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数学物理方法解析函数


1

? 教材: 《数学物理方法》(第二版) 姚端正 梁家宝编著

任课教师:刘辛

数学物理方法
数 学 物 理 方 程 篇

特 殊 函 数 篇

复 变 函 数 篇

3

数学物理方法 复变函数篇

4

第一章 解析函数
1.1复数及其运算
? 数的扩张(完善化)
– – – – – 自然数(+负整数) 整数(+分数) 有理数(+无理数) 实数(+虚数) 复数

复数概念:一对有序的实数(x,y) 代数表示 z = x + iy x = Real(z)(实部), y = Imagine(z)(虚 部),i2=-1(虚单位)
5

– 几何表示

– 关系
? x = r cosφ ? y =r sinφ
r ? x ? y
2 2

? φ= Arctan(y/x)

? 特点
– 无序性
? 复数无大小(模比较 大小)

– 矢量性
? 复数有方向
6

? 任一复数z≠0有无穷多个辐角(相差2kπ),以argz表示 其中在2π范围内变换的一个特定值,称之为辐角的主值, 通常取 -π<argz≤π 则 Argz=argz+2kπ (k=0,±1,±2,…) z处于第一象限: argz=arctan(y/x); 第二象限: argz=arctan(y/x)+π; 第三象限: argz=arctan(y/x)-π; 第四象限: argz=arctan(y/x)。

7

复数的表示
三角表示
指数表示
z =r (cosφ + i sinφ)
r = |z|(模), φ= Arg(z)(辐角)

z =r exp(iφ)

exp(iφ) = cosφ + i sinφ

代数表示

z = x + iy

x = Re(z), y = Im (z)

8

共轭复数
实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称 为共轭复数.
z 的 共轭复数记为
若 z ? x ? iy ,

z,
则 z ? x ? iy .

例 解

计算共轭复数

z ? x ? yi 与 z ? x ? yi 的积 .
2 2 2 2

( x ? yi )( x ? yi ) ? x ? ( yi ) ? x ? y .

结论: 两个共轭复数
2

z z 的积是实数
2

,

.

即:z ? x ? y . z
9

共轭复数的性质
(1 ) z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ; z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ;

? z1 ? z1 ; ? ? ? ? z2 ? z2

( 2 ) z ? z;
( 3 ) z ? z ? ? Re( z ) ? ? ?Im( z ) ? ;
2 2

( 4 ) z ? z ? 2 Re( z ),
以上各式证明略.

z ? z ? 2 i Im( z ).

10

例1 (1) z z

设 z , z
1

2

为两个任意复数 (2) z
1

, 证明
? z
2

:
.
2

? z
1

z ;
2

? z
1

? z

1 2



(1) z 1 z 2 ?

( z1 z 2 )( z1 z 2 ) ?

( z 1 z 2 )( z 1 z 2 )

?
2

( z 1 z 1 )( z 2 z 2 ) ? z 1 z 2 .

(2) z 1 ? z 2 ? ( z 1 ? z 2 ) ( z 1 ? z 2 ) ? ( z 1 ? z 2 )( z 1 ? z 2 )

? z1 z1 ? z 2 z 2 ? z1 z 2 ? z1 z 2
? z1
2

? z2

2

? z1 z 2 ? z1 z 2
11

因为

z 1 z 2 ? z 1 z 2 ? 2 Re( z 1 z 2 ) ,
2

z1 ? z 2

? z1 ? z1 ? z1

2

? z2 ? z2 ? z2

2

? 2 Re( z 1 z 2 ) ? 2 z1 z 2 ? 2 z1 z 2
2

2

2

2

2

? ( z1 ? z 2 ) ,

两边同时开方得

z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 .

同理可证: z 1 ? z 2 ? z 1 ? z 2 .
12

复数的运算
交换律、结合律、分配律成立 z 1 ? x1 ? iy 1 , 设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数
z 2 ? x 2 ? iy 2

加减运算

z1 ± z2 =(x1 ± x2) +i(y1 ± y2 )
z1 ? z 2 ? z1 ? z 2

z1 ? z 2 ? z1 ? z 2

- z2

复数加减法满足 平行四边形法则
z1 +(- z2)
13

乘法运算
z 1 z 2 ? ( x 1 x 2 ? y 1 y 2 ) ? i( x 1 y 2 ? x 2 y 1 ) ? ? 1 ? 2 ? c o s ( ? 1 ? ? 2 ) ? i s in ( ? 1 ? ? 2 ) ? ? ? 1 ? 2 e x p [i( ? 1 ? ? 2 )]

除法运算
z1 z2 ? ? x1 x 2 ? y 1 y 2 x2 ? y2
2 2

两个复数相乘 等于它们的模相乘, 幅角相加 两个复数相除等 ) ? 于它们的模相除, 幅角相减
14

?i

x1 y 2 ? x 2 y 1 x2 ? y2
2 2

?1 ?2 ?1 ?2

? c o s (?

1

? ? 2 ) ? i s in (? 1 ? ? 2

?

e x p [i(? 1 ? ? 2 )]

乘方运算
z ? [ r (cos ? ? i sin ? )] ? r (cos n ? ? i sin n ? )
n n n

当r=1时
(cos ? ? i sin ? ) ? cos n ? ? i sin n ? ? e
n in ?

