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数列题型与方法


数列基础题型梳理
一、 等差等比数列性质问题 几个重要的性质:
? 1、 在等差数列中,若 p ? q ? m ? n ,则有 a p ? a q ? a m ? a n , ( p , q , m , n ? N )

特殊的:若 2 m ? p ? q ,则有 a p ? a q ? 2 a m (类比到等比) 2、等差数列的前 n 项和为 S n ,则 S n , S 2 n ? S n , S 3 n ? S 2 n ??为等差数列,公差为 n 2 d . (类比到等比 数列)
? 3、 ?a n ? 为等差数列, S n 为其前 n 项和,则 S 2 n ?1 ? ( 2 n ? 1) a n , ?b n ? 为等差数列, S n 为其前 n 项和, ? S 2 n ? 1 ? ( 2 n ? 1) b n ,

an bn

?

S 2 n ?1 ? S 2 n ?1



4、(1)在项数为 2 n ? 1 项的等差数列 { a n } 中, S 奇 = ( n + 1 ) a中 , S 偶 = n a中 , S 2 n + 1 = (2 n + 1 ) a中 ;
(2)在项数为 2 n 项的等差数列 { a n } 中 S 奇 = n a n , S 偶 = n a n ? 1 , S 2 n + 1 = n ( a n ? a n ? 1 ) . 练习题 (1)已知 S n 为等差数列 ?a n ? 的前 n 项和, a 6 ? 100 ,则 S 11 ? ;

解析:这里是等差数列的求和问题,等差数列有两个基本的求和公式 sn=n/2(a1+an)=na1+n(n-1)d/2,而从 题设中,我们可以很清楚地由等差数的性质得 a1+a11=2a6,所以很自然地,我们选用公式 s11=11/2(a1+a11) 得到答案 1100. (2) 若一个等差数列前 3 项的和为 34, 最后三项的和为 146, 且所有项的和为 3 9 0 ,则这个数列有 项;

解析:从题设中,我们只能知道 sn,所以我们只从关于 sn 的公式中求得 n.而对于前 3 项和和 最后三项的和都知道,我们可以利用性质 1 很快地得出 a1+an 的值,再利用等差数列的求和 公式便能解得 n. 前 3 项和为 34,最后三项和为 146,所以前 3 项+最后三项=180。从而可知 a1+an=180/3=60. Sn=n(a1+an)/2=390,60n/2=390,n=13.

(3) (2012 届高三一模普陀区理 11)已知数列 ? a n ? 是等比数列,其前 n 项和为 S n ,若
S1 0 ? 2 0 ,S ? 6 0 ,则

S 30 S10

20

?

解析:我们从题设中既给出了 s10,s20,而且我们所要求的答案又跟 S30 有关,所以,很自 然地,我们会利用性质 2 类比到等比数列的情形,设{an}是以 q 为公比的等比数列,sn 表示 前 n 项和,则 S n, S 2 n ? S n, S 3 n ? S 2 n … … 仍为等比数列,公比为 q n 。答案 7.

-1-

(4)设等比数列{a n}的前 n 项和为 S n= 4 +m,求得常数 m=

n



解析:题设已经给出了 sn 的表达式,所以我们只要套用求 sn 的一般公式即可得出题设表达 式中 m 的值。 Sn=(a1-anq)/(1-q)=4^n+m 化得 a1-a1*q^n=(1-q)*m+(1-q)*4^n 得出 a1=q-1 所 以 m=-1
(5)等差数列{a n }中,公差 d=-2,a 1+a 4+a 7+…+a 97=50,则 a 3+a 6+a 9+…+a 99=
解析: a3-a1=a3-a2+a2-a1=-2+(-2)=-4 (a3-a1)+(a6-a4)+(a9-a7)+...+(a99-a97)=-4*33=-132 a3+a6+a9+....a99=-132+50=-82

(6)设 S n 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若

a5 a3

?

5 9

,则

S9 S5

?

