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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和教师用书文


第六章 数列 6.3 等比数列及其前 n 项和

1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个 数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示(q≠0). 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=a1·q 3.等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am·q
n-m n-1

.

(n,m∈N ).
*

*

(2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N ),则 ak·al=am·an.
?1? ?an? 2 (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λ an}(λ ≠0),? ?,{an},{an·bn},? ?仍是 ?an? ?bn?

等比数列. 5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=na1; 当 q≠1 时,Sn=

a1?1-qn? a1-anq = . 1-q 1-q

6.等比数列前 n 项和的性质 公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列,其公比 为q.
n

【知识拓展】 等比数列{an}的单调性 (1)满足?
?a1>0, ? ? ?q>1

或?

?a1<0, ? ? ?0<q<1

时,{an}是递增数列.
1

?a1>0, ? (2)满足? ? ?0<q<1 ?a1≠0, ? ?q=1 ?

或?

?a1<0, ? ? ?q>1

时,{an}是递减数列.

(3)当?

时,{an}为常数列.

(4)当 q<0 时,{an}为摆动数列.

【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足 an+1=qan(n∈N ,q 为常数)的数列{an}为等比数列.( × ) (2)G 为 a,b 的等比中项?G =ab.( × ) (3)如果数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.( × ) (4)如果数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.( × )
2 *

1 1.(教材改编)等比数列{an}中,a2=2,a5= ,则公比 q=______. 4 答案 1 2

1 4 解析 a2=a1q=2,a5=a1q = , 4 1 1 3 ∴q = ,∴q= . 8 2 2.(教材改编)下列关于“等比中项”的说法中,正确的是_____(填序号). ①任何两个实数都有等比中项; ②两个正数的等比中项必是正数; ③两个负数的等比中项不存在; ④同号两数必存在互为相反数的两个等比中项. 答案 ④ 解析 ①一正数、一负数没有等比中项; ②两个正数的等比中项有两个,它们一正、一负; ③两个负数 a,b 的等比中项为± ab; 所以①、②、③错误,易知④正确.

2

3.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=3,S4=15,则 S6=____. 答案 63 解析 根据题意知,等比数列{an}的公比不是-1.由等比数列的性质,得(S4-S2) =S2·(S6
2 2

-S4),即 12 =3×(S6-15),解得 S6=63. 4.(教材改编)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S6=4S3,则 a4=____. 答案 3

a1?1-q6? a1?1-q3? 解析 由 S6=4S3,所以 =4 , 1-q 1-q
所以 q =3(q =1 不合题意,舍去), 所以 a4=a1·q =1×3=3. 5.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 =________. 答案 -11 解析 设等比数列{an}的公比为 q, ∵8a2+a5=0,∴8a1q+a1q =0. ∴q +8=0,∴q=-2, ∴ = =
3 4 3 3 3

S5 S2

S5 a1?1-q5? 1-q · S2 1-q a1?1-q2?
1-q 1-?-2? 2= 1-q 1-4
5 5

=-11.

题型一 等比数列基本量的运算 1 例 1 (1)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1= , a3a5=4(a4-1), 则 a2=________. 4 5 5 Sn (2)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a3= ,a2+a4= ,则 =________. 2 4 an 1 n 答案 (1) (2)2 -1 2 解析 (1)由{an}为等比数列,得 a3a5=a4, 又 a3a5=4(a4-1),所以 a4=4(a4-1), 解得 a4=2.设等比数列{an}的公比为 q,
2 2

3

1 3 3 则由 a4=a1q ,得 2= q ,解得 q=2, 4 1 所以 a2=a1q= . 2 5 ? ?a +a =2, (2)∵? 5 ?a +a =4, ?
1 3 2 4 2

5 ? ?a +a q =2, ∴? 5 ?a q+a q =4, ?
2 1 1 3 1 1

① ②

1+q 由①除以②可得 =2, q+q3 1 解得 q= ,代入①得 a1=2, 2 1 n-1 4 ∴an=2×( ) = n, 2 2 1 n 2×[1-? ? ] 2 1 ∴Sn= =4(1- n), 1 2 1- 2 1 4?1- n? 2 Sn n ∴ = =2 -1. an 4 n 2 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量 a1,n,q,

an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.
(1)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,则

S5=________.
(2)(2015·湖南)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,且 3S1,2S2,S3 成等差数列,则

an=________.
31 答案 (1) 4 (2)3
n-1

a1q·a1q =1, ? ? 解析 (1)显然公比 q≠1,由题意得?a1?1-q3? = 7, ? ? 1-q a1=4, ? ? 解得? 1 q= ? ? 2 a1=9 ? ? 或? 1 q=- ? 3 ?