上式对所有n取整数,恒成立。
15

开方运算

w

n

? z

w ?

n

z

z ? r (cos ? ? i sin ? ), w ? ? (cos ? ? i sin ? )

? (cos n ? ? i sin n ? ) ? r (cos ? ? i sin ? )
n

?

n

? r , n? ? ? ? 2 k?
1 n

( k ? 0 , ? 1, ? 2 ...)

w?

z ? r [cos(
n

?
n

?

2 k? n

) ? i sin(

?
n

?

2 k? n

)]
16

1

w?

n

z ? r [cos(
n

?
n

?

2 k? n

) ? i sin(

?
n

?

2 k? n

)]

从这个表达式可以看出:

1)当k=0,1,2…n-1时,得到n个相异的值;当 k取其他整数值时,将重复出现上述n个值。因 此,一个复数z的n次方根有且仅有n个相异值。
2)上述n个方根具有相同的模,而每个相邻值 的辐角差为2π/n,故在几何上,w的n个值分布 在以原点为中心,r1/n为半径的圆内接正n边形 的顶点上。
17

? 模有限的复数和复数平面上的有限远点是一一对 应的。 ? 复变函数理论中无穷大也理解为复数平面上的一 个“点”,称为无限远点,记为∞,其模大于任 何正数,辐角不定。平面上的具体点难以描绘无 限远点,为此引入复球面的概念。 ? 把一个球放在复平面, 使其南极S与复
N A‘ y S o x A

平面相切于原点,复平面上任一点A 与 球的北极N连线交与球面A’点 ,则复平面 上每一有限远点与球面上的点一一对 应(此对应称测地投影),A无限远离o 时,A‘点无限趋近于N,故可将N看做无 限远点的代表点。此球面称为复球面或 黎曼球面,复平面上只有一个无穷远点。

18

复平面上的点集
δ

z ? z0 ? ? z0 定义 由不等式 (δ为任意的正数)所确定的复平面点集(以后平面点 集均简称点集),就是以z0为中心的δ邻域或邻域。而 称由不等式 0 ? z? z ??
0

所确定的点集为z0的去心δ邻域或去心邻域。

19

内点,外点,边界点 开集 定义 设D为点集,z0为D中的一点。如果存在z0的 一个邻域,该邻域内的所有点都属于D,则称z0为D的 内点;若点z0的某一个邻域内的点都不属于D ,则称 点z0为D的外点。若在点z0的任意一个邻域内,既有属 于D的点,也有不属于D的点,则称点z0为D的边界点, 点集D的全部边界点称为D的边界。
注意 区域的边界可能是 由几条曲线和一些孤立的点所 组成的。
开集 定义

z0

若点集D的点皆为内 点,则称D为开集

D
20

区域

定义

点集D称为一个区域,如果它满足:

(1) 属于D的点都是D的内点,或D是一个开集;

(2) D是连通的,就是说D中任何两点z1和z2都
可以用完全属于D的一条折线连接起来。 通常称具有性质(2)的 集为连通的,所以一个区 域就是一个连通的开集。 区域D加上它的边界C(p) 称为闭区域或闭域,记 为D

D

z1
z ? z0 ? r

z2

p

21

区域概念总结 邻域 内点 外点 复平面上圆?内点的集合 z 和它的邻域都属于 D, 则 z 为 D 的内点 z 和它的邻域都不属于 D, 则 z 为 D 的外点

边界点 不是内点,也不是外点的点 边界 区域 闭区域 全体边界点的集合 内点组成的连通集合 区域和边界线的全体 区域
22

?

z

z

z ? z0 ? r

y
R O
| z |? R

y
R x O
| z |? R

y
r R

x

O

x

r ? | z |? R

y
?2

y
?1

y

O

?1

O

x

-R

O

R

x

x
Im z ? 0

? 1 ? arg z ? ? 2

| z |? R , Im z ? 0
23

曲线
如果曲线 ? : z ? z ( t ) ? x ( t ) ? iy ( t ) (? ? t ? ? ) 的实部x(t)和虚部y(t)均为t的连续函数,那么 曲线Г就叫连续曲线。 对于连续曲线,? : z ? z ( t )当 t1 ? t 2 时, z ( t1 ) ? z ( t 2 ) 则曲线没有重点(纽结),则称Г为简单曲线。 当 z (? ) ? z ( ? ) 时,则称简单闭曲线。 光滑曲线:若连续曲线 ? : z ? z ( t ) (? ? t ? ? ) 在区间上存在连续的 x ? (t ) 及 y ? (t ),且两者不同时 为零,则在曲线上每点均有切线且切线方向是 连续变化的。

曲线内外部区分(若尔当定理)
简单闭曲线把扩充复平面分为两部分,一 部分是不含∞的点集,称为该曲线的内部;另 一部分是含∞的点集,称为该曲线的外部。这 两个区域都以给的简单闭曲线(也称若尔当曲 线)作为边界。

? 单连通域与多连通域
设B为复平面上的一个区域,如果在其中作一 条简单的闭曲线(自身不相交的闭合曲线),而 曲线内部总属于B ,则称B为单连通区域,否则 称为多连通区域。

B
单连通域

B
多连通域
26

举例

指出下列不等式中点z在怎样的点集 中变动?这些点集是不是单连通区域? 是否有界?
1 2

(1) Re z ?

