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2013-2014深圳市宝安区高三调研测试文科数学试卷,


2013-2014 学年第一学期深圳市宝安区高三调研测试卷 数学(文科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x || x ? 1 |? 1}, B ? {?2,?1,0,1,2}, 则 (C R A) ? B ? ( ). A. {?2} B. {?2,1} C. {0,1} D. {?2,?1,0} 2.下列函数中,既是偶函数又在区间 (0,??) 上是单调递减函数的是( ). 1 1 2 A. f ( x) ? B. f ( x) ? ? x ? 1 C. f ( x) ?| x | D. f ( x) ? lg | x | x 2 10 3.设 i 是虚数单位,若复数 ai ? 是实数,则 a 的值为( ). 3?i A. ? 3 B. ? 1 C. 3 D. 1 4.等差数列 {a n } 中, a1 ? a 2 ? a3 ? ?24, a19 ? 26, 则此数列 {a n } 前 20 项和等于( ). A. 220 B. 200 C. 180 D. 160 5.已知向量 a ? (1,?m), b ? (2, m), 若 a ? b ? 1 ,则实数 m ? ( ). A. 1, 或 ? 1 B. ? 1 C. 0 D. ? 2 6.若点 ( x, y ) 位于曲线 y ? 2 | x | 与 y ? 2 所围成的封闭区域,则 2x ? y 的最小值为( A. ?4 B. ?6 C. 0 D. 1
7.将函数 y ? 2 cos(2 x ? 则 2 x ? y 的最小值为( A.

).

?

3

) 的图像向右平移 m(m ? 0) 个单位长度后,所得到的图像关于 y 轴对称,
). C.
开始 输入 m

? ? D. 12 6 2 y 1 2 ? 1(m ? 0) 的离心率大于 的充分必要条件是( ). 8.椭圆 x ? m 2 1 3 4 3 A. m ? B. C. m ? ?m? 4 4 3 4 4 3 D. 0 ? m ? ,或 m ? 3 4 9.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输入 m 的值为 2,则 输出的结果为 i ? ( ). A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10.给出下列关于互不相同的直线 m, l , n 和平面 ? , ? 的四个命题: ①若 m ? ? , l ? ? ? A, 点 A? m ,则 l 与 m 不共面; ②若 m, l 是异面直线, l // ? , m // ? ,且 m ? l , n ? m ,则 n ? ? ; ③若 l // ? , m // ? , ? // ? ,则 l // m ; ④若 l ? ? , m ? ? , l ? m ? A, l // ? , m // ? , ,则 ? // ? .
? 2
B.

? 3

A ?1, B ?1, i ? 0
i ? i ?1 A ? A? m B ? B?i

A? B
是 输出 i 结束



其中为假命题的是( ). A. ① B. ②

C.④

D. ③

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 (一)必做题(9—13 题)
1

11.右图中的三个直角三角形是一个体积为 20cm3 的几何体的三视图, 则 h=______cm. 12.据统计,高三年级男生人数占该年级学生人数 60%.在上次考试中, 男、女生数学平均分数分别为 115,120,则这次考试该年级学生平均 6 分数为_________. 13.设常数 a ? 0 ,若 9 x ?

1

a2 ? a ? 1 对一切正实数 x 成立,则 x
6

正视图

5

侧视图

a 的取值范围为_________. (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题)如图,在 Rt ? ABC 中, ?C ? 90? , ?A ? 30? , 圆 O 经过 B、C,且与 AB、AC
分别相交于 C、D。若 AE=EC= 2 3 ,则圆 O 的半径 r=________. 15.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中, 直线 l 的参数方程为 ? 方程为 ? C

(单位:cm)
俯视图

? x ? t ? 3, (参数 t ? R) ,圆的参数 ?y ? 3?t

?O

E

B A D ? x ? 2 cos ? , ( (参数 ? ?[0, 2π)), 则圆心 ? y ? 2sin ? ? 2 到直线 l 的距离为为_______. 三、解答题:本题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? cos 2 x, x ?R. (1)当 x 为何值时, f ( x) 取得最大值,并求出其最大值; (2)若 0 ? ? ?

?