解析:题设只给出我们 a3 的 a5 的比例关系,而要求得 s9 和 s5 的比例关系,很自然我们会想到 把 s9 的 s5 用 a3,a5 进行表示.因 s9=9×(a1+a9)/2=9×2a5/2=9a5,同理 s5=3a3,故可得答案 1.
(7)等差数列{an}和{bn}的前 n 项之和之比为(3n+1):(2n+3),求 解析:此题为以上的性质 3 的知识.,直接套用即可得到答案 88/61.
a 15 b 15



(8)等比数列 ?a n ? 中,a1 最小 a 1 ? a n ? 66 , a 2 a n ?1 ? 128 ,前 n 项和 Sn=126,求 n 和公比 q。 解析: a1+a1q^n-1=66 a1qa1q^n-2=128=a1An 所以 a1+128/a1=66 a1=2 或者 64 由 a1 最小可知 a1=64 舍去. 故 a1=2,则 an=64 a1q^(n-1)=64,则 q^(n-1)=32 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=2*(1-32q)/(1-q)=126 故可得 q=2,n=6 (9)等比数列中,q=2,S99=77,求 a3+a6+…+a99;

解析: S99=a1(1-2^99)/(1-2)=77 1-2^99=-77/a1 a3+a6+a9+??+a99=a3(1-8^33)/(1-8)=a3(1-2^99)/(-7)=-77a3/(-7a1)=11a1*2^2/a1
-2-

因为 a3=a1q^2=a1*2^2 所以-77a3/(-7a1)=11a1*2^2/a1=11*4=44
(10)项数为奇数的等差数列 ?a n ? 中,奇数项之和为 80,偶数项之和为 75,求此数列的中间项与项数。

解析:题目是关于奇数项之和与偶数项之和的关系,所以我们第一反应就是利用上述的性质 4. 设数列的中间项为 x,项数为 n 。则: x· (n-1)/2=75, x· (n+1)/2=80. 解得:x=5, n=31.
二、等差等比数列的证明问题(常用方法是用定义,有时会用到中项法。给出递推公式的注意题中的引导 提示) 1、数列是不是等差数列有以下三种方法: ① a n ? a n ?1 ? d ( n ? 2 , d 为常数 ) ②2 a n ? a n ? 1 ? a n ?1 ( n ? 2 ) ③ a n ? kn ? b ( n, k 为常数). 2、数列是不是等比数列有以下四种方法: ① a n ? a n ?1 q ( n ? 2 , q 为常数 , 且 ? 0 )
2 ②an

? a n ? 1 ? a n ?1 ( n ? 2 ? cq
n

, a n a n ? 1 a n ?1

? 0)



③ an

( c, q 为非零常数).
x

④正数列{ a n }成等比的充要条件是数列{ log

an

}(x≠1)成等比数列.

例题: (1) 数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+Sn=n. 设 bn=an-1,求证:数列{bn}是等比数列;

解析: an+sn=n an+1+sn+1=n+1 an+1-an+an+1=1 a(n+1)-1=0.5(an-1) 即{an-1}是以 a1-1=-0.5 为首项 0.5 为公比的等比数列 bn=an-1 所以 bn 为等比数列 注:通常情况下,我们不能直接得出所求数列的具体表示,这时我们往往需要通常构造新数列来 求得所求数列的表示.

三、通项公式问题(注意变成 a n ? 1 ? f ( a n ) 递推形式,再结合对应类型求通项的方法) (一) 、给出 S n 求 a m (用公式) ;给出关于 S n 和 a m 的关系(再写一项,消 a m )最终的目标是 an=sn-sn-1.
2 n-1 1、 设数列 ? a n ? 满足 a1 ? 3 a 2 ? 3 a 3 ? … + 3 a n ?

n 3

( n ? N ) ,求数列 ? a n ? 的通项公式
*

-3-

解析:

a1+3a2+3^2a3+```````+3^(n-1)an=n/3 a1+3a2+3^2a3+```````+3^(n-2)a(n-1)=(n-1)/3 两式相减得 3^(n-1)an=n/3-(n-1)/3 3^(n-1)an=n/3-n/3+1/3 3^(n-1)an=1/3 3^nan=1 an=1/3^n
2、 设 S n 是数列 ?a n ? 的前 n 项和, a 1 ? 1 , S n2 ? a n ? S n ?
? ? 1? ? ( n ? 2 ) .求 ?a n ? 的通项; 2?

解析:把 an=sn-sn-1 代入所给的关系式,再整理,可得 1/sn-1/sn-1=2,很明显,此时我们只需通过构造新的 等差数列{1/sn}即可求得 sn 关于 n 的表达式.