(2) z ? i ? 2 ? i ( 3 ) z ? 1, Re z ? 1 2

27

1.2 复变函数

复变函数的定义
设 E 是 一 个 复 数 z = x + iy 的 集 合 . 如 果 有 一 个 确 定 的 法 则 存 在 ,按 这 个 法 则 ,对 于 集 合 E 中 的 每 一 个 复 数 z , 就 有 一 个 或 几 个 复 数 w = u + iv 与 之对应 ,那末称复变数 w 是复变数 z的函数 (简称 复 变 函 数 ), 记 作 w = f(z ).
如果 z 的一个值对应着一个 我们称函数 f ( z ) 是单值的 . 两个以上
28

w 的值 , 那末

如果 z 的一个值对应着两个或 w 的值 , 那末我们称函数

f ( z ) 是多值的 .

映射(函数)的概念
对于复变函数 , 由于它反映了两对变量 , 因而无法用同一平面内 , 必须看成是两个复平面 . 上 u,v 和 x , y 之间的对应关系 的几何图形表示出来 的点集之间的对应关系

1.映射的定义:
如果用 z 平面上的点表示自变量 w 平面上的点表示函数 w ? f ( z ) 在几何上就可以看作 G ( 定义集合 ) 变到 )的映射
29

z 的值 , w的

而用另一个平面 值 , 那么函数

是把 z 平面上的一个点集 w 平面上的一个点集 ( 或变换 ).

G * (函数值集合

这个映射通常简称为由 所构成的映射 .

函数 w ? f ( z )

如果 G 中的点 中的点 的原象 .

z 被映射

w ? f ( z ) 映射成

G*

w , 那么 w 称为 z 的象 (映象 ), 而 z 称为 w

30

2. 两个特殊的映射
( 1 ) 函数 w ? z 构成的映射 .

将 z 平面上的点 的点 w ? a ? ib .
y
A

z ? a ? ib 映射成

w 平面上

v

B

? z1 ? 2 ? 3 i
x

? w 2 ? 1 ? 2i
C?

C

o

? z2 ? 1 ? 2i z2 ? w 2 ,

o
B?

u

A?

? w1 ? 2 ? 3i

z1 ? w 1 ,

? ABC ? ? A ? B ?C ? .
31

如果把 z 平面和 w 平面 重叠在一起, 不难看出w ? z
o

? z1 ? w2

是关于实轴的一个对称映射.

且是全同图形.
y
A

? z2 ? w1

v

B

? z1 ? 2 ? 3 i
x

? w 2 ? 1 ? 2i
C?

C

o

? z2 ? 1 ? 2i z2 ? w 2 ,

o
B?

u

A?

? w1 ? 2 ? 3i

z1 ? w 1 ,

? ABC ? ? A ? B ?C ? .
32

( 2 ) 函数 w ? z 构成的映射
2

.

显然将 映射成

z 平面上的点

z1 ? i , z 2 ? 1 ? 2 i , z 3 ? ? 1

w 平面上的点
y

w 1 ? ? 1, w 2 ? ? 3 ? 4 i , w 3 ? 1 .
? w2
v

z3

?

z1 ?
o

? z2
x

? w

o

1

w3

?

u

33

根据复数的乘法公式可知,
映射 w ? z 将 z 的辐角增大一倍
2

.

y

v

o

?

x

2?
o

u

将 z 平面上与实轴交角为 平面上与实轴交角为

? 的角形域映射成
2? 的角形域 .

w

34

函数 w ? z 对应于两个二元实变函
2

数 :

u ? x ? y ,
2 2

v ? 2 xy .

它把 z 平面上的两族分别以直 标轴为渐近线的等轴双 x ? y ? c1 ,
2 2

线 y ? ? x 和坐

曲线 2 xy ? c 2 ,

分别映射成

w 平面上的两族平行直线 v ? c2 .
(如下页图)

u ? c1 ,

35

将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同 一个长方形.
y y

o

x

o

u

36

直线 x ? ? 的象的参数方程为
u ? ? ? y ,
2 2

:

v ? 2?y. v
2

( y 为参数 )
2 2

消去参数

y得 :

? 4 ? ( ? ? u ),

以原点为焦点,开口向左的抛物线.(图中红色曲线)
同理直线 y ? ? 的象为 :
2 2

v

2

? 4? (?

? u ),

以原点为焦点,开口向右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
37

函数的极限
1.函数极限的定义:
设函数 w ? f ( z ) 定义在 z 0 的去心邻域 A 存在 , 0 ? z ? z 0 ? ? 内 , 如果有一确定的数 对于任意给定的

? ? 0 , 相应地必有一正数

? (? )

使得当 0 ? z ? z 0 ? ? ( 0 ? ? ? ? )时 , 有 f ( z ) ? A ? ? 那末称
记作

A 为 f ( z ) 当 z 趋向于
z ? z0

z 0 时的极限
z? z

.

lim f ( z ) ? A . ( 或 f ( z ) ? ? 0 ? A ) ?
定义中 z ? z 0 的方式是任意的 .
38

注意:

2. 极限计算的定理
定理一
设 lim f ( z ) ? A , lim g ( z ) ? B , 那么
z ? z0 z ? z0

(1) lim [ f ( z ) ? g ( z )] ? A ? B ;
z ? z0

(2) lim [ f ( z ) g ( z )] ? AB ;
z ? z0

(3) lim

f (z) g (z)

z ? z0

?

