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复习2:离散型随机变量的分布列(有答案)


题目 (选修Ⅱ)第一章概率与统计
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离散型随机变量的分布列

知识点归纳 1 随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量 2 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散 型随机变量 若ξ 是随机变量,η =aξ +b,其中 a、b 是常数,则η 也是随机变量 3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连 续型随机变量 4 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 5 离散型随机变量的分布列: 6 离散型随机变量分布列的两个性质:
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① pi ? 0(i ? 1,2, ?); ②P1+P2+?=1
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7 求分布列: (1)由统计数据得到离散型随机变量分布列;
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(2)由古典概型、几何概型(互斥事件、独立事件)的概率求出离散型随机变量分布列.
互斥事件:不可能同时发生的两个事件. P( A ? B) 都是互斥的,那么就说事件

? P( A) ? P( B) 一般地:如果事件 A1 , A2 ,

, An 中的任何两个
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A1 , A2 ,

, An

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那么 P( A 1?

A2 ?

? An ) = P( A1 ) ? P( A2 ) ?

? P( An )

对立事件:必然有一个发生的互斥事件. P( A ? A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? P( A) 和事件,积事件

(3)由条件概率、独立重复事件(二项分布)求出离散型随机变量分布列。
条件概率:设 A 和 B 为两个事件,P(A)>0,那么,在“A 已发生”的条件下,B 发生的条件概率

P( B | A) 读作 A

发生的条件下 B 发生的概率. P( B |

A) 定义为 P( B | A) ?

P( AB ) . P( A)

相互独立事件的定义:设 A, B 为两个事件,如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件 A 与事件 B 相互独立 事件 A (或 B )是否发生对事件 B (或 A )发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件 若
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A 与 B 是相互独立事件,则 A 与 B , A 与 B , A 与 B 也相互独立

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对于事件 A 与 B 及它们的和事件与积事件有下面的关系:

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( A ? B)

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8..离散型随机变量的期望与方差 一般地,若离散型随机变量 ? 的概率分布列为

?
P

x1

x2

? ?

xn

? ?

p1

p2

pi

则称 E? ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xn pn ? ? 为 ? 的数学期望或平均数.或均值.

D? ? ( x1 ? E? ) 2 p1 ? ( x2 ? E? ) 2 p2 ? ?? ( xn ? E? ) 2 pn ? ? 为 ? 的均方差.简称方差. D? 叫标准差.
性质: (1) D? ? E (? 2 ) ? ( E? ) 2 (2) E (a? ? b) ? aE? ? b
1

(3) D(a? ? b) ? a 2 D?

9.两点分布 如果随机变量 X 的分布列为 X P 1 p 0 q

其中 0<p<1,q=1-p,则称离散型随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布. 10.二项分布 在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在 n 次独立重复试验中这个事件发生的次数 ? 是一个随机变量.若在一次试验中某事件发生的概率是 P,则在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次
k k n ?k 的概率是 P(? ? k ) ? Cn p q , q ? 1 ? p, k ? 0,1,2?, n, 称随机变量 ? 服从二项分布,记作 ? ~B(n,p),

ξ

0
0 0 n Cn pq

1
1 1 n ?1 Cn pq

? ?

k
k k n?k Cn p q

? ?

n
n n 0 Cn p q

P

11 几何分布:
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一般地,在含有 M 件次品中的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品数,则事件 ? X ? k? 发生的概率 为 P( x ? k ) ?
k n?k CM CN ?M , k ? 0,1,2,3, n CN

, m, 其中 m ? min ?M , n?, n ? N , M ? N , n, M , N ? N ? 称分布列

12:正态分布: 正态分布有两个参数,即均数 μ 和标准差 σ ,可记 作 N(μ ,σ 2) :均数 μ 决定正态曲线的中心位置;标准差 σ 决定正态曲线的陡峭或扁平程度。σ 越小, 曲线越陡峭,数据分布越集中;σ 越大,曲线越扁,平数据分布越分散。

时,正态分布就成为标准正态分布 正态分布有两个参数,即均数 μ 和标准差 σ ,可记作 N(μ ,σ 2) :均数 μ 决定正态曲线的中心位 置;标准差 σ 决定正态曲线的陡峭或扁平程度。σ 越小,曲线越陡峭,数据分布越集中;σ 越大,曲线 越扁,平数据分布越分散。几个重要的面积比例轴与正态曲线之间的面积恒等于1。正态曲线下,横轴区 间(μ -σ ,μ +σ )内的面积为68.268949%。 例:某人参加射击,击中目标的概率是

