性质,因此首先要掌握好函数图像形状特点,使学生将数、形结合对 照掌握这两个函数.

本节难点是利用正弦线画出函数 的图像,利用正弦曲线和诱导公式画出余弦 曲线,周期函数与最小正周期意义的理解.利用几何法画函数图像学生第一次接触,要先复习正弦线的做 法,另外注意讲清正弦线平移后在 x 轴上对应的角.通过诱导公式可以将正弦、余弦函数建立起关系,利

1

用诱导公式时先将 为了只需要平移就可得到余弦函数.周期函数包含的内容较多,可 以先让学生通过正弦、余弦函数图像直观上了解,再通过定义严格说明,定义中 x 的任意性可与奇偶性的 定义对比讲解,周期、最小正周期的概念很抽象,学生理解有些困难,最好将定义分解讲解. 教法建议: 教法建议: 1.讲三角函数图象时,由于描点法学生比较熟悉,可以先让学生自己作图,然后介绍几何法,这样既 可以让学生对正弦函数图像大致形状有所了解,为后面“五点法”作图奠定基础,又可将两种方法加以对 比.

2.用几何法作函数 的图像前,首先复习函数线的作法,说明单位圆上的角 与 x 轴上数值的对应关系,作图过程要力求准确,以便学生正确认识曲线的建立过程.此处最好借助多媒 体课件演示,表现的既准确又节省时间.得到函数 的图像,利用诱导公式或利用 三角函数线,把图象沿着 x 轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为 2π(即一个最小正周期), 即可得到函数 y=sinx,x∈R 的图像.余弦函数的图像可以利用诱导公式将余弦与正弦建立联系,但要将 x 前面的系数保证为正,这样只需要平移即可得到余弦函数的图像.余弦函数的图像的几何作法可让学生课 后自己去探索.

的图像, 3.“五点法”作图在三角函数中应用较为广泛,让学生观察函数 有五个点在确定图象形状时起着关键的作用,即最高点,最低点以及与 x 轴的交点,因为只要这五个点描 出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度要求不太高时,常采用先描出这五个点来作函数简图的方 法.适当增加些练习使学生熟练掌握这种方法. 4.对于函数的周期性,先通过正弦、余弦函数图像的重复出现的特点,让学生对周期有直观的认识, 周期函数的定义也可叙述为:当函数对于自变量的一切值每增加或减少一个定值(定值可以有很多个)、函 数值就重复出现时,这个函数就叫做周期函数.然后再给出严格定义.将定义的分解讲解,使学生理解定 义包含的要素,关键词语,如“如果存在”说明不是所有函数都有周期,“T”要满足“非零”和“常数” 两个条件,当 x 取定义域内的每一个值时”这一提法,这里要特别注意“每一个值”四个字.如果函数 f(x) 不是当 x 取定义域内的“每一个值”时,都有 f(x+T)=f(x),那么 T 就不是 f(x)的周期.例如

,但是

,就是说

不能对于 x 在定义域内的每一个值

,因此 不是 的周期.最小正周期可让学生按上述分析方法进行分 都有 析.另外可把三角函数和奇函数、偶函数象下面这样对比着进行讲解,对学生理解和掌握周期函数概念将 是有益的: 如果函数 f(x)对于定义域里的每一个值,都有 (1)f(-x)=f(x),那么 f(x)叫做偶函数; (2)f(-x)=-f(x),那么 f(x)叫做奇函数; (3)f(x+T)=f(x),其中 T 是不为零的常数,那么 f(x)叫做周期函数.

对 函数的周期,要让学生从周期定义上理解:周期是指能使函数值重复出现的 自变量 x 要加上的那个数,这个数是针对 x 而言的,如果对 2x 而言,而每增加 2π,sin2x 的值就重复出 现;但对自变量 x 而言,每增加π,sin2x 的值就能重复出现,因此 sin2x 的周期是π.如果不设辅助未 知数,本例的解答可写为: f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π),

2

即 f(x)中的 x 以 x+π代替,函数值不变,所以 sin2x 的周期为π.由此可知,三角函数的周期与自变 量 x 的系数有关. 5.让学生通过函数图像总结归纳函数的性质定义域、值域、极值、符号、周期性、 奇偶性、单调性等,最好以表格的形式将正弦、余弦函数的性质对比得出,使学生在函 数图像和性质建立对应关系,这对学生进一步掌握函数 y=sinx,y=cosx 的性质有很大帮 助.因此应要求学生首先要熟悉正弦曲线和余弦曲线. 6.要注意数学语言和数学方法的训练,如“必须并且只需”,正弦函数在每一个闭

区间

上都是增函数,其值从-1 增大到 1 等. 教学设计示例 正弦函数、余弦函数的图像和性质(第一课时) 4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质(第一课时)

(一)教学具准备 直尺、圆规、投影仪. (二)教学目标 1.了解作正、余弦函数图像的四种常见方法.

