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山东省各地市2012年高考(文)试题分类大汇编8:导数(2)


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【山东省济宁市金乡二中2012届高三11月月考文】18.(本小题满分12分)

已知直线

l

与函数

f ( x) = ln x 的 图 象 相 切 于 点 ( 1 , 0 ), 且 l 与 函 数

g ( x) =

1 2 7 x + mx + (m < 0) 的图象也相切。 2 2

(1)求直线 l 的方程及 m 的值; (2)若 h ( x )

= f ( x + 1) ? g ′( x) ,求函数 h (x ) 的最大值.

【答案】18 解: 18. (1)Q f ′( x ) = 18

1 , 直线l是函数f ( x ) = ln x 的图象在点(1,0)处的切线。 x ∴ 其斜率为k = f ′(1) = 1, ∴ 直线l的方程为y = x ? 1 又因为直线 l与g (x) 的图象相切, ?y = x ?1 1 2 9 ? ∴? 1 2 7 ? x + (m ? 1) x + = 0, 2 2 ? y = 2 x + mx + 2 ?

得? = (m ? 1) 2 ? 9 = 0 ? m = ?2(m = 4不题意, 舍去).LLL 6分 1 7 (2)由(1)知 g ( x ) = x 2 ? 2 x + , 2 2 ∴ h( x ) = f ( x + 1) ? g ′( x ) = ln( x + 1) ? x + 2( x > ?1), 1 ?x ∴ h ′( x) = ?1 = ( x > ?1). x +1 x +1 当 ? 1 < x < 0时, h′( x) > 0;当x > 0时, h′( x) < 0. 于是, h( x)在(?1,0)上单调递增, 在(0,+∞) 上单调递减。 所以,当 x = 0时, h( x)取得最大值h(0) = 2.
【山东省济宁市金乡二中 2012 届高三 11 月月考文】20(本小题满分 14 分)

2010 年世博会在上海召开,某商场预计 2010 年从 1 月起前 x 个月顾客对某种世博 商品的需求总量 P(x)件与月份 x 的近似关系是: P ( x ) =

1 x( x + 1)(41 ? 2 x)( x ≤12 且 2

x ∈ N *).
(Ⅰ)写出第 x 月的需求量 f (x ) 的表达式; (Ⅱ)若第 x 月的销售量

? f ( x ) ? 21 x ,1 ≤ x < 7 且 x ∈ N *, ? g (x) = ? x 2 1 2 (单位:件 ) ,每件利 ( x ? 10 x + 96 ), 7 ≤ x ≤ 12 且 x ∈ N * ? x 3 ?e
润 q (x ) 元与月份 x 的近似关系为: q ( x) =

1000e x ?6 ,求该商场销售该商品,预计第几 x

月的月利润达到最大值?月利润最大值是多少? (e 6 ≈ 403) 【答案】20 20(1)当 x = 1 时, f (1) = P (1) = 39 ; 20
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当 x ≥ 2 时,

f ( x ) = P ( x ) ? P ( x ? 1) =

1 1 x ( x + 1)(41 ? 2 x) ? ( x ? 1) x (43 ? 2 x ) 2 2

= 3 x (14 ? x ) ;


f ( x ) = ?3 x 2 + 42 x , ( x ≤ 12, x ∈ N + )

?3000e x ?6 (7 ? x), ? (2) h( x ) = q ( x ) ? g ( x ) = ?1000 1 3 2 ? 6 ( x ? 10 x + 96 x), 3 ? e

1 ≤ x < 7, 7 ≤ x ≤ 12,

且x ∈ N * ,

?3000e x ?6 (6 ? x), 1 ≤ x < 7, ? h '( x) = ?1000 且x ∈ N * ; ? 6 ( x ? 8)( x ? 12), 7 ≤ x ≤ 12, ? e
∵当 1 ≤ x ≤ 6 时, h' ( x ) ≥ 0 ,∴ h(x) 在 x ∈ [1, 6] 上单调递增, ∴ 当 1 ≤ x < 7 且 x ∈ N ? 时, h( x ) max = h(6) = 3000 ; ∵当 7 ≤ x ≤ 8 时, h' ( x ) ≥ 0 ,当 8 ≤ x ≤ 12 时, h' ( x ) ≤ 0 , ∴当 7 ≤ x ≤ 12 且 x ∈ N ? 时, h( x ) max = h(8) =

1000 × 299 1000 × 299 ≈ < 3000 ; 403 e6

综上,预计第 6 个月的月利润达到最大,最大月利润为 3000 元 【山东省潍坊市 2012 届高三上学期期末考试文】9.函数 f ( x) = e x ? x (e 为自然对数的底 数)在区间[-1,1]上的最大值是 A. 1 +

1 e

B.1

C.e+1

D.e-1

【答案】D 【山东省济南一中 2012 届高三 10 月文】5.函数 y = ?2e ? sin x
x

(1 ≠ a > 0 ) 的导数是
x

A. ?2e cos x
x

B. ?2e

x

( sin x ? cos x )

C. 2e sin x

x

D. ?2e

( sin x + cos x )

【答案】 【山东省济南一中 2012 届高三 10 月文】15. 函数 y = f ( x ) 的导函数图象如图所示,则下面

判断正确的是
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A.在 ( ?3,1) 上 f ( x ) 是增函数 B.在 x = 1 处 f ( x ) 有极大值 C.在 x = 2 处 f ( x ) 取极大值 D.在 (1,3) 上 f ( x ) 为减函数 【答案】C 【山东省济南一中 2012 届高三 10 月文】17. 曲线 y = x + 11 在点 P (1,12 ) 处的切线方程是
2