1 3

①设 ? 为他射击 6 次击中目标的次数,求随机变量 ? 的分布列; ②设 ? 为他第一次击中目标时所需要射击的次数,求 ? 的分布列; ③若他连续射击 6 次,设 ? 为他第一次击中目标的次数,求 ? 的分布列; ④若他只有 6 颗子弹,若他击中目标,则不再射击,否则子弹打完,求他 射击次数 ? 的分布列
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2

解 : ① 随 机 变 量 ? 服 从 二 项 分 布 B? 6,
k ?1? ? 2? P?? ? k ? ? C6 ? ? ? ? ? 3? ? 3? k 6? k

? ?

1? ? , 而 ? 的 取 值 为 0,1,2,3,4,5,6 , 则 3?

?k

? 0,1,2,3,4,5,6?

故 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

5

6

64 729

192 729

240 729

160 729

60 729

12 729

1 729

②设 ? ? k 表示他前 k ? 1 次未击中目标,而在第 k 次射击时击中目标,则 ? 的取值为全体正整数 1,2,3,?

? 2? 则 P?? ? k ? ? ? ? ? 3? ? ? 的分布列为
?
P 1

k ?1

?

1 3

?k ? 1,2,3,??
k

2

3

4

?

?

1 3

2 1 ? 3 3

?2? 1 ? ? ? ?3? 3

2

?2? 1 ? ? ? ?3? 3

3

?

? 2? ? ? ? 3?

k ?1

?

1 3

?

③设 ? ? k 表示前 k 次未击中目标,而第 k ? 1 次击中目标,? 的取值为 0,1,2,3,4,5,当 ? ? 6 时,表示射击 6 次均未击中目标 则 P?? ? k ? ? ? ? ?

? 2? ? 3?

k

1 3

?k ? 0,1,2,3,4,5?

? 2? 而 P?? ? 6? ? ? ? ? 3?
? ? 的分布列为

6

?
P

0

1

2

3

4

5

6

1 3

2 9

4 27

8 81

16 243

32 729

64 2187

④设 ? ? k ,表示前 k ? 1 次未击中,而第 k 次击中, k ? 1,2,3,4,5

? 2? ? P?? ? k ? ? ? ? ? 3?

k ?1

?

1 3

?k ? 1,2,3,4,5? ;

而 ? ? 6 表示前 5 次未击中,第 6 次可以击中,也可以未击中

3

? 2? ? P?? ? 6? ? ? ? ? 3?

5

? 的分布列为: ?
P 1 2 3 4 5 6

1 3

2 9

4 27

8 81

16 243

32 729

题型 1.由统计数据求离散型随机变量的分布列
题 1. (2011· 北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数

分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学 (1)求这两名同学的植树总棵数 y 的分布列; (2)每植一棵树可获 10 元,求这两名同学获得钱数的数学期望. 解 (1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是 4×4=16,这两名同学植树总棵 4 1 P(Y=18)=16=4 4 1 P(Y=19)=16=4

2 1 数 Y 的取值分别为 17,18,19,20,21,P(Y=17)=16=8 4 1 P(Y=20)=16=4 2 1 P(Y=21)=16=8

则随机变量 Y 的分布列是: Y P 17 1 8 18 1 4 19 1 4 20 1 4 21 1 8

17 18 19 20 21 (2)由(1)知 E(Y)= 8 + 4 + 4 + 4 + 8 =19, 设这名同学获得钱数为 X 元,则 X=10Y, 则 E(X)=10E(Y)=190.
题:(2011·福建)某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 X 依次为 1,2,?,8,其中 X≥5 为标 准 A,X≥3 为标准 B.已知甲厂执行标准 A 生产该产品,产品的零售价为 6 元/件;乙厂执行标准 B 生产该 产品,产品的零售价为 4 元/件,假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. (1)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示:

X1

5

6
4

7

8

P
且 X1 的数学期望 E(X1)=6,求 a,b 的值;

0.4

a

b

0.1

(2)为分析乙厂产品的等级系数 X2,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系数组成一个样本, 数据如下: 3 6 8 5 3 3 4 3 4 3 8 5 5 7 5 3 4 3 4 4 7 6 3 8 5 5 6 4 3 7

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X2 的数学期望. (3)在(1)、(2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由. 注:(1)产品的“性价比”= 产品的等级系数的数学期望 ; 产品的零售价

(2)“性价比”大的产品更具可购买性. [审题视点] (1)利用分布列的性质 P1+P2+P3+P4=1 及 E(X1)=6 求 a,b 值. (2)先求 X2 的分布列,再求 E(X2),(3)利用提示信息判断. 解 (1)因为 E(X1)=6,所以 5×0.4+6a+7b+8×0.1=6,即 6a+7b=3.2.