2.掌握五点作图法,并会用此方法作出

上的正弦曲线、余弦曲线.

3.会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像. (三)教学过程(可用课件辅助教学) 教学过程(可用课件辅助教学) 1.设置情境

引进弧度制以后, 就可以看做是定义域为 的实变量函数.作为函数,我 们首先要关注其图像特征.本节课我们一起来学习作正、余弦函数图像的方法. 2.探索研究 (1)复习正弦线、余弦线的概念 前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法, 请同学们回忆一下什么叫正弦线?什么叫余弦线? (师 画图 1)

设任意角 叫做角

的终边与单位圆相交于点 的正弦线,有向线段 叫做角

,过点作

轴的垂线,垂足为

,则有向线段

的余弦线.

(2)在直角坐标系中如何作点 由单位圆中的正弦线知识, 我们只要已知一个角 的大小, 就能用几何方法作出对应的正弦值

的大小来,请同学们思考一下,如何用几何方法在直角坐标系中作出点 3



教师引导学生用图 2 的方法画出点



我们能否借助上面作点

的方法在直角坐标系中作出正弦函数



的图像呢?

①用几何方法作



的图像

我们知道,作函数的图像的步骤是:列表、描点、连结;如果我们用列表法得出各点的坐标,就会因 各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值不够精确,使得描点后画出的图像误差也大,为克服这一不足,

我们用前面作点

的几何方法来描点,从而使图像的精确度有了提高.

(边画图边讲解),我们先作 a.作直角坐标系,并在直角坐标系中



上的图像,具体分为如下五个步骤:

轴左侧画单位圆. 轴的垂线,可

b.把单位圆分成 12 等份(等份越多,画出的图像越精确).过单位圆上的各分点作

以得到对应于 0,





,…,

角的正弦线.

c.找横坐标:把

轴上从 0 到



)这一段分成 12 等分.

d.找纵坐标:将正弦线对应平移,即可指出相应 12 个点.

e.连线:用平滑的曲线将 12 个点依次从左到右连接起来,即得



的图像.

②作正弦曲线



的图像.

4

图为终边相同的角的三角函数值相等,所以函数 的图像与函数 将函数 数 , , ,







的图像的形状完全一样,只是位置不同,于是我们只要 个单位长度),就可以得到正弦函数

的图像向左、右平移(每次 的图像,如图 1.

正弦函数



的图像叫做正弦曲线.

③五点法作



的简图

师:在作正弦函数 是函数 ,

, 与

的图像时,我们描述了 12 个点,但其中起关键作用的 轴的交点及最高点和最低点这五个点,你能依次它们的坐标吗?

生:(0,0),







师:事实上,只要指出这五个点, , 的图像的形状就基本确定了,以后我们 常先找出这五个关键点, 然后用光滑的曲线将它们连结起来, 就得到函数的简图, 这种作图的方法称为“五 点法”作图. ④用变换法作余弦函数 , 的图像

因为

,所以





是同一个函数,即余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 余弦函数的图像叫做余弦曲线,如图 2,师:请同学们说出在函数 起关键作用的五个点的坐标. ,

个长度单位角得到, 的图像上,

5

生:(0,1), 3.例题分析







【例 1】画出下列函数的简图:

(1)





(2)





解:(1)按五个关键点列表

0 0 1 利用五点法作出简图 3 1 2 0 1 -1 0 0 1

师:请说出函数



的图像之间有何联系?

生:函数 个单位得到. (2)按五个关键点列表



的图像可由



的图像向上平移 1

0

1

0

-1

0

1

-1

0

1

0

-1

6

利用五点法作出简图 4

师:

, 轴对称.





的图像有何联系?

生:它们的图像关于 练习:

(1)说出



的单调区间;

(2)说出



的奇偶性.

参考答案:(1)由



图像知、



为其单调递增

区间,

为其单调递减区间

(2)由 4.总结提炼



图像知

是偶函数.

(1)本课介绍了四种作 关键点的选取特点.



