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江苏省扬州中学2015届高三第四次模拟考试(5月)数学试题及答案

2015 届高三第四次模拟考试试卷答案 数 学 (满分 160 分,考试时间 120 分钟) 注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线 上) 1. 已知集合 M={x|x<1},N={x|lg(2x+1)>0},则 M∩N= 【答案】(0,1) 2. a+i 复数 z= 为纯虚数,则实数 a 的值为 1-i 【答案】1 3. 某学校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名.现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已 知在高一年级的学生中抽取了 6 名,则在高二年级的学生中应抽 取的人数为 【答案】8 4. 执行如图所示流程图,得到的结果是 7 【答案】8 5. x2 y2 4 已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y=3x,那 么该双曲线的离心率为 5 【答案】3 6. 将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概率为 ▲ . 3 【答案】4 7. 1 函数 f (x)= x +a(x≠0) ,则“f (1)=1”是“函数 f (x)为奇函数”的 ▲ 3 -1 不必要” , “必要不充分” “充要” “既非充分又非必要”填写) . 【答案】充要 8. 9. 若一圆锥的底面半径为 3,体积是 12π,则该圆锥的侧面积等于 【答案】15π 已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是________. 【答案】4 解:x+2y=8-x· (2y)≥8- ▲ . 条件(用“充分 ▲ . ▲ . ▲ . ▲ . ▲ . ?x+2y?2,整理得(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0, ? 2 ? 即(x+2y-4)(x+2y+8)≥0.又 x+2y>0,∴x+2y≥4. π 10. 函数 y=sinα· (sinα-cosα) (a∈[-2,0])的最大值为 1 2 【答案】2+ 2 ▲ . 11. 已知△ABC 是等边三角形,有一点 D 满足 AB + ▲ . ??? ? ??? ? ??? ? ???? 1 ???? ???? AC = AD ,且| CD |= 3,那么 DA ? DC = 2 【答案】3 ?-x2+ax (x≤1) 12. 已知函数 f (x)=? ,若 ? x1,x2∈R,x1≠x2,使得 f (x1)=f (x2)成立,则实数 a 的取 (x>1) ?2ax-5 值范围是 ▲ . 【答案】(-∞,4) 1 1 13. 已知函数 f (x)满足 f (x)=f (x ),当 x∈[1,3]时,f (x)=lnx,若在区间[3,3]内,函数 g(x)=f (x)-ax 与 x 轴有三个不同的交点,则实数 a 的取值范围是 ln3 1 【答案】? 3 ,e? ? ? 14. 各项均为实数的等差数列的公差为 2,其首项的平方与其余各项之和不超过 33,则这样的数列 至多有 【答案】7 解: a1 + a2 + a3 + · · ·+ an = a1 + 2 2 2 ▲ . ▲ 项. (n-1)(a2+an) 2 2 = a1 + (n - 1)(a1 + n) = a1 + (n - 1)a1 + n(n - 1) = 2 ?a +n-1?2+n(n-1)-(n-1) =?a +n-1?2+(n-1)(3n+1)≤33 2 ? 4 2 ? 4 ? 1 ? 1 n-1?2 (n-1)(3n+1) ? 为了使得 n 尽量大,故 a1+ 2 =0,∴ ≤33 4 ? ? ∴(n-1)(3n+1)≤132,当 n=6 时,5×19<132;当 n=7 时,6×22=132, 故 nmax=7. 【注】不易猜测:-3,-1,1,3,5,7,9. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分) π 1 已知函数 f (x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π),其图像经过点 M? 3,2?,且与 x 轴两个相邻的交 ? ? 点的距离为 π. (1)求 f (x)的解析式; 3 5 (2)在△ABC 中,a=13,f (A)=5,f (B)=13,求△ABC 的面积. 解:(1)依题意知,T=2π,∴ω=1,∴f (x)=sin(x+φ) ???2 分 ??5 分 π π 1 π π 4π π 5π π ∵f (3)=sin(3+φ)=2,且 0<φ<π ∴3<3+φ< 3 ∴3+φ= 6 即 φ=2 π ∴f (x)=sin?x+2?=cosx. ? ? ???6 分 注意:不写 φ 的范围,直接得 φ 的值扣 1 分,f (x)的解析式不化简不扣分. 3 5 (2)∵f (A)=cosA=5,f (B)=cosB=13, 4 12 ∴sinA=5,sinB=13 56 ∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=65 a b ∵在△ABC 中sinA=sinB ∴b=15. π ∴A,B∈(0,2) ???8 分 ???10 分 ???12 分 ???14 分 A1 C1 1 1 56 ∴S△ABC=2absinC=2×13×15×65=84. 注意:其他解法参照给分 16. (本小题满分 14 分) 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D 是 BC 的中点. (1)求证:A1C∥平面 AB1D; (2)设 M 为棱 CC1 的点,且满足 BM⊥B1D, 求证:平面 AB1D⊥平面 ABM. 证明:(1) 记 A1B∩AB1=O,连接 OD. ∵四边形 AA1B1B 为矩形,∴O 是 A1B 的中点, 又∵D 是 BC 的中点,∴A1C∥OD. 又∵A1C? ∕ 平面 AB1D,OD?平面 AB


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