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06-12排列、组合、二项式定理高考题集锦


2012 年高考试题分项解析数学(理科) 专题 11 排列组合、二项式定理(教师版) 整理人:武彦宏
一、选择题: 1.(2012 年高考新课标全国卷理科 2)将 2 名教师, 4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、 乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案 共有( )

( A) 12 种
【答案】 A

( B ) 10 种

(C ) ? 种

(D) ? 种

1 2 【解析】甲地由 1 名教师和 2 名学生: C2C4 ? 12 种.

2. (2012 年高考北京卷理科 6)从 0,2 中选一个数字.从 1.3.5 中选两个数字,组成无重复数字 的三位数.其中奇数的 个数为( A. 24 B. 18 C. 12 ) D. 6

3.(2012 年高考浙江卷理科 6)若从 1,2,2,?,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数, 其和为偶数,则不同的取法 共有( A.60 种 B.63 种 ) C.65 种 D.66 种

4.(2012 年高考山东卷理科 11)现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张,从中任取 3 张,要求这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同取法的

种数为( (A)232

) (B)252 (C)472 (D)484
[来源:21 世纪教育网]

5. (2012 年高考辽宁卷理科 5)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不 同的坐法种数为( (A)3× 3! 【答案】C 【解析】此排列可分两步进行,先把三个家庭分别排列,每个家庭有 3! 种排法,三个家庭 共有 3!? 3!? 3! ? (3!)3 种排法;再把三个家庭进行全排列有 3! 种排法。因此不同的坐法种数 为 (3!) ,答案为 C 【考点定位】本题主要考查分步计数原理,以及分析问题、解决问 题的能力,属于中档题。 6.(2012 年高考天津卷理科 5)在 (2 x ?
2

) (B) 3× (3!)3 (C)(3!)4 (D) 9!
21 世纪教育网

4

1 5 ) 的二项展开式中, x 的系数为( x
(D)-40



(A)10

(B)-10

(C)40

7.(2012 年高考安徽卷理科 7) ( x ? 2)(
2

1 ? 1)5 的展开式的常数项是( x2



( A) ? 3
【答案】 D

( B ) ?2

(C ) ?

( D) ?

21 世纪教育网

【解析】第一个因式取 x ,第二个因式取
5

2

1 1 4 得 : 1? C5 (?1) ? 5 2 x
5

第一个因式取 2 ,第二个因式取 (?1) 得:2 ? (?1) ? ?2

展开式的常数项是 5 ? (?2) ? 3 .

8.(2012 年高考安徽卷理科 10)6 位同学在 毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同

学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品 ,已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换,则收到 4 份纪念品的同学人数为( )

( A) 1 或 3
【答案】 D
[来源:21 世纪教育网]

( B) 1 或 4

(C ) 2 或 3

( D) 2 或 4

2 【解析】 C6 ?13 ? 15 ?13 ? 2

①设仅有甲与乙,丙没交 换纪念品,则收到 4 份纪念品的同学人数为 2 人 ②设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则收到 4 份纪念品的同学人数为 4 人. 9. (2012 年高考湖北卷理科 5)设 a∈Z, 0≤a≤13, 512012+a 能被 13 整除, a=( 且 若 则 A.0 B.1 C.11 D.12 )

10. (2012 年高考陕西卷理科 8)两人进行乒乓球比赛,先赢 3 局者获胜,决出胜负为止, 则所有可能出现的情形(各人输赢局次的 不同视为不同情形)共有( (A) 10 种 (B)15 种 (C) 20 种 (D) 30 种
[来源:21 世纪教育网]



11.(2012 年高考四川卷理科 1) (1 ? x) 的展开式中 x 的系数是(
7
2



21 世纪教育网

A、 42 【答案】D

B、 35

C、 28

D、 21

k 2 【解析】二项式 (1 ? x) 7 展开式的通项公式为 Tk ?1 = C7 x k ,令 k=2,则 T3 ? C 7、 2 x

? x 2的系数为 7 ? 21. C2
【考点定位】高考二项展开式问题题型难度不大,要得到这部分分值,首先需要熟练掌握二 项展开 式的通项公式,其次需要强化考生的计算能力. 12. (2012 年高考四川卷理科 11)方程 ay ? b2 x2 ? c 中的 a, b, c ?{?3, ?2,0,1, 2,3} , a, b, c 且 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( A、60 条 B、62 条 C、71 条 D、80 条 )

13.(2012 年高考全国卷理 科 11)将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列, 要求每行的字母互不相同, 每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有( (A)12 种(B)18 种(C)24 种(D)36 种 )

14. (2012 年高考重庆卷理科 4) ? x ?

? ?

1 ? ? 的展开式中常数项为( 2 x?

8



A.

35 16

B.

35 8

C.

35 4

D.105

【答案】 B 【解析】 x , 二、填空题: 1. (2012 年高考广东卷理科 10) ( x ?
2

1 2 x

取得次数为 1:1(4 : 4) ,展开式中常数项为 C8 ? ( ) ?
4 4

1 2

35 . 8

1 6 ) 的展开式中 x3 的系数为______.(用数字作答) x

2. (2012 年高考福建卷理科 11) (a ? x) 4 的展开式中 x 的系数等于 8, 则实数 a ? _________.
3

【答案】2 【解析】 (a ? x) 中含 x 的一项为 Tr ?1 ? C4 a
4
3

r

4? r

3 x r ,令 r ? 3 ,则 C4 a 4?3 ? 8 ,即 a ? 2 .

【考点定位】本题考查的知识点为二项式定理的展开式,直接应用即可. 3.(2012 年高考上海卷理科 5)在 ( x ?

2 6 ) 的二项展开式中,常数项等于 x

.

4. (2012 年高考湖南卷理科 13) ( 2 x 作答) 【答案】-160

1 6 ) 的二项展开式中的常数项为 x

.(用数字

【解析】( 2 x -

1 6 1 r r 6? r r ) 的展开式项公式是 Tr ?1 ? C6 (2 x ) (? ) ? C6 26? r (? 1)r x3? r . x x

由题意知 3 ? r ? 0, r ? 3 ,所以二项展开式中的常数项为 T4 ? C3 23 (?1)3 ? ?160 . 6 【考点定位】 本题主要考察二项式定理, 写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规 办法. 5. (2012 年 高 考 陕 西 卷 理 科 12) (a ? x)5 展 开 式 中 x 的 系 数 为 10 , 则 实 数 a 的 值
2





6.(2012 年高考全国卷理科 15)若 ( x ? ) 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,
n

1 x

则该展开式中

1 的系数为 x2

.

2011 年高考试题数学(理科)排列组合、二项式定理
一、选择题: 1.(2011 年高考全国卷理科 7)某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有 (A)4 种 (B)10 种 (C)18 种 (D)20 种

(A)-40

(B)-20

(C)20

(D)40 的通项

解 析 1. 令 x=1 得 a=1. 故 原 式 =

1 1 1 1 ( x ? )(2 x ? )5 。 ( x ? )(2 x ? )5 x x x x

Tr?1 ? C5r (2 x)5?2r (? x ?1 )r ? C5r (?1)r 25?r x5?2r ,由 5-2r=1 得 r=2,对应的常数项=80,由
5-2r=-1 得 r=3,对应的常数项=-40,故所求的常数项为 40 ,选 D 解析 2.用组合提取法,把原式看做 6 个因式相乘, 若第 1 个括号提出 x,从余下的 5 个括

1 1 1 ;若第 1 个括号提出 ,从余下的括号中选 2 个提出 , x x x 1 3 1 1 2 3 2 2 3 ? C52 ( ? ) ? C3 (2 X )3 =-40+80=40 选 3 个提出 x.故常数项= X ? C5 (2 X ) ? C3 ( ? ) ? X X X
号中选 2 个提出 x,选 3 个提出

? x 2 ? 2 3.(2011 年高考天津卷理科 5)在 ? ? 2 ? x ? 的二项展开式中, x 的系数为( ? ? ? 15 15 3 3 A. ? B. C. ? D. 4 8 8 4
【答案】C
r 【解析】因为 Tr ?1 ? C6 ? (

6



x 6? r 2 6 ) ? (? ) ,所以容易得 C 正确. 2 x
x ?x 6

4.(2011 年高考陕西卷理科 4) (4 ? 2 ) ( x ? R) 的展开式中的常数项是 (A) ?20 (B) ?15 (C) 15 (D) 20

【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项,再进行整理化简,由 x 的指数为 0,确定常 数项是第几项,最后计算出常数项. 【答案】C 【解】 Tr ?1 ? C6 (4 )
r x 6?r r r (2? x )r ? C6 ? 22 x(6?r ) ? 2? xr ? C6 ? 212 x?3xr ,

4 令 12 x ? 3xr ? 0 ,则 r ? 4 ,所以 T5 ? C6 ? 15 ,故选 C.

5 6 5.(2011 年高考重庆卷理科 4) ?1 ? 3 x ? (其中 n ? N 且 a ? 6 )的展开式中 x 与 x 的系数
n

相等,则 n ? (A)6 (C) 8 答案:B
n

(B)7 (D)9
r

r 5 6 5 6 解析: ?1 ? 3 x ? 的通项为 Tr ?1 ? Cn ? 3 x ? ,故 x 与 x 的系数分别为 Cn 35 和 Cn 36 ,令他们

相等,得:

n! n! 35 ? 36 ,解得 n ? 7 5!? n ? 5?! 6!? n ? 6 ?!

12.在集合 ?1,2,3,4,5? 中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向量 ? ? (a, b) . 从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行 四边形的个数为 n ,其中面积不超过 4 的平行四边形的个数为 m ,则 ... (A)

m ? n

4 15

(B)

1 3

(C)

2 5

(D)

2 3

答案:D
2 解析:基本事件: 从(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3)选取2个,n ? C6 ? 3 ? 5 ? 15 .其

中面积为 2 的平行四边形的个数 (2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1) ;其中面积为 4 的平行四 边形的为 (2,3)(2,5);(2,1)(2,3) ; m=3+2=5 故
3

m 5 1 ? ? . n 15 3
2

7.(2011 年高考福建卷理科 6)(1+2x) 的展开式中,x 的系数等于 A.80 C.20 【答案】B 二、填空题: 1. (2011 年高考山东卷理科 14)若 ( x ? 为 【答案】4 【解析】因为 Tr ?1 ? C6 ? x
r 6? r

B.40 D.10

a x
2

)6 展开式的常数项为 60,则常数 a 的值

.

? (?

a x
2

2 )r ,所以 r=2, 常数项为 a ? C6 ? 60,解得 a ? 4 .

2. (2011 年高考浙江卷理科 13)(13)设二项式 ( x ?

a 6 ) (a ? 0) 的展开式中 x 3 的系数为 x

A,常数项为 B,若 B=4A,则 a 的值是 【答案】2
k


3

【解析】由题意得 Tk ?1 ? C x
k 6

6? k

6? k ? a ? k ?? ? ? ?? a ? C 6k x 2 , ? ? x? ?

