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2007年天河区高二数学竞赛试题


2007 年天河区高二数学竞赛试题
(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一、选择题: 选择题: 一项是符合题目要求的。 ) 1.右图是 2006 年中央电视台举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分数的 茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( ) B. 84 , 1.6 A. 84 , 4.84 7 9 C. 85 , 1.6 D. 85 , 4

8 9

4 4 6 4 7 3

2.把数列 {2n + 1} 依次按一项、二项、三项、四项循环分为(3)(5,7)(9,11,13)(15, , , , 17,19,21)(23)(25,27,, , , )(29,31,33)(35,37,39,41) , ,…,在第 100 个括号内 各数之和为( ) (A)1992 (B)1990 (C)1873 (D)1891 3.动点 P 为椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 上异于椭圆顶点 (± a,0) 的一点,F1、F2 为椭圆的两个焦 a 2 b2 点,动圆 C 与线段 F1P、F1F2 的延长线及线段 PF2 相切,则圆心 C 的轨迹为除去坐标轴上的 点的( ) (A)一条直线 (B) 双曲线的右支 (C) 抛物线 (D) 椭圆 4.如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P 为 BD1 的中点,则△PAC 在该正方体各个面上的 射影可能是( )
D1 A1 P B1
C

C1

D

① A.①④





④ C.②④

A

B

B.②③

D.①②

( ) 二、填空题: 本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分。 填空题: 5.某单位要在甲、乙、丙、丁 4 人中安排 2 人分别担任周六、周日的值班任务(每人被安排
是等可能的,每天只安排一人) .其中甲、乙两人都被安排的概率是__ _ ____ _ ___. r r r r r r r r 5 6、已知向量 a = (1,2), b = (?2,?4), c = 5 , 若(a + b ) ? c = , 则a与c的夹角为 ______. 2 7. 已 知 5 sin 2α = sin 2 0 , 则

tan(α + 10 ) 的 值 是 tan(α ? 10 )

D1 A1 P D A B B1

C1

_____________________. 8. 已知每条棱长都为 3 的直平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中, ∠BAD=60°,长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在 DD1 上运动, 另一个端点 N 在底面 ABCD 上运动.则 MN 中点 P 的轨迹与直 平行六面体的表面所围成的较小的几何体的体积为_____ ______.

C

2007 年天河区高二数学竞赛

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9. 已知 t > 0 ,关于 x 的方程 x + t ? x =
2

2 ,则这个方程有相异实根的个数情况是___.

10.已知点 P 为椭圆

x2 + y 2 = 1 在第一象限部分上的点,则 x + y 的最大值等于 3

(本大题共 5 小题,共 90 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 三、解答题: 解答题: 11.(本题满分 18 分)如图,已知三棱锥 P—ABC,∠ACB=90°,CB=4,AB=20,D 为 AB 中 点,M 为 PB 的中点,且∵PDB 是正三角形,PA⊥PC. (I)求证: DM // 平面 PAC ; (II)求证:平面 PAC⊥平面 ABC; (Ⅲ)若 M 为 PB 的中点,求三棱锥 M—BCD 的体积.

12. (本小题满分 18 分)已知函数 f

( x ) = ?a cos 2 x ? 2

3a sin x cos x + 2a + b 的定义域为

? π? ?0 , ? ,值域为[ -5,1 ],求常数 a、b 的值. 2? ?
13. (本小题满分 18 分)某市对居民生活用水的收费方 法是: 水费=基本用水费+超额用水费+定额水损耗费.若每 月份 3 月用水量不超过限量 am 时,只收取基本用水费 8 元和每 1 3 户每月的定额水损耗费 c 元;若用水量超过 am 时,除了 2 要收取同上的基本用水费和定额水损耗费外, 超过部分每 3 3 m 还要收取 b 元的超额用水费.已知每户每月的定额水损 耗费不超过 5 元.右表是该市一个家庭在第一季度的用水 量和支付费用情况。 根据上表中的数据,求出 a,b,c 的值.

用水量 3 (m ) 9 15 22

水费(元) 9 19 33

14. (本小题满分 18 分)设 f ( x) = ax3 + bx 2 + cx 的极小值为 ?8 ,其导函数 y = f '( x ) 的图像

2 经过点 (?2, 0), ( , 0) ,如图所示, 3
(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若对 x ∈ [ ?3,3] 都有 f ( x ) ≥ m 2 ? 14m 恒成立, 求实数 m 的取值范围. 15、 (本小题满分 18 分)如图,将圆分成 n 个扇形区域,用 3 种 不同颜色给每一个扇形区域染色,要求相邻区域颜色互异,把不 同的染色方法种数记为 an 。求 (Ⅰ) a1 , a2 , a3 , a4 ; (Ⅲ)数列 {an } 的通项公式 an ,并证明 an ≥ 2 n ( n ∈ N * ) 。 (Ⅱ) an 与 an +1 ( n ≥ 2 ) 的关系式;

y

?2

O

2 3

x

2 3 4 5

1

n

9 6 7 8

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2007 年天河区高二数学竞赛答题卷
选择题:每小题 6 分 题号 答案 填空题:每小题 6 分 5. 7. 9. 解答题: 11. (本小题满分 18 分) 6. 8. 10. 1 2 3 4