当 n≥3 时,有 Sn^2=an(Sn-1/2)=[Sn-S(n-1)](Sn-1/2) 化简得 2SnS(n-1)=-Sn+S(n-1) 两边同除以 SnS(n-1)得 1/Sn-1/S(n-1)=2 ① 因 S2^2=a2(S2-1/2)故(1+a2)^2=a2(1+a2-1/2)解得 a2=-2/3,经验满足①式。 因 S3^2=a3(S3-1/2)故(1-2/3+a3)^2=a3(1-2/3+a3-1/2)解得 a3=-2/15,经验证也满足①式。 于是对于所有的 n≥1,均有①式成立。 于是 1/Sn 是首项为 1/S1=1/a1=1,公差为 2 的等差数列。于是有 1/Sn=1+2(n-1)=2n-1 Sn=1/(2n-1) S(n-1)=1/(2n-3) 故当 n≥2 时,有 an=Sn-S(n-1)=1/(2n-1)-1/(2n-3)=2/[(2n-1)(2n-3)] 则数量 an 的通项公式为 a1=1;an=2/[(2n-1)(2n-3)] ,n≥2

(二) 给出递推公式求通项公式 a、⑴已知关系式 a n ? 1 ? a n ? f ( n ) ,可利用累加法;

a n ? (a n ? a n ?1 ) ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ( a n ?2 ? a n ?3 ) ?

( a 2 ? a1 ) ? a1
an n

例、 (虹口区 2011 年 4 月高三数学二模文理 18) 已知: 数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 16 ,a n ? 1 ? a n ? 2 n , 则 最小值为(
A. 8




B. 7 C. 6 D.5

解析: a(2) - a(1) = 2 a(3) - a(2) = 4
-4-

...... a(n+1) - a(n) = 2n 这 n 个式子相加,就有 a(n+1) = 16 + n(n+1) 即 a(n) = n(n-1) + 16 = n^2 - n + 16 a(n)/n = n + 16/n -1 用均值不等式,知道它在 n = 4 的时候取最小值 7。
b、已知关系式 a n ? 1 ? a n ? f ( n ) ,可利用累乘法. a n ? 例、已知数列 ? a n ? 满足:
an a n ?1 ? n ?1 n ?1

an a n ?1

?

a n ?1 a n?2

?

a n?2 a n?3

?? ?

a3 a2

?

a2 a1

? a1

( n ? 2 ), a 1 ? 2 ,求数列 ?a n ? 的通项公式;

解析: 利用上述的累乘公式,可得 an/a1=2/(n(n+1)),代入 a1=2 可得通项公式为 an=1/(n(n+1))

c、构造新数列 1°递推关系形如“ a n ?1 ? pa n ? q ” ,利用待定系数法求解 例、已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1, a n ? 1 ? 2 a n ? 3 ,求数列 ?a n ? 的通项公式. 解析:利用待定系数法,设 an+1+x=2(an+x)再根据题设所给的我条件解得 x=3

a(n+1)= 2 an+3 a(n+1) +3= 2( an+3) ( an+3)是等比数列,公比为 2 an+3 = (a1+3)2^( n-1) an = 4*2^(n-1) - 3

2°递推关系形如“ a n ? 1 ? p a n ? q ” ,两边同除 p
n
n

n ?1

或待定系数法求解

例、

a 1 ? 1, a n ? 1 ? 2 a n ? 3 ,求数列 ?a n ? 的通项公式.

解析: 由题意得:a(n+1)=2an+3^n 则设 a(n+1)+xf(n+1)=2[an+xf(n)] 拆开得,并由题意得:2Xf(n)-xf(n+1)=3^n 则解得 x=-1,f(n)=3^n,则 a(n+1)-3^(n+1)=2[an-3^n] 可以看出{an-3^n}为等比数列且公比为 2.故可得 an-3^n=2^(n-1),则 an=2^(n-1)+3^n
3°递推已知数列 ?a n ? 中,关系形如“ a n ? 2 ? p ? a n ? 1 ? q ? a n ” ,利用待定系数法求解 例、已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1, a 2 ? 2 , a n ? 2 ? 3 a n ? 1 ? 2 a n ,求数列 ?a n ? 的通项公式

解析:
-5-

由 a(n+2)=3a(n+1)-2an (*) 得 a(n+2)-a(n+1)=2[a(n+1)-an], 所以,{a(n+1)-an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, 因此,a(n+1)-an=2^(n-1) (1) an-an-1=2^(n-2) a(n-1)-a(n-2)=2^(n-3) …
A2-a1=2^(-1) 把以上 n-1 个 式子相加,得:an-a1=2^(n-2)+ 2^(n-3)+…+2^(-1)=1/2(2^n-1)

所以 an=1/2(2^n+1)

( 4°递推关系形如" a n ? pa n ?1 ? qa n a n ?1 p,q ? 0) ,两边同除以 a n a n ?1 ( 例 1、已知数列 ?a n ? 中, a n ? a n ?1 ? 2 a n a n ?1 n ? 2),a 1 ? 2 ,求数列 ?a n ? 的通项公式.