2 4 ∴ A ? ?? a? C6 , B ? ?? a? C6 ,又∵ B ? 4 A , 2 4
2 4 2 ∴ ?? a ? C6 ? 4?? a? C6 ,解之得 a ? 4 ,又∵ a ? 0 ,∴ a ? 2 .

4

2

3. (2011 年 高 考 安 徽 卷 理 科 12) ( 12 ) 设 ( x ??)?? ? a? ? a?x ? a? x? ?L a??x?? , 则

a?? ? a?? ?

.

【命题意图】本题考查二项展开式的通项、组合数公式及运算能力,是容易题目.
r 【解析】由二项展开式的通项知 Tr ?1 = C21 x21?r (?1)r , 11 10 11 10 10 10 ∴ a10 ? a11 = C21 (?1)11 ? C21 (?1)10 = ?C21 ? C21 = ?C21 ? C21 =0.
7 x 4. (2011 年高考广东卷理科 10) x( x ? ) 的展开式中, 4 的系数是______ (用数字作答).

2 x

【答案】84 5. (2011 年高考湖北卷理科 11) ( x ? 果用数值表示) 答案:17
r 解析:由 Tr ?1 ? C18 ? x18? r ? (? 3 18 ? r 1 r )r ? (? )r ? C18 ? x 2 3 3 x

1 18 ) 的展开式中含 x15 的项的系数为 3 x

(结

1

3 令 18 ? r ? 15 ,解得 r=2,故其系 2

1 2 数为 (? )2 ? C18 ? 17. 3
6. (2011 年高考湖北卷理科 15)给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当 n≤4 时, 在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示:

n=1 n=2

n=3

n=4

由此推断,当 n=6 时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有 黑色正方形相邻的着色方案共有 【答案】 21,43 种.(结果用数值表示)

种,至少有两个

解析:设 n 个正方形时黑色正方形互不相邻的着色方案数为 an ,由图可知, ....

a1 ? 2 , a2 ? 3 ,

a3 ? 5 ? 2 ? 3 ? a1 ? a2 , a4 ? 8 ? 3 ? 5 ? a2 ? a3 ,
由此推断 a5 ? a3 ? a4 ? 5 ? 6 ? 13, a6 ? a4 ? a5 ? 8 ? 13 ? 21,故黑色正方形互不相邻 .... 着色方案共有 21 种;由于给 6 个正方形着黑色或白色,每一个小正方形有 2 种方法,所以 一共有 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 64 种方法,由于黑色正方形互不相邻着色方案共有 21 ....
6

种,所以至少有两个黑色正方形相邻 着色方案共有 64 ? 21 ? 43 种着色方案,故分别填 ..

21,43.
7.(2011 年高考全国卷理科 13) (1- x ) 的二项展开式中,x 的系数与 x 的系数之差为 . 【答案】0
r r 【解析】 Tr ?1 ? (?1)r c20 ( x )r ? (?1)r c20 x 2 ,令 r
20 9

r r ? 1得r ? 2, ? 9得r ? 18 2 2

2 2 18 2 所以 x 的系数为 (?1)2 c20 ? c20 , x9的系数为(-1) c18 ? c20 20 2 2 故 x 的系数与 x 的系数之差为 c20 - c20 =0
9

8.(2011 年高考北京卷理科 12)用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这 样的四位数共有__________个。(用数字作答) 【答案】14 三、解答题: 1.(2011 年高考江苏卷 23)(本小题满分 10 分) 设 整 数 n ? 4 , P (a, b) 是 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 的 点 , 其 中

a, b ?{1, 2,3, ?, n}, a ? b

(1)记 An 为满足 a ? b ? 3 的点 P 的个数,求 An ; (2)记 Bn 为满足 ( a ? b) 是整数的点 P 的个数,求 Bn 解析:考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力,较难题。 ( 1 ) 因 为 满 足 a ? b ? 3 a, b ?{1, 2,3, ?, n}, a ? b 的 每 一 组 解 构 成 一 个 点 P, 所 以

1 3

An ? n ? 3 。
(2)设 ( a ? b) ? k ? N ,则 a ? b ? 3k , 0 ? 3k ? n ? 1,? 0 ? k ?
*

1 3

n ?1 , 3

对每一个 k 对应的解数为:n-3k,构成以 3 为公差的等差数列;

1 ? n ? 3 n ? 1 (n ? 1)(n ? 2) ? 2 3 6 2 ? n ? 3 n ? 2 (n ? 2)(n ? 1) ? 当 n-1 被 3 除余 1 时,解数一共有: 2 ? 5 ? ? ? n ? 3 ? 2 3 6 3 ? n ? 3 n ? 3 (n ? 3)n ? 当 n-1 被 3 除余 2 时,解数一共有: 3 ? 6 ? ? ? n ? 3 ? 2 3 6
当 n-1 被 3 整除时,解数一共有: 1 ? 4 ? ? ? n ? 3 ?

? (n ? 1)(n ? 2) , n ? 3k ? 1orn ? 3k ? 2 ? ? 6 ? Bn ? ? (k ? N * ) (n ? 3)n ? , n ? 3k ? 3 ? 6 ?
排列与组合 第一部 2010 年高考题 一、选择题 1.(2010 年高考山东卷理科 8)某台小型晚会由 6 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在第 四位、节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 (A)36 种 【答案】B 【解析】 分两类: 第一类: 甲排在第一位, 共有 A 4 =24 种排法; 第二类: 甲排在第二位, 共有 A3 ? A3 =18
4 1 3

六年高考荟萃

(B)42 种

(C)48 种

(D)54 种

种排法,所以共有编排方案 24 ? 18 ?

42 种,故选 B。

【命题意图】本题考查排列组合的基础知识,考查分类与分步计数原理。 2.( 2010 年高考全国卷 I 理科 6)某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门, 若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种 2.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想. 【解析】 :可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 C3C4 种不同的选法;(2)A 类选修 课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有 C3 C4 种不同的选法.所以不同的选法共有 C3C4 + C3 C4
2 1 1 2 2 1 1 2

? 18 ? 12 ? 30

种. 3.(2010 年高考天津卷理科 10)如图,用四种不同颜色给图中的 A、B、C、D、E、F 六个点涂色,要求每 个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色。则不同的涂色方法共有 (A) 288 种 【答案】B 【解析】分三类:(1)B、D、E、F 用四种颜色,则有 A4 (2)B、D、E、F 用三种颜色,则有 (3)B、D、E、F 用二种颜色,则有 24+192+48=264 种。 【命题意图】本小题考查排列组合的基础知识,考查分类讨论的数学思想,有点难度。 4.(2010 年高考数学湖北卷理科 8)现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动, 每人从事翻译、 导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事 其他三项工作,丙、丁、戊都能胜四项工作,则不同安排方案的种数是 A. 152 【答案】B 【解析】分类讨论:若有 2 人从事司机工作,则方案有 C3 ? A3 ? 18 ;若有 1 人从事司机工作,则方案有
2 3 1 2 3 C3 ? C4 ? A3 ? 108 种,所以共有 18+108=126 种,故 B 正确.[来源:Zxxk.Com]

(B)264 种

(C) 24 0 种

(D)168 种

4

?1?1 ? 24 种方法;

3 3 A4 ? 2 ? 2 ? A4 ? 2 ?1? 2 ? 192 种方法; 2 A4 ? 2 ? 2 ? 48 ,所以共有不同的涂色方法

B.

126

C.

90

D.

54

5. (2010 年高考湖南卷理科 7)在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字也许重复)表示一个 信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同 的信息个数为 A.10 【答案】B 【解析】与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类: 第一类:与信息 0110 有两个对应位置上的数字相同有 C4= (个) 6
2

B.11

C.12

D.15

6.(2010 年高考四川卷理科 10)由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶 数的个数是 (A)72 (B)96 (C) 108 (D)144 w_w_w.k*s 5*u.c o*m 解析:先选一个偶数字排个位,有 3 种选法 w_w_w.k*s 5*u.c o*m ①若 5 在十位或十万位,则 1、3 有三个位置可排,3
2 A32 A2 =24 个

②若 5 排在百位、千位或万位,则 1、3 只有两个位置可排,共 3 算上个位偶数字的排法,共计 3(24+12)=108 个 答案:C

2 2 A2 A2 =12 个

7.(2010 年高考北京卷理科 4)8 名学生和 2 位第师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为 (A)
8 A8 A92

(B) A8 C9

8

2

(C)

8 2 A8 A7

(D) A8 C7

8

2

【答案】A 解析:基本的插空法解决的排列组合问题,将所有学生先排列,有 中,共有
8 A92 种排法,因此一共有 A8 A92 种排法。 8 A8 种排法,然后将两位老师插入 9 个空

8.(2010 年高考全国 2 卷理数 6)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每 个信封放 2 张,其中标号为 1, 2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (A)12 种 (B)18 种 (C)36 种 (D)54 种

9. (2010 年高考重庆市理科 9)某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天安排 1 人,每人值班 1 天,若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安排方案 共有 (A) 504 种 【答案】C 解析:分两类:甲乙排 1、2 号或 6、7 号 共有 2 ? A2
2 1 4 A4 A4 种方法

(B) 960 种

(C) 1008 种

(D) 1108 种

甲乙排中间,丙排 7 号或不排 7 号,共有 4 A2 ( A4 故共有 1008 种不同的排法

2

4

1 1 3 ? A3 A3 A3 ) 种方法

10.(2010 年高考重庆卷文科 10)某单位拟 安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日(端午节假期)值班, 每天安排 2 人,每人值班 1 天 . 若 6 位员工中的甲不值 14 日,乙不值 16 日,则不同的安排方法共有[来 源:Z。xx。k.Com] (A)30 种 (C)42 种 【答案】C 【解析】法一:所有排法减去甲值 14 日或乙值 16 日,再加上甲值 14 日且乙值 16 日的排法 即 C6 C4 法二:分两类
2 2 1 2 1 1 ? 2 ? C5C4 ? C4C3 =42

(B)36 种 (D)48 种

甲、乙同组,则只能排在 15 日,有 C4 =6 种排法 甲、乙不同组,有 C4C3 ( A2
1 1 2

2

?1) =36 种排法,故共有 42 种方法.

11.(2010 年高考湖北卷文科 6)现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座,名每同学可自由选择其中 的一个讲座,不同选法的种数是 A. 5
4

B.

65

C.