A B

( B ? 0 ).

与实变函数的极限运算法则类似.
39

定理二
设 f ( z ) ? u ( x , y ) ? iv ( x , y ), A ? u 0 ? iv 0 , z 0 ? x 0 ? iy 0 , 那么 lim f ( z ) ? A 的充要条件是
z ? z0 x ? x0 y ? y0

lim u ( x , y ) ? u 0 ,
(1)

x ? x0 y ? y0

lim v ( x , y ) ? v 0 .



必要性.

如果 lim f ( z ) ? A ,
z ? z0

根据极限的定义

当 0 ? ( x ? iy ) ? ( x 0 ? iy 0 ) ? ? 时 ,

( u ? iv ) ? ( u 0 ? iv 0 ) ? ? ,
40

或当

0?

( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ? ? 时 ,
2 2

( u ? u0 ) ? i (v ? v 0 ) ? ? , ? u ? u0 ? ? ,

v ? v0 ? ? ,

故 lim u ( x , y ) ? u 0 ,
x ? x0 y ? y0

x ? x0 y ? y0

lim v ( x , y ) ? v 0 .

(2) 充分性.
那么当 0?

若 lim u ( x , y ) ? u 0 ,
x ? x0 y ? y0

x ? x0 y ? y0
2

lim v ( x , y ) ? v 0 ,

( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ? ? 时 ,
2

有 u ? u0 ?

?
2

,

v ? v0 ?

?
2

,
41

f ( z ) ? A ? ( u ? u0 ) ? i (v ? v 0 ) ? u ? u0 ? v ? v 0 故当 0 ? z ? z 0 ? ? 时 , f (z) ? A ? ? ,

所以 lim f ( z ) ? A .
z ? z0

[证毕]

说明
该定理将求复变函数 的极限问题 f ( z ) ? u ( x , y ) ? iv ( x , y ) 函数 u ( x , y ) , 转化为求两个二元实变 .
42

和 v ( x , y ) 的极限问题

例1

证明函数

f (z) ?

Re( z ) z

当 z ? 0 时的极限

不存在 .

证 (一)

令 z ? x ? iy , 则

f (z) ?

x x ? y
2 2

,

u( x , y ) ?
当 z 沿直线

x x ? y
2 2

,

v ( x , y ) ? 0,
,

y ? kx 趋于零时

lim u ( x , y ) ? lim
x? 0 y ? kx

x x ? y
2 2

x? 0 y ? kx

? lim

x x ? ( kx )
2 2

x? 0

43

? lim

x x (1 ? k )
2 2

x? 0

? ?

1 1? k
,
2

,

随 k 值的变化而变化
x ? x0 y ? y0

所以 lim u ( x , y ) 不存在 ,

x ? x0 y ? y0

lim v ( x , y ) ? 0 ,

根据定理二可知, 证 (二)

lim f ( z ) 不存在 .
z? 0

令 z ? r (cos ? ? i sin ? ),



f (z) ?

r cos ? r

? cos ? ,
44

当 z 沿不同的射线

arg z ? ? 趋于零时

,

f ( z ) 趋于不同的值 例如 z 沿正实轴

. arg z ? 0 趋于零时 , f ( z ) ? 1,

沿 arg z ?

π 2

趋于零时

,

f ( z ) ? 0,

故 lim f ( z ) 不存在 .
z? 0

45

例2

证明函数 .

f (z) ?

z z

( z ? 0 ) 当 z ? 0 时的极

限不存在



令 z ? x ? iy ,

f ( z ) ? u ? iv ,
2 2

则 u( x , y ) ?
当 z 沿直线

x ? y
2

x ? y
2

,

v( x, y) ?

2 xy x ? y
2 2

,

y ? kx 趋于零时

,

lim v ( x , y ) ? lim
x? 0 y ? kx

2 xy x ? y
2 2

x? 0 y ? kx

?

2k 1? k
2

,

46

随 k 值的变化而变化

,

所以 lim v ( x , y ) 不存在 ,
x ? x0 y ? y0

根据定理二可知,

lim f ( z ) 不存在 .
z? 0

47

函数的连续性

1. 连续的定义
如 果 lim f ( z ) ? f ( z 0 ), 那 末 我 们 就 说 f ( z )
z ? z0

在 点 z0 处 连 续 . 如 果 f ( z ) 在 区 域 B 内 处 处 连 续 , 我 们 说 f (z) 在 B 内 连 续 .
函数
z ? z0

f ( z ) 在曲线 C 上 z 0 处连续的意义是

lim f ( z ) ? f ( z 0 ) , z ? C .

48

定理三
函数 f ( z ) ? u ( x , y ) ? iv ( x , y ) 在 z 0 ? x 0 ? iy 0 : u( x , y ) 和 v ( x , y ) 在 ( x0 , y0 ) 连续的充要条件是 处连续 .

例如,

f ( z ) ? ln( x ? y ) ? i ( x ? y ),
2 2 2 2

u ( x , y ) ? ln( x ? y ) 在复平面内除原点外处
2 2

处连续 , v ( x , y ) ? x ? y 在复平面内处处连续
2 2

,

故 f ( x , y ) 在复平面内除原点外处

处连续 .