解析: 两边除以 ana(n-1) 1/a(n-1)-1/an=2 a1=2 所以 1/a1-1/a2=2 a2= -2/3 故{1/an}是以-2 为首项,-2 为公差的等差数列 1/an= -2+(n-1)(-2) an= -1/(2n)

例 2、数列 ?a n ? 中, a 1 ? 2 , a n ? 1 ?

2an 4 ? an

( n ? N ? ) ,求数列 ?a n ? 的通项公式.

解析:对所给的关系两边分别取倒数,可得:1/a(n+1)=2/an+1/2 构造数列 1/a(n+1)+x=2(1/an+x), 解得:x=1/2 所以{1/an+1/2}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列 1/an+1/2=2^(n-1) an=(2^n-1)/2

评述:在某些题目中,会出现混合交替的情况可能是等差与等差地混合,等差与等比的混合.运用等差(比) 数列的定义转化为关于 kn 的方程是解题的关键,转化时要注意:a k 是等差数列中的第 kn 项,而又是等比
n

数列中的第 n 项(双重身份).

四、求数列的前 n 项和
基本方法: 1)公式法,分组求和 1、求数列 {2 ? 2 n ? 3} 的前 n 项和 S n .
n

解析:该数列由等比数列和等差数列组成,所以我们在求前 n 项和时可以分别求等比数列和等差数列的前 n
-6-

项和,再相加.

利用分组求和得 S(n)=[2-2^(n+1)]/(1-2)+n(-1+2n-3)/2 =2^(n+1)+n^2-2n-2
2)裂项相消法,把通项公式整理成两项(式多项)差的形式,然后前后相消 数列的常见拆项有: 1、求和:S=1+
1 1? 2

1 n(n ? k )
? 1

?

1 1 1 ( ? ); k n n?k
?? ? 1

1 n ? n ?1

?

n ?1 ?

n ;

1? 2 ? 3

1? 2 ? 3?? ? n

解析: 1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+......+1/(1+2+3+...+n) =1+ 2/2*3+2/3*4+2/4*5+......+2/n(n+1) (技巧问题) =1+2(1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/n-1/(n+1)) =1+2[1/2-1/(n+1)] =2-2/(n+1) =2n/(n+1) 2、求和:
1 2 ?1 ? 1 3 ? 2 ? 1 4 ? 3 ?? ? 1 n ?1 ? n

.

解析:分子分母同乘√(n+1)-√n 得: s=(√2-1)+(√3-√2)+?+(√(n+1)-√n)=√(n+1)-1 3) 倒序相加法: 适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列, 采取把正着写与倒着写的两 个和式相加,然后求和。 1、 证明 S n ? 3 C n ? 6 C n ? ? ? 3 n C n (此处的 L 表省略号)
1 2 n

解析: S n ? 0 ? C n ? 3 C n ? 6 C n ? ? ? 3 nC n
0 1 2

n

∴ Sn=3n·2n-1 4) 错位相减法:如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的, 可把和式的两端同 乘以上面的等比数列的公比,然后错位相减求和.



求数列 1,3x,5x ,?,(2n-1)x 前 n 项的和.
2 n-1

2

n-1

解 设 Sn=1+3+5x +?+(2n-1)x .



(2)x=0 时,Sn=1. 2 3 n (3)当 x≠0 且 x≠1 时,在式①两边同乘以 x 得 xSn=x+3x +5x +?+(2n-1)x ,② 2 3 n-1 n ①-②,得 (1-x)Sn=1+2x+2x +2x +?+2x -(2n-1)x .

-7-

5)分奇偶求和 1.已知数列 { a n } 的通项 a n ? ?
?6n ? 5 ?2
n

( n为 奇 数 ) ( n为 偶 数 )

,求其前 n 项和 S n .

解析:我们可以分别讨论当 n 为奇数和偶数时的求和方法,此时可利用性质 3 来解决.

五、最值问题
-8-

(一)、数列中项的最大或最小问题(结合对应函数的性质,求函数最值,但要注意这里 n 是正整 数) 1、数列 ?a n ? 中, a n ? 3 n 2 ? 28 n ? 1 ,求 a n 取最小值时 n 的值. 2、数列 ?a n ? 中, a n ?
n
2

n ? 100 9 3、数列 ?a n ? 中, a n ? ( n ? 1)( ) n ,求 a n 的最大值 10

,求 a n 取最大值时 n 的值。 (若 a n ?

n n ? 120
2

呢? a n ?

