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高中数学第三章三角恒等变换3.1同角三角函数的基本关系教案北师大版必修4

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3.1

同角三角函数的基本关系
整体设计

教学分析 与三角函数的定义域、 符号的确定一样,同角三角函数的基本关系式的推导,紧扣了定义, 是按照一切从定义出发的原则进行的 ,通过对基本关系的推导,应注意学生重视对基本概念 学习的良好习惯的形成,学会通过对基本概念的学习,善于钻研,从中不断发掘更深层次的内 涵. 同角三角函数的基本关系式将“同角”的四种不同的三角函数直接或间接地联系起来, 2 2 在使用时一要注意“同角”,至于角的表达形式是至关重要的,如 sin 4π +cos 4π =1 等,二 要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的,如 tanα 中的 α 是使得 tanα 有 意义的值,即 α ≠kπ + ,k∈Z. 2 已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个,这 是同角三角函数关系式的一个最基本功能,在求值时,根据已知的三角函数值,确定角的终边 的位置是关键和必要的,有时由于角的终边的位置不确定,因此解的情况不止一种,解题时产 生遗漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置 ;二是利用平方关系开方时,漏掉 了负的平方根. 三维目标 1.通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式 进行三角函数的化简与证明. 2.同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用:(1)求值(知一求二);(2)化简三角函 数式;(3)证明三角恒等式.通过本节的学习,学生应明了如何进行三角函数式的化简与三角 恒等式的证明. 3.通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯 ,提高三角恒等变形的能力, 树立转化与化归的思想方法. 重点难点 教学重点:课本的三个公式的推导及应用. 教学难点:课本的三个公式的推导及应用. 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时 导入新课 思路 1.先请学生回忆任意角的三角函数定义,然后引导学生先计算后观察以下各题的结果, 并鼓励学生大胆进行猜想,教师点拨学生能否用定义给予证明,由此展开新课.计算下列各式 的值:
sin 60 ? sin135? ;(4) . cos 60 ? cos135? 思路 2.(直接引入)同角三角函数的基本关系式是进行三角变换的重要基础之一 ,它们在化

?

(1)sin 90°+cos 90°;(2)sin 30°+cos 30°;(3)

2

2

2

2

1

简三角函数式和证明三角恒等式等问题中经常用到,那么怎样把初中学到的那两个关系推广 到任意角呢?可引导学生利用三角函数定义 ,借助单位圆将锐角推广到任意角 ,由此展开新 课. 推进新课 新知探究 提出问题 ①在以下两个等式中的角是否都可以是任意角?若不能,角 α 应受什么影响?

图1 如图 1,以正弦线 MP、余弦线 OM 和半径 OP 三者的长构成直角三角形,而且 OP=1. 2 2 由勾股定理有 OM +MP =1. 2 2 2 2 因此 x +y =1,即 sin α +cos α =1(等式 1). 显然,当 α 的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立. 根据三角函数的定义,当 α ≠kπ +

?

2 这就是说,同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1,商等于角 α 的正切,我们分别称 它们为平方关系和商数关系. ②对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求 出其他的三角函数的值. 活动:问题①先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系 ,然后教师点拨学生思考 这两个公式的用处.同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件,及使等式分别有意义的 角的取值范围. 问题②可让学生展开讨论,点拨学生从方程的角度进行探究,对思考正确的学生给予鼓 励,对没有思路的学生教师点拨其思考的方法,最后得出结论“知一求二”. 讨论结果:①在上述两个等式中,不是所有的角都可以是任意角,在第一个等式中,α 可以是

,k∈Z 时,有

sin ? =tanα (等式 2). cos ?

任意角,在第二个等式中 α ≠kπ +

?
2

,k∈Z.