49

定理四
(1) 在 z 0 连续的两个函数 积、商 ( 分母在
(2) 如果函数

f ( z ) 和 g ( z ) 的和、差、 .

z 0 不为零 ) 在 z 0 处仍连续

h ? g ( z ) 在 z 0 连续 , 函数 w ? f ( h ) 在 w ? f [ g ( z )] 在 z 0 处

h 0 ? g ( z 0 ) 连续 , 那末复合函数 连续 .

50

例3

证明 : 如果 f ( z ) 在 z 0 连续 , 那末 f ( z ) 在 z 0

也连续 .






f ( z ) ? u ( x , y ) ? iv ( x , y ),

f ( z ) ? u ( x , y ) ? iv ( x , y ),

由 f ( z ) 在 z 0 连续 , 知 u ( x , y ) 和 v ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处都连续 ,

于是 u ( x , y ) 和 ? v ( x , y ) 也在 ( x 0 , y 0 ) 处连续 ,

故 f ( z ) 在 z 0 连续 .
51

1.3导数(微分) 1.导数的定义
设函数 w ? f ( z ) 定义于区域 D , z 0 为 D 中的一 点 , 点 z 0 ? ? z 不出 D 的范围 ,

如果极限

?z? 0

lim

f ( z0 ? ? z ) ? f ( z0 ) ?z

存在 ,

那 就 么 称 的 数 导
记作

f ( z ) 在 z 0 可 .这 极 值 为 导 个 限 称 ,
f ?( z 0 ) ? dw dz
z ? z0

f ( z ) 在 z0

? lim

f ( z0 ? ? z ) ? f ( z0 ) ?z

?z? 0

.
52

在定义中应注意:
z 0 ? ? z ? z 0 (即 ? z ? 0 )的方式是任意的 .

即 z 0 ? ? z 在区域 D 内以任意方式趋于 比值 f ( z0 ? ? z ) ? f ( z0 ) ?z 都趋于同一个数

z 0时 , .

如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处可导, 我们 就称 f ( z ) 在区域内 D 可导.

53

例1

求 f ( z ) ? z 的导数 .
2



f ? ( z ) ? lim

f (z ? ?z) ? f (z) ?z

?z? 0

? lim

(z ? ?z) ? z
2

2

?z? 0

?z

? lim ( 2 z ? ? z ) ? 2 z .
?z? 0

2 ? ( z ) ? 2z

54

例2

问 f ( z ) ? x ? 2 yi 是否可导?   



?z? 0

lim

?f ?z

? lim

f (z ? ?z) ? f (z) ?z

?z? 0

? lim

( x ? ? x ) ? 2 ( y ? ? y ) i ? x ? 2 yi ?z
? x ? 2 ? yi ? x ? ? yi
z
o

?z? 0

y

? lim

?

?y ? 0
x

?z? 0

设 z ? ? z 沿着平行于

x 轴的直线趋向于

z,

55

?z? 0

lim

? x ? 2 ? yi ? x ? ? yi

? lim

?x ?x

?x? 0

? 1,

设 z ? ? z 沿着平行于

y 轴的直线趋向于

z,
?x ? 0

?z? 0

lim

? x ? 2 ? yi ? x ? ? yi

? lim

2 ? yi ? yi

?y? 0

? 2,

y

所以 f ( z ) ? x ? 2 yi 的导数 不存在 .    
o

z

?

?y ? 0
x

56

函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函 数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 证 根据在 z 0 可导的定义 ,
? ? ? 0, ?? ? 0,
使得当 0 ? | ? z |? ? 时 ,

2.可导与连续




f ( z0 ? ? z ) ? f ( z0 ) ?z
?z? 0

? f ?( z 0 ) ? ? ,

lim ? ( ? z ) ? 0 ,

令 ? (?z ) ?
因为
所以

f ( z0 ? ? z ) ? f ( z0 )

?z f ( z 0 ? ? z ) ? f ( z 0 ) ? f ?( z 0 ) ? z ? ? ( ? z ) ? z ,
?z? 0

? f ?( z 0 )

lim f ( z 0 ? ? z ) ? f ( z 0 ) ,
[证毕]
57

即 f ( z ) 在 z 0 连续 .

3.求导法则
由于复变函数中导数的定义与一元实变函数 中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因 而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推 广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则:
(1 ) (2) ? ( c ) ? 0 , 其中 c 为复常数
n ? ( z ) ? nz n ?1

. .
58

,

其中 n 为正整数

(3) (4)

? f (z) ?

g ( z ) ? ? f ? ( z ) ? g ? ( z ). ? ? f ? ( z ) g ( z ) ? f ( z ) g ? ( z ).

?

? f ( z ) g ( z )?
?

(5)

f ?( z ) g ( z ) ? f ( z ) g ?( z ) ? f (z)? . 2 ? g(z) ? ? g (z) ? ?

( g(z) ? 0)

(6)

? f [ g ( z )] ? ? f ? ( w ) g ? ( z ).
f ?( z ) ? 1

?