5? 6 ? 5? 4 ? 3? 2 2

D. 6 ? 5 ? 4 ? 3 ?

2

【答案】A

12.(2010 年高考全国卷Ⅱ文科 9)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中,若每 个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (A) 12 种 (B) 18 种 (C) 36 种 (D) 54 种

【解析】B:本题考查了排列组合的知识 ∵先从 3 个信封中选一个放 1,2 有 3 种不同的选法,再从剩下的 4 个数中选两个放一个信封有 余下放入最后一个信封,∴共有
2 3C4 ? 18 2 C4 ? 6 ,

13.(2010 年高考四川卷文科 9)由 1、2、3、4、5 组成没有重复数字且 1、2 都不与 5 相邻的五位数的个 数是 (A)36 (B)32 (C)28 (D)24
2 2 A2 =24 种

解析:如果 5 在两端,则 1、2 有三个位置可选,排法为 2× A3
2 2

如果 5 不在两端,则 1、2 只有两个位置可选,3× A2 A2 =12 种 共计 12+24=36 种 答案:Aw_w w. k#s5_u.c o*m 二、填空题: 1 . (2010 年高考浙江卷 17)有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺 活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复。若上午不 测 “握力” 项目, 下午不测 “台阶” 项目, 其余项目上下午都各测试一人, 则不同的安排方式共有 (用数字作答)。 【答案】264 2.(2010 年高考江西卷理科 14)将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世 博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有 【答案】1080 3.(2010 年高考江西卷文科 14)将 5 位志愿者分成 3 组,其中两组各 2 人,另一组 1 人,分赴世博会的三 个不同场馆服务,不同的分配方案有 种(用数字作答). 种(用数字作答). 种

4.( 2010 年高考全国Ⅰ卷文科 15)某学校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 种.(用数字作答) 5. A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想. 【解析 1】 :可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 C3C4 种不同的选法;(2)A 类选 修 课 选 2 门 ,B 类 选 修 课 选 1 门 , 有
1 2 2 1 C3C4 + C3 C4 ? 18 ? 12 ? 30 种. 3 3 3 C7 ? C3 ? C4 ? 30 1 C32C4 1 2

种不同的选法.所以不同的选法共有

【解析 2】:

2009 年高考题 一、选择题 1.( 2 0 0 9 广 东 卷 理 ) 2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派 四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人 均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 A. 36 种 B. 12 种 C. 18 种
1 1 3

D. 48 种

【解析】分两类:若小张或小赵入选,则有选法 C2 C2 A3
2 2 A2 A3 ? 12 ,共有选法 36 种,选 A.

? 24 ;若小张、小赵都入选,则有选法

2.(2009 北京卷文)用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 A.8 【答案】C B.24 C.48 D.120





.w【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查. 2 和 4 排在末位时,共有
1 A2 ? 2 种排法, 3 A4 ? 4 ? 3? 2 ? 24 种排法,

其余三位数从余下的四个数中任取三个有

于是由分步计数原理,符合题意的偶数共有 2 ? 24 ? 48 (个).故选 C. 3.(2009 北京卷理)用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( A.324 【答案】B B.328 C.360 D.648 )

【解析】 本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、 基本运算的 考查. 首先应考虑“0”是特殊元素,当 0 排在末位时,有 A9 当 0 不排在末位时,有
2

? 9 ? 8 ? 72 (个),

1 1 1 A4 ? A8 ? A8 ? 4 ? 8 ? 8 ? 256 (个),

于是由分类计数原理,得符合题意的偶数共有 72 ? 256 ? 328 (个).故选 B. 4.(2009 全国卷Ⅱ文)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法 有 (A)6 种 答案:C 解析:本题考查分类与分步原理及组合公式的运用,可先求出所有两人各选修 2 门的种数 C4
2

(B)12 种

(C)24 种

(D)30 种

2

C4

2

=36,

再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为 C 4 =6,故只恰好有 1 门相同的选法有 24 种 。 5.(2009 全国卷Ⅰ理)甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组 中各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( (A)150 种 (B)180 种 (C)300 种 (D)345 种
1 1 2

D )

解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有 C5 ? C3 ? C6 (2) 乙组中选出一名女生有 C5
2

? 225 种选法;

1 1 ? C6 ? C2 ? 120 种选法.故共有 345 种选法.选 D

6.(2009 湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两 名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为

A.18
【答案】C

B. 2 4

C .30

D.36
2 3

【解析】用间接法解答:四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 C4 ,顺序有 A3 种,而甲乙被分在同 一个班的有 A3 种,所以种数是 C4 A3 ? A3 ? 30
3 2 3 3

7.(2009 四川卷文)2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两 位女生相邻,则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 【答案】B 【解析】解法一、从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A,(A 共有 C3
2 2 A2 ? 6 种不同排法),剩下

一名女生记作 B,两名男生分别记作甲、乙;则男生甲必须在 A、B 之间(若甲在 A、B 两端。则为使 A、 B 不相邻,只有把男生乙排在 A、B 之间,此时就不能满足男生甲不在两端的要求)此时共有 6×2=12 种 排法(A 左 B 右和 A 右 B 左)最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,所以,共有 12×4=48 种不同排法。

解法二;同解法一,从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A,(A 共有 C3

2

2 A2 ? 6 种不同排法),剩

下一名女生记作 B,两名男生分别记作甲、乙;为使男生甲不在两端可分三类情况: 第一类:女生 A、B 在两端,男生甲、乙在中间,共有 6 A2
2 2 A2 =24 种排法; 2

第二类:“捆绑”A 和男生乙在两端,则中间女生 B 和男生甲只有一种排法,此时共有 6A2 =12 种排法 第三类:女生 B 和男生乙在两端,同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。 此时共有 6A2 =12 种排法 三类之和为 24+12+12=48 种。 8. (2009 全国卷Ⅱ理)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的 选法共有 A. 6 种 B. 12 种
2

2

C. 30 种

D. 36 种 故选 C

解:用间接法即可. C4

2 2 ? C4 ? C4 ? 30 种.

9.(2009 辽宁卷理)从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生 都有,则不同的组队方案共有 (A)70 种 (B) 80 种
1 2

(C) 100 种

(D)140 种

【解析】直接法:一男两女,有 C5 C4 =5× 6=30 种,两男一女,有 C52C41=10× 4=40 种,共计 70 种 间接法:任意选取 C93=84 种,其中都是男医生有 C53=10 种,都是女医生有 C41=4 种,于是符合条 件的有 84-10-4=70 种. 【答案】A 10.(2009 湖北卷文)从 5 名志愿者中选派 4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求 星期五有一人参加,星期六有两人参加,星期日有一人参加,则不同的选派方法共有 A.120 种 【答案】C 【解析】5 人中选 4 人则有 C5 种,周五一人有 C4 种,周六两人则有 C 3 ,周日则有 C1 种,故共有 C5 ×
1 2 C4 × C3 =60 种,故选 C 4 1 2 1 4

B.96 种

C.60 种

D.48 种

11.(2009 湖南卷文)某地政府召集 5 家企业的负责人开会,其中甲企业有 2 人到会,其余 4 家企业各有 1 人到会,会上有 3 人发言,则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为【 B 】 A.14 解:由间接法得 C6
3

B.16

C.20

D.48

2 1 ? C2 ? C4 ? 20 ? 4 ? 16 ,故选 B.

12.(2009 全国卷Ⅰ文)甲组有 5 名男同学、3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学,若从甲、乙两 组中各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 (A)150 种 (B)180 种 (C)300 种 (D)345 种

【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题,基础题。 解:由题共有 C 5 C 6 C 2
2 1 1 1 1 2 ? C5 C 3 C6 ? 345,故选择 D。

13.(2009 四川卷文)2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有 两位女生相邻,则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 【答案】B 【解析】解法一、从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A,(A 共有 C3
2 2 A2 ? 6 种不同排法),剩下

一名女生记作 B,两名男生分别记作甲、乙;则男生甲必须在 A、B 之间(若甲在 A、B 两端。则为使 A、 B 不相邻,只有把男生乙排在 A、B 之间,此时就不能满足男生甲不在两端的要求)此时共有 6×2=12 种 排法(A 左 B 右和 A 右 B 左)最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,所以,共有 12×4=48 种不同排法。 解法二;同解法一,从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A,(A 共有 C3
2 2 A2 ? 6 种不同排

法),剩下一名女生记作 B,两名男生分别记作甲、乙;为使男生甲不在两端可分三类情况: 第一类:女生 A、B 在两端,男生甲、乙在中间,共有 6 A2
2 2 A2 =24 种排法; 2

第二类:“捆绑”A 和男生乙在两端,则中间女生 B 和男生甲只有一种排法,此时共有 6A2 =12 种排法 第三类:女生 B 和男生乙在两端,同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。 此时共有 6A2 =12 种排法 三类之和为 24+12+12=48 种。 14.(2009 陕西卷文)从 1,2,3,4,5,6,7 这七个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字 的四位数,其中奇数的个数为 (A)432 答案:C. 解析:首先个位数字必须为奇数,从 1,3,5,7 四个中选择一个有 C4 种,再丛剩余 3 个奇数中选择一个, 从 2,4,6 三个偶数中选择两个,进行十位,百位,千位三个位置的全排。则共有 C4C3C3 A3 故选 C. 15.(2009 湖南卷理)从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没 有入选的不同选法的种数位 A 85 【答案】:C 【解析】解析由条件可分为两类:一类是甲乙两人只去一个的选法有: C2 ? C7
1 2 1 1 2 3 1

2

(B)288

(C) 216

(D)108 网

? 216个

[ C] C 49 D 28

B 56

? 42 ,另一类是甲乙都

去的选法有 C2 ? C7 =7,所以共有 42+7=49,即选 C 项。
2 1

16.(2009 四川卷理)3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有

两位女生相邻,则不同排法的种数是 A. 360 B. 188 C. 216 D. 96

【考点定位】本小题考查排列综合问题,基础题。 解析:6 位同学站成一排,3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有 生甲站两端的有
3 2 2 2 A3 C 3 A4 A2 ? 332种,其中男

1 2 2 2 2 A2 A2 C 3 A3 A2 ? 144,符合条件的排法故共有 188
2 2 2 1 1 2 2 2 2 ? (C3 ? A2 ) ? C2 ? C3 ? A2 ? (C3 ? A2 ) ? A4 ? 188 ,选 B。

解析 2:由题意有 2 A2

17.(2009 重庆卷文)12 个篮球队中有 3 个强队,将这 12 个队任意分成 3 个组(每组 4 个队),则 3 个强 队恰好被分在同一组的概率为( ) C.

1 A. 55
【答案】B

3 B. 55

1 4

D.

1 3

解析因为将 12 个组分成 4

4 4 C12 C8 C4 4 个组的分法有 3 A3

种,而 3 个强队恰好被分在同一组分法有

4 4 C3C1 C8 C4 3 9 A2 2

,故个强队恰好被分在同一组的概率为 C9 C9 C8 C4 A 2 C12 C8 C 4 A 3 =

3

1

4

4

2

4

4

4

3

3 。 55

二、填空题 18.(2009 宁夏海南卷理)7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排 3 人, 则不同的安排方案共有________________种(用数字作答)。 解析: C7 C4 答案:140 19.(2009 天津卷理)用数字 0,1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上 的数字之和为偶数的四位数共有 个(用数字作答) 【考点定位】本小题考查排列实际问题,基础题。 解析:个位、十位和百位上的数字为 3 个偶数的有: C 3 A3 C 4 的数字为 1 个偶数 2 个奇数的有: 3 A3 C 4 C
2 3 1 2 3 1 3 1 ? A3 C 3 ? 90种;个位、十位和百位上
3 3

? 140 ,

1 2 3 1 所以共有 90 ? 234 ? 324 个。 ? C 3 C 3 A3 C 3 ? 234种,

20.(2009 浙江卷理)甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的 人不区分站的位置,则不同的站法种数是 答案:336 【解析】 对于 7 个台阶上每一个只站一人, 则有 种,因此共有不同的站法种数是 336 种. 21. ( 2009 浙 江 卷 文 ) 有
3 1 2 若有一个台阶有 2 人, 另一个是 1 人, 则共有 C3 A7 A7 种;

(用数字作答).