学校:

姓名:

考号:

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12. (本小题满分 18 分)

13. (本小题满分 18 分)

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14. (本小题满分 18 分)

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15. (本小题满分 18 分)

装订线内不要答题 装订线内不要答题 装订线内不要答题 装订线内不要答题

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2007 年天河区高二数学竞赛答题卷
1.C 2.A 3.A 4.A 4.提示:如图画出圆 M,切点分别为 E、D、G,由切线长相等定理知 .提示: F2D=F2G, 根据椭圆的定义知 PF1+PF2=2a, ∴ PF1+PF2=F1E+DF2 (PD=PE)=F1G+F2D (F1G=F1E)= F1G+F2G=2a, ∴ 2F2G=2a-2c,F2G=a-c, 即点 G 与点 A 重合,∴ 点 M 在 x 轴上的射影是长轴端点 A, M 点的轨迹是垂直于 x 轴的 一条直线(除去 A 点)

F1G=F1E,PD=PE,

5.解:安排情况如下: . 甲乙,甲丙,甲丁,乙甲,乙 丙,乙丁,丙甲,丙乙,丙丁, 丁甲,丁乙,丁丙 ∴ 共有 12 种安排方法. 甲、乙两人都被安排的情况包括: “甲乙”“乙甲”两种, ,

∴ 甲、乙两人都被安排(记为事件 A )的概率: P ( A) =
6.120
0

2 1 = 12 6

7.【答案】 ?

3 . 2

提示:弦切变换,构造齐次式解题.

5 sin[(α + 10 ) + (α ? 10 ] = sin[(10 + α ) + (10 ? α )] ? 4 sin(α + 10 ) cos(α ? 10 ) = ?6 cos(α + 10 ) sin(α ? 10 ) .
2π . 9

8.

9.【答案】0 或 2 或 3 或 4. 提示:令 C1 : y = x ? 当 0 < t < 1或t > 2 时,方程无实数根; 当 t = 1 时,方程有 2 个实数根; 当 t = 2 时,方程有 3 个实数根; 当 1 < t < 2 时,方程有 4 个实数根。 10. 2

2 , C 2 : y = ? t ? x 2 ,利用数形结合知:

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11.(1) 【证明】∵∵PAB 中, D 为 AB 中点,M 为 PB 中点,∴ DM // PA ∵DM ? 平面 PAC ,PA ? 平面 PAC ,∴ DM // 平面 PAC ……4 分 (2) 【证明】∵D 是 AB 的中点,∵PDB 是正三角形,AB=20, ∴ PD = DB = AD =

1 AB = 10. ……5 分 2

∴∵PAB 是直角三角形,且 AP⊥PB,……6 分 又∵AP⊥PC, PB I PC = P. ∴AP⊥平面 PBC. ……8 分 ∴AP⊥BC. ……10 分 又∵AC⊥BC, AP∩AC=A, ∴BC⊥平面 PAC.……12 分 ∵ BC ? 平面ABC. ∴平面 PAC⊥平面 ABC.……14 分 (3) 【解】由(1)知 DM // PA ,由(2)知 PA⊥平面 PBC, ∴DM⊥平面 PBC.……15 分 ∵正三角形 PDB 中易求得 DM = 5 3 ,

……16 分

1 1 1 1 S ?PBC = ? BC ? PC = ? 4 ? 10 2 ? 4 2 = 2 21. ……17 分 2 2 2 4 1 ∴ VM ? BCD = V D ? BCM = × 5 3 × 2 21 = 10 7 . ……18 分 3 S ?BCM =
12.解:∵ f ( x ) = ?a cos 2 x ? 3a sin 2 x + 2a + b ,
π? ? = ?2a cos? 2 x ? ? + 2a + b ………………………..4 分 3? ?
∵ 0≤ x≤

π
2

,∴ ?

π
3

≤ 2x ?

π
3



π? 1 2π ? ,∴ ? ≤ cos? 2 x ? ? ≤ 1 . 2 3? 3 ?

当 a > 0 时,b ≤ f ( x ) ≤ 3a + b,

?3a + b = 1 , ∴ ? 解得 ?b = ?5 .

?a = 2 , …………………………..12 分 ? ?b = ?5 .

当 a < 0 时,3a + b ≤ f ( x ) ≤ b . ∴

?3a + b = ?5 , 解得 ? ?b = 1 .

? a = ?2 , ? ?b = 1 .

故 a、b 的值为 ?

?a = 2 ?b = ?5

或 ?

