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四川省岳池县第一中学高中数学 1.2 应用举例—④解三角形学案 新人教A版必修5


§1.2 应用举例—④解三角形
学习目标 1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题; 2. 掌握三角形的面 积公式的简单推导和应用; 3 . 能证明三角形中的简单的恒等式 . 教学重点 结合实际测量工具,解决生活中的测量高度问题 教学难点 能观察较复杂的图形,从中找到解决问题的关键条件 学习过程 一、课前准备 复习 1:在 ? ABC 中 (1)若 a ? 1, b ? 3, B ? 120? ,则 A 等于 . (2)若 a ? 3 3 , b ? 2 , C ? 150? ,则 c ? _____.

复习 2: 在 ?ABC 中, a ? 3 3 , b ? 2 , C ? 150? ,则高 BD= ,三角形面积= .

二、 新课导学 ※ 学习探究 探究:在 ? ABC 中,边 BC 上的高分别记为 h a ,那么它如何用已知边和角表示? h a =bsinC=csinB 1 根据以前学过的三角形面积公式 S= ah, 2 1 代入可以推导出下面的三角形面积公式,S= absinC, 2 或 S= 同理 S= , .

1

新知:三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半.

※ 典型例题 例 1. 在 ? ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积 S(精确到 0.1cm 2 ): (1)已知 a=14.8c m,c=23.5cm,B=148.5 ? ; (2)已知 B=62.7 ? ,C=65.8 ? ,b=3.16cm; (3)已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm, c=38.7cm.

变式 :在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区 域的三条边长分别为 68m,88m,127m,这个区域的面积是多少?(精确到 0.1cm 2 )

2

例 2. 在 ? ABC 中,求证: a2 ? b2 sin 2 A ? sin 2 B (1) ? ; c2 sin 2 C (2) a 2 + b 2 + c 2 =2(bccosA+cacosB+abcosC).

小结:证明三角形中恒等式方法: 应用正弦 定理或余弦定理,“边”化“角”或“角”化“边”. ※ 动手试试 练 1. 在 ? ABC 中,已知 a ? 28cm , c ? 33cm , B ? 45? ,则 ? ABC 的面积是



练 2. 在 ? ABC 中,求证: c(a cos B ? b cos A) ? a2 ? b2 .

三、总结提升

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※ 学习小结 1. 三角形面积公式: 1 S= absinC= = . 2 2. 证明三角形中的简单的恒等式方法:应用正弦定理或余弦定理,“边”化“角”或“角”化“边”. ※ 知识拓展 三角形面积 S ? p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ,

1 这里 p ? (a ? b ? c) ,这就是著名的海伦公式. 2
学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在 ?ABC 中, a ? 2, b ? 3, C ? 60? ,则 S?ABC ? ( A. 2 3 B. ).

3 2 9 3 2. 三角形两边之差为 2,夹角的正弦值为 ,面积为 ,那么这个三角形的两边长分别是( 2 5 A. 3 和 5 B. 4 和 6 C. 6 和 8 D. 5 和 7 3. 在 ?ABC 中,若 2 cos B ? sin A ? sin C ,则 ?ABC 一定是( )三角形. A. 等腰 B. 直角 C. 等边 D. 等腰直角 4. ?ABC 三边长分别为 3, 4, 6 ,它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是 .

3 2

C.

3

D.

).

5. 已知三角形的三边的长分别为 a ? 54cm , b ? 61cm , c ? 71cm ,则 ? ABC 的面积是 课后作业 2. 已知在 ? ABC 中, ? B=3 0 ? ,b=6,c=6 3 ,求 a 及 ? ABC 的面积 S.



2. 在△ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ? (cos A ? cos B) ,试判断△ABC 的形状.

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