3

(舍去),

4

a1?1-q5? ∴S5= = 1-q

1 4?1- 5? 2 31 = . 1 4 1- 2

(2)由 3S1,2S2,S3 成等差数列知,4S2=3S1+S3, 可得 a3=3a2,所以公比 q=3, 故等比数列通项 an=a1q
n-1

=3

n-1

.

题型二 等比数列的判定与证明 例 2 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1+2a2+3a3+?+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N ). (1)求 a2,a3 的值; (2)求证:数列{Sn+2}是等比数列. (1)解 ∵a1+2a2+3a3+?+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N ), ∴当 n=1 时,a1=2×1=2; 当 n=2 时,a1+2a2=(a1+a2)+4, ∴a2=4; 当 n=3 时,a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6, ∴a3=8. 综上,a2=4,a3=8. (2)证明 ∵a1+2a2+3a3+?+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N ), ∴当 n≥2 时,a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1 =(n-2)Sn-1+2(n-1). ②
* * *



①-②,得 nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2=n(Sn-Sn-1)-Sn+2Sn-1+2=nan-Sn+2Sn-1+2. ∴-Sn+2Sn-1+2=0,即 Sn=2Sn-1+2, ∴Sn+2=2(Sn-1+2). ∵S1+2=4≠0,∴Sn-1+2≠0, ∴

Sn+2 =2, Sn-1+2

故{Sn+2}是以 4 为首项,2 为公比的等比数列. 思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法, 其他方法只用于填空题中 的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. (2)利用递推关系时要注意对 n=1 时的情况进行验证.

5

已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1. 1 (1)证明:{an+ }是等比数列,并求{an}的通项公式; 2 1 1 1 3 (2)证明: + +?+ < . a1 a2 an 2 1 1 证明 (1)由 an+1=3an+1,得 an+1+ =3(an+ ). 2 2 1 3 又 a1+ = , 2 2 1 3 所以{an+ }是首项为 ,公比为 3 的等比数列. 2 2 1 3 3 -1 所以 an+ = ,因此{an}的通项公式为 an= . 2 2 2 1 2 (2)由(1)知 = n . an 3 -1 因为当 n≥1 时,3 -1≥2×3
n n-1 n n

1 1 ,所以 n ≤ n-1. 3 -1 2×3

1 1 1 1 1 于是 + +?+ ≤1+ +?+ n-1 a1 a2 an 3 3 3 1 3 = (1- n)< , 2 3 2 1 1 1 3 所以 + +?+ < . a1 a2 an 2 题型三 等比数列性质的应用 例 3 (1)若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e ,则 ln a1+ln a2+?+ln a20 =_____.
5

S6 1 S9 (2)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 = ,则 =_____. S3 2 S3
3 答案 (1)50 (2) 4 解析 (1)因为 a10a11+a9a12=2a10a11=2e , 所以 a10a11=e . 所以 ln a1+ln a2+?+ln a20 =ln(a1a2?a20) =ln[(a1a20)·(a2a19)·?·(a10a11)] =ln(a10a11) =10ln(a10a11) =10ln e =50ln e=50. (2)方法一 ∵S6∶S3=1∶2,∴{an}的公比 q≠1.
6
5 10 5 5



a1?1-q6? a1?1-q3? 1 1 3 ÷ = ,得 q =- , 1-q 1-q 2 2
9

S9 1-q 3 ∴ = = . S3 1-q3 4 S6 1 方法二 ∵{an}是等比数列,且 = ,∴公比 q≠-1, S3 2
∴S3,S6-S3,S9-S6 也成等比数列,即(S6-S3) =S3·(S9-S6), 1 S9 3 将 S6= S3 代入得 = . 2 S3 4
2

思维升华 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类: (1)通项公式的变形. (2)等比中项的变形. (3)前 n 项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题 的突破口.