②在上述两个等式中,只要知道其中任意一个,就可以求出其余的两个.知道正弦(余弦), 就可以先求出余弦(正弦),用等式 1;进而用等式 2 求出正切. 同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系,利用它可以使解 题更方便,但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义 ;同时必须注意同角这一前 提. 应用示例

4 ,并且 α 是第二象限的角,求 cosα ,tanα 的值. 5 活动:同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握,先让学生接触比较简单的应用问题,明确和 正确地应用同角三角函数关系.可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是 2 2 sin α +cos α =1,故 cosα 的值最容易求得,在求 cosα 时需要进行开平方运算,因此应根据 角 α 所在的象限确定 cosα 的符号,在此基础上教师指导学生独立地完成此题.
例 1 已知 sinα =
2

解:因为 sin α +cos α =1,所以 cos α =1-sin α =1-(

2

2

2

2

4 2 9 )= . 5 25

又因为 α 是第二象限角,所以 cosα <0.于是 cosα = ? 从而 tanα =

9 3 =- , 5 25

sin ? 4 5 4 ? ? (? ) ? ? . cos ? 5 3 3
4 中的负号来自 α 是第二象限角,这也是根据商数关 3

点评:本题是直接应用关系求解三角函数值的问题,属于比较简单和直接的问题,让学生体会 关系式的用法.应使学生清楚 tanα =系直接运算后的结果. 变式训练 (2006 上海,6)如果 cosα = 解析:∵cosα =

1 ? ,且 α 是第四象限角,那么 cos(α + )=__________________. 5 2

1 ,且 α 是第四象限的角, 5
2

∴sinα = ? 1 ? cos

? ? ? 1 ? ( ) 2 =2 6 . 5

1 5

2 6 . 5

∴cos(α + 答案:
2 6 5

?
2

)=-sinα =

8 ,求 sinα ,tanα 的值. 17 活动:教师先引导学生比较例 1、 例 2 题设条件的相异处,根据题设条件得出角的终边只能在 第二或第三象限. 启发学生思考仅有 cosα <0 是不能确定角 α 的终边所在的象限,它可能在 x 轴的负半 轴上(这时 cosα =-1). 解:因为 cosα <0,且 cosα ≠-1,所以 α 是第二或第三象限角.如果 α 是第二象限角,那么
例 2 已知 cosα =sinα =

1 ? cos2 ? = 1 ? (?

sin ? 15 17 15 8 2 15 ? ? (? ) ? ? , ) = ,tanα = 17 17 cos ? 17 8 8

5 4 ,tanα =- . 17 3 点评:在已知角的一个三角函数值但是不知道角所在的象限的时候 ,应先根据题目条件讨论 角的终边所在的象限,分类讨论所有的情况,得出所有的解. 变式训练 12 已知 cosα = ,求 sinα 和 tanα . 13
如果 α 是第三象限角,那么 sinα =-

12 >0,且 cosα ≠1,所以 α 是第一或第四象限的角. 13 当 α 是第一象限角时,sinα >0.
解:因为 cosα =

3

sinα = 1 ? cos

2

? ? 1? (

sin ? 5 13 5 12 2 5 ? ? ? . ) ? .tana= cos ? 13 12 12 13 13

当 α 是第四象限角时,sinα <0. sinα = ? 1 ? cos ? ? ?
2

5 sin ? 5 , tan ? ? ?? 13 cos ? 12

例 3 已知 tanα 为非零实数,用 tanα 表示 sinα 、cosα . 活动:这是本节课本上的例 3,目的是让学生考虑全面.教师引导学生思考讨论:角的终边在 什么位置;能否直接利用基本关系式求出 sinα 或 cosα 的值.由 tanα ≠0,只能确定 α 的 终边不在坐标轴上.关于 sinα 、cosα 、tanα 的关系式只有 tanα =

sin ? ,在这个式子中 cos ?

必须知道其中两个三角函数值,才能求出第三个,因此像这类问题的求解,不能一步到位,需 要公式的综合应用.其步骤是:先根据条件判断角的终边的位置,讨论出现的所有情况.然后 根据讨论的结果,利用基本关系式求解.分情况求出 cosα ,进而求出 sinα . 2 2 2 2 解:因为 sin α +cos α =1,所以 sin α =1-cos α . 又因为 tanα =

sin ? sin 2 ? 1 ? cos2 ? 1 , 所以 tan2 ? ? ? ? ?1 2 2 cos? cos ? cos ? cos2 ?

于是

1 1 ? 1 ? tan 2 ? , cos 2 ? ? 2 cos ? 1 ? tan 2 ?

