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等差数列及其前n项和随堂练习(含答案)


等差数列及其前 n 项和
(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1 1. [2013· 鸡西质检]已知{an}为等差数列, Sn 为其前 n 项和, 若 a1= , S =a , 则 S40=( 2 2 3 A. 290 C. 410 答案:C 1 1 40×39 1 解析:S2=a3,∴2a1+d=a1+2d,∴d= ,∴S40=40× + × =410. 2 2 2 2 2. 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a5=8,S3=6,则 S10-S7 的值是( A. 24 C. 60 答案:B
? ? ?a5=a1+4d=8 ?a1=0 解析:设等差数列{an}的公差为 d,由题意可得? ,解得? ,则 ?S3=3a1+3d=6 ? ? ?d=2

)

B. 390 D. 430

)

B. 48 D. 72

S10-S7=a8+a9+a10=3a1+24d=48,选 B. 3. [2013· 江西六校联考]已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a4=18-a5, 则 S8=( A. 72 C. 54 答案:A 解析:∵a4=18-a5,∴a4+a5=18, ?a1+a8?×8 ?a4+a5?×8 S8= = =4(a4+a5)=72. 2 2 4. [2013· 安徽淮北模拟]若等差数列{an}的公差 d<0,且 a1+a11=0,则数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值时的项数 n 是( A. 5 C. 5 或 6 答案:C 解析:∵a1+a11=0,∴a1+a1+10d=0, 即 a1=-5d.∴an=a1+(n-1)d=(n-6)d. 由 an≥0 得(n-6)d≥0,∵d<0,∴n≤6. 即 a5>0,a6=0. 所以前 5 项或前 6 项的和最大. ) B. 6 D. 6 或 7 B. 68 D. 90 )

S12 S10 5. [2013· 金版原创]在等差数列{an}中,a1=-2012,其前 n 项和为 Sn,若 - =2, 12 10 则 S2012 的值等于 ( A. -2011 C. -2010 答案:B Sn 解析:根据等差数列的性质,得数列{ }也是等差数列,根据已知可得这个数列的首项 n S1 S2012 =a1=-2012,公差 d=1,故 =-2012+(2012-1)×1=-1,所以 S2012=-2012. 1 2012 6. [2012· 浙江高考]设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前 n 项和,则下列命题 错误的是( ) ) B. -2012 D. -2013

A. 若 d<0,则数列{Sn}有最大项 B. 若数列{Sn}有最大项,则 d<0 C. 若数列{Sn}是递增数列,则对任意 n∈N*,均有 Sn>0 D. 若对任意 n∈N*,均有 Sn>0,则数列{Sn}是递增数列 答案:C 解析:本题考查等差数列的通项、前 n 项和,数列的函数性质以及不等式知识,考查灵 活运用知识的能力,有一定的难度. 法一:特值验证排除.选项 C 显然是错的,举出反例:-1,0,1,2,3,…满足数列{Sn}是 递增数列,但是 Sn>0 不恒成立. n?n-1? d 2 d 法二:由于 Sn=na1+ d= n +(a1- )n,根据二次函数的图象与性质知当 d<0 2 2 2 时, 数列{Sn}有最大项, 即选项 A 正确; 同理选项 B 也是正确的; 而若数列{Sn}是递增数列, 那么 d>0,但对任意的 n∈N*,Sn>0 不成立,即选项 C 错误;反之,选项 D 是正确的;故 应选 C. 二、填空题 7. [2013· 济南模拟]若等差数列{an}的前 5 项和 S5=25,且 a2=3,则 a4=________. 答案:7 5?a1+a5? 解析:依题意得 S5= =5a3=25,故 a3=5,数列{an}的公差 d=a3-a2=2,所 2 以 a4=a3+d=7. a7 8. [2013· 天津模考]已知数列{an}为等差数列, 若 <-1, 且它们的前 n 项和 Sn 有最大值, a6 则使 Sn>0 的 n 的最大值为________. 答案:11

11?a1+a11? a7 解析: ∵ <-1, 且 Sn 有最大值, ∴a6>0, a7<0 且 a6+a7<0, ∴S11= =11a6>0, a6 2 12?a1+a12? S12= =6(a6+a7)<0,∴使 Sn>0 的 n 的最大值为 11. 2 9.[2013· 洛阳统考]在等差数列{an}中,其前 n 项和为 Sn,且 S2011=2011,a1007=-3, 则 S2012=________. 答案:-2012 ∵S2011=2011, ∴ ?a1+a2011?×2011 =2011. 2

∴a1+a2011=2. 又∵a1+a2011=2a1006, ∴a1006=1. 又∵a1007=-3, ?a1+a2012?×2012 ?a1006+a1007?×2012 ∴S2012= = 2 2 = ?1-3?×2012 =-2012. 2

三、解答题 10. 数列{an}是首项为 23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负. (1)求数列的公差 d; (2)求前 n 项和 Sn 的最大值; (3)当 Sn>0 时,求 n 的最大值. 解:(1)由已知 a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0, 23 23 解得:- <d<- , 5 6 又 d∈Z,∴d=-4. (2)∵d<0,∴{an}是递减数列, 又 a6>0,a7<0, ∴当 n=6 时,Sn 取得最大值, 6×5 S6=6×23+ ×(-4)=78. 2 n?n-1? (3)Sn=23n+ ×(-4)>0,整理得: 2 25 n(50-4n)>0,∴0<n< ,又 n∈N*, 2 所求 n 的最大值为 12.

2 11. [2013· 衡水月考]已知数列{an}的各项均为正数,前 n 项和为 Sn,且满足 2Sn=an +n

-4. (1)求证{an}为等差数列; (2)求{an}的通项公式.
2 (1)证明:当 n=1 时,有 2a1=a2 1+1-4,即 a1-2a1-3=0,

解得 a1=3(a1=-1 舍去). 当 n≥2 时,有 2Sn-1=a2 n-1+n-5, 又 2Sn=a2 n+n-4,
2 两式相减得 2an=a2 n-an-1+1, 2 即 a2 n-2an+1=an-1,

也即(an-1)2=a2 n-1, 因此 an-1=an-1 或 an-1=-an-1. 若 an-1=-an-1,则 an+an-1=1, 而 a1=3, 所以 a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾, 所以 an-1=an-1,即 an-an-1=1, 因此{an}为等差数列. (2)解:由(1)知 a1=3,d=1,所以数列{an}的通项公式 an=3+(n-1)=n+2,即 an=n +2. 2 12. [2013· 江南十校联考]若数列{an}满足:a1= ,a2=2,3(an+1-2an+an-1)=2. 3 (1)证明:数列{an+1-an}是等差数列; 1 1 1 1 5 (2)求使 + + +…+ > 成立的最小的正整数 n. a1 a2 a3 an 2 解:(1)由 3(an+1-2an+an-1)=2 可得: 2 2 an+1-2an+an-1= ,即(an+1-an)-(an-an-1)= , 3 3 4 2 ∴数列{an+1-an}是以 a2-a1= 为首项, 为公差的等差数列. 3 3 4 2 2 (2)由(1)知 an+1-an= + (n-1)= (n+1), 3 3 3 2 1 于是累加求和得:an=a1+ (2+3+…+n)= n(n+1), 3 3 1 1 1 ∴ =3( - ), an n n+1 1 1 1 1 3 5 ∴ + + +…+ =3- > ,∴n>5, a1 a2 a3 an n+1 2

∴最小的正整数 n 为 6.


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