【答案】 2 x ? y + 10 = 0 【山东省济南一中 2012 届高三 10 月文】24.(14 分) 设函数 f ( x ) = ax ? (Ⅰ)若 f ( x ) 在 x = 2 时有极值,求实数 a 的值和 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x ) 在定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围. 【答案】24. (Ⅰ)Q f ( x ) 在 x = 2 时有极值,∴ 有 f ' ( 2 ) = 0 ,

a ? 2 ln x. x

……………… 2 分

a 2 a 4 ? ,∴ 有 a + ? 1 = 0 ,∴ a = 2 x x 4 5 4 4 2 2 ∴ 有 f ' ( x ) = + 2 ? = 2 ( 2 x2 ? 5x + 2) , 5 5x x 5x 1 由 f ' ( x ) = 0 有 x1 = , x2 = 2 , 2
又 f '( x) = a + 又 x > 0 ∴ x, f ' ( x ) , f ( x ) 关系有下表

……………………5 分

………7 分

x
f '( x) f ( x)

0< x<

1 2

x=
0

1 2

+
递增

1 <x<2 2 ?
递减

x=2
0

x>2

+
递增

? 1? ∴ f ( x ) 的 递 增 区 间 为 ? 0, ? ? 2? ?1 ? ? ,2? ?2 ?



[ 2, +∞ )



递 减 区 间 为

……………………9 分

(Ⅱ)若 f ( x ) 在定义域上是增函数,则 f ' ( x ) ≥ 0 在 x > 0 时恒成立,……………………10 分

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Q f '( x) = a +
化为 a ≥

a 2 ax 2 ? 2 x + a ? = ,∴ 需 x > 0 时 ax 2 ? 2 x + a ≥ 0 恒成立,………11 分 2 2 x x x

2x 2x 2 恒成立,Q 2 = ≤ 1 ,∴ 需 a ≥ 1 ,此为所求。…………14 分 x +1 x +1 x + 1 x
2

【 山 东 省 济 南 市 2012 届 高 三 12 月 考 】 29 . 本 小 题 满 分 8 分 ) 设 函 数 (

y = f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d 的图象在 x = 0 处的切线方程为 24 x + y ? 12 = 0 .
(Ⅰ)求 c , d ; (Ⅱ)若函数在 x = 2 处取得极值 ? 16 ,试求函数解析式并确定函数的单调区间. 【答案】29. 本小题满分 8 分) 29. 29 (本小题满分 ( 解: (Ⅰ) f (x ) 的定义域为 R ,

f ′( x) = 3ax 2 + 2bx + c ,∴ f ′(0) = c ;
∵切线 24 x + y ? 12 = 0 的斜率为 k = ?24 ,∴ c = ?24 ; 把 x = 0 代入 24 x + y ? 12 = 0 得 y = 12 ,∴P(0,12), ∴ d = 12 . ∴ c = ?24 , d = 12 . (Ⅱ)由(Ⅰ) f ( x ) = ax 3 + bx 2 ? 24 x + 12 由已知得: ?

-----------------1 分

-----------------2 分

-----------------3 分

-----------------4 分

? f (2) = ?16 ?8a + 4b ? 36 = ?16 ?? www.zxxk.com ? f ′(2) = 0 ? 12a + 4b ? 24 = 0

∴?

?a = 1 -----------------5 分 ?b = 3

∴ f ( x ) = x 3 + 3 x 2 ? 24 x + 12 ∴ f ′( x ) = 3 x 2 + 6 x ? 24 = 3( x 2 + 2 x ? 8) = 3( x + 4)( x ? 2) 由 f ′( x ) > 0 得, x < ?4或x > 2 ; 由 f ′( x ) < 0 得, ? 4 < x < 2 ; ∴ f (x ) 的单调增区间为 ( ?∞ ,?4), ( 2,+∞ ) ; 单调减区间为 (?4,2) . -----------------8 分 -----------------7 分 -----------------6 分

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【山东省济南市 2012 届高三 12 月考】 (本题满分 12 分) 33. 已知函数 f ( x) = ax + ln x(a ∈ R )
2

(Ⅰ)当 a = 2 时,求 f (x ) 在区间 [e, e ] 上的最大值和最小值;
2

(Ⅱ)如果函数 g ( x), f 1 ( x), f 2 ( x) 在公共定义域 D 上,满足 f 1 ( x) < g ( x) < f 2 ( x) , 那么就称 g (x ) 为 f 1 ( x), f 2 ( x) 的“伴随函数”.已知函数

1 1 f 1 ( x) = (a ? ) x 2 + 2ax + (1 ? a 2 ) ln x , f 2 ( x) = x 2 + 2ax .若在区间 (1,+∞) 上, 2 2
函数 f (x ) 是 f 1 ( x), f 2 ( x) 的“伴随函数” ,求 a 的取值范围. 【答案】33. 本小题满分 12 分) 33. 33 (本小题满分 ( 解:(Ⅰ)当 a = 2 时, f ( x ) = 2 x + ln x,f ′( x ) = 4 x +
2

1 4x 2 + 1 = ; ----------1 分 x x

对于 x ∈ [e, e 2 ] ,有 f ′( x ) > 0 ,∴ f (x ) 在区间 [e, e 2 ] 上为增函数, ∴ f ( x ) max = f (e 2 ) = 2 + 2e 4 , f ( x ) min = f (e) = 1 + 2e 2 . -----------------3 分