其中 w ? g ( z )

(7 )

? ?( w )

,

其中 w ? f ( z ) 与 z ? ? ( w ) 是 函数 , 且 ? ? ( w ) ? 0
59

两个互为反函数的单值

4.微分的概念
复变函数微分的概念在形式上与一元实变函 数的微分概念完全一致. 定义 设函数 w ? f ( z )在 z0 可导, 则
?w ? f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) ? f ?( z0 ) ? ?z ? ? ( ?z )?z , 式中 lim ? ( ?z ) ? 0, ? ( ?z )?z 是 ?z 的高阶无穷
?z ? 0

小, f ?( z0 ) ? ?z 是函数 w ? f ( z ) 的改变量 ?w 的 线性部分.

f ? ( z 0 ) ? ? z 称为函数 记作

w ? f ( z ) 在点 z 0 的微分 ,

dw ? f ? ( z 0 ) ? ? z .
60

如果函数在 在 z 0 可微 .

z 0 的微分存在

, 则称函数

f (z)

特别地,

当 f (z) ? z 时 ,

d w ? d z ? f ?( z 0 ) ? ? z ? ? z ,

d w ? f ?( z 0 ) ? ? z ? f ?( z 0 ) ? d z , 即

f ?( z 0 ) ?

dw dz
z ? z0

函数 w ? f ( z )在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
如果函数 f ( z )在 区域 D内处处可微, 则称 f ( z )在 区域 D内可微.
61

5 解析函数
? 解析函数的概念
设函数f(z)在点z0及z0某邻域内处处可导,则称函数f(z)在 点z0处解析;又若f(z)在区域B内的每一点解析,则称f(z)在区 域B内是解析函数 说明 1.解析与可导的关系 函数在某点解析,则必在该点可导;反之不然 在区域B内的解析函数必在B内可导 2 例:函数 f ( z ) ? z

只在z=0点可导,因而在复平面上处处不解析 2. 称函数的不解析点为奇点 f(z)在点z0 无定义或无确定值;
f(z)在点z0 不连续;

f(z)在点z0 不可导;
62 f(z)在点z0 可导,但找不到某个邻域在其内处处可导

由解析函数的定义和函数的求导法则可得:
(1)如果函数f(z)在区域σ中解析,则它在这个区域中是连 续的。 (2)如果f1(z)和f2(z)是区域σ中的解析函数,则其和、 差、积、商(商的情形要求分母在σ内不为零)也是该区域中 的解析函数。 (3)如果函数ξ=f(z)在区域σ内解析,而函数w=g(ξ)在 区域G内解析,若对于σ内的每一点z,函数f(z)的值ξ均属 于G,则函数w=g[f(z)]是区域σ上复变量z的一个解析函数。 (4)如果w=f(z)是区域σ上的一个解析函数,且在点z0∈ σ的邻域中|f’(z)|≠0,则在点w0=f(z)∈G的邻域中函数f (z)的值定义一个反函数z=ψ(w),它是复变量w的解析函 数。有f’(z0)=1/ ψ’(w0)。

柯西—黎曼方程 可导:对任何方向的,极限都存在并唯一。
0 实数
x
x ? ?x

实数: ?x沿实轴逼近零。
y 复数 z
z ? ?z

复函数?z沿任一曲线逼近零。
z ? ?z'

x

因此,复函数的可导性是比实函 数的可导性条件强得多。

64

Q:当u,v有偏导时,在什么补充条件下, W=f(z)也有导数? 设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D 上有定义,在D内一点z=x+iy可导,有
lim f (z ? ?z) ? f (z) ?z ? f ?( z )

?z ? 0

设 ? z ? ? x ? i? y , f ( z ? ? z ) ? f ( z ) ? ? u ? i? v 其中 ? u ? u ( x ? ? x , y ? ? y ) ? u ( x , y ), ? v ? v ( x ? ? x , y ? ? y ) ? v ( x , y )
? u ? i? v ? x ? i? y ? f ?( z )

?x? 0 ?y ? 0

lim

?z沿实轴, ?y?0
f ?( z ) ? ?u ?x ?i ?v ?x
f ?( z ) ? ?u ?x ?i ?v ?x

?z沿虚轴, ?x?0
f ?( z ) ? ?u i? y ?i ?v i? y

f ?( z ) ?

?v ?y

?i

?u ?y

可导,要求二者相等
?u ?x ?u ?y ? ?v ?y ?v ?x
66

? ?

柯西—黎曼方程

解析函数的充分条件
设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y),若u(x,y)和v(x,y)在B内满足
(1) u ( x , y ) 和 v ( x , y ) 在 B 内的偏导数存在且连续 ( 2 ) 在 B 内每一点满足 Cauchy ? Riemann 条件 ;

那么f(z)在B内解析(证明见教材P15-16)。

注意:解析函数的实部和虚部满足C-R条件 且都是调和函数(调和函数概念及证明见教 材P17)
67

? 解析函数的实部和虚部通过C-R条件联系着,因此,只要知 道解析函数的实部(或虚部),就能求出相应的虚部(或实 部)。具体可以用以下两种方法求: (1)已知u求v,可以从全微分出发:

dv ? ?v ?

?v ?x

dx ? ? ?u ?y

?v ?y

dy ? ? ?u ?x

?u ?y

dx ?

?u ?x

dy

?

dx ?

dy ? C

68

(2)已知u求v,还可以由关系 求:
v ? ? ?v ?u

?v ?y

?

?u ?x

,对y积分来

? ? y dy ? ψ ( x ) ? ? ? x dy ? ψ ( x )
?

?v ?x

? ? x dy ? ψ ' ( x ) ? ? ? y ?x
?v ? ? ?u

?