20

张卡片,每张卡片上分别标有两个连续的自然数

k, k ?1 , 其 中

k ? 0,1, 2,?,19 .
从这 20 张卡片中任取一张,记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如:若取到

标有 9,10 的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为 9 ? 1 ? 0 则 P( A) ? .

? 10 )不小于 14 ”为 A ,

1 【命题意图】此题是一个排列组合问题,既考查了分析问题,解决问题的能力,更侧重于考查学生便举 4
问题解决实际困难的能力和水平 【解析】对于大于 14 的点数的情况通过列举可得有 5 种情况,即 7,8;8,9;16,17;17,18;18,19 ,而基 本事件有 20 种,因此 P( A) ?

1 4

22.(2009 年上海卷理)某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者,若用随机变量

? 表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望 E? ____________(结果用最简分数表示).
【答案】

4 7

10 【解析】 ? 可取 0,1,2,因此 P( ? =0)= ? , 2 C 7 21
P( ? =2)=
2 C2 1 ? , E? 2 C 7 21

C 52

P( ? =1)=

1 1 C5 C 2

C

2 7

?

10 , 21

=0×

10 10 1 4 ? 1? ? 2? = 21 21 21 7


23.(2009 重庆卷理)锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个,花生馅汤圆 5 个,豆沙馅汤圆 4 个,这三种汤圆的外部特 征完全相同。从中任意舀取 4 个汤圆,则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为(

8 A. 91
【答案】C

25 B. 91
4

48 C. 91

60 D. 91

【解析】因为总的滔法 C15 , 而所求事件的取法分为三类,即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个 数分别按 1.1.2;1,2,1;2,1,1 三类,故所求概率为
1 1 2 1 1 2 1 1 C6 ? C5 ? C4 ? C6 ? C52 ? C4 ? C6 ? C5 ? C4 48 ? 4 C15 91

24.(2009 重庆卷理)将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 种(用数字作答). 【答案】36 【解析】分两步完成:第一步将 4 名大学生按,2,1,1 分成三组,其分法有
2 1 1 C4 ? C2 ? C1 2 A2

;第二步将分好

的三组分配到 3 个乡镇,其分法有

3 A3 所以满足条件得分配的方案有

2 1 1 C4 ? C2 ? C1 3 ? A3 ? 36 2 A2

2005-2008 年高考题 一、 选择题

1.(2008 上海)组合数 C (n>r≥1,n、r∈Z)恒等于() A.

r n

r+1 r-1 C n+1 n-1

B.(n+1)(r+1)C

r-1 n-1

C.nr C

r-1 n-1

D. C

n r-1 r n-1

答案 D 2.(2008 全国一)如图,一环形花坛分成

A,B,C,D 四块,现有 4 种不同的
A B D C

花供选种,要求在每块里种 1 种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数 为( ) B.84 C.60 D.48

A.96 答案 B

3.(2008 全国)从 20 名男同学,10 名女同学中任选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名同学中既有男 同学又有女同学的概率为( A. 答案 D 4.(2008 安徽)12 名同学合影,站成前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前 排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是( A. C8 答案 C 5.(2008 湖北)将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接待工作,每个场馆至少分配一名志愿者 的方案种数为 A. 540 答案 D 6.(2008 福建)某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女生, 那么不同的选派方案种数为 A.14 答案 A 7.(2008 辽宁)一生产过程有 4 道工序,每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等 6 名工人中安排 4 人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1 人,第四道工序只能从甲、丙两工人中 安排 1 人,则不同的安排方案共有() A.24 种 B.36 种 C.48 种 D.72 种 B.24 C.28 D.48 B. 300 C. 180 D. 150
2

) C.

9 29

B.

10 29

19 29

D.

20 29

)
2 2 A6

A32

B. C8

2

6 A6

C. C8

D. C8

2

A52

答案 B 8.(2008 海南)甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一 天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有( A. 20 种 答案 A 9.(2007 全国Ⅰ文)甲、乙、丙 3 位同学选修课程,从 4 门课程中,甲选修 2 门,乙、丙各选修 3 门, 则不同的选修方案共有() A.36 种 答案 C 10.(2007 全国Ⅱ理)从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天, 要求星期五有 2 人参加,星期六、星期日各有 1 人参加,则不同的选派方法共有( A.40 种 答案 B B.60 种 C.100 种 D.120 种 ) B.48 种 C.96 种 D.192 种 B. 30 种 C. 40 种 ) D. 60 种

11.(2007 全国Ⅱ文)5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报 名方法共有() A.10 种 答案 D 12.(2007 北京理)记者要为 5 名志愿都和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排,2 位老人相邻但不 排在两端,不同的排法共有( A.1440 种 答案 B 13.(2007 北京文)某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成,其中 4 个数字互不相同的 牌照号码共有( A. ) B.
2 4 A26 A10 个

B.20 种

C.25 种

D.32 种

) C.720 种 D.480 种

B.960 种

?C ?

1 2 26

4 A10 个

C.

? C ? 10
1 2 26

4

个 D.

2 A26104 个

答案 A 14.(2007 四川理)用数字 0,1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字,并且比 20000 大的五位偶数共有 () (A)288 个 答案 B (B)240 个 (C)144 个 (D)126 个

15.(2007 四川文)用数字 1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字,并且比 20000 大的五位偶数共有( A.48 个 答案 B B.36 个 C.24 个 D.18 个



16.(2007 福建)某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从“ ???????0000 ” 到“ ???????9999 ”共 10000 个号码.公司规定:凡卡号的后四位带有数字“ 4 ”或“ 7 ”的一律 作为“优惠卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为( A. 2000 答案 C B. 4096 C. 5904 ) D. 8320

17. (2007广东)图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图.公司在年初分 配给A、 B、C、D四个维修点某种配件各50件.在使用前发现需将A、B、C、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,但调整只能在相邻维 修点之间进行.那么要完成上述调整,最少的调动件次( n 件配件从一个维 修点调整到相邻维修点的调动件次为 n )为( A.18 答案 C 18. (2007 辽宁文) 将数字 1, 3, 5, 拼成一列, 2, 4, 6 记第 i 个数为 ai (i ? 1 2, , , a1 ,? 6) 若 B.17 C.16 D.15 )

? 1,a3 ? 3 ,

a5 ? 5 , a1 ? a3 ? a5 ,则不同的排列方法种数为(
A.18 答案 B B.30 C.36 D.48



19.(2006 北京)在 1, 2,3, 4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有 (A)36 个 答案 B 解析 依题意,所选的三位数字有两种情况:(1)3 个数字都是奇数,有 A3 种方法(2)3 个数字中有
1 3 3 1 3 3

(B)24 个

(C)18 个

(D)6 个

一个是奇数,有 C3 A3 ,故共有 A3 + C3 A3 =24 种方法,故选 B 20.(2006 福建)从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至少有 1 名 女生,则选派方案共有 (A)108 种 (B)186 种 (C)216 种 (D)270 种
3 3 ? A4 =186 种,选 B.

解析 从全部方案中减去只选派男生的方案数,合理的选派方案共有 A7

21.(2006 湖南)某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过 2 个,则该外商不同的投资方案有 ( )

A.16 种 答案 D

B.36 种

C.42 种

D.60 种

解析:有两种情况,一是在两个城市分别投资 1 个项目、2 个项目,此时有 C3 ? A4
1

2

? 36 种方案,二是在

三个城市各投资 1 个项目,有 A4

3

? 24 种方案,共计有 60 种方案,选 D.

22.(2006 湖南)在数字 1,2,3 与符号+,-五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排 列个数是 A.6 答案 B 解析:先排列 1,2,3,有 A3 12 种方法,选 B. 23.(2006 全国 I)设集合 I
3 2 ? 6 种排法,再将“+”,“-”两个符号插入,有 A2 ? 2 种方法,共有

B. 12

C. 18

D. 24

? ?1,2,3,4,5? 。选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A

中最大的数,则不同的选择方法共有 A. 50种 答案 B 解析:若集合 A、B 中分别有一个元素,则选法种数有 C5 =10 种;若集合 A 中有一个元素,集合 B 中有两 个元素,则选法种数有 C5 =10 种;若集合 A 中有一个元素,集合 B 中有三个元素,则选法种数有 C5 =5 种;若集合 A 中有一个元素,集合 B 中有四个元素,则选法种数有 C5 =1 种;若集合 A 中有两个元素,集 合 B 中有一个元素,则选法种数有 C5 =10 种;若集合 A 中有两个元素,集合 B 中有两个个元素,则选法 种数有 C5 =5 种;若集合 A 中有两个元素,集合 B 中有三个元素,则选法种数有 C5 =1 种;若集合 A 中有 三个元素,集合 B 中有一个元素,则选法种数有 C5 =5 种;若集合 A 中有三个元素,集合 B 中有两个元素, 则选法种数有 C5 =1 种;若集合 A 中有四个元素,集合 B 中有一个元素,则选法种数有 C5 =1 种;总计有
5 5 4 4 5 3 5 3 4 2

B. 49种

C. 48种

D. 47种

49种 ,选 B.
24.(2006全国II)5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有 (A)150种 答案A 解析:人数分配上有 1,2,2 与 1,1,3 两种方式,若是 1,2,2,则有
3 1 1 C5 C2C1 3 ? A3 =60 种,若是 1,1,3, 2 A2

(B)180种

(C)200种

(D)280种

则有

1 2 2 C5C4 C2 3 ? A3 =90 种,所以共有 150 种,选 A 2 A2

25.(2006 山东)已知集合 A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直 角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为 (A)33 答案 A 解析 :不考虑限定条件确定的不同点的个数为 C2C3 A3 =36,但集合 B、C 中有相同元素 1,由 5,1,1 三个数确定的不同点的个数只有三个,故所求的个数为 36-3=33 个,选 A 26.(2006 天津)将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里,使得放入每个盒子里的 球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( A.10 种 答案 A 解析:将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不 小于该盒子的编号,分情况讨论:①1 号盒子中放 1 个球,其余 3 个放入 2 号盒子,有 C4 1 号盒子中放 2 个球,其余 2 个放入 2 号盒子,有 C4
2 1 1 1 3

(B) 34

(C) 35

(D)36

) D.52 种

B.20 种

C.36 种

? 4 种方法;②

? 6 种方法;则不同的放球方法有 10 种,选 A.