由 tanα 为非零实数,可知角 α 的终边不在坐标轴上,从而

1 ? ,当?为第一、 第四象限角, ? ? 1 ? tan2 ? cosα = ? 1 ?? , 当?为第二、 第三象限角, ? ? 1 ? tan2 ?
? tan? , 当?为第一、 第四象限角, ? ? 1 ? tan2 ? sinα =cosα tanα = ? tan? ?? , 当?为第二、 第三象限角 . 2 ? ? 1 ? tan ?
点评:要求学生灵活运用三角函数公式进行变形、 化简、 求解.需要学生认真细致分析题目的 条件,灵活运用公式,需要较高的思维层次. 变式训练 已知 cosα ≠0,用 cosα 表示 sinα 、tanα . 解:本题仿照上题可以比较顺利完成. sinα = ?
2 ? , ? 1 ? cos ? ,当?为第一, 第二象限角 2 ? , ?? 1 ? cos ? ,当?为第三、 第四象限角

? 1 ? cos2 ? , 当?为第一、 第二象限角, ? ? cos? . tanα = ? ? 1 ? cos2 ? ? , 当?为第三、 第四象限角 ? cos? ?
4

知能训练 课本本节练习 1 1、2、3、4. 课堂小结 1.由学生总结本节课对同角三角函数关系式的推广及应用 .通过例题变式训练,我们知道可 用它来求三角函数值或已知 α 的三角函数值中的一个,表示它的其他三角函数值. 2.教师集中强调,同角三角函数关系式作为三角函数的基本关系 ,在高考中占有很重要的位 置,应熟练掌握.要注意在应用平方关系时,其结果不唯一,注意根据角所在的象限来取舍或 分类进行讨论.还必须注意“同角”这一前提,只有在这一前提下才能使用公式. 3. 注 意 公 式 的 变 形 式 的 应 用 , 如 sin α =1-cos α ,cos α =1-sin α ,sinα =cosα ·tanα ,cosα = 作业 课本习题 1—8
2 2 2 2

sin ? 等. tan ?

1-4.

设计感想 1.本教案设计思路很清晰,分为两步:第一步将初中的同角关系式推广到任意角,第二步是公 式的应用.使学生初步了解同角三角函数关系式的作用及用法. 2.本教案设计突出了同角关系式的地位,本节看似简单却作为全章的最后一节 ,其重要性不 言而喻,这点应引起学生的注意,不是会背公式,会用公式就说明掌握了本节内容. 3.本教案设计加强了解题步骤规范的要求,化简结果的简洁,分类讨论的取舍,象限角的判断 等都对学生的综合能力有较高的要求 ,特别是象限角的判定等逻辑思维能力,需要有较高思 维层次. 第 2 课时 导入新课 思路 1.(直接引入)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数间的必然联系. 基本用途是可根据一个角的某一个三角函数值 ,求出该角的其他三角函数值;化简同角的三 角函数式;证明同角的三角恒等式.本节课我们继续探究它的其他作用,由此展开新课. 思路 2.上节课我们知道应用同角三角函数的基本关系式需要注意角的象限,需要注意同角, 那么对于复杂的三角恒等式的证明,以及复杂的三角函数式的化简应怎么办呢 ?下面我们一 起先来探究三角恒等式的证明问题. 推进新课 应用示例

cos x 1 ? sin x . ? 1 ? sin x cos x 活动:先让学生讨论探究证明方法,教师引导思考方向.教材中介绍了两种证明方法:证法一 是从等式一边到另一边的证法,等式右边的非零因式 1+sinα ,在左边没有出现,可考虑左边 式子的分子、分母同乘以 1+sinx,再化简;在证法二中可以这样分析,要让算式成立 ,需证 2 2 2 2 2 cos x=(1+sinx)(1-sinx),即 cos x=1-sin x,也就是 sin x+cos x=1,由平方关系可知这个等 式成立,将上述分析过程逆推便可以证得原式成立.证明三角恒等式的过程,实际上是化异为 同的过程.这个过程往往从化简开始,因此在证明三角恒等式时,我们可以从最复杂处开始. 证法一:由 cosx≠0,知 sinx≠±1,所以 1+sinx≠0,于是 cos x(1 ? sin x) cos x(1 ? sin x) cos(1 ? sin x) 1 ? sin x ? ? ? 左边= =右边. (1 ? sin x)(1 ? sin x) cos x 1 ? sin 2 x cos 2 x
例 1 求证: 所以原式成立. 2 2 证法二:因为(1-sinx)(1+sinx)=1-sin x=cos x=cosxcosx,

