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高中数学不等式教学中数学思维的运用

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 高中数学不等式教学中数学思维的运用 作者:吴有霞 来源:《中学生数理化·教与学》2016 年第 11 期 近年来,在数学高考试题中不等式方面的题型占据了一定的比例.这个板块的知识点,对 高中学生而言是需要重点掌握的.在高中数学不等式教学中运用数学思维,有利于培养学生的 解题能力,也有利于提高教学效率. 一、高中数学不等式教学中的数学思维 数学思维,不仅囊括了数形结合、函数方程,还涉及数学模型等方面.这对数学知识的理 解与题型的解答而言,其重要性不言而喻.在高中数学不等式教学中,教师要根据教学内容, 有效融入数学思维,引导学生在学习不等式的过程中掌握知识点,同时通过数学思维分析习 题,帮助学生准找思考问题的方向,明确最佳的解题方式,使学生在数学思维和不等式解析的 密切融合中提升学习效率. 二、在高中不等式教学中运用数学思维分析 1.数形结合思维.从某种程度而言,数形结合思维,对不等式具有较强的指导性.在数学知 识中,数与形两者间存在着一定的联系,这种联系被称为数形结合.在高中数学不等式教学 中,标根法解不等式通常需要数形结合思想进行指导.这种解题方法主要是把不等式解集划分 为三大步骤.换而言,就是把不等式分解为若干一次因式的积,同时让每个因式中最高次项系 数为正.把每个一次因式根标在数轴上面,从最大根右上方逐渐通过每个画曲线,同时关注奇 穿过偶弹回.最终按照曲线显示出的符号变化规律,写出解集.以这样的数学思维进行指导高中 生学习不等式解答,能够促使其掌握全面的基础思考方法,解得正确答案.例如,用“x3+3x4≥0”这个不等式作为例子进行解析,先使整个不等式分解为(x-1)(x-2)2≥0. 图1 再根据此分解式把根“x=1”与“x=-2”标注在函数图形中,能够使整个不等式的解集区域清 晰呈现出来,为{x|x≥1 或 x=-2}.又如,在均值不等式的几何证明中,可以利用数形结合思维快 速进行证明.如“a+b2≥ab,并且 a>0,b>0”这道均值不等式题型,教师可以引导学生先作图,如 图 1,得出正方形 ABCD 的面积比四个直角三角形的面积要大.也就能得到不等式 “a2+b2>2ab,所以当直角三角形变为等腰三角形,即 a=b 时,正方形 EFGH 就缩成一点.这种 情况下,a2+b2=2ab.若将 a>0,b>0 分别用 a、b 所代替 a、b,就有 a+b≥2ab,也就是 a+b2≥ab (a>0,b>0). 2.函数方程思维.函数方程思维可以说和不等式恒成立证明方面的数学题存在很大的联系. 前者通常是利用函数性质与定义等对有所关联的数学问题进行分析解答.高中数学不等式求解 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 或是证明题中,教师同样能够利用数学函数思维教学不等式类型的数学知识点,同时引导学生 深入了解这方面的相关问题.基于此,教师不仅需要使学生分清此类数学思维和不等式结合的 主要类型,还要引导学生找到不等式解题的关键性突破口.将函数方程思维应用于不等式恒成 立问题中,可以在很大程度上方便学生快速求得最值或极值等,明确其相关参数区间,进一步 证明不等式恒成立或习题条件.尽管恒成立问题分析时,数形结合思维也可以在其中起到一定 的指导性作用,但是函数方程思维在运算与避开作图难点这两方面更具优势.例如,“x22mx+2m+1>0”这个不等式,教师可以先引导学生把函数化解为“(x-m)2-m2+2m+1>0”.然后把 整个不等式右边化为开口向上,对称轴是“x=m”的抛物线函数.基于函数方程思维的指导,学生 能够避免作图难点,直接按照函数单调性与最值性质对 m 取值范围进行判断,从而求得“m>12”的答案. 3.分类讨论思想对含绝对值不等式解题的影响.在高中数学教学中,分类讨论思想有着非常 明显的指导作用.而不等式尤其是含有绝对值不等式中也与分类讨论数学思想有着很密切的联 系.比如,“分段讨论法”,即经过各个集合上的讨论解出不同情况下不等式的答案,然后取并集. 基于此解题方法,不等式中含有的绝对值能够准确去除,从而让整个习题解答更加简化.此 外,还有利于学生理解这类数学知识,提升对这类数学知识的实际应用能力,找到更好的切入 角度,增强不等式数学知识的教学效果. 总之,本文在数学思维和高中不等式数学有效结合的基础上,探讨高中不等式教学过程中 影响力较大的几种数学思维在不等式教学中的应用.其中需要教师根据其重点知识点与习题类 型的实际情况,合理选择与之相应的数学思维进行指导.


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