27.(2006 重庆)将 5 名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配 方案有 (A)30种 答案 B 解析:将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,则将 5 名教师分成三组, 一组 1 人,另两组都是 2 人,有
1 2 C5 ? C4 3 ? 15 种方法,再将 3 组分到 3 个班,共有 15 ? A3 ? 90 种不同 2 A2

(B)90种

(C)180种

(D)270种

的分配方案,选 B. 28.(2006 重庆)高三(一)班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺 序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是 (A)1800 答案 B 解:不同排法的种数为 二、填空题 29.(2008 陕西)某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段,传递活动分别由 6 名火炬手完成.如果第一棒火 炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案共有 种.(用数字作答). 答案 96 30.(2008 重庆)某人有 4 种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如题(16)图 所示的 6 个点 A、B、C、A1、B1、C1 上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色, 则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 答案 216 种(用数字作答).
5 2 A5 A6 =3600,故选 B

(B)3600

(C)4320

(D)5040

31.(2008 天津)有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的蓝色卡 片,从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行.如果取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10,则不同的排法共 有________________种(用数字作答). 答案 432 32.(2008 浙江)用 1,2,3,4,5,6 组成六位数(没有重复数字),要求任何相邻两个数字的奇偶性不 同,且 1 和 2 相邻,这样的六位数的个数是__________(用数字作答)。答案 40

33.(2007 全国Ⅰ理)从班委会 5 名成员中选出 3 名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其 中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有_____种。(用数字作答) 答案 36 34.(2007 重庆理)某校要求每位学生从 7 门课程中选修 4 门,其中甲乙两门课程不能都选,则不同的选 课方案有__________种。(以数字作答) 答案 25 35.(2007 重庆文)要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6 门课各一节的课程表,要 求数学课排在前 3 节,英语课不排在第 6 节,则不同的排法种数为 答案 288 36. (2007 陕西理) 安排 3 名支教老师去 6 所学校任教, 每校至多 2 人, 则不同的分配方案共有 (用数字作答) 答案 210 37.2007 陕西文) ( 安排 3 名支教教师去 4 所学校任教, 每校至多 2 人, 则不同的分配方案共有 (用数字作答) 答案 60 38.(2007 浙江文)某书店有 11 种杂志,2 元 1 本的 8 种,1 元 1 本的 3 种.小张用 10 元钱买杂志(每种至 多买一本,10 元钱刚好用完),则不同买法的种数是_________(用数字作答). 答案 266 _ 39.(2007 江苏)某校开设 9 门课程供学生选修,其中 校规定每位同学选修 4 门,共有 答案 75 40. (2007 辽宁理) 将数字 1, 3, 5, 拼成一列, 2, 4, 6 记第 i 个数为 ai (i ? 1 2, , , a1 ,? 6) 若 种. 种. 。(以数字作答)

A, B, C 三门由于上课时间相同,至多选一门,学

种不同选修方案。(用数值作答)

? 1,a3 ? 3 ,

a5 ? 5 , a1 ? a3 ? a5 ,则不同的排列方法有

种(用数字作答).

答案 30 41.(2007 宁夏理)某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一 个班,不同的安排方法共有 答案 240 42.(2006 湖北)某工程队有 6 项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙 必须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这 6 项工程的不同排法 种数是 答案 20 解析:依题意,只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的 5 个空中,可得有 A5 =20 种 不同排法。 43. (2006 湖北)安排 5 名歌手的演出顺序时,要求某名歌手不第一个出场,另一名歌手不最后一个出场, 不同排法的总数是 答案 78 解:分两种情况:(1)不最后一个出场的歌手第一个出场,有 第一个出场,有
1 1 3 A3 A3 A3 种排法,故共有 78 种不同排法 4 A4 种排法(2)不最后一个出场的歌手不 2

种.(用数字作答)

。(用数字作答)

.(用数字作答)

44.(2006 江苏)今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球,同色球不加以区分,将这 9 个球排成一列有 不同的方法(用数字作答)。 【思路点拨】本题考查排列组合的基本知识. 【正确解答】由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有 C9 ? 5 ? 3 C C
4 2 3



? 1260

45.(2006 辽宁)5 名乒乓球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员.现从中选出 3 名队员排成 1、2、3 号参 加团体比赛,则入选的 3 名队员中至少有一名老队员,且 1、 号中至少有 1 名新队员的排法有_______种.(以 2 数作答) 【解析】两老一新时, 有 C3 ? C2 A2
1 1 2

? 12 种排法;

两新一老时, 有 C2C3 ? A3
1 2

3

? 36 种排法,即共有 48 种排法.

46.(2006 全国 I)安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不 能安排在 5 月 1 日和 2 日,不同的安排方法共有__________种。(用数字作答)解析:先安排甲、乙两人 在后 5 天值班,有 安排方法。 47.(2006 陕西)某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙不同去, 甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种 解析:某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙不同去,甲和丙

A52 =20 种排法,其余 5 人再进行排列,有 A55 =120 种排法,所以共有 20×120=2400 种

只能同去或同不去,可以分情况讨论,① 甲、丙同去,则乙不去,有 C5 不去,乙去,有 C5 派方案.
3

2

4 ? A4 =240

种选法;②甲、丙同

4 ? A4 =240 种选法;③甲、乙、丙都不去,有 A54 ? 120 种选法,共有 600 种不同的选

48. (2006 陕西)某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人), 其中甲和乙不同去, 则不同的选派方案共有 种 .
3 4 3 4 ? A4 =480 种选法;②甲不去,乙去,有 C6 ? A4 =480

解析:可以分情况讨论,① 甲去,则乙不去,有 C6 种选法;③甲、乙都不去,有

A64 =360 种选法;共有 1320 种不同的选派方案


49. (2006 天津) 用数字 0, 2, 4 组成没有重复数字的五位数, 1, 3, 则其中数字 1, 相邻的偶数有 2 (用数字作答).

解析:可以分情况讨论:① 若末位数字为 0,则 1,2,为一组,且可以交换位置,3,4,各为 1 个数字, 共可以组成 2 ? A3
3

? 12 个五位数;②
2

若末位数字为 2,则 1 与它相邻,其余 3 个数字排列,且 0 不是首 若末位数字为 4,则 1,2,为一组,且可以交换位置,3,0,各
2

位数字,则有 2 ? A2

? 4 个五位数;③

为 1 个数字,且 0 不是首位数字,则有 2 ? (2 ? A2 ) =8 个五位数,所以全部合理的五位数共有 24 个。 50.(2006 上海春)电视台连续播放 6 个广告,其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告,要求 首尾必须播放公益广告,则共有 =48. 从而应填 48. 第二部分 一、 选择题 1.(山东省济宁市 2010 年 3 月高三一模试题理科)从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名志愿者,其中至少 有 1 名女生的选法共有 ( A.36 种 A ) C.42 种 D.60 种 B.30 种 四年联考题汇编 2010 年联考题 种不同的播放方式(结果用数值表示).
2 4 2 4

解:分二步:首尾必须播放公益广告的有 A2 种;中间 4 个为不同的商业广告有 A4 种,从而应当填 A2 ·A4

2.(山东省聊城市 2010 年 高 考 模 拟数学试题理)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学,分别 参加三个不同 科目的竞赛,其中甲同学必须参赛,不同的参赛方案共有 ( B ) B.18 种 C.21 种 D.9 种 A.24 种

3.(山东省日照市 2010 年 3 月高三一模理科)某校园有一椭圆型花坛,分成如图四块种花,现有 4 种不 同颜色的花可供选择,要求每块地只能种一种颜色,且有公共边界的两块不能种同一种 颜色,则不同的种植方法共有( (A)48 种 A ) (C)30 种 (D)24 种 (B)36 种

4.(湖北省荆州市 2010 年 3 月高中毕业班质量检查Ⅱ理科)将 5 名大学生分配到 3 个 乡镇去任职,每个乡镇至少一名,不同的分配方案有( B )种

A. 240

B. 150

C. 60

D. 180

5.(湖北省八校 2010 届 高 三 第 二 次 联 考理科)甲、乙、丙、丁、戌 5 人站成一排,要求甲、乙

均不与丙相邻,则不同的排法种数为( A.72 种 B.54 种 C )

C ) C.36 种 D.24 种

6.(湖北省八校 2010 届 高 三 第 二 次 联 考文科)甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与 丙相邻,则不同的排法种数为( A.72 种 B.52 种 C.36 种 D.24 种

7.(湖北省襄樊市 2010 年 3 月高三调研统一测试文理科)某班要从 6 名同学中选出 4 人参加校运动会的 4×100m 接力比赛,其中甲、乙两名运动员必须入选,而且甲、乙两人中必须有一个人跑最后一棒, 则不同的安排方法共有( A.24 种 B ) B.72 种 C.144 种 D.360 种 B )

8.(北京市丰台区 2010 年 4 月高三年级第二学期统一考试理科)从 0,2,4 中取一个数字,从 1,3,5 中取两个数字,组成无重复数字的三位数,则所有不同的三位数的个数是(

A.36 B.48 C.52 D.54 9.(北京市崇文区 2010 年 4 月高三年级第二学期统一练习理科)2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一 排.若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数为 (A)36 (B)4 2 (C) 48 (D) 60

10. (2010 年 4 月北京市西城区高三抽样测试理科)某会议室第一排共有 8 个座位,现有 3 人就座,若要 求每人左右均有空位,那么不同的坐法种数为( A. 12 二、填空题: 11. (湖北省黄冈市 2010 年 3 月份高三年级质量检测理科)将 A、B、C、D、E 五种不同的文件放入一排 编号依次为 1、2、3、4、5、6 的六个抽屉内,每个抽屉至多放一种文件.若文件 A、B 必须放入相邻的抽屉 内,文件 C、D 也必须放相邻的抽屉内,则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有 种.96 12.(湖北省赤壁一中 2010 届高三年级 3 月质量检测理科 A 试题)某车队有 7 辆车,现在要调出 4 辆,再按 一定顺序出去执行任务.要求甲、乙两车必须参加,而且甲车在乙车前开出,那么不同的调度方案有 种.120 13.(湖北省八校 2010 届 高 三 第 二 次 联 考理科)有一种数学推理游戏,游戏规则如下:①在 9×9 的九宫格子中, 分成 9 个 3×3 的小九格,用 1 到 9 这 9 个数填满整个格子; ②每一行与每一列都有 1 到 9 的数字,每个小九宫格里也有 1 到 9 的数字,并且一个数字在每 行每列及每个小九宫格里只 能出现一次,既不能重复也不能少,那么 A 处应填入的数字 为 1 ;B 处应填入的数字为 1 。 B. 16 C ) C. 24 D. 32

14. (湖北省武汉市 2010 年高三二月调研测试文理科)从 4 个班级的学生中选出 7 名学生代表,若每一个 班级中至少有一名代表,则选法种数为 一、 选择题 1、(山东省乐陵一中 2009 届高三考前回扣)用 4 种不同的颜色为正方体的六个面着色,要求相邻两个面颜 色不相同,则不同的着色方法有 A.24 B.48 种。 C.72 2. D ( D.96 D ) 20 2009 年联考题 。