图像的方法,其中五点作图法最常用,要牢记五个

(2)用平移诱变法,由 用过,请同学们作比较.应该说明的是由 5.演练反馈,(投影)

这不是新问题,在函数一章学习平移作图时,就使 平移量是不惟一的,方向也可左可右.

(1)在同一直角坐标系下,用五点法分别作出下列函数的图像







, 的区间. , ④

(2)观察正弦曲线和余弦曲线,写出满足下列条件的 ① , ② , ③

7

(3)画出下列函数的简图













参考答案:

(1)

(2)①















(3)

(五)板书设计 课题 1.正、余弦函数线

5.变换法作

的图像

6.五点法作余弦函数图像 2.作点 7.例题 3.作 图像 (2) 4.五点法作正弦函数图像 演练反馈 , 的 (1) 总结提炼

8

教学设计示例 正弦函数、余弦函数的图像和性质(第二课时) 4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质(第二课时) (一)教学具准备 直尺,投影仪. (二)教学目标 教学目标

1.掌握 2.会求含有 (三)教学过程 1.设置情境

, 、

的定义域、值域、最值、单调区间. 的三角式的定义域.

研究函数就是要讨论一些性质, , 是函数, 我们当然也要探讨它的一些属性. 本 节课,我们就来研究正弦函数、余弦函数的最基本的两条性质. 2.探索研究 师:同学们回想一下,研究一个函数常要研究它的哪些性质? 生:定义域、值域,单调性、奇偶性、等等.

师:很好,今天我们就来探索 书课题正、余弦函数的定义域、值域.)



两条最基本的性质——定义域、值域.(板

师:请同学看投影,大家仔细观察一下正弦、余弦曲线的图像. 师:请同学思考以下几个问题: (1)正弦、余弦函数的定义域是什么? (2)正弦、余弦函数的值域是什么?

9

(3)他们最值情况如何? (4)他们的正负值区间如何分?

(5)

的解集如何?

师生一起归纳得出: (1)正弦函数、余弦函数的定义域都是 .

(2)正弦函数、余弦函数的值域都是 数的有界性. (3)取最大值、最小值情况:





,称为正弦函数、余弦函

正弦函数 时,( )函数值

,当 取最小值-1.

时, (

) 函数值

取最大值 1,当

余弦函数 ( )时,函数值

,当

, (

)时,函数值

取最大值 1,当



取最小值-1.

(4)正负值区间:

( (5)零点: ( )



( 3.例题分析 【例 1】求下列函数的定义域、值域:



(1)



(2)



(3)



解:(1)



10

(2)由





又∵

,∴

∴定义域为



),值域为



(3)由



),又由



∴定义域为



),值域为



指出:求值域应注意用到



有界性的条件. 的集合:

【例 2】求下列函数的最大值,并求出最大值时

(1)





(2)





(3)

(4)



解:(1)当

,即



)时,

取得最大值

∴函数的最大值为 2,取最大值时

的集合为



(2)当 .

时,即



)时,

取得最大值

∴函数的最大值为 1,取最大值时

的集合为



(3)若



,此时函数为常数函数.



时, ,



时,即



)时,函数取最大值



时函数的最大值为

,取最大值时

的集合为



11

(4)若

,则当

时,函数取得最大值





,则

,此时函数为常数函数.

若 ∴当

,当

时,函数取得最大值 ,取得最大值时

. 的集合为

时,函数取得最大值

;当

时,函数取得最大值

,取得最大值时

的集合为

,当

时,函数无最大值. 或 的系数进行讨论.

指出:对于含参数的最大值或最小值问题,要对 思考:此例若改为求最小值,结果如何? 【例 3】要使下列各式有意义应满足什么条件?

(1)



(2)



解:(1)由



∴当

时,式子有意义.

(2)由 即 ∴当 时,式子有意义.



4.演练反馈(投影)

(1)函数



的简图是(



12

(2)函数 A.2,-2 B.4,0

的最大值和最小值分别为( C.2,0



D.4,-4

(3)函数

的最小值是(



A. (4)如果

B.-2 与

C.

D. 同时有意义,则 的取值范围应为( )

A.

B.

C.

D.



(5)



都是增函数的区间是(



A.



B.



C.



D.



(6)函数 参考答案:1.B 参考答案 2.B 3.A

的定义域________,值域________, 4.C 5.D



的集合为_________.

6. 5.总结提炼





(1)



的定义域均为



(2)



的值域都是

(3)有界性: (4)最大值或最小值都存在,且取得极值的 集合为无限集.