又由 X1 的概率分布列得 0.4+a+b+0.1=1,即 a+b=0.5.
? ?6a+7b=3.2, 由? ?a+b=0.5, ?

解得?

? ?a=0.3, ?b=0.2. ?

(2)由已知得,样本的频率分布表如下:

X2 f

3 0.3

4 0.2

5 0.2

6 0.1

7 0.1

8 0.1

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数 X2 的概率分布列如下:

X2 P
所以

3 0.3

4 0.2

5 0.2

6 0.1

7 0.1

8 0.1

E(X2)=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8.
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性.理由如下: 6 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 6,价格为 6 元/件,所以其性价比为 =1. 6 4.8 因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8,价格为 4 元/件,所以其性价比为 =1.2. 4 据此,乙厂的产品更具可购买性. 题 2. 【2012 高考真题广东理 17】 (本小题满分 13 分)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方 图如图 4 所示,其中成绩分组区间是:[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]. (1)求图中 x 的值;
5

(2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ? , 求 ? 得数学期望.

【答案】本题是在概率与统计的交汇处命题,考查了用样本估计总体等统计知识以及离散型随机变量的分 布列及期望,考查学生应用数学知识解决实际问题的能力,难度中等。

题型 2 由古典概型求离散型随机变量的分布列 题 3. (2012 年韶关二模)有一个 3× 4× 5 的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成 60 个 1× 1× 1 的小正方体,从这些小正方体中随机地任取 1 个,设小正方体涂上颜色的面数为 ? . (1)求 ? ? 0 的概率; (2)求 ? 的分布列和数学期望. ( 1 ) 60 个 1× 1× 1 的 小 正 方 体 中 , 没 有 涂 上 颜 色 的 有 … (3 分) 6 个 ,

P (? ? 0) ?

6 1 ? 60 10

(2)由(1)可知

P (? ? 0) ?
分布列

1 11 2 2 P (? ? 1) ? P(? ? 2) ? P (? ? 3) ? 10 ; 30 ; 5; 15

… (7 分)

?
p

0

1

2

3

1 10

11 30

2 5

2 15
… (10 分) …(12 分)

E ? =0×

1 11 2 2 47 +1× +2× +3× = 5 10 30 15 30
6

题 4. 【2012 高考真题浙江理 19】已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球的 2 分,取 出一个黑球的 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球 所得分数之和. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E(X). 【答案】本题主要考察分布列,数学期望等知识点。 (Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.
P ( X ? 3) ? P ( X ? 5) ?
3 C5 5 ? ; 3 C9 42

P( X ? 4) ?

1 C52 C4 20 ? ; 3 42 C9 3 C4 2 ? . 3 C9 42

1 2 C5 C4 15 ? ; 3 42 C9

P ( X ? 6) ?

故,所求 X 的分布列为 (Ⅱ) 所求 X 的数学期望 E(X)为: E(X)= ? i ? P( X ? i) ? 3 ?
i?4 6

5 10 5 1 91 ? 4 ? ? 5? ? 6? ? ? . 42 21 14 21 21

题型 3. 由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列 题 5. 【2012 高考真题重庆理 17】 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一票.约定甲先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时 投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 (Ⅰ) 求甲获胜的概率; (Ⅱ)求投篮结束时甲的投篮次数 ? 的分布列与期望 【答案】

1 1 ,乙每次投篮投中的概率为 ,且各次投篮互不影响. 3 2

7

题 6. 【2012 高考真题全国卷理 19】 乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续发球 2 次, 依次轮换.每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得 1 分的概率为 0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球. (Ⅰ)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (Ⅱ) 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 的期望.

【答案】解:记

为事件“第 i 次发球,甲胜”,i=1,2,3, 。 ,



(1)事件“开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 比 ”为 由互斥事件有一个发生的概率加法公式得 。 即开始第 次发球时,甲、乙的比分为 比 的概率为 0.352。 (2)由题意 。 ;

=0.408; ;

所以
题型 4. 两点分布



题 7. 某公司有 5 万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利 12%;一旦失败,一年后将丧失 全部资金的 50%.下表是过去 200 例类似项目开发的实施结果:

投资成功 192 次 则该公司一年后估计可获收益的期望是________.