,则 f 1 ( x) < f ( x) < f 2 ( x) , (Ⅱ)在区间 (1,+∞ ) 上,函数 f (x ) 是 f 1 ( x), f 2 ( x) 的“伴随函数” 令 p ( x ) = f ( x ) ? f 2 ( x ) = ( a ? ) x 2 ? 2ax + ln x < 0 对 x ∈ (1,+∞ ) 恒成立, ------4 分

1 2

1 2 x + 2ax ? a 2 ln x < 0 对 x ∈ (1,+∞ ) 恒成立, ------5 分 2 1 [(2a ? 1) x ? 1]( x ? 1) ∵ p ′( x) = ( 2a ? 1) x ? 2a + = (*) --------------6 分 x x 1 1 1 ①若 a > ,令 p ′( x ) = 0 ,得极值点 x1 = 1, x 2 = ,当 x 2 > x1 = 1 ,即 < a < 1 时, 2 2a ? 1 2
且 h( x ) = f 1 ( x) ? f ( x ) = ? 在 ( x 2 ,+∞) 上有 p ′( x ) > 0 , --------------7 分

此时 p (x ) 在区间 ( x 2 ,+∞) 上是增函数,并且在该区间上有 p( x) ∈ ( p( x 2 ),+∞) ,不合题意;

p ( x ) ∈ ( p (1),+∞ ) ,也不合题意;
②若 a ≤

-----------------8 分

1 ,则有 2a ? 1 ≤ 0 ,此时在区间 (1,+∞ ) 上恒有 p ′( x ) < 0 , 2

从而 p (x ) 在区间 (1,+∞ ) 上是减函数; 要使 p ( x ) < 0 在此区间上恒成立, 只需满足 p (1) = ? a ? -----------------9 分

1 1 1 1 所以 ? ≤ a ≤ . ≤0?a≥? , 2 2 2 2

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又 因 为 h ′( x) = ? x + 2a ? 数.

a 2 ? x 2 + 2ax ? a 2 ? ( x ? a ) 2 = = < 0, h( x) 在 (1,+∞) 上 是 减 函 x x x

1 1 + 2a ≤ 0 ,所以 a ≤ . 2 4 1 1 综合可知 a 的取值范围是 [? , ] . 2 4 h( x ) < h(1) = ?
另解: (接在(*)号后) 先考虑 h(x) ,

-----------------10 分

h ′( x ) = ? x + 2a ?

a2 ( x ? a) 2 =? < 0 ,--------------8 分 x x

1 1 + 2a ≤ 0 ,解得 a ≤ .-----------7 分 2 4 ( x ? 1)[( 2a ? 1) x ? 1] 1 而 p ′( x ) = 对 x ∈ (1,+∞ ) ,且 a ≤ 有 p ′( x ) < 0 . --------8 分 x 4 1 1 1 1 只要 p (1) ≤ 0 ,即 a ? ? 2a ≤ 0 ,解得 a ≥ ? ,所以 ? ≤ a ≤ ,--------9 分 2 2 2 4 1 1 即 a 的取值范围是 [? , ] . -----------------10 分 2 4
h(x) 在 (1,+∞ ) 上递减,只要 h(1) ≤ 0 ,即 ?
【山东省济南市 2012 届高三 12 月考】7. f ( x ) = ax 3 + 3 x 2 + 2 ,若 f ′( ?1) = 4 ,则 a =

A.

19 3

B.

16 3

C.

13 3

D.

10 3

【答案】D 【山东省济南市 2012 届高三 12 月考】17.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( 4) = 1 , f ′( x ) 为

f ( x) 的导函数,已知 y = f ′( x) 的图象如图所示,若两个正数 a , b 满足 f (2a + b) < 1 ,则

b+2 的取值范围是 a+2
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1 1 3 2 1 C. ( ,3) 2
【答案】C

A. ( , )

B. (?∞, ) ∪ (3,+∞) D. (?∞,3)

1 2

【山东省济南外国语学校 2012 届高三 9 月质量检测】11.已知 f ′(x ) 是函数 f (x ) 的导数, y= f ′(x ) 的 图 象 如 图 所 示 , 则 y= f (x ) 的 图 象 最 有 可 能 是 下 图 中 ( )

【答案】B 【山东省济南外国语学校 2012 届高三 9 月质量检测】22. (12 分)已知函数 f(x)=x3-ax2 -3x. (1)若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; 1 (2)若 x=- 是 f(x)的极值点,求 f(x)在[1,a]上的最大值; 3 (3)在(2)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个 交点?若存在,请求出实数 b 的取值范围;若不存在,试说明理由.
2

【答案】22.【解】 (1)f′(x)=3x -2ax-3. ∵f(x)在[1,+∞)是增函数, ∴f′(x)在[1,+∞)上恒有 f′(x)≥0,即
2

3x -2ax-3≥0 在[1,+∞)上恒成立,

a
则必有 ≤1 且 f′(1)=-2a≥0.∴a≤0. ………4 分 3 1 (2)依题意,f′(- )=0, 3 1 2 即 + a-3=0. 3 3
3 2

∴a=4,∴f(x)=x -4x -3x.
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2

令 f′(x)=3x -8x-3 =0, 1 得 x1=- ,x2=3. 3 则当 x 变化时,f′(x)与 f(x)变化情况如下表

x

1

(1,3)

3

(3,4)

4

f′(x)



0



f(x)

- 6

?

-18

?