13

(5)正负敬意及零点,从图上一目了然. (6)单调区间也可以从图上看出. (五)板书设计 1.定义域 2.值域 例2 3.最值 例3 4.正负区间 课堂练习 5.零点 例1

课后思考题:求函数

的最大值和最小值及取最值时的

集合

提示: 教学设计示例 正弦函数、余弦函数的图像和性质(第三课时) 4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质(第三课时) (一)教学具准备 直尺、投影仪. (二)教学目标

1.理解



的周期性概念,会求周期.

2.初步掌握用定义证明 (三)教学过程 1.设置情境

的周期为

的一般格式.

自然界里存在着许多周而复始的现象,如地球的自转和公转,物理学中的单摆运动和弹簧振动、圆周 运动等.数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知,角 的终边每转一周又会与原来的位置重合,故 , 的值也具有周而复始的变化规律.为定量描述这种周而复始的变化规律,今天,我们来 学习一个新的数学概念——函数的周期性(板书课题) 2.探索研究 (1)周期函数的定义

14

引导学生观察下列图表及正弦曲线

0

0

1

0

-1

0

1

0

-1

0

正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时,函数值就重复出现.

联想诱导公式 这个例子,我们可以归纳出周期函数的定义:

,若令



,由

对于函数

,如果存在一个非零常数 ,那么函数

,使得当

取定义域内的每一个值时,都有 叫做这个函数的周期.

叫做周期函数,非零常数 ,





,…及

…都是正弦函数的周期.

注意:周期函数定义中 对定义域中的每一个值时都成立.

有两点须重视,一是

是常数且不为零;二是等式必须

师: 请同学们思考下列问题: ①对于函数 是正弦函数 的周期.





能否说

生:不能说

是正弦函数

的周期,这个等式虽成立,但不是对定义域的每一个值都使等



成立,所以不符合周期函数的定义.



是周期函数吗?为什么

生:若是周期函数,则有非零常数 ,∴ 而 不是周期函数.

,使

,即

,化简得 不存在,因

(不非零),或

(不是常数),故满足非零常数

15

思考题:若



的周期,则对于非零整数



也是

的周期.(课外思考)

(2)最小正周期的定义 师:我们知道…, 且 )是 , , , 是 …都是正弦函数的周期,可以证明 的最小正周期. (

的周期,其中

一般地,对于一个周期函数 就叫做 的最小正周期.

,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数

今后若涉及的周期,如果不加特别说明,一般都是指函数的最小正周期.

依据定义, (3)例题分析



的最小正周期为



【例 1】求下列函数的周期:

(1)





(2)





(3)





分析:由周期函数的定义,即找非零常数 解:(1)因为余弦函数的周期是 的值才能重复取得, 函数 的周期是 . ,

,使

. 只要并且至少要增加到 ,余弦函数 ,

,所以自变量

的值也才能重复取得, 从而函数



,∴

(2) 令 就是说,变量

, 那么

必须并且只需 ,函数

, 且函数 ,



的周期是



只要并且至少要增加到 所以自变量

的值才能重复取得,而 ,函数值就能重复取得,

只要并且至少要增加到 .

从而函数



的周期是

即 ∴

16

(3)令

,那么

必须并且只需

,且函数



的周

期是 加到

,由于 ,函数值才能重复取得,即 是能使等式

,所以自变量

只要并且至少要增

成立的最小正数,从而函数 的周期是 .





∴ 师:从上例可以看出,这些函数的周期仅与自变量 , 且 , )的周期? 及函数 的系数有关,其规律如何?你能否求出函数 , (其中 , , 为常数,

生:





同理可求得 【例 2】求证:

的周期



(1)

的周期为



(2)

的周期为



(3)

的周期为



分析:依据周期函数定义

证明.

证明:(1)

17



的周期为



(2)



的周期为



(3)



的周期为



3.演练反馈(投影)

(1)函数

的最小正周期为(



A.

B.

C.

D.

(2)

的周期是_________

(3)求 参考答案:

的最小正周期.

(1)C;(2)



18

(3)欲求

的周期,一般是把三角函数

化成易求周期的函数

或 的形式,然后用公式 化得的一般思路是“多个化一个,高次化一次”,将所给函数化成单角单函数.

求最小正周期,而



4.总结提炼 (1)三角函数所特有的性质是周期性,周期与最小正周期是不同概念,研究三角函数的周期时,如未 特别声明,一般是指它的最小正周期.

(2)设 ②

, ;③

.若

为 在

的周期,则必有:① 上恒成立.