?u

?u

当然也可以由关系 ? x 两边对x积分,类似 ?y 上述过程求v。 像解析函数的实部和虚部这样的两个由C-R条件 联系着的调和函数u和v,称为共轭调和函数。

69

例:试证 f ( z ) ? e x (cos 解析,且 f ?( z ) ? f ( z ) 证:
u ? e cos y
x

y ? i sin y ) 在复平面上

v ? e sin y
x

?u ?x ?v ?x

? e cos y
x

?u ?y ?v ?y

? ? e sin y
x

? e sin y
x

? e cos y
x

这四个偏导在复平面处处连续,且:
?u ?v ?u ?v ? , ? ? ?x ?y ?y ?x

注:最后的求导利 用P16结果
f ?( z ) ? f ( z )
70

所以f(z)在复平面内解析,同时

注意 e 没有幂的意义 , 只是一个符号.
z

1.4 初等解析函数
1 指数函数
定义
z

代表e (cos y ? i sin y )
x

这里的ex是实 指数函数
实的正 余弦函数

设 z ? x ? iy .
x

称 e ? e (cos y ? i sin y )为 z 的指数函数

.

(a 性质: ) | e | ? e
z

z ? 0, arg (e ) ? y ? ? z ? e ? 0 ? z A rg (e ) ? y ? 2 k? , k ? Z ? ? x

( b ) e 在 z 平面上处处解析 (c ) e 1e
z z z2

z

, 而且 ( e ) ? ? e ;
z z

? e

z1 ? z 2

; .
71

( d ) e 是以 2 ? i 为周期的周期函数

2 三角函数

三角正弦与余弦函数
因为 e
iy

? cos y ? i sin y ,

e

? iy

? cos y ? i sin y ,

将两式相加与相减, 得
cos y ? e
iy

?e 2

? iy

,

sin y ?

e

iy

?e 2i

? iy

.

现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变
数取复值的情况.
72

三角函数
定义 sin z ? cos z ?
性质

e

iz

?e 2i ? e

? iz

, 称为 正弦函数
? iz

.

e

iz

, 称为 余弦函数

.
.

2 ( 1 ) sin z 是奇函数
sin( ? z ) ? ? sin z ,

, cos z 是偶函数

cos( ? z ) ? cos z .
以 2π 为周期 .

( 2 ) 正弦函数和余弦函数都

sin( z ? 2 ? ) ? sin z ,
(3) e
iz

cos( z ? 2 ? ) ? cos z .

? cos z ? i sin z .
73

(4) sinz的零点(i.e. sinz=0的根)为z=n? cosz的零点(i.e. cosz=0的根)为z=(n+1/2)?

n=0,??1, ?2,·,?n,· · · · ·
s in z ? 0 ? e
iz

?e 2i

? iz

? 0? e

iz

? e

? iz

? e

i2z

? 1 ? z ? n?

n? Z

(5)

sinz,cosz在复数域内均是无界函数
s in y i ? e
? y

当 y ? ?时 ,

?e 2i

y

? ?,

cos yi ? ? .

(注意:这是与实变函数完全不同的)
74

定义
性质

tan z ?

sin z cos z

称为 正切函数

.

( 1 ) tan z 是奇函数

: tan( ? z ) ? ? tan( z ).

( 2 ) tan z 是以 ? 为周期的周期函数 tan( z ? ? ) ? tan z .

:

其它复变三角函数的定义
余切函数 正割函数 cot z ? s ec z ? cos z sin z 1 cos z 余割函数 csc z ? 1 sin z . , ,

75

3 双曲函数
定义 sh z ? ch z ?
性质

e ? e
z

?z

, 称为 双曲正弦函数
?z

.

2 e ? e
z

, 称为 双曲余弦函数
: sh( ? z ) ? ? sh z ; : ch( ? z ) ? ch z ;

.

2 ( 1 ) sh z 是奇函数
ch z 是偶函数

( 2 ) sh z , ch z 都是以 2 ? i 为周期的周期函数 ( 3 ) sh z , ch z 在 z 平面上处处解析 ,且 ? ? (sh z ) ? ch z , (ch z ) ? sh z ;
( 4 ) ch z ? sh z ? 1 ;
2 2

;

( 5 ) sin( iz ) ? ? i sh z ,

cos( iz ) ? ch z .
76

4 对数函数
满足方程 称为对数函数 e
w

? z ( z ? 0 ) 的函数 w ? Ln z .

w ? f (z)

, 记为

因此

w ? Ln z ? ln z ? i Arg z
? ln z ? i arg z ? 2k? i
( k ? 0 , ? 1 , ? 2 , ? ).

其中ln z ? ln z ? i arg z ( ? ? ? arg z ? ? )称为对数函 数 Ln z的主值(支 ), 所以
Ln z ? ln z ? 2 k ? i ( k ? 0 , ? 1 , ? 2 , ? ).
77

对于每一个固定的 称为 Ln z 的一个分支
性质

k , 可确定一个单值函数 .
;

,

( 1 ) Ln z 是一个无穷多值的函数

( 2 ) 设 z1 ? 0 , z 2 ? 0 , 则 Ln z 1 z 2 ? Ln z 1 ? Ln z 2 , Ln z1 z2 ? Ln z 1 ? Ln z 2 ;

( 3 ) 在平面上除去原点和负 处解析 , 且

实轴外 , ln z 处

(ln z ) ? ?