-12

∴f(x)在[1,4]上的最大值是 f(1)=-6. ………8 分 3 2 (3)函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点, 即方程 x -4x -3x=bx 恰有 3 个 不等实根. 3 2 ∴x -4x -3x-bx=0, ∴x=0 是其中一个根, 2 ∴方程 x -4x-3-b=0 有两个非零不等实根.
?Δ=16+4(3+b)>0 ? ∴? ? ?-3-b≠0

∴b>-7 且 b≠-3. ∴存在满足条件的 b 值,b 的取值范围是 b>-7 且 b≠-3. ………12 分 【山东省济宁市重点中学 2012 届高三上学期期中文】4.函数 y = x cos x ? sin x 的一个递增 区间是( A. ( , )

π 3π
2 2

)

B. (π , 2π )

C. (

3π 5π , ) 2 2

D. (2π ,3π )

【答案】B 【山东省济宁市重点中学 2012 届高三上学期期中文】10.函数 f ( x) = 3 + x ln x 的单调递减区 间是( ) 1 1 1 1 A.(–∞, ) B. (0, ) C. ( , + ∞) D. ( , e) e e e e 【答案】B 【山东省济宁市重点中学 2012 届高三上学期期中文】20.(本小题满分 12 分)已知

f ( x) = ln x +

a ? 2. g ( x) = ln x + 2 x x

(Ⅰ)求 f (x ) 的单调区间; (Ⅱ)试问过点 ( 2,5) 可作多少条直线与曲线 y = g (x) 相切?请说明理由。 【答案】20.解: (1) f ′( x) =

x?a ( x > 0) x2

……………………1 分

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(ⅰ)当 a ≤ 0 时,Q f ′( x ) > 0 ∴ f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上单调递增

………………3 分

(ⅱ)当 a > 0 时,若 0 < x < a, 则 f ′( x ) < 0 ;若 x > a, 则 f ′( x ) > 0 ∴ f ( x ) 在 ( 0, a ) 上单调 递减,在 ( a , +∞ ) 上单调递增 分 (2)设切点为 ( x0 , ln x0 + 2 x0 ) Q g ′( x ) = ……………………5

1 +2 x

………………6 分

∴ 切线方程为: y ? ( ln x0 + 2 x0 ) = (

1 + 2)( x ? x0 ) x0 1 + 2)(2 ? x0 ) x0
……………………8 分

Q 切线过点(2,5)∴ 5 ? ( ln x0 + 2 x0 ) = (
即 x0 ln x0 ? 2 x0 + 2 = 0 ……(*)

令 Φ ( x ) = x ln x ? 2 x + 2 , Φ ′( x ) = ln x ? 1

………………9 分

Q 当 0 < x < e 时, Φ ′( x ) < 0 ;当 x > e 时, Φ ′( x ) > 0

∴Φ ( x) 在 ( 0, e ) 上单调递减,在 (e, +∞ ) 上单调递增
又Q Φ (e) = ?e + 2 < 0, Φ ( ) =

……………………10 分

1 e

2e ? 3 ?1 ? > 0, Φ (e 2 ) = 2 > 0 ∴Φ ( x ) = 0 在 ? , e2 ? 上有两个零 e ?e ?

点,即方程(*)在 ( 0, +∞ ) 上有两个根

∴ 过点 ( 2,5 ) 可作两条直线与曲线 y = g ( x ) 相切.
x (2 ? x)e x , g ( x) = . ex e2 (Ⅰ) 求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ) 求证:当 x > 1 时, f ( x ) > g ( x); f ( x) =
(Ⅲ) 如果 x1 < x2 ,且 f ( x1 ) = f ( x2 ) ,求证: f ( x1 ) > f (2 ? x2 ). 【答案】21.解:⑴∵ f ( x) = 分) 令 f ′( x) =0,解得 x = 1 .

……………………12 分

【山东省济宁市重点中学 2012 届高三上学期期中文】21. (本小题满分 12 分)已知函数

x 1? x ,∴ f ′( x) = x . x e e

(2

x

( ?∞,1)

1

(1, +∞ )

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f ′( x) f ( x)

+ ↗

0 极大值



1 e

↘ (3 分)

∴当 x = 1 时, f ( x) 取得极大值 f (1) = ⑵证明: 令F ( x) = f ( x) ? g ( x) =

1 . e

(4 分)

x (2 ? x)e x ? ,则 ex e2

F ′( x ) =

1 ? x e x (1 ? x) (1 ? x)(e 2 ? e 2 x ) ? = . ex e2 e x+2

(6 分)

当 x > 1 时, 1 ? x <0, 2x >2,从而 e 2 ? e 2 x <0, ∴ F ′( x ) >0, F ( x ) 在 (1, +∞ ) 是增函数.

∴F ( x) > F (1) =

1 1 ? = 0, 故当x > 1时,f ( x) > g ( x). e e

(8 分)

⑶证明:∵ f ( x) 在 ( ?∞,1) 内是增函数,在 (1, +∞ ) 内是减函数. ∴当 x1 ≠ x2 ,且 f ( x1 ) = f ( x2 ) 时, x1 、 x2 不可能在同一单调区间内. ∴ x1 < 1 < x2 , 由⑵的结论知 x > 1 时, F ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) >0,∴ f ( x2 ) > g ( x2 ) . ∵ f ( x1 ) = f ( x2 ) ,∴ f ( x1 ) > g ( x2 ) . 又 g ( x2 ) = f (2 ? x2 ) ,∴ f ( x1 ) > f (2 ? x2 ). (12 分)

【山东省济宁一中 2012 届高三第三次定时检测文】 10. 函数 y = f ( x) 的图象过原点且它的导 函数 y = f '( x) 的图象是如图 所示的一条直线,则 y = f ( x) 图象的顶点在 ( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【山东省莱州一中 2012 届高三第二次质量检测】22.(本小题满分 14 分) 设函数 f (x) = x 3 ? ax 2 ? ax, g(x) = 2x 2 + 4x + c . (1) 试问函数 f (x) 能否在 x = ?1 时取得极值?说明理由; (2) 若 a=-1,当 x ∈ [?3, 4] 时,函数 f (x) 与 g(x) 的图像有两个公共点,求 c 的取值范围.
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1 3