(1)已知在等比数列{an}中,a1a4=10,则数列{lg an}的前 4 项和等于________. (2)(2016·南通一调) 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=3,S4=15,则 S6 的值为 ________. 答案 (1)2 (2)63 解析 (1)前 4 项和 S4=lg a1+lg a2+lg a3+lg a4=lg(a1a2a3a4),又∵等比数列{an}中,a2a3 =a1a4=10, ∴S4=lg 100=2. (2)方法一 由等比数列的性质得,q =
?q=2, ? ?a1=1, ? ?q=-2, ? ?a1=-3. ?
2

S4-S2 =4,所以 q=±2. S2

由 S2=3,解得?

或?

a1?1-q6? 1×?1-26? a1?1-q6? ?-3?×[1-?-2?6] 所以 S6= = =63 或 S6= = =63. 1-q 1-2 1-q 1-?-2?
方法二 由 S2,S4-S2,S6-S4 成等比数列可得(S4-S2) =S2(S6-S4),所以 S6=63.
2

7

13.分类讨论思想在等比数列中的应用

3 * 典例 (14 分)已知首项为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N ), 且-2S2, S3,4S4 成等差数 2 列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 13 * (2)证明:Sn+ ≤ (n∈N ). Sn 6 思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项公式. (2)求出前 n 项和,根据函数的单调性证明. 规范解答 (1)解 设等比数列{an}的公比为 q, 因为-2S2,S3,4S4 成等差数列, 所以 S3+2S2=4S4-S3,即 S4-S3=S2-S4,

a4 1 可得 2a4=-a3,于是 q= =- . a3 2
3 又 a1= ,所以等比数列{an}的通项公式为 2

[2 分]

an= ×?- ?n-1=(-1)n-1· n. 2

3 2

? 1? ? ?

3 2

[4 分]

? 1?n (2)证明 由(1)知,Sn=1-?- ? , ? 2?
Sn+ =1-?- ?n+ Sn ? 2?
1

? 1?

1

? 1?n 1-?- ? ? 2?

1 2+ ? ? 2 ?2 +1?,n为奇数, =? 1 2+ ? ? 2 ?2 -1?,n为偶数.
n n n n

[8 分]

1 当 n 为奇数时,Sn+ 随 n 的增大而减小,

Sn

1 1 13 所以 Sn+ ≤S1+ = . Sn S1 6 1 当 n 为偶数时,Sn+ 随 n 的增大而减小,

[10 分]

Sn

1 1 25 所以 Sn+ ≤S2+ = . Sn S2 12

[12 分]
8

1 13 * 故对于 n∈N ,有 Sn+ ≤ . Sn 6

[14 分]

1.(教材改编){an},{bn}都是等比数列,那么下列正确的序号是________. ①{an+bn},{an·bn}都一定是等比数列; ②{an+bn}一定是等比数列,但{an·bn}不一定是等比数列; ③{an+bn}不一定是等比数列,但{an·bn}一定是等比数列; ④{an+bn},{an·bn}都不一定是等比数列. 答案 ③ 解析 {an+bn}不一定是等比数列,如 an=1,bn=-1,因为 an+bn=0,所以{an+bn}不是等 比数列.设{an},{bn}的公比分别为 p,q,因为 是等比数列. 2.(2016·江苏东海中学月考)在由正数组成的等比数列{an}中,若 a4a5a6=3,log3a1+log3a2 +log3a8+log3a9 的值为________. 答案 4 3
2 3

an+1bn+1 an+1 bn+1 = · =pq≠0,所以{an·bn}一定 anbn an bn

解析 ∵a4a6=a5,∴a4a5a6=a5=3, 解得 a5 ? 3 . ∵a1a9=a2a8=a5, ∴log3a1+log3a2+log3a8+log3a9=log3a1a2a8a9
4 4 4 ? log3 a5 ? log3 3 3 ? . 3
2

1 3

3.在正项等比数列{an}中,已知 a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则 n=____. 答案 14 解析 设数列{an}的公比为 q, 由 a1a2a3=4=a1q 与 a4a5a6=12=a1q , 可得 q =3,an-1anan+1=a1q 因此 q
3n-6 9 3 3n-3 3 3 3 12