2. (2009 届高考数学二轮冲刺专题测试)某单位要邀请 10 位教师中的 6 人参加一个研讨会,其中甲、乙两 位教师不能同时参加,则邀请的不同方法有

A.84 种

B.98 种

C.112 种

D.140 种

3. (2009 届高考数学二轮冲刺专题测试)用 4 种不同的颜色为正方体的六个面着色,要求相邻两个面颜色 不相同,则不同的着色方法有 A.24 B.48 种。(D) C.72 D.96

4.( 2009 届高考数学二轮冲刺专题测试)某小组有 4 人,负责从周一至周五的班级值日,每天只安排一人, 每人至少一天,则安排方法共有 C A.480 种 B.300 种 C.240 种 D.120

5.( 2009 届高考数学二轮冲刺专题测试)9 人排成 3×3 方阵(3 行,3 列),从中选出 3 人分别担任队长.副 队长.纪律监督员,要求这 3 人至少有两人位于同行或同列,则不同的任取方法数为 9. C A. 78 B. 234 C.468 D.504

6. (2009 届高考数学二轮冲刺专题测试)4 名不同科目的实习教师被分配到三个班级,每班至少一人的不同 分法有 10. C A.144 种 B .72 种 C. 36 种 D. 24 种 7.( 2009 届高考数学二轮冲刺专题测试)从 5 男 4 女中选 4 位代表,其中至少有 2 位男生,且至少有 1 位女生,分别到四个不同的工厂调查,不同的分派方法有 12. D A.100 种 B.400 种 C.480 种 D.2400 种

8. (2009 届高考数学二轮冲刺专题测试)在如图所示的 10 块地上选出 6 块种 植 A1、A2、?、A6 等六个不同品种的蔬菜,每块种植一种不同品种蔬菜,若 A1、

A2、A3 必须横向相邻种在一起,A4、A5 横向、纵向都不能相邻种在一起,则不
同的种植方案有 13. C A.3120 B.3360 C.5160 D.5520

9.( 2009 届高考数学二轮冲刺专题测试)某电影院第一排共有 9 个座位,现有 3 名观众前来就座,若他们 每两人都不能相邻且要求每人左右至多只有两个空位,那么不同的做法种数共有 A.18 种 二、填空题 10. (2009 届高考数学二轮冲刺专题测试)某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学校的自主招生考 试,由于其中两所学校的考试时间相同,因此,该学生不能同时报考这两所学校.则该学生不同的报名方 法种数是 16 .(用数字作答) B.36 种 C.42 种 D.56 种 14. B

11.( 2009 届高考数学二轮冲刺专题测试)用红、黄、蓝三种颜色之一去涂

1
图中标号为 1,2,?,9 的 9 个小正方形(如图),使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜 色都不相同,且“3、5、7”号数字涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法 共有 _____108 种

2 5 8

3 6 9

4 7

12.( 2009届高考数学二轮冲刺专题测试)将7 个不同的小球全部放入编号

第 19 题

为2 和3 的两个小盒子里,使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号,则不同的放球方法共有 _____91_______ 种. (用数字作答) 13. (2009 届高考数学二轮冲刺专题测试)从 5 名外语系大学生中选派 4 名同学参加广州亚运会翻译、 交通、 礼仪三项义工活动,要求翻译有 2 人参加,交通和礼仪各有 1 人参加,则不同的选派方法共有 (用数字作答) 2007-2008 年模拟题汇编 1、(江苏省启东中学高三综合测试二)在平面直角坐标系中,x轴正半轴上有5个点, y轴正半轴有3个点,将x 轴上这5个点和y轴上这3个点连成15条线段,这15条线段在第一象限内的交点最多有? A.30 个 答案:A 2、(江苏省启东中学高三综合测试三)有七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、 丙两倍同学要站在一起,则不同的站法有 A.240 种 答案:B 3、(安徽省皖南八校 2008 届高三第一次联考)将A、B、C、D四个球放入编号为1,2,3,4的三个 盒子中,每个盒子中至少放一个球且A、B两个球不能放在同一盒子中,则不同的放法有 A.15; 答案:C 4、 (江西省五校 2008 届高三开学联考)如图所示是 2008 年北京奥运会的会徽, 其中的“中国印” 主体由四个 互不连通的色块构成,可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥), 如果用三条线段将这四个色块连接起来,不同的连接方法共有 A.8 种 答案:C 5、(四川省巴蜀联盟 2008 届高三年级第二次联考)将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至 少 1 名,最多 2 名,则不同的分配方案有 A.30 种 答案:A 6、(四川省成都市新都一中高 2008 级一诊适应性测试)某单位要邀请 10 位教师中的 6 人参加一个研讨会, 其中甲、乙两位教师不能同时参加,则邀请的不同方法有( A.84 种 答案:D 7、(四川省成都市新都一中高 2008 级 12 月月考)在由数字 1,2,3,4,5 组成的所有没有重复数字的 5 位 数中,大于 23145 且小于 43521 的数共有( A、56 个 B、57 个 ) C、58 个 D、60 个 B.98 种 ) D.140 种 C.112 种 B.90 种 C.180 种 D.270 种 B.12 种 C.16 种 D.20 种 B.18; C.30; ( ) B.192 种 C.96 种 D.48 种 B.35 个 C.20 个 D.15 个 60

D.36;

本题主要考查简单的排列及其变形. 解析:万位为 3 的共计 A44=24 个均满足;

万位为 2,千位为 3,4,5 的除去 23145 外都满足,共 3× A33-1=17 个; 万位为 4,千位为 1,2,3 的除去 43521 外都满足,共 3× A33-1=17 个; 以上共计 24+17+17=58 个 答案:C 8、(安徽省巢湖市 2008 届高三第二次教学质量检测)用 0,1,2,3,4 这五个数字组成无重复数字的五位 数,其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间,这样的五位数的个数有( A.48 个 答案:D 9、(北京市崇文区 2008 年高三统一练习一)某班学生参加植树节活动,苗圃中有甲、乙、丙 3 种不同的树 苗,从中取出 5 棵分别种植在排成一排的 5 个树坑内,同种树苗不能相邻,且第一个树坑和第 5 个树 坑只能种甲种树苗的种法共有( A.15 种 答案:D 10、(北京市东城区 2008 年高三综合练习一)某高校外语系有 8 名奥运会志愿者,其中有 5 名男生,3 名女 生,现从中选 3 人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作,若要求这 3 人中既有男生,又有女生, 则不同的选法共有( A.45 种 答案:A 11、(北京市东城区 2008 年高三综合练习二)某电视台连续播放 5 个不同的广告,其中有 3 个不同的商业广 告和 2 个不同的奥运宣传广告,要求最后播放的必须是奥运宣传广告,且两个奥运宣传广告不能连续 播放,则不同的播放方式有 ( 答案:C 12、(北京市海淀区 2008 年高三统一练习一)2007 年 12 月中旬,我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾, 电煤库存吃紧.为了支援南方地区抗灾救灾,国家统一部署,加紧从北方采煤区调运电煤.某铁路货运 站对 6 列电煤货运列车进行编组调度,决定将这 6 列列车编成两组,每组 3 列,且甲与乙两列列车不 在同一小组.如果甲所在小组 3 列列车先开出,那么这 6 列列车先后不同的发车顺序共有() (A)36 种(B)108 种(C)216 种(D)432 种 答案:C 13、(北京市西城区 2008 年 5 月高三抽样测试)从 5 名奥运志愿者中选出 3 名,分别从事翻译、导游、保洁 三项不同的工作,每人承担一项,其中甲不能从事翻译工作,则不同的选派方案共有 A.24 种 答案:C 14、(北京市宣武区 2008 年高三综合练习一)编号为 1、2、3、4、5 的五个人分别去坐编号为 1、2、3、4、 5 的五个座位,其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是( A 10 种 答案:B 15、(北京市宣武区 2008 年高三综合练习二)从 1 到 10 这是个数中,任意选取 4 个数,其中第二大的数是 7 的情况共有 ( ) B 30 种 C 45 种 D 84 种 A 18 种 答案:C B 20 种 C 30 种 D 60 种 ) B.36 种 C.48 种 D.60 种 ( ) ) B.48 种 C.36 种 D.18 种 A.120 种 ) B.56 种 C.90 种 D.120 种 B.12 种 ) C.9 种 D.6 种 B.12 个 C.36 个 D.28 个 )

16、(东北三校 2008 年高三第一次联考)在一条南北方向的步行街同侧有 8 块广告牌,牌的底色可选用红、 蓝两种颜色,若只要求相邻两块牌的底色不都为红色,则不同的配色方案共有 ( A.55 ) B.56 C.46 D.45

答案:A 17、(福建省南靖一中 2008 年第四次月考)5 名奥运火炬手分别到香港,澳门、台湾进行奥运知识宣传,每 个地方至少去一名火炬手,则不同的分派方法共有( A. 150 种 答案:A 18、(福建省莆田一中 2007~2008 学年上学期期末考试卷)为迎接 2008 年北京奥运会,某校举行奥运知识 竞赛,有 6 支代表队参赛,每队 2 名同学,12 名参赛同学中有 4 人获奖,且这 4 人来自 3 人不同的代 表队,则不同获奖情况种数共有( A. C
4 12



B. 180 种

C. 200 种

D. 280 种


1 2

B. C

3 6

1 1 C C C2C3

1 2

C. C6 C3 C2 C2

3

1

1

1

D. C6 C1 C2 C2 C3 A2

3

1

1

1

1

2

答案:C 19、(福建省泉州一中高 2008 届第一次模拟检测)2008 年春节前我国南方经历了 50 年一遇的罕见大雪灾, 受灾人数数以万计,全国各地都投入到救灾工作中来,现有一批救灾物资要运往如右图所示的灾区,但只 有 4 种型号的汽车可以进入灾区,现要求相邻的地区不要安排同一型号的车进入,则不同的安排方法有 ( ) B. 120 种 C. 72 种 D. 56 种 A.112 种 答案:C 20、(福建省仙游一中 2008 届高三第二次高考模拟测试)有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现 安排 2 人就座,规定前排中间的 3 个座位不能坐,并且这 2 人不左右相邻,那么不同的坐法种数是( A.234 B.346 C.350 D.363 )

答案:B 21、(甘肃省河西五市 2008 年高三第一次联考)某次文艺汇演,要将 A、B、C、D、E、F 这六个不同节目编 排成节目单,如下表: 序号 节目 如果 A、B 两个节目要相邻,且都不排在第 3 号位置,那么节目单上不同的排序方式有 ( A
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1

2

3

4

5

6 )

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B

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C

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72 种

答案:B 22、(广东省汕头市潮阳一中 2008 年高三模拟)如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一 个“平行线面组”,在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行 线 面组”的个数是( A.60 答案:B 23、(广东省汕头市澄海区 2008 年第一学期期末考试)△ABC 内有任意三点不共线的 2005 个点,加上 ) B.48 C.36 D.24

