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湖南省浏阳一中2013届高三下学期第一次阶段性考试(数学文)


浏阳一中 2012 年下学期高三第二次月考试题 数 学(文科)
时间:120 分钟 分值:150 分 命题:黄六合 审题:张慧媛

一、选择题(本大题共 9 小题,每小题 5 分,满分 45 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合 A={x|sinx<0,0≤x≤2π },B={x|cosx>0, 0≤x≤2π },则 A∩B= A. (0,

?

2 3? ) C. (? , 2

)

,? ) 2 3? ,2? ) D. ( 2
B. (

?

2.复数 Z 为复数 1 ? i 的共轭复数,则 (1 ? i)Z = A. 2i 3.条件 A: “? ? B. ? 2i C.2

?

D.?2

4

a t ”是结论 B: “n

? ? 1”的

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图的程序框图,则输出的 ? 是 A. ?4 B. ?2 C. 0 D. ?2 或 0 5.正四棱锥的底面边长为 6,侧棱长为 5,则下面是该棱锥的侧视图的是

6.经过抛物线 y 2 ? 4 x 焦点且渐近线方程为 x ? y ? 0 的双曲线方程是 A. x 2 ? y 2 ? 4 C. x 2 ? y 2 ? 1 B. x 2 ? y 2 ? 2 D. x 2 ? y 2 ? ?1

7.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? | ?

?

? 如图示,则将 y ? f ( x) 的图象向右平移 个单位后,得到的 6
图象解析式为

) 的部分图象 2

y
1

11? 12

O

? 6

x
?

6 8.若对任意正数 x ,均有 a ? 1 ? x ,则实数 a 的取值范围是
2

A.y= sin 2 x

B.y= sin(2 x ?

?

)

C.y= sin(2 x ?

2? ) 3

D.y= sin(2 x ? )

6

A. [-1,1]

B.(-1,1)

C. ? ? 1 ? x , 1 ? x ?

?

?

D. (? 1 ? x , 1 ? x )

9.某三角形的三边长分别是 2、3、4,则该三角形的面积是 A.

3 15 4

B.

3 4

C.

3 15 2

D.

15 2

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分)
10.右图是姚明在六场篮球比赛中所得分数的茎叶图,则他在这六场 比赛中所得分的极差是 ;中位数是 。 11.在直角坐标系 xoy 中, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系,则圆 ? 2 ? 2? cos? ? 3 ? 0 标准方程是__________. 12.在△ABC 中,∠C 为直角, AB =(x,0), AC =(-1,y),则动点 P(x,y)的轨迹方程是_____. 13.对于函数 f(x),在使 f(x)≥M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最大值称为 f(x)的"下 确界",则函数 f ( x) ? 1 ? 4 x ?

1 5 , x ? (??, ) 的"下确界"等于_________. 5 ? 4x 4
2 x

14.设集合 A={x| y ? lg x },B={x| x ? 2 },求,则 A∩B=______. 15.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩 上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的 实心点个数1,5,12,22,?,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作 a1 ? 1 ,第2 个 五 角 形 数 记 作 a2 ? 5 , 第 3 个 五 角 形 数 记 作 a3 ? 12 , 第 4 个 五 角 形 数 记 作

a4 ? 22 ,??,若按此规律继续下去,则 a5 ?

,若 an ? 145 ,则 n ?



三、解答题(本大题6个小题,共75分)
16.(本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x) ? 2 cos

x ? 3 sin x . 2

(1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; ( 2 ) 若

?

为 第 二 象 限 角 , 且

? 1 cos 2? f (? ? ) ? ,求 的值. 3 3 1 ? cos 2? ? sin 2?
17. (本小题满分12分) 某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学 生,将他们的期中考试数学成绩(满分 100 分,

成绩均为不低于 40 分的整数) 分成六段: [40,50), [50,60),? , [90,100],后得到如图 4 的频率 分布直方图. ⑴ 求图中实数 a 的值; ⑵ 若该校高一年级共有学生 640 人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分的人数; ⑶ 若从数学成绩在[40,50)与 [90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这 两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率.

18. (本小题满分12分) 如图 5 所示, 在三棱锥 P-ABC 中, AB ? BC ? 6 ,

PD ? AC 于点 D ,AD=1, 平面 PAC⊥平面 ABC, CD=3,PD=2. ⑴ 求三棱锥 P—ABC 的体积; ⑵ 证明△PBC 为直角三角形.

19. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f(x)的最小值为 ?4, 且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}. ⑴ 求函数 f(x)的解析式; ⑵ 求函数 g ( x) ?

f ? x? ? 4ln x 的零点个数. x

20. (本小题满分 13 分)
* 已知函数 f ( x) ? ln x 的图象是曲线 C,点 An (an , f (an ))( n ?N ) 是曲线 C 上的一系列

点,曲线 C 在点 A n 处的切线与 y 轴交于点 Bn (0, bn ) ,若数列 {bn } 是公差为 2 的等差 数列,且 f (a1 ) ? 3.

⑴ 分别求出数列 {an } 与数列 {bn } 的通项公式; ⑵ 设 O 为坐标原点, Sn 表示 ?OAn Bn 的面积,求数列 {Sn } 的前 n 项和 Tn .

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 2 ax ? x , a ?R. 2

⑴ 求函数 f(x)的单调区间; ⑵ 是否存在实数 a ,使得函数 f(x)的极值大于 0 ?若存在,求 a 的取值范围;若不存在, 说明理由.

数学(文科)参考答案
一、选择题:本题主要考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 45 分。 DCB BCC DAA 二、填空题:本题主要考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 30 分。 10. 16;21.5 11.

( x ? 1)2 ? y 2 ? 4

12. y2+x+1=0 15. 35;10

13. -2 14. {x|2<x<4} 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。 16. (本题满分 12 分)

解: (1)∵ f ( x) ? 1 ? cos x ? 3sin x ? 1 ? 2 cos( x ? ∴函数 f ( x ) 的周期为 2? ,值域为 [?1,3] . (2)∵ f (? ?

?
3

),

?
3

)?

1 1 1 ,∴ 1 ? 2 cos ? = ,即 cos ? ? ? 3 3 3

cos 2? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos 2? ? sin 2? 2cos 2 ? ? 2sin ? cos ?
? cos ? ? sin ? , 2 cos ?

?

(cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) 2cos ? (cos ? ? sin ? )

又∵ ? 为第二象限角, 所以 sin ? ?

2 2 cos ? ? sin ? 1 ? 2 2 .∴原式 ? ? 3 2cos ? 2

17. (本小题满分12分) (1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于 1, 所以 10 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ?a ? 0.025 ? 0.01) ? 1 .解得 a ? 0.03 . (2)解:根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率为 1 ? 10 ? (0.005 ? 0.01) ? 0.85 . 由于该校高一年级共有学生 640 人, 利用样本估计总体的思想, 可估计该校高一年级数 学成绩不低于 60 分的人数约为 640 ? 0.85 ? 544 人. (3)解:成绩在 ?40,50? 分数段内的人数为 40 ? 0.05 ? 2 人,分别记为 A , B .??6 分 成绩在 ?90,100? 分数段内的人数为 40 ? 0.1 ? 4 人,分别记为 C , D , E , F . 7 分 若从数学成绩在 ?40,50? 与 ?90,100? 两个分数段内的学生中随机选取两名学生, 则所有 的基本事件有: ? A, B ? , ? A, C ? , 。 。 。 。 ? D, F ? , ? E, F ? 共 15 种.?9 分 如果两名学生的数学成绩都在 ?40,50? 分数段内或都在 ?90,100? 分数段内, 那么这两名 学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在 ?40,50? 分数段内,另一

个成绩在 ?90,100? 分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10. 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10”为事件 M ,则事件 M 包含的基 本事件有:

? A, B? , ?C, D? , ?C, E ? , ?C, F ? , ? D, E ? , ? D, F ? , ? E, F ? 共 7 种.
7 .? 15
平面 ABC ? AC , PD ? 平面 PAC ,

所以所求概率为 P ? M ? ?

18. (本小题满分12分) (1) 证明: 因为平面 PAC ? 平面 ABC , 平面 PAC

PD ? AC ,所以 PD ? 平面 ABC .??????????????????2 分 记 AC 边上的中点为 E ,在△ ABC 中,因为 AB ? BC ,所以 BE ? AC .
因为 AB ? BC ? 6 , AC ? 4 , 所以 BE ?

BC 2 ? CE 2 ?

? 6?

2

? 22 ? 2 .???????4 分

所以△ ABC 的面积 S ?ABC ? 因为 PD ? 2 ,

1 ? AC ? BE ? 2 2 .???????????4 分 2 1 1 4 2 ? S ?ABC ? PD ? ? 2 2 ? 2 ? .??6 分 3 3 3

所以三棱锥 P ? ABC 的体积 VP ? ABC ?