投资失败 8次

解析 设该公司一年后估计可获得的钱数为 X 元,则随机变量 X 的取值分别为 50 000×12%=6 000(元),
8

-50 000×50%=-25 000(元).由已知条件随机变量 X 的概率分布列是

X P

6 000 24 25

-25 000 1 25

24 1 因此 E(X)=6 000× +(-25 000)× =4 760 25 25 答案 4 760 题型 4.二项分布 题 8. (广东省惠州市 2010 届高三第三次调研理科)在一个圆锥体的培养房内培养了 40 只蜜蜂,准备进 行某种实验,过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区,其中小 锥体叫第一实验区,圆台体叫第二实验区,且两个实验区是互通的。假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等 可能的,且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的。 (1)求蜜蜂落入第二实 验区的概率; (2)若其中有 10 只蜜蜂被染上了红色,求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率; (3)记 X 为落入第一实验区的蜜蜂数,求随机变量 X 的数学期望 EX 。 解: (1)记“蜜蜂落入第一实验区”为事件 A , “蜜蜂落入第二实验区”为事件 B .?1 分 依题意,

1 1 1 ? ? S圆锥底面 ? h圆锥 1 2 ?????3 分 P ? A? ? ?3 4 ? 1 V圆椎体 8 ?S h 3 圆锥底面 圆锥 7 7 ∴ P( B) ? 1 ? P ? A? ? ∴ 蜜蜂落入第二实验区的概率为 。 ?????4 分 8 8 (2)记“恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区”为事件 C ,则 ??????5 分 V小椎体

7 ?1? 70 70 P(C ) ? C ? ? ? ? ? 10 ? 30 8 ?8? 8 2
1 10

9

∴ 恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率

70 . 2 30

???????8 分

(3)因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的,且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的,所以变 量 X 满足二项分布,即 X ~ ? 40, ? ∴随机变量 X 的数学期望 EX =40×

? ?

1? 8?
1 =5 8

?????????10 分

?????????12 分

例: (2008· 湖北理, 17) 袋中有 20 个大小相同的球, 其中记上 0 号的有 10 个, 记上 n 号的有 n 个 (n=1,2,3,4) . 现从袋中任取一球, ? 表示所取球的标号. (1)求 ? 的概率分布、期望和方差;
9

(2)若 ? =a ? +b,E( ? )=1,D( ? )=11,试求 a,b 的值. 解 (1) ? 的概率分布为
?

0
1 2

1
1 20

2
1 10

3
3 20

4
1 5

P
1 2

∴E( ? )=0× +1×
2

1 3 1 1 +2× +3× +4× =1.5. 20 20 10 5
2

D( ? )=(0-1.5) × +(1-1.5) ×
2 2

1 2

1 3 1 1 2 2 2 +(2-1.5) × +(3-1.5) × +(4-1.5) × =2.75. 20 20 10 5

(2)由 D( ? )=a V( ? ),得 a ×2.75=11,即 a=±2. 又 E( ? )=aE( ? )+b, 所以当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2. 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4. ∴?
?a ? 2, ?a ? ?2 或? 即为所求. b ? ? 2 , ? ?b ? 4

题 9. (2012 年茂名二模)在我市“城乡清洁工程”建设活动中,社会各界掀起净化美化环境的热潮.某单 位计划在小区内种植 A, B, C , D 四棵风景树,受本地地理环境的影响, A, B 两棵树的成活的概率均为 另外两棵树 C , D 为进口树种,其成活概率都为 a(0 ? a ? 1) ,设 ? 表示最终成活的树的数量. (1)若出现 A, B 有且只有一颗成活的概率与 C , D 都成活的概率相等,求 a 的值; (2)求 ? 的分布列(用 a 表示) ; (3)若出现恰好两棵树成活的的概率最大,试求 a 的取值范围.

1 , 2

解: (1)由题意,得 2 ?

1 1 2 ? (1 ? ) ? a 2 ,∴ a ? . 2 2 2
??3 分

???2 分

(2) ? 的所有可能取值为 0,1,2,3,4.