2n ? 1 3n ? 4

呢)

4、数列 ?a n ? 中, a n ? n ?

n ? 2 ,求数列 ?a n ? 的最大项和最小项.
2

二、等差数列前 n 项和最值问题 例 1、 (长宁区 2011 年 4 月高三数学二模理 10)已知等差数列 { a n } 中, a 1 ? 10 , 当且仅当 n ? 5 时,前 n 项和 S n 取得最大值,则公差 d 的范围是 __________
_.

例 2、在等差数列 ?a n ? 中, (1)若 a1 ? 2 0 ,前 n 项和为 S n ,且 S 10 ? S 15 ,求当 n 取何值时, S n 最大?并求出它的最大值; (2)若 a1 ? 0, S 9 ? S 12 ,则该数列前多少项的和最小?

方法:
(一 ) 利 用 an

? an ? 0 若 a 1 ? 0, d ? 0, S n 有 最 大 值 , 可 由 ? , 求 得 n的 值 ? a n ?1 ? 0 ? an ? 0 若 a 1 ? 0, d ? 0, S n 有 最 大 值 , 可 由 ? , 求 得 n的 值 ? a n ?1 ? 0
(二 ) 利 用 S n Sn ? d 2 n ? ( a1 ?
2

d 2

)n, 利 用 二 次 函 数 配 方 求 得 取 最 值 时 的 n

数列不等式恒成立问题(一般要涉及到求参数范围,需参数分离, 再利用函数思想,讨论数列的单调情况, 求出数列的最值,若无最值,求出极限,但要注意参数此时要加等号 )

-9-

1、已知关于 n 的不等式 1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)> 数 n 都成立,求 a 的取值范围
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

1 12

log

a

( a ? 1) ?

2 3

对于一切大于 1 的自然

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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2、非等比数列 { a n } 中,前 n 项和 S n ? ? (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2) b n ? 设
1 n3 ? an ( )
( n ? N) *

1 4

( a n ? 1) ,
2

, n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n , 是否存在最大的整数 m, 使得对任意的 n 均有 T n ? T

m 32

总成立?若存在,求出 m;若不存在,请说明理由。

3、设 { a n } 是等差数列, {b n } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a 2 ? b 3 ? a 3 ? b 2 ? 7 . (1)求 { a n } , {b n } 的通项公式; (2)记 c n ? a n ? 2010 , n ? N * , A n 为数列 { c n } 的前 n 项和,当 n 为多少时 A n 取得最大值或最小值? (3)是否存在正数 K ,使得 (1 ?
1 a1 )( 1 ? 1 a2 ) ? ? ? ? ? (1 ? 1 an )? K 2 n ? 1 对一切 n ? N * 均成立,若存在,

求出 K 的最大值,若不存在,说明理由.

4、对数列 ?a n ? 和 ?b n ? ,若对任意正整数 n ,恒有 b n ? a n ,则称数列 ?b n ? 是数列 ?a n ? 的“下界数列”. (1) 设数列 a n ? 2 n ? 1 , 请写出一个公比不为 1 的等比数列 ?b n ? , 使数列 ?b n ? 是数列 ?a n ? 的 “下界数列” ; (2)设数列 a n ? 2 n ? 3 n ? 10 , b n ?
2

n?2 2n ? 7

,求证数列 ?b n ? 是数列 ?a n ? 的“下界数列” ;

- 10 -

( 3 ) 设 数 列 an ?

7, n ? 1 ? ? 7 , bn ? ? 7 ,n ? N 2 ? ,n ? 2 n ?n n ?1 ? 1

?

, 构 造 T n ? (1 ? a 2 )( 1 ? a 3 ) ? (1 ? a n ) ,
?

Pn ? (1 ? b1 ) ? (1 ? b 2 ) ? ? ? (1 ? b n ) ,求使 T n ? kPn 对 n ? 2 , n ? N 恒成立的 k 的最小值.

5、已知函数 f ? x ? ?

3x 2x ? 3

,数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 1 , a n ? 1 ? f ? a n ? , n ? N ,
?

1. 求 a 2 , a 3 , a 4 的值; 2. 求证:数列 ?
? 1 ? ? 是等差数列; ? an ?
m ? 2011 2

3. 设数列 ? b n ? 满足 b n ? a n ?1 ? a n ? n ? 2 ? , b1 ? 3 , S n ? b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n ,若 S n ?
n ? N 成立,求最小正整数 m 的值.
?

对一切

- 11 -



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