(2)证法 1:因为 PD ? AC ,所以△ PCD 为直角三角形. 因为 PD ? 2 , CD ? 3 , 所以 PC ?

P

PD2 ? CD2 ? 22 ? 32 ? 13 .??7 分
A

连接 BD ,在 Rt △ BDE 中,
o 因为 ?BED ? 90 , BE ? 2 , DE ? 1 ,

E D B
C

所以 BD ?

BE 2 ? DE 2 ?

? 2?

2

? 12 ? 3 .????9 分

由(1)知 PD ? 平面 ABC ,又 BD ? 平面 ABC , 所以 PD ? BD .
o 在 Rt △ PBD 中,因为 ?PDB ? 90 , PD ? 2 , BD ? 3 ,

所以 PB ?

PD 2 ? BD 2 ? 22 ?

? 3?

2

? 7 .?

在 ?PBC 中,因为 BC ?

6 , PB ? 7 , PC ? 13 ,

2 2 2 所以 BC ? PB ? PC .所以 ?PBC 为直角三角形.

o 证法 2:连接 BD ,在 Rt △ BDE 中,因为 ?BED ? 90 , BE ? 2 , DE ? 1 ,

所以 BD ?

BE 2 ? DE 2 ?

? 2?

2

? 12 ? 3 .???7分

P
在△ BCD 中, CD ? 3 , BC ?

6 , BD ? 3 ,

所以 BC 2 ? BD2 ? CD2 ,所以 BC ? BD .????9分 由(1)知 PD ? 平面 ABC , 因为 BC ? 平面 ABC , 所以 BC ? PD . 因为 BD 19. (本小题满分12分)

A

E D
C

PD ? D ,所以 BC ? 平面 PBD . B 因为 PB ? 平面 PBD ,所以 BC ? PB .所以 ?PBC 为直角三角形.
解: (1) f(x) 是二次函数, 且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为 x ?1 ? x ? 3, x ? R ,

?

?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ? f ? x ? ? a( x ?1)( x ? 3) ? ax2 ? 2ax ? 3a , 且 a ? 0 . ·
2 因 a ? 0, f ? x ? ? a ? ?( x ? 1) ? 4 ? ? ? ?4 ,且 f ?1? ? ?4a ,? f ( x)min ? ?4a ? ?4, a ? 1. 5 分

故函数 f ? x ? 的解析式为 f ? x ? ? x ? 2x ? 3.
2

(2)

g ( x) ?

x2 ? 2 x ? 3 3 ? 4ln x ? x ? ? 4ln x ? 2 ( x ? 0) x x
x, g ?( x), g ( x) 的取值变化情况如下:

,

? g ?( x) ? 1 ?

3 4 ( x ? 1)( x ? 3) ? ? . x2 x x2
1

x
g ?( x) g ( x)

(0, 1)

(1, 3)
?
单调减少

3

(3, ??)

?
单调增加

0
极大值

0
极小值

?
单调增加

当 0 ? x ? 3 时, g ? x ? ? g ?1? ? ?4 ? 0 ; 又g e

? ??e
5

5

?

3 ? 20 ? 2 ? 25 ? 1 ? 22 ? 9 ? 0 . e5

故函数 g ( x) 只有 1 个零点,且零点 x0 ? (3,e5 ). 20. (本小题满分 13 分) 解: (1)因 f ?( x) ? (ln x)? ?

1 1 , k= f ?(an ) ? , f (an ) ? ln an x an

所以曲线 C 在点 An(an,f(an))处的切线方程为 y ? ln an ?

1 ( x ? an ) an

又因为该切线与 y 轴的交点为 Bn(0,bn). 令 x=0 得 bn=lnan-1 又已知 f(a1)=lna1=3,所以 b1=lna1-1=2

又{bn}是公差为 2 的等差数列,所以 bn=2+2(n-1)=2n 所以 lnan-1=2n, lnan=2n+1,故数列{an}的通项公式为 an= e (2)因 Sn=S△OAB=
2 n ?1

| an | ? | bn | 1 ? ? 2n ? e 2 n ?1 ? ne 2 n ?1 2 2

?Tn ? e3 ? 2e5 ? 3e7 ?

? ne2n?1

9 ?e2Tn ? e 5? 2e 7? 3e ?

? ne

n? 2

3

两式相减得?(1 ? e2 )Tn ? e3 ? e5 ? e7 ?