为无限集,

(3)只有



型的三角函数周期才可用公式



不具有此形式,不能套用.如 (四)板书设计 课题 1.周期函数定义 两点注意:

,就不能说它的周期为



例2

的周期

思考问题① 的周期 ②

练习反馈 总结提炼

2.最小正周期定义 例1

19

思考题: 设 ,求

是定义在 上的表达式

上的以 2 为周期的周期函数, 且是偶函数, 当

时,

参考答案: 典型例题

例 1.求函数

的定义域.

分析:要求

,即

,因为正弦函数具有周期性,所以只需先根据正弦曲线 .

在一个周期上找出适合条件区间,然后两边加 解:由题意 ,





在一周期

上符合条件的角为



∴定义域为



小结:解题时注意结合正弦曲线,而由于正弦函数的周期性,只需先在一个周期上求范围,这个周期 的长度为 ,并非一定取 ,而应该是否得到一个完整区间为标准,如本题若在 上求

范围则分为两段



,不如在

上是完整的一段.

例 2.求函数

的定义域。

分析:上述函数从形式上看是一个较为复杂的复合函数,它是由三角函数、二次函数、对数函数复合 而成。求定义域时,应分清脉络,逐一分析,综合得出结论。

解:欲求函数定义域,则由



也即

20

解得 取 、0、1,可分别得到







即所求的定义域为



小结:在解本题时,容易出现的失误是,由

,得



;或

在解不等式组 或 等。

时出现错误,如得出函数的定义域为

解类似本例的问题,其关键在于求出两个或更多个不等式的公共解。而求公共解,如能借助于图形, 由数形结合,往往可以事半功倍。具体方法一般可借助于数轴、单位圆或三角函数的图像来完成。如图甲、 乙所示。

例 3.求下列函数的值域:

(1)



(2)



(3)



(4)



分析: (1)先利用降幂公式,将其化为一个角的一个三角函数式,再根据三角函数性质求其值域; (2) 可利用降幂公式,倍角公式,差角公式,化为一个角的一个三角函数其值域;(3)利用配方法,并结合二 次函数、正弦函数的性质求解;(4)从反函数观点出发,借助于余弦函数的有界性求解.

解:(1)



21



,∴



将其利用降幂公式化为一个角的一个三角函数形式,然后利用三角函数的性质求值域.

(2)









利用了降幂公式和倍角公式,将其化为一个角的一个三角函数的形式.

(3) 将其看做关于

. 的二次函数,注意到 ,

∴当

时,





时,





. 的取值范围.

本题结合了二次函数求极值,但应注意

(4)由原式得





,∴



22







值域为



小结: 配方法、化一法、逆求法、有界性法等,是求三角函数值域常用的几种方法.相信你会从此题 的求解过程中,领悟到这一点.

例 4.求函数

的单调减区间.

分析:容易想到将函数转化为 .

,换元令

,进而转化为

解:





,则



由正弦函数的单调性,知





)时,函数递减,





),





).

∴函数的单调减区间是



).

小结:本题通过换元,将函数 学思想.

化为

,充分体现了转化的数

例 5.作函数

的图像。

分析:首先将函数的解析式变形,化为最简形式,然后作函数的图像。

23

解:当 即

,即

时,有 。其图像如图,



小结: 函数 的图像后,要把

的图像即是 的这些点去掉。

的图像, 因此作出

例 6.已知

,(a、b 为常数),且

,求



分析: 要求函数值, 需知函数解析式, 因含 a、 两个参数, b 一个条件 与 的内在联系,应向函数奇偶性联想。注意到

难确定。 深入分析

为奇函数,问题自可获解。

解:因为 为奇函数,所以 ,

,所以

所以



小结: (1)判断函数奇偶性时应注意“定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件”的 应用。 (2)函数奇偶性的确定,可使研究问题的条件增加,从而使问题难度变小,尤其是自变量互为相反数 时的函数值关系问题,可考虑奇偶性的应用。 扩展资料 一剪刀剪出一条正弦曲线 把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上,卷上几圈.用剪刀斜着将纸筒剪断,再把卷着的纸展开,你就会看 到:纸的边缘线是一条波浪形的曲线. 你知道吗?这条曲线就是正弦曲线!下面就来证明这一事实. 如图 1,设纸筒底面半径为 1 单位长,截面(椭圆面)与底面所成的二面角为 心为 过 面内,以点 . 作圆柱的直截面,交截口曲线于两点.取其中一点为 为坐标原点建立直角坐标系,使得 ,在过点 且与圆柱侧面相切的平 (定值),截口的中

轴是圆柱的一条母线.