A, B, C 三个顶点,共 2008 个点,把这 2008 个点连线形成互不重叠(即任意两个三角形之间互不覆盖)
的小三角形,则一共可以形成小三角形的个数为( A.4008 答案:D B.4009 C.4010 提示:每增加一个点,三角形增加两个. ) D.4011

24、(广东省四校联合体第一次联考)现有甲、已、丙三个盒子,其中每个盒子中都装有标号分别为 1、2、3、 4、5、6 的六张卡片,现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列 的取法数为 A.14 答案:C 25、(贵州省贵阳六中、遵义四中 2008 年高三联考)五个工程队承建某项工程的 5 个不同的子项目,每个工 程队承建 1 项,其中甲工程队不能承建 1 号子项目,则不同的承建方案共有 A. C4C4 种 答案:B 26、(安徽省合肥市 2008 年高三年级第一次质检)有两排座位,前排 4 个座位,后排 5 个座位,现安排 2 人 就坐,并且这 2 人不相邻(一前一后也视为不相邻),那么不同坐法的种数是 A.18 答案:D 27、(河北省正定中学 2008 年高三第五次月考)甲、乙、丙、丁四个公司承包 8 项工程,甲公司承包 3 项, 乙公司承包 1 项,丙、丁两公司各承包 2 项,共有承包方式 A.3360 种 答案:C 28、(河南省开封市 2008 届高三年级第一次质量检)两位到北京旅游的外国游客要与 2008 奥运会的吉祥物 福娃(5 个)合影留念,要求排成一排,两位游客相邻且不排在两端,则不同的排法共有 ( 答案:B 29、(河南省濮阳市 2008 年高三摸底考试)设有甲、乙、丙三项任务,甲需要 2 人承担,乙、丙各需要 1 人 承担,现在从 10 人中选派 4 人承担这项任务,不同的选派方法共有( A.1260 种 答案:C 30、(河南省许昌市 2008 年上期末质量评估)5 个大小都不同的实数,按如图形式排列,设第一行中的最大 数为 a,第二行中的最大数为 b,则满足 a<b 的所有排列的个数为 A.144 答案:B 31、(湖北省八校高 2008 第二次联考)某电视台连续播放 6 个广告,其中有三个不同的商业广告,两个不同 的奥运宣传广告,一个公益广告. 要求最后播放的不能是商业广告,且奥运宣传广告与公益广告不能连 续播放,两个奥运宣传广告也不能连续播放,则不同的播放方式有( A.48 种 答案:C 32、若 x∈ 则 A B.98 种 C.108 种 ) D.120 种 B.72 C.36 D.24 B.2025 种 C.2520 种 ) D.5040 种 ) B.960 C.720 D.480 B.2240 种 C.1680 种 ( ) B.26 C.29 D.58
1 4



) B.16 C.18 D.20

B. C4 A4 种

1

4

C. C4 种

4

D. A4 种

4

D.1120 种

A.1440

1 1 1 ∈ A,就称 A 是伙伴关系集合,集合 M={-1,0, , x 3 2
) D.25 B.16 C.2
8

,1,2,3,4}的所有非空子

集中,具有伙伴关系的集合的个数为( A.15

答案:A 具有伙伴关系的元素组有-1,1,
1

1 2
2

、2,
3

1 、3 共四组,它们中任一组、二组、三组、四组均 3
4

可组成非空伙伴关系集合,个数为 C 4 + C 4 + C 4 + C 4 =15,

选 A.

33、 (湖北省黄冈市 2007 年秋季高三年级期末考试)在 ?AOB 的边 OA 上有 A 、A2 、A3 、A4 四点,OB 1 边上有 B1 、 B2 、 B3 、 B4 共 9 个点,连结线段 (1 ? i 之为一对“和睦线”,则共有: A 答案:A 34、 (江西省鹰潭市 2008 届高三第一次模拟)如图所示的是 2008 年北京奥运会的会徽, 其中的“中国印”的外 边是由四个色块构成,可以用线段在不穿越另两个色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥), 如果用三条线段将这四个色块连接起来,不同的连接方法共有 ( A. 8 种 答案:C 35、(湖南省长沙市一中 2008 届高三第六次月考)将 4 个相同的白球和 5 个相同的黑球全部放入 3 个不同的 .. 盒子中,每个盒子既要有白球,又要有黑球,且每个盒子中都不能同时只放入 2 个白球和 2 个黑球,则所 ..... 有不同的放法种数为 A.3 答案:C 36、 (黄家中学高 08 级十二月月考)某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的 项目不超过 2 个,则该外商不同的投资方案有 A.16 种 B.36 种 C.42 种 D.60 种 B.6 C.12 D.18 B. 12 种 C. 16 种 ) D. 20 种 60 B 80 C 120 D 160

? 4,1 ? j ? 5) ,如果其中两条线段不相交,则称

3 3 【解】 按条件项目可分配为 2,1,0,0 与 1,1,1, 0 的结构, C4 C3 A2 ? C4 A3 : ∴ 2 2 2

? 36 ? 24 ? 60 故选 D;

37、 (吉林省吉林市 2008 届上期末)有 5 名学生站成一列, 要求甲同学必须站在乙同学的后面 (可以不相邻) , 则不同的站法有( A.120 种 答案:B 38、(吉林省实验中学 2008 届高三年级第五次模拟考试)由 0,1,2,3 这四个数字组成的四位数中,有重 复数字的四位数共有 A.168 个 答案:B 39、(山东省实验中学 2008 届高三第三次诊断性测试)四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点,在其中取 4 个不共面的点,不同的取法共有( A.150 种 答案:C 40、(山东省郓城一中 2007-2008 学年第一学期期末考试)用 4 种不同的颜色为正方体的六个面着色,要求相 邻两个面颜色不相同,则不同的着色方法有 A.24 B.48 种。( C.72 ) D.96 ) C.141 种 D.142 种 B.147 种 ( ) C.232 个 D.238 个 B.174 个 ) B.60 种 C.48 种 D.150 种

答案:D 41、(山西大学附中 2008 届二月月考)若国际研究小组由来自 3 个国家的 20 人组成,其中 A 国 10 人,B 国 6 人,C 国 4 人,按
10 A20 6

分层抽样法从中选 10 人组成联络小组,则不同的选法有(
5 3 2 A10 A6 A4 6 5 3 2 C10C6 C4 6

)种.

A.

B.

C.

5 3 2 D. C10 C6 C4

答案:D 二、填空题 42、(四川省乐山市 2008 届第一次调研考试)为了迎接 2008 年北京奥运会,现从 6 名品学兼优的同学中选 出 4 名去进行为期三天的宣传活动,每人一天,要求星期天有 2 人参加,星期五、星期六各有 1 人参加, 则不同的选派方案共有_________种。(用数字作答) 答案:180 43、(北京市朝阳区 2008 年高三数学一模)某市春节晚会原定 10 个节目,导演最后决定添加 3 个与“抗冰 救灾”有关的节目,但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个,并且已经排好的 10 个节目的相对顺序 不变,则该晚会的节目单的编排总数为 答案:990 种.(用数字作答)

44、(北京市丰台区 2008 年 4 月高三统一练习一)设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿 x 轴跳动,每次 向正方向或负方向跳 1 个单位,若经过 5 次跳动质点落在点(3,0)处(允许重复过此点),则质点不 同的运动方法共有___________种(用数字作答);若经过 m 次跳动质点落在点(n,0)处(允许重复 过此点),其中 m ?
m?n 2 m

n ,且 m ? n 为偶数,则质点不同的运动方法共有_______种.

答案:5, C

45、(北京市西城区 2008 年 4 月高三抽样测试) 5 人排成一排照相,要求甲不排在两端,不同的排法共有 ________种.(用数字作答) 答案:72 46、 (广东省深圳市 2008 年高三年级第一次调研考试)某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学校的 自主招生考试,由于其中两所学校的考试时间相同,因此该学生不能同时报考这两所学校.该学生不同的 报考方法种数是 答案:16 47、(湖北省黄冈中学 2008 届高三第一次模拟考试)由 0,1,2,3,4,5 六个数字可以组成_______个数字 不重复且 2,3 相邻的四位数(用数字填空). 答案:60 48、(湖北省荆州市 2008 届高中毕业班质量检测)某仪器显示屏上的每个指示灯均以红光或蓝光来表示不同 的信号,已知一排有 8 个指示灯,每次显示其中的 4 个,且恰有 3 个相邻的。则一共显示的不同信号数 是 。 . (用数字作答)

答案:320 49、(湖北省武汉市武昌区 2008 届高中毕业生元月调研测试)5 名同学去听同时进行的 4 个课外知识讲座, 每名同学可自由选择听其中的 1 个讲座,不同选法的种数是 答案: 4 (或 1024) 50、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)如图,正五边形ABCDE中,若把顶点A、B、C、D、E染上红、 黄、绿、三种颜色中的一种,使得相邻顶点所染颜色不相同,则不同的染色方法共有 答案:30 51、(湖南省岳阳市 2008 届高三第一次模拟)一个五位数由数字 0,1,1,2,3 构成, 这样的五位数的个数为 _________ 答案:48 52、(湖北省随州市 2008 年高三五月模拟)把 4 名男乒乓球选手和 4 名女乒乓球选手同时平均分成两组进 行混合双打表演赛,不同的比赛分配方法有 字作答)。 答案:72 53、(宁夏区银川一中 2008 届第六次月考)有 3 辆不同的公交车,3 名司机,6 名售票员,每辆车配备一名 司机,2 名售票员,则所有的工作安排方法数有________(用数字作答) 答案:540 三、解答题 54、(江苏省启东中学 2008 年高三综合测试一)由 0,1,2,3,4,5 这六个数字。 (1)能组成多少个无重复数字的四位数? (2)能组成多少个无重复数字的四位偶数? (3)能组成多少个无重复数字且被 25 个整除的四位数? (4)组成无重复数字的四位数中比 4032 大的数有多少个? 解:(1) (2) A 种(混合双打是 1 男 1 女对 1 男 1 女,用数 种 。
5

.