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【答案】22.解: (1)由题意 f '(x) = x 2 ? 2ax ? a , 假设在 x = ?1 时 f (x) 取得极值,则有 f '(?1) = 1 + 2a ? a = 0,∴ a = ?1 ………………4 分 而此时, f '(x) = x 2 + 2x + 1 = (x + 1)2 ≥ 0 ,函数 f (x) 在 R 上为增函数,无极值. 这与 f (x) 在 x=-1 有极值矛盾,所以 f (x) 在 x=-1 处无极值.……………………6 分 (2)设 f (x) = g(x) ,则有 x 3 ? x 2 ? 3x ? c = 0,∴ c = x 3 ? x 2 ? 3x 设 F(x) = x 3 ? x 2 ? 3x, G(x) = c ,令 F '(x) = x 2 ? 2x ? 3 = 0 .解得 x1 = ?1 或 x = 3 .…8 分 列表如下: X
F '(x)
1 3 1 3 1 3

-3

(-3,-1) +

-1 0
5 3

(-1,3) 减

3 0 -9

(3,4) + 增
?

4
20 3

F(x)

-9



由此可知:F(x)在(-3,-1)(3,4)上是增函数,在(-1,3)上是减函数。……10 分 、 当 x=-1 时,F(x)取得极大值 F(-1)= ;当 x=3 时,F(X)取得极小值
20 . …………………12 分 3 5 3

F(-3)=F(3)=-9,而 F(4)=-

如果函数 f (x) 与 g(x)的图像有两个公共点,则函数 F(x) 与 G(x) 有两个公共点。 所以 ?
20 5 < c < 或 c = ?9 .……………………………………………………14 分 3 3

【 山 东 省 莱 州 一 中 2012 届 高 三 第 二 次 质 量 检 测 】 已 知 对 任 意 实 数 x , 有 f (? x) = ? f ( x), g (? x) = g ( x), 且 x > 0 时, f ' ( x) > 0, g ' ( x) > 0 ,则 x < 0 时( ) A. f ' ( x) > 0, g ' ( x) > 0 C. f ' ( x) < 0, g ' ( x) > 0 B. f ' ( x) > 0, g ' ( x) < 0 D. f ' ( x) < 0, g ' ( x) < 0

【答案】B 【山东省临清三中 2012 届高三上学期学分认定文】21. (本小题满分 12 分)

设函数f ( x) = ax ?

a ? 2 Inx x

(1)若 f ( x)在x = 2 时有极值,求实数 a 的值和 f (x ) 的单调区间; (2)若 f (x ) 在定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围 【答案】21.(本小题满分 12 分) 解: (I) f (x)的定义域是( , ∞) 0 +

f ' ( x) =

ax 2 ? 2 x + a x2

依题意 f ' ( 2) = 0, 解得a =

4 ………………….3 分 5

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4 2 4 2 x ? 2x + (2 x ? 1)( x ? 2) 5 5 = 5 f ' ( x) = x2 x2 1 1 当x ∈ (0,. ), f ' ( x ) > 0, x ? ( ,2).,f ' ( x ) < 0, ∈ ( 2,+∞ ), f ' ( x ) > 0 .x 2 2 1 1 所以 f ( x )分别在(0, )和(2, ∞)上是增函数,在( , + 2)上是减函数 ……..6 分 2 2
(II)由(I)知 f ' ( x) =
2

ax 2 ? 2 x + a , 令h( x) = ax 2 ? 2 x + a 2 x
2

则由 h( x) = a ( x + 1) ? 2 x ≥ 0, x + 1 > 0

a≥

2x 2 = …………………………………………………………………….9 分 x +1 x + 1 x
2

Q x > 0, x +

1 ≥ 2,∴ x

2 x+ 1 x



2 = 1 ……………………………………………………12 分 2

∴a ≥ 1
所以a ∈ [1,+∞. f ( x)在定义域上是增函数………………………………………….14 分
【 山 东 省 临 清 三 中 2012 届 高 三 上 学 期 学 分 认 定 文 】 9. 若 曲 线

f(x) x 4 ? x在点P处的切线平行于直线3 x ? y = 0 ,则点 P 的坐标为 =
A.(1,0) 【答案】A B. (1,5) C.(1, ? 3 ) D. ( ? 1 ,2)

【山东省莱州一中 2012 届高三第一次质量检测文】8.设 f ( x) = ? x3 + ax 2 ? x ? 1 在(-∞,+∞) 上是单调函数,则实数 a 的取值范围是 A. ( ) C.

( ?∞, ?

3 ? U ? 3, +∞ ? ?