24

设点 作 面角,所以,

是截口曲线上任意一点,点 ,垂足为 ,又设 ,连接

是点 ,则

在⊙

所在平面内的射影,过 是截面与底面所成二面角的平

(变量).

在图 2 中,设

点坐标为

,以下分别计算

点的横坐标和纵坐标.







而在



中,

,所以

nbsp; 将①代入②,且令 (定值),则有



这就证明了截口曲线是一条正弦曲线. (原载《数学通讯》2000 年第 10 期 王方汉 文) 探究活动

试问方程

是否有实数解?若有,请求出实数解的个数;若没有,请说明理由.

和 的图像,通过判断图像是否有交点来判定方程是否有实 分析:可借助函数 数解.如有交点,可通过讨论交点数来获得实数解的个数.

解: 设 奇函数, 且 , 所以

, 因为 是

, 且 =0 的一个解, 于是

的定义域为 R, 所以 =0 的实数解存在且除

是 外

是成对出现的.在

上研究



图像交点的情况(参考图)

因为 程 =0 无解.

,且

是增函数,而

,所以当 x≥100 时,方

又 始每相隔

,从图像中可得知直线

与曲线



中从 0 开

会有两个交点,所以,当 x≥0 时共有 32 个交点,则当 x>0 时有 31 个交点.

故原方程有 31×2+1=63 个解. 习题精选

25

一、选择题

1.函数

的大致图像是(



2.下列叙述中正确的个数为(



①作正弦、余弦函数图像时,单位圆的半径长与 x 轴上的单位可以不一致。



的图像关于点

成中心对称图形。



的图像关于直线

成轴对称图形。

④正弦、余弦函数 A.1 3.使 B.2 C.3 D.4

的图像不超出两直线

所夹的范围。

成立的 x 的一个区间是(



A.

B.

C.

D.

4.函数

的最小正周期是(



A.

B.

C.

D.

5.若 A. B.

是周期为

的奇函数,则 C. D.

可以是(



6.函数

是(



26

A.奇函数

B.偶函数

C.既奇且偶函数

D.非奇非偶函数

7.若函数 图形的面积为( A.4 B.8

的图像和直线 ) C. D.

围成一个封闭的平面图形,则这个封闭

8.如果

,则函数

的定义域为(



A.

B.

C.

D.

9.

的值域是(



A.

B.

C.

D.

10.在函数 周期为 的函数的个数为( B.2 个

、 )





中,最小正

A.1 个

C.3 个

D.4 个

11.已知函数 (其中 ),当自变量 x 在任何两个整数之间(包括整 数本身)变化时,至少会有一个周期,则最小的正整数 k 是( ) A.60 B.61 C.62 D.63

12.若

,则函数

的值域是(



A. 二、填空题

B.

C.

D.

13.函数

的最小正周期是



14.函数

的增区间是



15.若

为奇函数,且

时,

,则

时,



16.函数

的最大值为

,最小值为



27

三、解答题

17.求函数

的定义域。

18.已知函数

的最大值为 5,最小值为 1。求函数

的值域。

19.求函数

的最大值及此时 x 的值。

20.设

,试比较 A 与 B 的大小。

21.已知函数 (1)求出它的定义域和值域; (3)判定它的奇偶性; 参考答案: 一、选择题 1.B 2.C 3.A 4.D 5.B (4)求出它的周期。

。 (2)指出它的单调区间;

6.D 7.D 8.C 9.D 10.C 11.D

12.B

二、填空题

13.

14.



15. 三、解答题

16.



17.要使函数有定义,就必须有:

28













故函数的定义域是



18.由题设知









故当

时,该函数有最大值





时该函数有最小值为

.∴所求函数的值域为[1,9].

19.令



,则



而函数



上是增函数.

∴当

,即

时,

取最大值为 1,此时





20.由



.又

,∴





,即



21.(1)这是由



复合而成的函数.

29

它的定义域应满足: ( ),

, 即





故定义域为





,∴



根据



是减函数,∴

,故函数值域为



(2)

, 它的图像是由

的图像向右平移



得到的,而

的单调递增区间是



),递减区间是



),

所以

的单调递增区间是



),

递减区间是 所以原函数的单



),又因为



是减函数,

递减区间是



递减区间是

( ,所以应将此值舍去).

),(注意

时,

(3)由于定义域不关于原点对称,所以此函数既不是奇函数,也不是偶函数.

(4)由于

的周期为

(根据其图像判断) ,故原函数的周期为



30


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