? 2 ? , f (? ? ) ? , 求 sin(2? ? ) 的值. 4 8 3 6

17.(本小题 12 分) 随着工业化的发展,环境污染愈来愈严重.某市环保部门随机抽取 60 名市民对本市空气质量满意度 打分,把数据分[40,50),[50,60), …,[90,100]六段后得到如下频率分布表: 分组 频数 频率 [40,50) [50,60) [60, 70) [70,80) [80,90) [90, 100] 合计 6 9 9 z y 3 60 0.10 0.15 0.15 x 0.25 0.05 1.00

(1)求表中数据 x, y, z 的值; (2)用分层抽样的方法在分数[60,80)的市民中抽取容量为 6 的样本,将该样本看成一个总体,从 中任取 1 人在分数段[70,80)的概率. 18. (本小题 14 分) A D 在如图的多面体中,EF⊥平面 AEB,AE⊥EB,AD//EF, EF//BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G 是 BC 的中点. (1)求证:AB//平面 DEG; (2)求证:BD⊥EG; (3)求三棱锥 A-BED 的体积.
E
2

F

B

G

C

19.(本小题 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? 2 ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 Tn ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? ? ? log 2 an, 求证:

1 , 2n?1
1 1 1 ? ? ? ? ? ?2(n ? N* , n ? 2) T1 T2 Tn

20. (本小题 14 分) 已知点 F (0,1), 直线 l : y ? ?1, P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q ,且

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? QP ? QF ? FP ? FQ . (1)求动点 P 的轨迹方程; (2) , B 是轨迹 M 上异于坐标原点 O 的不同两点, 轨迹 M 在点 A, B 处的切线分别为 l1 , l2 , l1 ? l2 , 且 A

l1 , l2 相交于点 D,求点 D 的纵坐标.
21.(本小题 14 分)

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2ln x . 2 (1)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 4 处的切线相互平行,求 a 的值; (2)试讨论 y ? f ( x) 的单调性;
已知函数 f ( x) ? (3)设 g (x) ?x ?2x, 对任意的 x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ), 试求实数 a 的
2

取值范围.

3

2013-2014 年深圳市宝安区高三调研考试数学文科 答案
题号 答案 1 D 11、4 16 解: 2 B 3 D 4 C
1 13、 [ ,+?) 5

5 A

6 A 14、 7

7 C

8 D

9 B

10 D

12、117 分

15、 2 2

(Ⅰ)证明:∵AD∥EF,EF∥BC,∴AD∥BC. 又∵BC=2AD,G 是 BC 的中点,∴AD//BG , ∴四边形 ADGB 是平行四边形,∴AB∥DG. (4 分) ∵AB?平面 DEG,DG?平面 DEG,∴AB∥平面 DEG. (Ⅱ)证明:∵EF⊥平面 AEB,AE?平面 AEB,∴EF⊥AE, 又 AE⊥EB,EB∩EF=E,EB,EF?平面 BCFE,∴AE⊥平面 BCFE. 过 D 作 DH∥AE 交 EF 于 H,则 DH⊥平面 BCFE. ∵EG?平面 BCFE,∴DH⊥EG. ∵AD∥EF,DH∥AE,∴四边形 AEHD 平行四边形,∴EH=AD=2, B ∴EH=BG=2,又 EH∥BG,EH⊥BE, ∴四边形 BGHE 为正方形,∴BH⊥EG, 又 BH∩DH=H,BH?平面 BHD,DH?平面 BHD,∴EG⊥平面 BHD. 4

? 2 ? ? 2 1 (2)由 f (? ? ) ? 得 2 sin[2(? - )+ ]= ,化简得 sin 2? = 8 3 8 4 3 3 2 2 ? ? 又由 0 ? ? ? 得, 0 ? 2? ? ,故 cos 2? ? 1 ? sin 2 2? ? 4 3 2 ? ? 3?2 2 ? (12 分) sin(2? ? ) = sin2? cos ? cos 2? sin ? 6 6 6 6 17、解: (1)x=1-0.1-0.15-0.15-0.25-0.05=0.3 z=60x=18 y= 60 ? 0.25=15 (2)∵[60,70)共 9 人,[70,80)共 18 人. ∴分层所抽取的 6 人中[60,70)的 2 人,[70,80)的 4 人,分别编号 a,b,1,2,3,4 设事件 A 为“从中任取 2 人,至多有 1 人在分数段 [70,80) ”。 ∵从 6 人中任取两人的基本事件有 15 种: (ab) (a1) (a2) (a3) (a4) (b1) (b2) (b3) (b4) (12) (13) (14) (23) (24) (34) 至多有 1 人在分数段 [70,80) 的基本事件有 9 种: (ab) (a1) (a2) (a3) (a4) (b1) (b2) (b3) (b4) 9 3 ∴ p( A) ? ? 15 5 18、 A D

