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高中数学必修1优秀教1.示范教案(1.1 指数与指数幂的运算 第2课时)

第 2 课时 指数与指数幂的运算(2) 导入新课 思路 1.碳 14 测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳 14,并与氧结合成二氧化碳 后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸 收碳 14 在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳 14,其组织内的碳 14 便以约 5 730 年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳 14 的 含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数 幂的运算之分数指数幂. 思路 2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质 ,那么整数指数幂是否可以推广 呢?答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分 数指数幂. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)整数指数幂的运算性质是什么? (2)观察以下式子,并总结出规律:a>0, 2 5 ① 5 a10 = 3 ( a ) =a2=a 10 5 ; 8 4 2 ② a 8 = ( a ) =a4=a 2 ; ③ a ④ a 2 4 12 = ( a ) =a =a 4 3 4 3 12 4 10 2 ; . 10 = ( a ) =a =a 2 5 2 5 (3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗? 4 53 , 3 75 , 5 a 7 , n x m (x>0,m,n∈N*,且 n>1). (4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗? (5)你能推广到一般的情形吗? 活动:学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步 的指数之间的关系 ,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释 ,指点启发学生类 比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励 提示. 讨论结果:(1)整数指数幂的运算性质:an=a·a·a·…·a,a0=1(a≠0);00 无意义; a-n= 1 (a≠0);am· an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn. n a 10 5 8 (2)①a2 是 a10 的 5 次方根;②a4 是 a8 的 2 次方根;③a3 是 a12 的 4 次方根;④a5 是 a10 的 2 次 方根.实质上① 5 a10 =a ,② a 8 =a 2 ,③ 4 a12 =a 12 4 ,④ 2 a10 =a 10 2 结果的 a 的指数是 2,4,3,5 分别写成了 10 8 12 10 , , , ,形式上变了,本质没变. 5 2 4 5 根据 4 个式子的最后结果可以总结:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以 写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式). 3 5 7 m (3)利用(2)的规律, 4 53 =5 4 , 3 7 5 =7 3 , 5 a 7 =a 5 , n x m =x n . 3 5 7 m (4)53 的四次方根是 5 4 ,75 的三次方根是 7 3 ,a7 的五次方根是 a 5 ,xm 的 n 次方根是 x n . 结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的. (5)如果 a>0,那么 a 的 n 次方根可表示为 a =a ,即 a = n a m(a>0,m,n∈N*,n>1). n m m m n m n 综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书: n 规定:正数的正分数指数幂的意义是 a m = n a m(a>0,m,n∈N*,n>1). 提出问题 ①负整数指数幂的意义是怎样规定的? ②你能得出负分数指数幂的意义吗? ③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义? ④综合上述,如何规定分数指数幂的意义? ⑤分数指数幂的意义中,为什么规定 a>0,去掉这个规定会产生什么样的后果? ⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适 用于有理数指数幂呢? 活动:学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负 整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指 数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质 ,教师在黑板上板书 ,学生合作交流,以具 体的实例说明 a>0 的必要性,教师及时作出评价. 讨论结果:①负整数指数幂的意义是:a-n= 1 (a≠0),n∈N*. n a ②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分 数指数幂的意义. 规定:正数的负分数指数幂的意义是 a ? n m = 1 a n m = 1 n a m (a>0,m,n∈N*,n>1). ③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. ④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是: n 正数的正分数指数幂的意义是 a m = n a m (a>0,m,n∈N*,n>1),正数的负分数指数幂的意义是 a ? n m = 1 a 1 3 n m = 1 n a m (a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. ⑤若没有 a>0 这个条件会怎样呢? 如(-1) =3-1=-1,(-1) =6(-1)2=1 具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分 数指数幂在底数小于零时是无意义的 .因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零 , 2 6 如无 a>0 的条件,比如式子 3a =|a| ,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负 号移到根式的外边 ,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况 下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上. ⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就


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