5

cos x 1 ? sin x . ? 1 ? sin x cos x 教师启发学生进一步探究:除了证法一和证法二外你是否还有其他的证明方法 .教师和 学生一起讨论,由此可探究出证法三.依据“a-b=0 ? a=b”来证明恒等式是常用的证明方法, 由学生自己独立完成.
且 1-sinx≠0,cosx≠0,所以 证法三:因为
cos x 1 ? sin x cos x cos x ? (1 ? sin x)(1 ? sin x) cos 2 x ? (1 ? sin 2 x) ? ? ? 1 ? sin x cos x (1 ? sin x) cos x (1 ? sin x) cos x

=

cos 2 x ? cos 2 x cos x 1 ? sin x =0,所以 . ? (1 ? sin x) cos x 1 ? sin x cos x

点评:这是一道很有训练价值的经典例题,教师要充分利用好这个题目.从这个例题可以看出, 证明一个三角恒等式的方法有很多.要证明一个等式,可以从它的任何一边开始,证得它等于 另一边;还可以先证得另一个等式成立,从而推出需要证明的等式成立. 变式训练 1 ? 2 sin x ? cos x 1 ? tan x 求证: . ? cos 2 x ? sin2 x 1 ? tan x 分析一:从右端向左端变形,将切化为弦,以减少函数的种类.

sin x (cos x ? sin x) 2 1 ? 2 sin x ? cos x cos x ? cos x ? sin x ? 证明:右边= = =左边. sin x cos x ? sin x (cos x ? sin x)(cos x ? sin x) cos 2 x ? sin2 x 1? cos x 1?
分析二:由 1+2sinx·cosx 立即联想到(sinx+cosx) ,这是公式的逆用. 证明:左边=
(sin x ? cos x) 2 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin x ? cos x sin x ? cos x ? ? 2 2 (cos x ? sin x)(cos x ? sin x) cos x ? sin x cos x ? sin x
2

=

1 ? tan x =右边. 1 ? tan x

例 2 化简 1 ? sin2 440? . 活动:引导学生探究:原式结果为 cos440°时是不是最简形式,还应怎么办?教师引导学生运 用诱导公式一化简为 cos80°,由于 cos80? >0,因此 cos2 80? =|cos80°|=cos80°, 此题不难,让学生独立完成.
2 2 解:原式= 1 ? sin (360 ? ? 80 ?) ? 1 ? sin 80 ? = cos2 80? =cos80°.

点评:恰当利用平方关系和诱导公式化简三角函数式 .提醒学生注意化简后的简单的三角函 数式应尽量满足以下几点 :(1) 所含的三角函数种类最少 ;(2) 能求值 ( 指准确值 ) 的尽量求 值;(3)不含特殊角的三角函数值. 变式训练 化简: 1 ? 2 sin 40? cos 40? . 答案:cos40°-sin40°. 2 2 2 点评 :提醒学生注意:1±2sinα cosα =sin α +cos α ±2sinα cosα =(sinα ±cosα ) ,这是
6

一个很重要的结论. 3.化简:

sin? 1 ? sin2 ?

?

1 ? cos 2 ? . cos?

活动:在研究三角函数的性质时往往先将已知函数化简成一类最简形式,再作下一步讨论.化 简的原则是灵活运用公式,保持等价转化. 解:因为 cosθ ≠0, 所以,原式=
sin? cos ? ? sin? cos ?

? ?2 tan? , ? ?0, ? =? ?? 2 tan? , ? ? ?0, ?

当2k? ? ? ? 2k? ? 当2k? ?

?
2

,

?
2

? ? ? 2k? ? ? ,
(k∈Z).