1 1 0 0 p(? ? 0) ? C2 (1 ? ) 2 C2 (1 ? a) 2 ? (1 ? a) 2 ?? ????4 分 2 4 1 0 1 1 1 1 0 1 p(? ? 1) ? C2 (1 ? )C2 (1 ? a) 2 ? C2 (1 ? ) 2 C2 a(1 ? a) ? (1 ? a) ????5 分 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 0 1 1 0 2 2 p(? ? 2) ? C2 ( ) C2 (1 ? a) 2 ? C2 (1 ? )C2 a(1 ? a) ? C2 (1 ? ) 2 C2 a ? (1 ? 2a ? 2a 2 ) ????6 分 2 2 2 2 4 1 1 1 a 2 1 1 2 2 p(? ? 3) ? C2 ( ) 2 C2 a(1 ? a) ? C2 (1 ? )C2 a ? ????????????????7 分 2 2 2 2

a2 2 1 2 2 2 p(? ? 4) ? C2 ( ) C2 a ? 2 4
得 ? 的分布列为:

????????????????8 分

??????????9 分

10

?
p

0

1

2

3

4

1 (1 ? a ) 2 4

1 (1 ? a ) 2

1 (1 ? 2a ? 2a 2 ) 4

a 2
?????10 分

a2 4

(3)由 0 ? a ? 1 ,显然 ∴ p(? ? 2) ? p(? ? 1) ?

1 1 a2 a (1 ? a ) 2 ? (1 ? a ) , ? 4 2 2 4

1 1 1 (1 ? 2a ? 2a 2 ) ? (1 ? a) ? ? (2a 2 ? 4a ? 1) ? 0 4 2 4 1 a 1 p(? ? 2) ? p(? ? 3) ? (1 ? 2a ? 2a 2 ) ? ? ? (2a 2 ? 1) ? 0 ??12 分 4 2 4

?11 分

由上述不等式解得 a 的取值范围是

2? 2 2 .????????13 分 ?a? 2 2

练习: 1.(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生 2 得到甲公司面试的概率为 ,得到乙、丙两公司面试的概率均为 p,且三个公司是否让其面试是相互独立 3 1 的.记 X 为该毕业生得到面试的公司个数.若 P(X=0)= ,则随机变量 X 的数学期望 E(X)=________. 12 [审题视点] 分别求出随机变量 X 取每一个值的概率,然后求其期望. 1 解析 由已知条件 P(X=0)= 12 1 1 1 2 即(1-P) × = ,解得 P= , 3 12 2

随机变量 X 的取值分别为 0,1,2,3.

P(X=0)= ,P(X=1)= ×?1- ?2+2× ×? ?2= , 12 3 ? 2? 3 ?2? 3 P(X=2)=2× × ×?1- ?+?1- ?×? ?2= ,P(X=3)= ×? ?2= . 3 2 ? 2? ? 3? ?2? 12 3 ?2? 6 E(X)=0× +1× +2× +3× = .答案
1 12 1 3 5 12 1 5 6 3 5 3 2 1 ? 1?

1

2

?

1?

1 ?1? 5

1

?

2? ?1?

2

?1?

1

2. 甲、乙两人各进行 3 次射击,甲每次击中目标的概率为

2 1 ,乙每次击中目标的概率 , 2 3

(I)记甲击中目标的次数为 ξ,求 ξ 的概率分布及数学期望 Eξ; (II)求甲恰 好比乙多击中目标 2 次的概率.

11

1 3. 袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为 .现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 7 球,甲先取,乙后取,然后甲再取,??,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在 每一次被取出的机会是等可能的,用 X 表示取球终止时所需要的取球次数. (1)求袋中原有白球的个数;(2)求随机变量 X 的分布列;(3)求甲取到白球的概率. [审题视点] 对变量的取值要做到不重不漏,计算概率要准确. 解 Cx 1 2 (1)设袋中白球共有 x 个,根据已知条件 2= ,即 x -x-6=0,解得 x=3,或 x=-2(舍去). C7 7
2

(2)X 表示取球终止时所需要的次数,则 X 的取值分别为:1,2,3,4,5. A3 3 A4A3 2 A4A3 6 A4A3 3 因此,P(X=1)= 1= ,P(X=2)= 2 = ,P(X=3)= 3 = ,P(X=4)= 4 = , A7 7 A7 7 A7 35 A7 35
1 1 1 2 1 3 1

P(X=5)=

A4A3 1 .则随机变量 X 的分布列为: 5 = A7 35

4 1

X P
1 2 1

1 3 7
4 1

2 2 7

3 6 35

4 3 35

5 1 35

A3 A4A3 A4A3 3 6 1 22 (3)甲取到白球的概率为 P= 1+ 3 + 5 = + + = . A7 A7 A7 7 35 35 35 4. (2011·江西)某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两 种不同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A 饮料,另外 4 杯为 B 饮料,公司要求此员工一 一品尝后,从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料.若 4 杯都选对,则月工资定为 3 500 元;若 4 杯选对 3 杯,则 月工资定为 2 800 元;否则月工资定为 2 100 元.令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数.假设此人对 A 和 B 两
12