)

B. ? ? 3, 3 ? ? ? ? ?

( ?∞, ? 3 ) U (

3, +∞ D. ? 3, 3

) (

)

【答案】B 【山东省莱州一中 2012 届高三第一次质量检测文】 11.若函数 f ( x) = 则 a= A.5 【答案】D ( B.6 ) C.7
x2 + a 在 x=2 处取得极值, x +1

D.8

【山东省莱州一中 2012 届高三第一次质量检测文】12.定义在 R 上的函数 y = f ( x) ,满足
f (4 ? x) = f ( x), ( x ? 2) f '( x) f 0 ,若 x1 p x2 且 x1 + x2 p 4 ,则(



A. f ( x1 ) p f ( x2 )

B. f ( x1 ) f f ( x2 )

C. f ( x1 ) = f ( x2 )
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D.不确定

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【答案】B 【山东省莱州一中 2012 届高三第一次质量检测文】14.函数 f ( x) = 3x + sin x, x ∈ [ 0,1) 的最小 值 . 【答案】1

【山东省莱州一中 2012 届高三第一次质量检测文】21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = (ax ? 1)e x , a ∈ R

(1)当 a=1 时,求函数 f(x)的极值;

(2)若函数 f(x)在区间(0,1)上是单调增函数,求实数 a 的取值范围. 【答案】21.解析(1)因为 f '( x) = (ax + a ? 1)e x ,所以当 a=1 时, f '( x) = xe x , ……2 分 令 f '( x) = 0, 则 x=0,所以 f ( x), f '( x) 的变化情况如下表: x (-∞,0) 0 (0,+∞) f′(x) 0 +

f(x) ↘ 极小值 ↗? 所以 x=0 时,f(x)取得极小值 f(0)=-1. (2)因为 f '( x) = (ax + a ? 1)e x , 函数 f(x)在区间(0,1)上是单调增函数,所以 f '( x) ≥ 0 对 x ∈ (0,1) 恒成立.……6 分 又 e x f 0 ,所以只要 ax + a ? 1 ≥ 0 对 x ∈ (0,1) 恒成立,……8 分 解法一:设 g ( x) = ax + a ? 1 ,则要使 ax + a ? 1 ≥ 0 对 x ∈ (0,1) 恒成立,
? g (0) ≥ 0, 只要 ? 成立,……10 分 ? g (1) ≥ 1 ? a ? 1 ≥ 0, 即? 解得 a ≥ 1 .……12 分 ? 2a ? 1 ≥ 0
1 对 x ∈ (0,1) 恒成立, x +1

解法二:要使 ax + a ? 1 ≥ 0 对 x ∈ (0,1) 恒成立,因为 x f 0 ,所以 a ≥ 因为函数 g ( x) =

1 1 在(0,1)上单调递减,所以只要 a ≥ g (0) = = 1. x +1 0 +1

【山东省莱州一中 2012 届高三第一次质量检测文】22. (本小题满分 14 分) 已知函数 y = f ( x) =
ln x , x 1 处的切线方程; e

(1)求函数 y = f ( x) 的图像在 x =

(2)求 y = f ( x) 的最大值; (3)设实数 a f 0 ,求函数 F ( x) = af ( x) 在 [ a, 2a ] 上的最小值. 【 答 案 】 22. 解 析 ( 1 ) Q f ( x) 定 义 域 为 ( 0 , + ∞ ),

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∴ f '( x) =

1 ? ln x 1 1 ??∴ f ( ) = ?e, 又 Q k = f '( ) = 2e2 , 2 x e e

1 1 处的切线方程为 y + e = 2e2 ( x ? ), 即 y = 2e 2 x ? 3e. …………4 分 e e (2)令 f '( x) = 0得 x = e. Q 当 x ∈ (0, e) 时, f '( x) f 0, f(x)在(0, e)上为增函数;
∴ 函数 y = f ( x)在 x =

1 当 x ∈ (e, +∞) 时, f '( x) p 0, f ( x) 在(e,+∞)上为减函数,∴ f ( x) max = f (e) = . ……7 分 e (3)∵a>0,由(2)知:F(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, ∴ F(x)在[a,2 a]上的最小值 F ( x ) min = min{F (a ), F (2a )}. 1 a Q F ( a ) ? F (2a ) = ln , ∴ 当 0 p a ≤ 2 时, F (a ) ? F (2a ) ≤ 0, F ( x ) min = F (a ) = ln a; 2 2 1 当 2<a 时, F (a ) ? F (2a ) f 0, F ( x)min = F (2a ) = ln 2a. ……14 分 2 e (3)另法:①2 a<e,即 a p , Fmin = F (a ) = ln a ……8 分 2

② a ≤ e ≤ 2a 即

e ≤a≤e 2

F (a ) = ln a , F (2a ) =

ln 2a 2 e p a p 2 时, Fmin = ln a ……12 分 2

1° 2 p a ≤ e 时 Fmin =

ln 2a ……10 分 2 ln 2a ……13 分 2

2°,

③ a f e 时, Fmin = F (2a ) =

∴ 0 p a ≤ 2 时 Fmin = ln a a f 2 时, Fmin =

1 ln 2 a ……14 分 2

【山东省聊城一中 2012 届高三上学期期中考试文】15.已知函数 f(x)的定义域为[-2,+∞), 部分对应值如下表.f′(x)为 f(x)的导函数,函数 y=f′(x)的图象如图所示.若实数 a 满足 f(2a +1)<1,则 a 的取值范围是_________

x f(x) 【答案】 ? ?

-2 1

0 -1

4 1

? 3 3? , ? ? 2 2?

【山东省聊城一中 2012 届高三上学期期中考试文】2.函数 f ( x) = x 3 + ax 2 + 3 x ? 9, 已知

f ( x)在x = ?3 时取得极值,则 a 的值等于(
A.2 【答案】D B.3 C.4

) D.5

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【山东省青岛十九中 2012 届高三上学期模块检测文】5.曲线 y= x ? 3 x 有一条切线与直线
3 2

3 x+y=0 平行,则此切线方程为 A. x-3y+l=0 C. 3x - y -l = 0 【答案】D

( B. 3x+y-5=0 D. 3x+ y -l= O
3



【答案】 ( ?∞, 0 )

【山东省青州市 2012 届高三 2 月月考数学(文) 】14.若曲线 f ( x) = ax + ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 . 【山东省青州市 2012 届高三 2 月月考数学(文) 】22. 本小题满分 14 分 ) 已知函数 . ( f ( x) = a ln x ? ax ? 3(a ∈ R且a ≠ 0) .