3? 当2k? ? ? ? ? ? 2k? ? , 2 3? 当2k? ? ? ? ? 2k? ? 2? . 2

点评:三角函数式的化简结果应满足①函数种类尽可能地少;②次数尽可能地低;③尽可能地 不含分母;④尽可能地将根号中的因式移到根号外面来.总思路是:尽可能地化为同类函数再 化简. 知能训练 课本本节练习 2 1、2 课堂小结 由学生回顾本节所学的知识方法:①同角三角函数的基本关系式及成立的条件,②根据 一个任意角的正弦、 余弦、 正切中的一个值求出其余的两个值(可以简称“知一求二”)时要 注意这个角的终边所在的位置,从而出现一组或两组或四组(以两组的形式给出). “知一求二”的解题步骤一般为:先确定角的终边位置,再根据基本关系式求值,若已知 正弦或余弦,则先用平方关系,再用其他关系求值;若已知正切或余切,则构造方程组求值. 教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应注意的问题,并让 学生总结本节用到的思想方法. 作业 2 2 1.化简(1+tan α )cos α . 2.已知 tanα =2,求 答案:1.1 2.3

sin ? ? cos ? 的值. sin ? ? cos ?

设计感想 本教案注重了公式的正用、 逆用及变形用,加强了一题多解.对可化为完全平方的三角函 数式的“算术平方根”的化简题和证明题,可按下列情形分别处理:(1)如果这个三角函数式 的 值的符号可以确定,则可以根据算术平方根的定义直接得到结果; (2)如果这个三角函数式的值的符号不可以确定,则可根据题设条件,经过合理的分类讨 论得到结果.

7

本教案设计注重了学生思维能力的训练 .三角函数式的化简,体现了由繁到简的最基本 的数学解题原则,它不仅需要学生能熟悉和灵活运用所学的三角公式 ,还需要熟悉和灵活运 用这些公式的等价形式,同时,这类问题还具有较强的综合性,对其他非三角知识的灵活运用 也具有较高的要求,在教学时要注意进行相关知识的复习. 证明恒等式的过程实质上就是分析转化和消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时 常用的方法一般有以下三种:(1)依据相等关系的传递性,从等式一边开始,证明它等于另一 边,证明时一般遵循由繁到简的原则.(2)依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等 于同一个式子.(3)依据等价转化思想,证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成 立. 教材上在运用这一方法时使用的是综合法 ,初学恒等式的证明时,运用等价转化的方法 可以使证明的思路更清晰一些,实际上,使用综合法时不一定要求进行等价转化,只需证明等 式成立的充分条件即可(教师知道即可),证明方法中分别运用到了分式的基本性质和算式的 基本性质.使学生明白,如果算式中含有正弦、余弦、正切等三角函数,为了便于将算式两边 沟通,可通过“切化弦”使两边的三角函数相同. 备课资料 备用习题 1.已知 sinα = A.-

4 ? ,且 <α <π ,则 tanα 的值等于( 5 2
B.-

) C.

4 3

3 4

3 4

D.

3 4

2.若 sinθ -cosθ = 2 ,则 sinθ ·cosθ =_______,tanθ +
3 3 4 4

1 =______________, tan ?

sin θ -cos θ =_______________,sin θ +cos θ =_____________. 3.若 a≠0,且 sinx+siny=a,cosx+cosy=a,则 sinx+cosx=_______________. 4.已知 tanα = ? (1)

2 cos ? ? sin ? ; sin ? ? cos ?
2

1 ,求下列各式的值: 2

(2)2sin α +sinα ·cosα -3cos α . 2 2 2 2 5.已知 tan α =2tan β +1,求证:sin β +1=2sin α . 参考答案: 1.A 2.-

2

1 2

-2

2 2

1 2

3.a

1 2 ? (? ) 2 ? tan? 2 ?5. 4.解:(1)原式= ? 1 tan? ? 1 (? ) ? 1 2
(2)原式=

2 sin 2 ? ? sin ? ? cos? ? 3 cos2 ? 2 tan2 ? ? tan? ? 3 ? sin 2 ? ? cos2 ? tan2 ? ? 1

1 1 2(? ) 2 ? ? 3 12 2 2 ? ?? 1 5 (? ) 2 ? 1 2
8

5.证明:由已知有 1+tan α =2tan β +2=2(1+tan β ), ∴1+

2

2

2

sin 2 ? sin 2 ? ). ? 2 ( 1 ? cos2 ? cos2 ?
2 2 2 2 2 2

∴2cos α =cos β .∴2(1-sin α )=1-sin β .∴sin β +1=2sin α .

9



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