=324,

=81=3 =q ,

4

36

所以 n=14.
9

4.(2016·扬州模拟)在等比数列{an}中,若 a3,a7 是方程 x +4x+2=0 的两根,则 a5 的值是 _____. 答案 - 2 解析 根据根与系数之间的关系得 a3+a7=-4,

2

a3a7=2,由 a3+a7=-4<0,a3a7>0,
所以 a3<0,a7<0,即 a5<0, 由 a3a7=a5,得 a5=- a3a7=- 2. 5.已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N ),且 a2+a4+a6=9,则 log 1 (a5+a7+a9)的值
3
* 2

是________. 答案 -5 解析 由 log3an+1=log3an+1(n∈N ), 得 log3an+1-log3an=1,即 log3 解得
*

an+1 =1, an

an+1 =3,所以数列{an}是公比为 3 的等比数列. an
3

因为 a5+a7+a9=(a2+a4+a6)q , 所以 a5+a7+a9=9×3 =3 . 所以 log 1 (a5 ? a7 ? a9 ) ? log 1 35 ? ?5.
3 3
π 3 5

6.(2017·盐城检测)在由正数组成的等比数列{an}中,若 a3a4a5=3 ,则 sin(log3a1+log3a2 +?+log3a7)的值为________. 答案 3 2

π π 3 解析 因为 a3a4a5=3 =a4,所以 a4=3 . 3 log3a1+log3a2+?+log3a7=log3(a1a2?a7) π 7π 7 =log3a4=7log33 = , 3 3 所以 sin(log3a1+log3a2+?+log3a7)= 3 . 2

7.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,已知 3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比 q=____. 答案 4
?3S3=a4-2, ? 解析 因为? ? ?3S2=a3-2,

① ②
10

由①-②,得 3a3=a4-a3,即 4a3=a4, 则 q= =4. 8.(2016·南京调研)设公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S3=a2,且 S1,S2,S4 成等比数列,则 a10=________. 答案 19 解析 设等差数列{an}的公差为 d(d≠0),因为 S1,S2,S4 成等比数列,所以 S2=S1S4,从而 (2a1+d) =a1(4a1+6d),整理得 2a1d-d =0,因为 d≠0,所以 d=2a1,又因为 S3=a2,所以 3a1+3d=(a1+d) ,将 d=2a1 代入上式得 3a1+6a1=(a1+2a1) ,即 9a1=9a1,解之得 a1=1(a1 =0 舍),从而 d=2,所以 a10=1+9×2=19. 9.已知正项等比数列{an}满足 a2 015=2a2 013+a2 014, 若存在两项 am, an, 使得 aman=4a1, 则 的最小值为________. 答案 3 2
2 2 2 2 2 2 2 2

a4 a3

n+4m nm

解析 设{an}的公比为 q(q>0),由正项等比数列{an}满足 a2 015=2a2 013+a2 014, 可得 a2 013·q =2a2 013+a2 013·q, ∴q -q-2=0,∵q>0,∴q=2. ∵ aman=4a1,∴q ∴
m+n-2
2 2

=16,∴m+n=6.

n+4m 1 ?1 4? 1? n 4m? 3 = (m+n)? + ?= ?5+ + ?≥ , nm 6 ?m n? 6? m n ? 2 n 4m ,即 m=2,n=4 时取等号. m n

当且仅当 = 故

n+4m 3 的最小值为 . nm 2

10.(2016·苏锡常镇一调)设数列{an}是首项为 1, 公差不为零的等差数列, Sn 为其前 n 项和, 若 S1,S2,S4 成等比数列,则数列{an}的公差为____. 答案 2 解析 设公差为 d,其中 d≠0,则 S1,S2,S4 分别为 1,2+d,4+6d.由 S1,S2,S4 成等比数列, 得(2+d) =4+6d,即 d =2d.因为 d≠0,所以 d=2. 11.(2016·苏北四市期末)已知各项均为正数的数列{an}的首项 a1=1,Sn 是数列{an}的前 n 项和,且满足 anSn+1-an+1Sn+an-an+1=λ anan+1(λ ≠0,n∈N ). (1)若 a1,a2,a3 成等比数列,求实数 λ 的值;
* 2 2