A15 ?A35 ? 300
3 5

? A12 A14 A24 ? 156
1

(3) A 3 A 3 (4) A
3 5

1

? A24 ? 21

? A14 A24 ? A13 ? 1 ? 112

难点 29

排列、组合的应用问题

排列、组合是每年高考必定考查的内容之一,纵观全国高考数学题,每年都有 1~2 道 排列组合题,考查排列组合的基础知识、思维能力. ●难点磁场 (★★★★★)有五张卡片,它们的正、反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9,将其中任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数? ●案例探究 [例 1]在∠AOB 的 OA 边上取 m 个点,在 OB 边上取 n 个点(均除 O 点外),连同 O 点 共 m+n+1 个点,现任取其中三个点为顶点作三角形,可作的三角形有( )

A.C1 ?1C2 ? C1 ?1C2 m n n m C.C1 C2 ? C1 C2 ? C1 C1 m n n m m n

B 1 C2 ? C1 C2 .Cm n n m
1 D.Cm C2?1 ? C2 ?1C1 n m n

命题意图:考查组合的概念及加法原理,属★★★★★级题目. 知识依托:法一分成三类方法;法二,间接法,去掉三点共线的组合. 错解分析:A 中含有构不成三角形的组合,如:C 1 ?1 C 2 中,包括 O、Bi、Bj;C 1 ?1 C 2 中, n m n m 包含 O、Ap、Aq,其中 Ap、Aq,Bi、Bj 分别表示 OA、OB 边上不同于 O 的点;B 漏掉△AiOBj; D 有重复的三角形.如 C 1 C 2?1 中有△AiOBj,C 2 ?1 C 1 中也有△AiOBj. n m m n 技巧与方法:分类讨论思想及间接法. 解法一: 第一类办法: OA 边上(不包括 O)中任取一点与从 OB 边上(不包括 O)中任取 从 两点,可构造一个三角形,有 C 1 C 2 个;第二类办法:从 OA 边上(不包括 O)中任取两点与 m n OB 边上(不包括 O)中任取一点,与 O 点可构造一个三角形,有 C 2 C 1 个;第三类办法:从 m n OA 边上(不包括 O)任取一点与 OB 边上(不包括 O)中任取一点,与 O 点可构造一个三角形, 有 C 1 C 1 个.由加法原理共有 N=C 1 C 2 +C 2 C 1 +C 1 C 1 个三角形. m n m n m n m n 解法二:从 m+n+1 中任取三点共有 C 3 ?n ?1 个,其中三点均在射线 OA(包括 O 点),有 m C 3 ?1 个, 三点均在射线 OB(包括 O 点), C 3 ?1 个.所以, 有 n 个数为 N=C 3 ?n ?1 -C 3 ?1 -C 3 ?1 个. n m m m 答案:C [例 2]四名优等生保送到三所学校去,每所学校至少得一名,则不同的保送方案的总 数是_________. 命题意图:本题主要考查排列、组合、乘法原理概念,以及灵活应用上述概念处理数学 问题的能力,属★★★★级题目. 知识依托:排列、组合、乘法原理的概念. 错解分析:根据题目要求每所学校至少接纳一位优等生,常采用先安排每学校一人,而 后将剩的一人送到一所学校,故有 3A 3 种.忽略此种办法是:将同在一所学校的两名学生按 4 进入学校的前后顺序, 分为两种方案, 而实际题目中对进入同一所学校的两名学生是无顺序 要求的. 技巧与方法:解法一,采用处理分堆问题的方法.解法二,分两次安排优等生,但是进 入同一所学校的两名优等生是不考虑顺序的. 解法一:分两步:先将四名优等生分成 2,1,1 三组,共有 C 2 种;而后,对三组学生 4 安排三所学校,即进行全排列,有 A33 种.依乘法原理,共有 N=C 2 A 3 =36(种). 4 3 解法二:分两步:从每个学校至少有一名学生,每人进一所学校,共有 A 3 种;而后, 4 再将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校,有 3 种.值得注意的是:同在一所学校的

两名学生是不考虑进入的前后顺序的.因此,共有 N=

1 3 A 4 ·3=36(种). 2

答案:36 ●锦囊妙记 排列与组合的应用题,是高考常见题型,其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这 类问题通常有三种途径:(1)以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素.(2)以 位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件,计算出 排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.前两种方式叫直接解法,后一种方式 叫间接解法. 在求解排列与组合应用问题时,应注意: (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题; (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理; (3)分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏; (4)列出式子计算和作答. 解排列与组合应用题常用的方法有:直接计算法与间接计算法;分类法与分步法;元素 分析法和位置分析法;插空法和捆绑法等八种. 经常运用的数学思想是: ①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想. ●歼灭难点训练 一、填空题 1.(★★★★)从集合{0, 2, 5, 11}中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax+By+C=0 1, 3, 7, 中的 A、B、C,所得的经过坐标原点的直线有_________条(用数值表示). 2.(★★★★★)圆周上有 2n 个等分点(n>1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数 为_________. 二、解答题 3.(★★★★★)某人手中有 5 张扑克牌, 其中 2 张为不同花色的 2, 张为不同花色的 A, 3 有 5 次出牌机会,每次只能出一种点数的牌但张数不限,此人有多少种不同的出牌方法? 4.(★★★★)二次函数 y=ax2+bx+c 的系数 a、b、c,在集合{-3,-2,-1,0,1,2, 3,4}中选取 3 个不同的值,则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条? 5.(★★★★★)有 3 名男生,4 名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数. (1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置. (2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边. (3)全体排成一行,其中男生必须排在一起. (4)全体排成一行,男、女各不相邻. (5)全体排成一行,男生不能排在一起. (6)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变. (7)排成前后二排,前排 3 人,后排 4 人. (8)全体排成一行,甲、乙两人中间必须有 3 人. 6.(★★★★★)20 个不加区别的小球放入编号为 1、2、3 的三个盒子中,要求每个盒内 的球数不小于它的编号数,求不同的放法种数. 7.(★★★★)用五种不同的颜色,给图中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色,每部分涂一色, 相邻部分涂不同色,则涂色的方法共有几种?

8.(★★★★)甲、乙、丙三人值周一至周六的班,每人值两天班,若甲不值周一、乙不 值周六,则可排出不同的值班表数为多少? 参考答案 难点磁场 解:(间接法):任取三张卡片可以组成不同三位数 C 3 ·23·A 3 (个),其中 0 在百位的 5 3 有 C 2 · 2· 2 (个), 这是不合题意的, 故共有不同三位数: 3 · 3· 3 -C 2 · 2· 2 =432(个) C5 2 A3 . 4 2 A2 4 2 A2 歼灭难点训练 一、1.解析:因为直线过原点,所以 C=0,从 1,2,3,5,7,11 这 6 个数中任取 2 个
2 作为 A、B 两数的顺序不同,表示的直线不同,所以直线的条数为 A 6 =30.

答案:30 2.解析:2n 个等分点可作出 n 条直径,从中任选一条直径共有 C 1 种方法;再从以下的 n (2n-2)个等分点中任选一个点,共有 C 1 n ?2 种方法,根据乘法原理:直角三角形的个数为: 2 C 1 ·C 1 n ?2 =2n(n-1)个. 2 n 答案:2n(n-1) 二、3.解:出牌的方法可分为以下几类: (1)5 张牌全部分开出,有 A 5 种方法; 5
2 (2)2 张 2 一起出,3 张 A 一起出,有 A 5 种方法; 4 (3)2 张 2 一起出,3 张 A 一起出,有 A 5 种方法; 2 (4)2 张 2 一起出,3 张 A 分两次出,有 C 3 A 3 种方法; 5

(5)2 张 2 分开出,3 张 A 一起出,有 A 3 种方法; 5
2 4 (6)2 张 2 分开出,3 张 A 分两次出,有 C 3 A 5 种方法. 2 4 2 2 4 因此,共有不同的出牌方法 A 5 +A 5 +A 5 +A 3 A 3 +A 3 +C 3 A 5 =860 种. 5 5 5

4.解:由图形特征分析,a>0,开口向上,坐标原点在内部 ? f(0)=c<0;a<0,开口向下, 原点在内部 ? f(0)=c>0,所以对于抛物线 y=ax2+bx+c 来讲,原点在其内部 ? af(0)=ac<0, 则 确 定 抛 物 线 时 , 可 先 定 一 正 一 负 的 a 和 c , 再 确 定 b, 故 满 足 题 设 的 抛 物 线 共 有

C 1 C 1 A 2 A 1 =144 条. 3 4 2 6 5.解:(1)利用元素分析法,甲为特殊元素,故先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选 择.有 A 1 种,其余 6 人全排列,有 A 6 种.由乘法原理得 A 1 A 6 =2160 种. 3 6 3 6 (2)位置分析法.先排最右边,除去甲外,有 A 1 种,余下的 6 个位置全排有 A 6 种,但应 6 6 剔除乙在最右边的排法数 A 1 A 5 种.则符合条件的排法共有 A 1 A 6 -A 1 A 5 =3720 种. 5 5 6 6 5 5 (3)捆绑法.将男生看成一个整体, 进行全排列.再与其他元素进行全排列.共有 A 3 A 5 =720 3 5 种. (4)插空法.先排好男生,然后将女生插入其中的四个空位,共有 A 3 A 4 =144 种. 3 4 (5)插空法.先排女生,然后在空位中插入男生,共有 A 4 A 3 =1440 种. 4 5 (6)定序排列.第一步,设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为 N,第二步,对甲、 乙、丙进行全排列,则为七个人的全排列,因此 A 7 =N×A 3 ,∴N= 7 3 (7)与无任何限制的排列相同,有 A 7 =5040 种. 7 (8)从除甲、乙以外的 5 人中选 3 人排在甲、乙中间的排法有 A 3 种,甲、乙和其余 2 人 5
2 排成一排且甲、乙相邻的排法有 A 3 A 3 .最后再把选出的 3 人的排列插入到甲、乙之间即可. 3

A7 7 = 840 种.? A3 3

共有 A 3 ×A 2 ×A 3 =720 种. 5 2 3 6.解:首先按每个盒子的编号放入 1 个、2 个、3 个小球,然后将剩余的 14 个小球排成 一排,如图,|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|,有 15 个空档,其中“O”表示小球, “|”表示 空档.将求小球装入盒中的方案数,可转化为将三个小盒插入 15 个空档的排列数.对应关系 是:以插入两个空档的小盒之间的“O”个数,表示右侧空档上的小盒所装有小球数.最左侧 的空档可以同时插入两个小盒.而其余空档只可插入一个小盒,最右侧空档必插入小盒,于 是, 若有两个小盒插入最左侧空档, C 3 种; 有 2 若恰有一个小盒插入最左侧空档, C1 C1 种; 有 3 3
2 2 2 若没有小盒插入最左侧空档,有 C 13 种.由加法原理,有 N= C3 ? C1 C1 ? C13 =120 种排列方 3 13

案,即有 120 种放法. 7.解:按排列中相邻问题处理.(1)(4)或(2)(4).可以涂相同的颜色.分类:若(1)(4)同色,有
4 A 3 种,若(2)(4)同色,有 A 3 种,若(1)(2)(3)(4)均不同色,有 A 5 种.由加法原理,共有 5 5 4 N=2A 3 +A 5 =240 种. 5 2 8.解:每人随意值两天,共有 C 6 C 2 C 2 个;甲必值周一,有 C 1 C 2 C 2 个;乙必值周六, 4 2 5 4 2

有 C 1 C 2 C 2 个;甲必值周一且乙必值周六,有 C 1 C 1 C 2 个.所以每人值两天,且甲必不值 5 4 2 4 3 2
2 周一、乙必不值周六的值班表数,有 N=C 6 C 2 C 2 -2C 1 C 2 C 2 + C 1 C 1 C 2 =90-2×5× 4 2 5 4 2 4 3 2

6+12=42 个.


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