E

F

G

C

∵BD?平面 BHD,∴BD⊥EG.(10 分) (3)∵ EF ⊥平面 AEB ,EF//AD,∴AD⊥平面 AEB ,故三棱锥 A-BED 的高为 AD

1 1 AE ? EB = ? 2 ? 2 ? 2 2 2 1 1 4 ∴ V A? BED = AD ? S△ AEB= ? 2 ? 2 ? (14 分) 3 3 3 【19】 、解:解: (1)当 n ? 1时, a1 ? S1 ? 1.…………2 分 1 1 1 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? (2 ? n ?1 ) ? (2 ? n ?2 ) ? n ?1 ,此式对 n ? 1也成立. 2 2 2 1 ? a n ? n ?1 (n ? N * ) .…………5 分 2 1? n (2)证明:设 bn ? log 2 an ,则 bn ? log 2 2 ? 1 ? n .…………………………………(7 分)
∵ AE ? EB ,∴S△ AEB = 所以 ?bn ? 是首项为 0,公差为 ?1 的等差数列.

n(n ? 1) n(n ? 1) …………………………(10 分) (?1) = Tn ? 2 2 ? 2 ? 1 1 1 2 2 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? (n ? N , n ? 2) T2 T3 Tn 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n ? ? Tn ?
1 1 1 1 ? ?1 1 ? 1? ? ?2 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? ? ?2 ? 1 ? ? ? ? 2 2 3 n ?1 n ? ?1 2 ? n? 【20】解: ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? (1)解:设 P ? x, y ? ,则 Q ? x, ?1? ,∵ QP ? QF ? FP ? FQ ,
2 即 ? 0, y ? 1? ? ? ? x, 2 ? ? ? x, y ? 1? ? ? x, ?2 ? . 即 2 ? y ? 1? ? x ? 2 ? y ? 1? ,即 x ? 4 y ,

2

所以动点 P 的轨迹 M 的方程 x ? 4 y .
2

……………4 分

(2) 解法一:设点 A 、 B 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? 、 ? x2 , y2 ? ,
∵ l1 、 l 2 分别是抛物线 C 在点 A 、 B 处的切线, ∴直线 l1 的斜率 k1 ? y ∵ l1 ? l2 , ∴ k1k2 ? ?1 , ∴ y1 ? 得 x1 x2 ? ?4 . ① …………8 分 ∵ A 、 B 是抛物线 C 上的点,
' x ? x1

?

x1 ' ,直线 l 2 的斜率 k2 ? y 2

x ? x2

?

x2 . 2

…………6 分

x12 x2 , y2 ? 2 . 4 4

………10 分

2 x12 x1 x2 x2 ? ? x ? x1 ? ,直线 l 2 的方程为 y ? ? ? x ? x2 ? . ∴ 直线 l1 的方程为 y ? …………12 分 4 2 4 2 ? x2 x x1 ? x2 ? y ? 1 ? 1 ? x ? x1 ? , ? ?x ? 2 , ? ? 4 2 由? 解得 ? 2 ? y ? x2 ? x2 ? x ? x ? , ? y ? ? 2 ? ?1. 2 ? ? ? 2 ? 4 2 ∴点 D 的纵坐标为 ?1 . ………… 14 分

【21】解:函数 f(x)定义域为 (0, ??)
5

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2lnx 2 2 ? f ?(x) ? ax ? (2a ? 1) ? (x ? 0) x

(1)∵函数 f (x) ?

(a ? R)

1 1 依题意, f ?(1)=f ?(4) ,即 a-(2a+1)+2= 4a-(2a+1)+ ,解得 a = (4 分) 2 2

(9 分) (3) 由已知,在(0,2]上有 f(x)max<g(x)max. 由已知,g(x)max=0,由(2)可知, 1 ①当 a≤ 时,f(x)在(0,2]上单调递增, 2 故 f(x)max=f(2)=2a-2(2a +1)+2ln2 =-2a-2+2ln2, 1 ∴-2a-2+2ln2<0,解得 a>ln2-1,ln2-1<0,故 ln2-1<a≤ . 2 1 1 ②当 a> 时,f(x)在?0,a ]上单调递增,在]上单调递减, ? 2 1 1 故 f(x)max=f?a?=-2- -2lna. ? ? 2a 1 1 1 由 a> 可知 lna>ln >ln =-1,2lna>-2,-2lna<2, 2 2 e ∴-2-2l na<0,即 f(x)max<0,符合题意。 综上所述,a>ln2-1.(14 分)

6

7



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