(Ⅰ)求函数 f (x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 y = f (x ) 的图像在点 ( 2, f ( 2)) 处的切线的斜率为 1 ,
3 2 问: m 在什么范围取值时,对于任意的 t ∈ [1,2] ,函数 g ( x ) = x + x [

m + f ′( x)] 在区 2

间 (t ,3) 上总 存在极值? 【答案】22. (本小题满分 14 分) 解: (Ι)由

f ′( x ) =

当 a > 0 时,函数 f (x ) 的单调增区间是 (0,1) ,单调减区间是 (1,+∞ ) ; 当 a < 0 时,函数 f (x ) 的单调增区间是 (1,+∞ ) ,单调减区间是 (0,1) ;………………6 分 (Ⅱ)由

a (1 ? x ) 知: x

f ′( 2) = ?

a = 1 得 a = ?2 2 f ' ( x) = 2 ? 2 x.
………………………8 分

∴ f ( x ) = ?2 ln x + 2 x ? 3 ,

m ?m ? g ( x ) = x 3 + x 2 ? + f '( x ) ? = x 3 + (2 + ) x 2 ? 2 x 2 ?2 ? 2 ∴ g '( x ) = 3 x + (4 + m) x ? 2 ,
∵ 函数 g (x ) 在区间 (t ,3) 上总存在极值, ∴ g ′( x ) = 0 有两个不等实根且至少有一个在区间 (t ,3) 内…………10 分 又∵函数 g ′(x ) 是开口向上的二次函数,且

g ′(0) = ?2 < 0 ,∴
…………12 分

? g ′(t ) < 0 ? ? g ′(3) > 0


g ′(t ) < 0得m <

2 2 ? 3t ? 4 ,∵ H (t ) = ? 3t ? 4 在 [1,2] 上单调递减, t t 37 ; 3

所以

H (t ) min = H (2) = ?9 ; m < ?9 , g ′(3) = 27 + 3( 4 + m) ? 2 > 0 , ∴ 由 解得 m > ?

综上得: ?

37 37 < m < ?9 所以当 m 在 (? ,?9) 内取值时,对于任意 t ∈ [1,2] ,函数 3 3 m …………14 分 g ( x) = x 3 + x 2 [ + f ′( x)] ,在区间 (t ,3) 上总存在极值 . 2

【 山 东 省 青 州 市 2012 届 高 三 上 学 期 期 中 文 3 . 已 知 f ( x ) = x 2 + 3 xf '(1) , 则 f '(1) 为

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A.-2 C.0 D.1 【答案】B 【 山 东 省 滕 州 二 中 2012 届 高 三 上 学 期 期 中 文 】 10: 如 图 所 示 的 曲 线 是 函 数

( ) B.-1

2 f ( x) = x 3 + bx 2 + cx + d 的大致图象,则 x12 + x 2 等于 ( ) 8 10 16 5 A. B. C. D. 9 9 9 4

【答案】C 【 山 东 省 滕 州 二 中 2012 届 高 三 上 学 期 期 中 文 】 21: ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 曲 线

(1)求 k (1) 的值;

ax3 1 2 + bx + cx 在点 x 处的切线斜率为 k ( x) ,且 k (?1) = 0 ,对一切实数 x ,不等式 3 2 1 x ≤ k ( x ) ≤ x 2 + 1 恒成立( a ≠ 0 ). 2 y=

(

)

(2)求函数 k ( x ) 的表达式;

(3)求证:

1 1 1 1 2n + + +L + > . k (1) k (2) k (3) k (n) n + 2

【答案】21.解: (1) k ( x ) = ax + bx + c , Q x ≤ k ( x ) ≤

2

1 2 x +1 , 2

(

)

∴ 1 ≤ k (1) ≤

1 (1+1) = 1 , ∴ k (1) = 1 2

……….2 分

? 1 ? k ( ?1) =0 ? a ?b + c = 0 ? b = 2 ? ? ?? ∴? ? (2) ? k (1) =1 ? a +b +c =1 ?a + c = 1 ? ? ? 2

……..4 分

Q k ( x) ≥ x
1 1 2 1 2 1 ∴ ax + x + c ≥ x , ax ? x + c ≥ 0, ? = ? 4 ac ≤ 0, ∴ ac ≥ 2 2 4 16 ,
又 ac ≤

1 1 1 1 ( a +c )2 ≤ ac ≤ , ∴ ac = ,∴ a = c = = 1 即 4 16 16 16 16 4

∴ k ( x) =

1 2 1 1 1 2 x + x + = ( x +1) 4 2 4 4

…….8 分

1 4 (3)证明: k x = ( ) ( x +1)2 .
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∴原式 =

4

(1+1)2

+

4

( 2+1)2

+

4

( 3+1)2

+…+

? ?1 1 1 1 ? = 4? + + + …+ ……..10 分 ? 22 32 42 ? ( n +1)2 ( n +1)2 ? ?
4

? 1 1 1 ? 1 > 4? + + +…+ ? ? 2×3 3×4 4×5 ( n+1)( n+ 2 ) ? ?

1 1 ? ?1 1 1 1 1 1 = 4? ? + ? + ? + … + + ? n +1 n + 2 ? ?2 3 3 4 4 5

n 2n ?1 1 ? = 4? ? = ? = 4× 2( n + 2 ) n + 2 ? 2 n+2 ?