? a = ?2 …………………………18 分 ?b = 1
3

13.解:设该家庭每月用水量 xm ,支付的水费为 y 元, 则 y= 8+c(0≤x≤a)① 8+b(x-a)+c.(x>a)②

………………3 分
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由题设,知 0<c≤5,∴8+c≤13. ………………4 分 3 3 3 由表知,第二、三月份的水费均超过 13 元,故其用水量 15m 、22m 都应超过限量 am . 把 x=15,x=22 分别代入②,可得 8+b(15-a)+c=19, ………………8 分 8+b(22-a)+c=33. 两式相减,得 7b=14,∴b=2.(1 分) ………………10 分 从而 2a=c+19.③(1 分) 下面分析一月份该户的用水量是否超过限量:若超过了限量则 9>a,将 x=9 代入②,可 得 2a=c+17,这与③矛盾.∴a≥9,即一月用水未超过限量.从而一月份付款方式应力①, ∴8+c=9 c=1. ………………16 分 ∴a=10.故 a=10,b=2,c=1. ………………18 分

?

14.解: (1)Q f '( x) = 3ax 2 + 2bx + c ,且 y = f '( x ) 的图像经过点 (?2, 0), ( , 0) ,

2 3

2 2b ? ??2 + 3 = ? 3a ?b = 2a ? ∴? ?? , ?c = ?4a ? ?2 × 2 = c ? 3 3a ? ∴ f ( x) = ax3 + 2ax 2 ? 4ax ,

……(3 分)

由图像可知函数 y = f ( x ) 在 ( ?∞, ?2) 上单调递减,在 ( ?2, ) 上单调递增, 在 ( , +∞ ) 上单调递减,

2 3

2 3

……(5 分)

∴ f ( x)极小值 = f (?2) = a(?2) + 2a(?2) ? 4a(?2) = ?8 ,解得 a = ?1
3 2

……(7 分) ……(9 分)

∴ f ( x) = ? x3 ? 2 x 2 + 4 x (2)要使对 x ∈ [ ?3,3] 都有 f ( x ) ≥ m 2 ? 14m 恒成立, 只需 f ( x ) min ≥ m 2 ? 14m 即可.

……(12 分)

由(1)可知函数 y = f ( x ) 在 [ ?3, ?2) 上单调递减,在 ( ?2, ) 上单调递增, 在 ( ,3] 上单调递减, 且 f ( ?2) = ?8 , f (3) = ?33 ? 2 × 32 + 4 × 3 = ?33 < ?8 ,

2 3

2 3

∴ f ( x) min = f (3) = ?33
?33 ≥ m 2 ? 14m ? 3 ≤ m ≤ 11
故所求的实数 m 的取值范围为 {m | 3 ≤ m ≤ 11} .
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……(15 分)

……(18 分)

15、解: (Ⅰ) 当 n = 1 时,不同的染色方法种数 a1 = 3 ,……………………1 分 当 n = 2 时,不同的染色方法种数 a2 = 6 ,……………………………2 分 当 n = 3 时,不同的染色方法种数 a3 = 6 ,……………………………3 分 当 n = 4 时,分扇形区域 1,3 同色与异色两种情形 ∴不同的染色方法种数 a4 = 3 × 1 × 2 × 2 + 3 × 2 × 1 × 1 = 18 。…………………4 分 (Ⅱ)依次对扇形区域 1, 2,3,L, n, n + 1 染色,不同的染色方法种数为 3 × 2n ,其中扇形区 域 1 与 n + 1 不同色的有 an +1 种,扇形区域 1 与 n + 1 同色的有 an 种 ∴ an + an +1 = 3 × 2n ( n ≥ 2 ) …………………………………………………8 分 (Ⅲ)∵ an + an +1 = 3 × 2n ( n ≥ 2 ) ∴ a2 + a3 = 3 × 22

a3 + a4 = 3 × 23 ……………… an ?1 + an = 3 × 2n ?1
将上述 n ? 2 个等式两边分别乘以 ( ?1) ( k = 2,3,L, n ? 1) ,再相加,得
k
n ?1 2 2 ?1 ? ( ?2 ) ? ? ?, = 3× 1 ? ( ?2 )

a2 + ( ?1)

n ?1

an = 3 × 2 ? 3 × 2 + L + 3 × ( ?1)
2 3

n ?1

×2

n ?1

∴ an = 2n + 2 ? ( ?1) ,…………………………………………………13 分
n

? ( n = 1) ?3, 从而 an = ? 。………………………………………14 分 n n ?2 + 2 ? ( ?1) , ( n ≥ 2 ) ? (Ⅲ)证明:当 n = 1 时, a1 = 3 > 2 × 1 当 n = 2 时, a2 = 6 > 2 × 2 , 当 n ≥ 3 时,

an = 2n + 2 ? ( ?1) = (1 + 1) + 2 ? ( ?1)
n n

n

= 1 + n + Cn2 + Cn3 + L + Cnn ? 2 + n + 1 + 2 ? ( ?1) ≥ 2n + 2 + 2 ? ( ?1) ≥ 2n
n

n



故 an ≥ 2 n ( n ∈ N * ) …………………………………………………18 分

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