1 ? e2 n ) ? ne2 n?3 ? e2n?1 ? ne2n?3 = e3 ( 2 1? e



ne2 n?5 ? (n ? 1)e2 n?3 ? e3 1 ? e2

所以 Tn ?

ne2 n?5 ? (n ? 1)e2 n?3 ? e3 (1 ? e2 )2

21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识, 考查函数与方程、分类与整合、 化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? . f ? ? x ? ? ① 当 a ? 0 时, f ? ? x ? ?

1 ax 2 ? x ? 1 ? ax ? 1 ? ? . x x

1? x ,∵ x ? 0, ∴ f ' ? x ? ? 0 x

∴ 函数 f ? x ? 单调递增区间为 ? 0, ??? . ② 当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 得 ?

ax 2 ? x ? 1 ? 0 , ∵x>0∴ ax 2 ? x ? 1 ? 0 . ∴△=1+4a. x

(ⅰ)当 ? ? 0 ,即 a ? ?

1 2 时,得 ax ? x ? 1 ? 0 ,故 f ? ? x ? ? 0 , 4

∴ 函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ?? ? . (ⅱ)当 ? ? 0 ,即 a ? ?

1 2 时,方程 ax ? x ? 1 ? 0 的两个实根分别为 4

x1 ?
若?

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a , x2 ? . 2a 2a

1 ? a ? 0 ,则 x1 ? 0, x2 ? 0 ,此时,当 x ?? 0, ??? 时, f ? ? x ? ? 0 . 4

∴函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ??? , 若 a ? 0 ,则 x1 ? 0, x2 ? 0 ,

此时,当 x ? ? 0, x2 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? ? x2 , ??? 时, f ? ? x ? ? 0, ∴函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0,

? ? ?

? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a ? , 单调递减区间为 ? , ?? ? ? ? ? ?. 2a 2a ? ? ? ? 1 ? 1 ? 4a ? ? ? ? ,单调递减区间 2a ? ?

综上所述,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0,

为?

? 1 ? 1 ? 4a ? , ?? ? ? ?; 2 a ? ?

当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ?? ? ,无单调递减区间. (2)解:由(1)得当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,故函数 f ? x ? 无极值; 当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为 ? 0,

? 1 ? 1 ? 4a ? ? ? ? ,单调递减区间为 2a ? ?

? 1 ? 1 ? 4a ? , ?? ? ? ? ?; 2 a ? ?
则 f ? x ? 有极大值,其值为 f ( x2 ) ? ln x2 ?

1 2 1 ? 1 ? 4a ax2 ? x2 ,其中 x2 ? . ? 10 分 2 2a x2 ? 1 . 2

2 2 而 ax2 ? x2 ? 1 ? 0 ,即 ax2 ? x2 ? 1 ,∴ f ( x2 ) ? ln x2 ?

x ?1 1 1 ( x ? 0) ,则 h' ( x) ? ? ? 0 , 2 x 2 x ?1 则 h( x) ? ln x ? 在 ? 0, ?? ? 上为增函数. 2 x ?1 ? 0 等价于 x2 ? 1 . 又 h(1) ? 0 ,则 h( x) ? 0 等价于 x ? 1 .∴ f ( x2 ) ? ln x2 ? 2 2
设函数 h( x) ? ln x ?
2 即在 a ? 0 时,方程 ax ? x ? 1 ? 0 的大根大于 1,

设 ? ( x) ? ax2 ? x ? 1,由于 ? ( x) 的图象是开口向上的抛物线,且经过点 (0, ?1) ,对称 轴x?

1 ? 0 ,则只需 ? (1) ? 0 ,即 a ? 1 ? 1 ? 0 解得 a ? 2 ,而 a ? 0 , 2a

故实数 a 的取值范围为 ? 0, 2? . 说明:若采用下面的方法求出实数 a 的取值范围的同样给 1 分. 1.由于

1 ? 1 ? 4a 1 1 1 ? 4a 1 1 1 4 ? ? ? ? ? 在 ? 0, ?? ? 是减函数, 2 2a 2a 2 a 2a 2 a 2 a



1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ? 1 时, a ? 2 ,故 ? 1 的解集为 ? 0, 2? , 2a 2a

从而实数 a 的取值范围为 ? 0, 2? .

2.解不等式

1 ? 1 ? 4a ? 1 ,而 a ? 0 ,通过分类讨论得出实数 a 的取值范围为 ? 0, 2? . 2a



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