种饮料没有鉴别能力. (1)求 X 的分布列; (2)求此员工月工资的期望. 解 C4C4 (1)X 的所有可能取值为:0,1,2,3,4,P(X=i)= 4 (i=0,1,2,3,4),则 C8
i 4-i

X P

0 1 70

1 8 35

2 18 35

3 8 35

4 1 70

(2)令 Y 表示此员工的月工资,则 Y 的所有可能取值为 2 100,2 800,3 500,则 P(Y=3 500)=P(X=4)= 1 8 53 ,P(Y=2 800)=P(X=3)= ,P(Y=2 100)=P(X≤2)= , 70 35 70

E(Y)=3 500× +2 800× +2 100× =2 280,所以此员工月工资的期望为 2 280 元.
5. 【2012 高考真题湖南理 17 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在 该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分 钟/人) 1至4件 5至8件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 17 件及以上 10 3

1 70

16 70

53 70

x
1

y
2.5

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望; (Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等 候时间不超过 ...2.5 分钟的概率. (注:将频率视为概率) 【答案】 (1)由已知,得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? y ? 35, 所以 x ? 15, y ? 20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总 体的一个容量随机样本,将频率视为概率得

p( X ? 1) ?

15 3 30 3 25 1 ? , p( X ? 1.5) ? ? , p( X ? 2) ? ? , 100 20 100 10 100 4 20 1 10 1 p( X ? 2.5) ? ? , p( X ? 3) ? ? . 100 5 100 10
X P 1 1.5 2 2.5 3

X 的分布为

3 20

3 10

1 4

1 5

1 10

X 的数学期望为

E ( X ) ? 1?

3 3 1 1 1 ? 1.5 ? ? 2 ? ? 2.5 ? ? 3 ? ? 1.9 . 20 10 4 5 10

(Ⅱ)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟” , X i (i ? 1, 2) 为该顾客前面第 i 位顾客的结 算时间,则
13

P( A) ? P( X1 ? 1且X 2 ? 1) ? P( X1 ? 1且X 2 ? 1.5) ? P( X1 ? 1.5且X 2 ? 1) .
由于顾客的结算相互独立,且 X1 , X 2 的分布列都与 X 的分布列相同,所以

P( A) ? P( X1 ? 1) ? P(X 2 ? 1) ? P( X1 ? 1) ? P( X 2 ? 1.5) ? P( X1 ? 1.5) ? P( X 2 ? 1)
? 3 3 3 3 3 3 9 ? ? ? ? ? ? . 20 20 20 10 10 20 80
9 . 80

故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为

6. 在 10 件产品中有 2 件次品,连续抽 3 次,每次抽 1 件,求: (1)不放回抽样时,抽到次品数ξ 的分布列; (2)放回抽样时,抽到次品数η 的分布列 分析:随机变量ξ 可以取 0,1,2,η 也可以取 0,1,2,3,放回抽样和不放回抽样对随机变量的取 值和相应的概率都产生了变化,要具体问题具体分析
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解: (1)P(ξ =0)= 所以ξ 的分布列为
ξ 0

3 C8 3 C10

=

C1 C 2 7 C1 C 2 1 7 ,P(ξ =1)= 2 3 8 = ,P(ξ =2)= 8 3 2 = , 15 15 15 C10 C10

1

2

P
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7 15

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7 15
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1 15

k (2)P(η =k)=C 8 ·0 83 k·0 2k(k=0,1,2,3) ,所以η 的分布列为
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η

0
C 8 0 83
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1
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2
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3
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P

0

C 8 0 82·0 2
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1

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C 8 0 8·0 22
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2

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C 8 0 23
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3

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小结: 应按下述三个步骤进行: ①明确随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义; ②利用概率的有关知识,求出随机变量每个取值的概率; ③按规范形式写出分布列,并用分布列的性质验证 3 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和 4 处理有关离散型随机变量的应用问题,关键在于根据实际问题确定恰当的随机变量 5 求一些离散型随机变量的分布列,在某种程度上就是正确地求出相应的事件个数,即相应的排列组 合数,所以学好排列组合是学好分布列的基础与前提
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