1 z

.
78

? 对数函数的基本运算性质
Ln( z 1 z 2 ) ? Ln z 1 ? Ln z 2

? ? 下面等式不再成立
Lnz
2

Ln( z 1 / z 2 ) ? Ln z 1 ? Ln z 2

? 2 Ln z , Ln

n

z ?

1 n

Ln z

而应该是
Ln z Ln
n 2

? 2 ln | z | ? i 2 arg z ? 2 k ? i , z ?
1 n

ln | z | ? i

1 n

arg z ? 2 k ? i

79

? 多值函数的概念 初等复变多值函数的多值性是由于辐角的 多值性引起的,所以我们先研究辐角函数:
w ? Arg z ,

w=Argz函数有无穷个不同的值:
w ? Arg z ? arg z ? 2 k ? ( k ? Z ), z ? 0

其中argz表示Argz的主值:
? ? ? arg z ? ?

为了研究方便起见,我们把幅角函数在某些区域内分解为一些单 值连续函数,每一个单值连续函数称为幅角函数在这区域内的一个 单值连续分支。 考虑复平面除去负实轴(包括0)而得的区域D。显然,在D内 Argz的主值argz : ? ? ? arg z ? ? 是一个单值连续函数 。 对一个固定的整数k, arg z ? 2 k ? 也是一个单值连续函数 。 因此,w=Argz在区域D内可以分解成无穷多个单值连续函数, 它们都是w=Argz在D内的单值连续分支。

? 我们研究下图的情形:
沿负实轴的割线

上沿
下沿
arg z | 上沿 ? ? ? arg z | 下沿 ? ? ?

z0 ? 0

z 0 ? 0 时, z 绕 z 0 一圈时, arg z 不变。

z0 ? 0

z 0 ? 0 时, z 绕 z 0 一圈时, arg z 增加或减少 2?

z0 ? ?

z 0 ? ? 时, z " 绕 z 0 " 一圈时, arg z 增加或减少 2?

? 因此,对于幅角函数w=Argz,0和无穷远点是 特殊的两点。在复平面上,取连接0和无穷远 点的一条无界简单连续曲线L作为割线,得到 一个区域D,其边界就是曲线L。则可以将argz 分解成一些连续分支。

? 结论
对于幅角函数w=Argz可以分解成无穷个单值连续分支 arg z ? 2 k ? (arg z 1 ? ? 1 ),

Argz在C内上任一点(非原点)的各值之间的联系:通 过作一条简单连续曲线围绕0或无穷远点,让z从某点按 一定方向沿曲线连续变动若干周后,回到该点时,Argz 相应地可从幅角函数的一值连续变动到它在预先指定的 其它任一值,即从Argz的一个单值连续分支在该点的值 ,连续变动到预先指定的其它单值连续分支在该点的值 。

? 三种对数函数的联系与区别

函数
ln x

单值与多值

定义域

注解

单值 多值 单值

所有正实数
所有非零复数
所有非零复数

Ln z ln z

一个单值 分支为 ln z z ? x ? 0时, 为 ln x

? 对数函数的每个单值连续分支都是解析的,我们 也将它的连续分支称为解析分支。对数函数是一 个无穷多值解析函数。 ? 我们称原点和无穷远点是对数函数的无穷阶支点 (对数支点);它们存在以下特点:
1、当z绕它们连续变化一周时,Lnz连续变化到其它值; 2、不论如何沿同一方向变化,永远不会回到同一个值。

例:计算 Ln ( 2 ? 3 i )的值。

解:因为

| 2 ? 3 i |?

13 , arg( 2 ? 3 i ) ? ? arctan

3 2

,所以有

Ln(2 - 3i) ? ln

13 ? i (arctan

3 2

? 2k ? )
3 2

?

1 2

ln 13 ? i (arctan

? 2 k? )

( k ? 0 , ? 1, ? 2 , ? )。

90

5 幂函数
定义 设 ? 是任意复数 :
?

, 对于 z ? 0 , 用下列等式定义

z 的幂函数

w ? z 当 ? 是正实数时

? e

? Ln z

( z ? 0 ). z ? 0时, z
?

, 补充规定

? 0.

性质

( 1 ) 一般说来
?

, z 是一个无穷多值函数
? ln z

?

. 当 Ln z

取主值 ln z 时 , z
?

? e

称为幂函数

z 的主值 ;

?

( 2 ) ( z )? ? ? z

? ?1

.
91

幂函数的基本性质
3)当a取整数n时,
?

z

? z

n

幂函数是一个单值函数。 4)当a取1/n(n为整数)时,

w ? z ?e
1 n

1 n

1 Ln n

z

?e
n

1 [ ln n

| z | ? i (arg z ? 2 k ? )]

?| z | e

i

arg z ? 2 k ?

( k ? 0 ,1, 2 , ? , n ? 1 ).

幂函数是一个n值函数。
92

计算 1

2

及 i 的所有值。

i

解:

由定义: 1
2

? e

2 Ln 1

? e

2 (ln 1 ? i 2 k ? )

? e

i2

2 k?

? cos( 2

2 k ? ) ? i sin( 2

2 k? )

k ? 0 , ? 1, ? 2 ...
i
i

? e
?(

iLni

? e

i (ln 1 ? i arg i ? i 2 k ? )

? e

i(i

?
2

? i 2 k? )

?
2

? e

? 2 k? )

k ? 0 , ? 1, ? 2 ...

本章小结
复数

复变函数

解析函数



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