………….12 分

【 山 东 省 微 山 一 中 2012 届 高 三 10 月 月 考 数 学 ( 文 ) 21 、 14 分 ) 已 知 函 数 】 (

f ( x) = 4 x3 + 3tx 2 ? 6t 2 x + t ? 1, x ∈ R,其中t ∈ R ,
(1)当 t=1 时,求曲线 y = f ( x)在点(0, f (0)) 处的切线方程; (2)当 t≠0 时,求的单调区间; (3)证明:对任意的 t ∈ (0, +∞ ), f ( x ) 在区间(0,1)内均存在零点。 解析:(1)简单考查导数的几何意义,导数运算以及直线方程; (2)考查导数在研究函数的单 调性方面的运用,分类讨论; (3)考查分类讨论,函数与方程以及函数零点的性质,是中档 偏上题。 (1)当 t=1 时, f ( x ) = 4 x 3 + 3 x 2 ? 6 x, f (0) = 0, f ′( x ) = 12 x 2 + 6 x ? 6, f ′(0) = ?6,

所以曲线y = f ( x)在点(0, f (0))处的切线方程为y = ?6 x.
(2) f ′( x ) = 12 x + 6tx ? 6t , 令f ′( x ) = 0,解得x = ?t或x =
2 2

t . 2

因为 t≠0,以下分两种情况讨论: ①若 t < 0则

x

t < ?t , 当x变化时,f ′( x) f ( x) 的变化情况如下表: 2 t t (?∞, ) ( , ?t ) 2 2
+ -

(-t,∞)

f ′( x) f ( x)



所以, f ( x ) 的单调递增区间是 (?∞, ) , (-t,∞) f ( x ) 的单调递减区间是 ( , ?t ) 。 ; ②若 t > 0则 ? t <

t 2

t 2

t , 当x变化时,f ′( x) f ( x) 的变化情况如下表: 2

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所以, f ( x ) 的单调递增区间是(-∞,t) ( , +∞) ; f ( x ) 的单调递减区间是 ( ?t , ) 。 , 综上可得: 当 t<0 时, f ( x ) 的单调递增区间是 (?∞, ) , (-t, ; f ( x ) 的单调递减区间是 ( , ?t ) ∞) (-∞, , , +∞) ;f ( x ) 的单调递减区间是 ( ?t , ) 。 t) ( 当 t>0 时, f ( x ) 的单调递增区间是 (3)由(2)可知,当 t>0 时, f ( x ) 在 (0, ) 内的单调递减,在 ( , +∞) 内单调递增, 以下分两种情况讨论:

t 2

t 2

t 2

t 2

t 2

t 2

t 2

t 2

t ≥ 1即t ≥ 2时,f ( x) 在 (0,1)内单调递减, 2 f (0) = t ? 1 > 0, f (1) = ?6t 2 + 4t + 3 ≤ ?6 × 4 ? 4 × 2 + 3 < 0. 所以对任意 t ∈ [2, +∞ ], f ( x) 在区间(0,1)内均存在零点。 t t t ②当 0 < < 1即0 < t < 2 时, f ( x) 在 (0, ) 内的单调递减,在 ( ,1) 内单调递增, 2 2 2
①当

1 7 7 若t ∈ (0,1], f ( ) = ? t 3 + 1 ? 1 ≤ ? t 3 < 0, 2 4 4 2 f (1) = ?6t + 4t + 3 ≥ ?6t + 4t + 3 = ?2t + 3 > 0, t 所以f ( x)在( ,1)内存在零点. 2 1 7 7 若t ∈ (1, 2), f ( ) = ? t 3 + (t ? 1) < ? t 3 + 1 < 0, f (0) = t ? 1 > 0, 2 4 4 t 所以f ( x)在(0, )内存在零点. 2
【山东省微山一中 2012 届高三 10 月月考数学(文) 】4.曲线 y = x 2 + 11 在点 P(1,12)处 的切线与 y 轴交点的纵坐标是 ( ) A.-10 B.-3 C.10 D.15 【答案】C 解析: y
' x =1

= 2, 所以在点 P(1,12)处的切线为 y ? 12 = 2( x ? 1), 即2 x ? y + 10 = 0 ,令 x=0

得:x=10,简单考查导数运算以及几何意义,直线方程,是简单题. 【山东省潍坊市三县 2012 届高三 12 月联考文】20. 设函数 f ( x) = x + ax 2 + b ln x ,曲线

y = f ( x) 过 P(1,0) ,且在 P 点处的切斜线率为 2.
(I)求 a,b 的值; (II)证明: f ( x) ≤ 2 x ? 2 .

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b f ′( x ) = 1 + 2ax + . x 【答案】20. (I)

? f (1) = 0, ?1 + a = 0, 即? ? ? f ′(1) = 2. ?1 + 2a + b = 2. ,解得 a = ?1, b = 3. 由已知条件得
(II) f ( x)的定义域为(0, +∞) ,由(I)知 f ( x ) = x ? x + 3ln x.
2

设 g ( x ) = f ( x ) ? (2 x ? 2) = 2 ? x ? x + 3ln x, 则
2

g ′( x) = 1 ? ?2 x +

3 ( x ? 1)(2 x + 3) =? . x x

当0 < x < 1时, g ′( x) > 0;当x > 1时, g ′( x) < 0. 所以g ( x)在(0,1)单调增加, 在(1, +∞)单调减少.
而 g (1) = 0, 故当x > 0时, g ( x) ≤ 0,即f ( x) ≤ 2 x ? 2.

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