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2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程课堂导学案 精品

二 圆锥曲线的参数方程 课堂导学 三点剖析 一、利用参数方程求点的轨迹 【例 1】 已知 A、B 分别是椭圆 x2 y2 ? =1 的左顶点和上顶点,动点 C 在该椭圆上运动,求 36 9 △ABC 的重心 G 的轨迹的普通方程. 解析:本题有两种思考方式,求解时把点 C 的坐标设为一般的(x1,y1)的形式或根据它在该椭 圆上运动也可以设为(6cosθ ,3sinθ )的形式,从而予以求解. 解:由动点 C 在该椭圆上运动,故据此可设点 C 的坐标为(6cosθ ,3sinθ ),点 G 的坐标为 (x,y),则由题意可知点 A(-6,0)、B(0,3). 由重心坐标公式可知 ? 6 ? 0 ? 6 cos? ? x? ? ?2 ? 2 cos? , ? ? 3 ? ? y ? 0 ? 3 ? 3 sin ? ? 1 ? sin ? . ? 3 ? 由此消去 θ 得到 ( x ? 2) 2 2 +(y-1) =1,即为所求. 4 温馨提示 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性,运用参数方程显得更简 单、更便捷. 各个击破 类题演练 1 已知双曲线 x2 y2 ? =1(a>0,b>0)的动弦 BC 平行于虚轴,M、N 是双曲线的左、右顶点. a2 b2 (1)求直线 MB、CN 的交点 P 的轨迹方程; (2)若 P(x1,y1),B(x2,y2),求证:a 是 x1、x2 的比例中项. (1)解:由题意可设点 B(asecθ ,btanθ ),则点 C(asecθ ,-btanθ ),又 M(-a,0),N(a,0), b tan ? (x+a), a sec ? ? a b tan ? 直线 CN 的方程为 y= (x-a). a ? a sec ? ∴直线 MB 的方程为 y= 将以上两式相乘得点 P 的轨迹方程为 x2 y2 ? =1. a2 b2 (2)证明:因为 P 既在 MB 上,又在 CN 上,由两直线方程消去 y1 得 x1= 有 x1x2=a ,即 a 是 x1、x2 的比例中项. 变式提升 1 在直角坐标系 xOy 中,参数方程 ? 解析:t= 2 a ,而 x2=asecθ ,所以 sec ? ? x ? 2t ? 1, 2 ? y ? 2t ? 1 (t 为参数)表示的曲线是___________. x ?1 x ?1 2 2 2 代入 y=2t -1 得 y=2( ) -1,即(x-1) =2(y+1). 2 2 答案:抛物线 二、利用参数方程求坐标 2 2 【例 2】 在椭圆 7x +4y =28 上求一点,使它到直线 l:3x-2y-16=0 的距离最短,并求出这一最 短距离. 解:把椭圆方程化为 x2 y2 ? =1 的形式, 4 7 则可设椭圆上点 A 坐标为(2cosα ,7sinα ), 则 A 到 直 线 l 的 距 离 为 d= | 6 cos? ? 2 7 sin ? ? 16 | 13 ? | 8 sin(? ? ? ) ? 16 | 13 (其中 β =arcsin 3 ). 4 ∴当 β -α = ? 8 8 13 时,d 有最小值,最小值为 . ? 2 13 13 ? 3 7 ,∴sinα =-cosβ = ? ,cosα =sinβ = . 4 2 4 3 7 ,? ). 2 4 此时 α =β - ∴A 点坐标为( 温馨提示 用参数方程解决一些坐标问题,简单易行,本例是很典型的. 类题演练 2 椭圆 ? ? x ? 4 cos? , (θ 为参数)的左焦点的坐标是__________. ? y ? 3 sin ? 解析:a=4,b=3,∴c= 7 .∴坐标为( ? 7 ,0). 答案:( ? 7 ,0) 变式提升 2 在椭圆 x2 y2 ? =1(a>b>0)的第一象限的 a2 b2 上求一点 P,使四边形 OAPB 的面积最大,并求最 大面积. 解析:如图,将四边形 OAPB 分割成△OAP 与△OPB,则 P 点纵坐标为△OAP 的 OA 边上的高,P 点 横坐标为△OPB 的 OB 边上的高. 解:设 P(acosθ ,bsinθ ),S 四边形 OAPB=S△OAP+S△OPB= 1 1 absinθ + abcosθ 2 2 = 1 ? 2 ab(sinθ +cosθ )= absin( +θ ). 2 4 2 当 θ = ? 2 时 , 四 边 形 OAPB 面 积 最 大 , 最 大 面 积 为 ab, 此 时 ,P 点 坐 标 为 4 2 ( 2 2 a, b). 2 2 三、范围及最值问题 2 2 2 【例 3】 圆 M 的方程为 x +y -4Rxcosα -4Rysinα +3R =0(R>0). (1)求该圆圆心 M 的坐标以及圆 M 的半径; (2)当 R 固定,α 变化时,求圆心 M 的轨迹,并证明此时不论 α 取什么值,所有的圆 M 都外切 于一个定圆. 思路分析:本题中所给的圆方程中的变数有多个,此时要结合题意分清究竟是哪个真正在变, 而像这样的具体题目尤其容易犯弄不清真正的参数的错误. 2 2 2 解 :(1) 由 题 意 得 圆 M 的 方 程 为 (x-2Rcosα ) +(y-2Rsinα ) =R , 故 圆 心 为 M(2Rcosα ,2Rsinα ),半径为 R. (2)当 α 变化时,圆心 M 的轨迹方程为 ? 2 2 2 ? x ? 2R cos? , (其中 α 为参数),两式平方相加得 ? y ? 2R sin ? x +y =4R ,所以圆心 M 的轨迹是圆心在原点,半径为 2R 的圆. 2 2 2 2 由于 (2 R cos ? ) ? (2 R sin ? ) =2R=3R-R, (2 R cos ? ) ? (2 R sin ? ) =2R=R+R, 所以所有的圆 M 都和定圆


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