11

1 (2)若 λ = ,求 Sn. 2 2 解 (1) 令 n=1,得 a2= . 1+λ 令 n=2,得 a2S3-a3S2+a2-a3=λ a2a3, 2λ +4 所以 a3= . ?λ +1??2λ +1? 由 a2=a1a3, 2 2λ +4 2 得( )= , 1+λ ?λ +1??2λ +1? 因为 λ ≠0,所以 λ =1. 1 (2)当 λ = 时, 2
2

anSn+1-an+1Sn+an-an+1= anan+1,
所以 即

1 2

Sn+1 Sn 1 1 1 - + - = , an+1 an an+1 an 2

Sn+1+1 Sn+1 1 - = , an+1 an 2 Sn+1 1 }是以 2 为首项, 为公差的等差数列, an 2

所以数列{ 所以

Sn+1 1 =2+(n-1)· , an 2


n 3 即 Sn+1=( + )an, 2 2
当 n≥2 时,Sn-1+1=( +1)an-1, 2 ①-②得,an=

n



n+3 n+2 an- an-1,
2 2 = (n≥2), n+2 n+1

即(n+1)an=(n+2)an-1,所以 所以{

an

an-1

1 1 }是常数列,且为 ,所以 an= (n+2). n+2 3 3
2

an

n 3 n +5n 代入①得 Sn=( + )an-1= . 2 2 6
12.已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn-an}是等 比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和. 解 (1)设等差数列的公差为 d,

12

由题意得 d=

a4-a1 12-3
3 = 3

=3,
*

所以 an=a1+(n-1)d=3n(n∈N ). 设等比数列{bn-an}的公比为 q, 由题意得 q =
3

b4-a4 20-12 = =8,解得 q=2. b1-a1 4-3
n-1

所以 bn-an=(b1-a1)q 从而 bn=3n+2
n-1

=2

n-1

.

(n∈N ).
n-1

*

(2)由(1)知 bn=3n+2

(n∈N ),

*

3 数列{3n}的前 n 项和为 n(n+1), 2 数列{2
n-1

}的前 n 项和为 1×

1-2 n =2 -1. 1-2

n

3 n 所以数列{bn}的前 n 项和为 n(n+1)+2 -1. 2 13.(2016·全国丙卷)已知各项都为正数的数列{an}满足 a1=1,an-(2an+1-1)an-2an+1=0. (1)求 a2,a3; (2)求{an}的通项公式. 1 1 解 (1)由题意,得 a2= ,a3= . 2 4 (2)由 an-(2an+1-1)an-2an+1=0,得 2an+1(an+1)=an(an+1). 因为{an}的各项都为正数,所以
2 2

an+1 1 = . an 2

1 故{an}是首项为 1,公比为 的等比数列, 2 1 因此 an= n-1. 2 14.(2016·淮安模拟)已知等比数列{an}的前 n 项和是 Sn,S18∶S9=7∶8. (1)求证:S3,S9,S6 依次成等差数列; (2)a7 与 a10 的等差中项是不是数列{an}中的项?如果是,是{an}中的第几项?如果不是,请说 明理由. (1)证明 设等比数列{an}的公比为 q,若 q=1, 则 S18=18a1,S9=9a1,

S18∶S9=2∶1≠7∶8,∴q≠1.

13

∴S18=

a1?1-q18? a1?1-q9? ,S9= , 1-q 1-q

S18∶S9=1+q9.
? 7 ∴1+q = ,解得 q=-2 3 . 8
9

1

∴S3=

a1?1-q3? 3 a1 = × , 1-q 2 1-q

a1?1-q6? 3 a1 S6= = × , 1-q 4 1-q a1?1-q9? 9 a1 S9= = × . 1-q 8 1-q
3 a1 ∵S9-S3=- × , 8 1-q

S6-S9=- ×

3 a1 , 8 1-q

∴S9-S3=S6-S9. ∴S3,S9,S6 依次成等差数列. (2)解 a7 与 a10 的等差中项为

a7+a10 a1?2-2-2-3?
2 = 2

= , 16

a1

设 a7 与 a10 的等差中项是数列{an}中的第 n 项, 则 a1 ( ?2 3 )
? 1 n ?1

?

a1 , 16

化简得 ( ?2) 即-

?

n ?1 3

? ( ?2) ?4 ,

n-1
3

=-4,解得 n=13.

∴a7 与 a10 的等差中项是数列{an}中的第 13 项.

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