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2017年高中数学竞赛模拟试题四

2019 最新整理、试题、试卷精品资料 2017 年高中数学竞赛模拟试题四 一、填空题(共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分。请直接将答 案写在题中的横线上) 1.若函数()的最小正周期为,则在区间上的最大值为。 f ( x ) ? 3 c o? sx (? ? 6 ?) ? s ixn?( ? ? ?? ? ?) 0 ? f ( x) ?0 , ? 3 ? 2? 2 . 已 知 集 合 ,, 若 , 则 实 数 的 取 值 范 围 为 。 1 ? ? A ? ? x x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? B ? ? x ?a ? A? B a x ?3 ? ? 2 3.函数零点的个数为。 f ( x) ? x ln x ? x2 ? 2 4.如图,在正方体中,二面角的大小为。 ABCD ? A1B1C1D1 B ? AC 1 ?D 5 . 在 空 间 四 边 形 中 , 已 知 ,,,, 则 。 uuu r uuu r ABCD AB ? 2 BC ? 3 CD ? 4 DA ? 5 AC ? BD ? 6.已知直线过椭圆:的左焦点且交椭圆于、两点。为坐标原点,若, x2 则点到直线的距离为。 l C ? y 2 ? 1 F C A B O OA ? OB O AB 2 7.已知,若关于的方程(为虚数单位)有实数根,则复数的模的最 小值为。 z ? C x x 2 ? 2 zx ? ? i ? 0 i z z 8.将 16 本相同的书全部分给 4 个班级,每个班级至少有一本书,且 各班所得书的数量互不相同,则不同的分配方法种数为。 (用数字作 答) 9 . 是 定 义 在 的 函 数 , 若 , 且 对 任 意 , 满 足 ,, 则 。 f ( x) R f (0) ? 1008 x ? R f (2016) ? 2016 f ( x ? 4) ? f ( x) ? 2( x ? 1) f ( x ? 12) ? f ( x) ? 6( x ? 5) 3 4 10.当, ,为正数时,的最大值为。 x y z 4 xz ? yz x ? y2 ? z2 2 二、解答题(共 5 小题,每小题 20 分,满分 100 分。要求写出解题 过程) 11.已知数列的前项和() 。 ? an ? n Sn ? 2an ? 2 n ? N * (1)求的通项公式; ? an ? an ( 2 )设,是数列的前项和,求正整数,使得对任意均有; What's that ?It's a picture of a room.What ca n you se e in the pi cture ?I can see a black hat on the table.Can you see (看见 ) an Englis h book on the table 1 / 14 2019 最新整理、试题、试卷精品资料 bn ? 1 1 ? Tn ? bn an n(n ? 1) ?nk n ? N * Tk ? Tn (3)设,是数列的前项和,若对任意均有成立,求的最小值。 cn ? a n ?1 (1 ? an )(1 ? a n ? 1 ) Rn ? cn ? n n ? N * Rn ? ? ? 12.已知() 。 f ( x) ? ln(ax ? b) ? x2 a ? 0 (1)若曲线在点处的切线方程为,求,的值; y ? f ( x) (1, f (1)) y ? x a b (2)若恒成立,求的最大值。 f ( x) ? x2 ? x ab 13.如图, 、为双曲线:的左、右焦点,动点()在双曲线上的右支 上 。 设 的 角 平 分 线 交 轴 于 点 , 交 轴 于 点 。 F1 F2 C x2 ? y 2 ? 1 P( x0 , 0) y N y0 ) y0 ? 1 C ?F1PF2 x M (m , 4 (1)求的取值范围; m ( 2 )设过,的直线交双曲线于点,两点,求面积的最大值。 F1 N l C D E △F2 DE 14.求满足下列条件的最小正整数:若将集合任意划分为 63 个两两 不相交的子集(它们非空且并集为集合) , , ,…, ,则总存在两个正整 数 , 属 于 同 一 个 子 集 ( ) 且 , 。 2 3 L, n ? A A1 A 2 A 3 A 6 3 x y Ai 1 ? i ? 63 x ? y 31x ? 32 y n A ? ? 1,,, What's that ?It's a picture of a room.What ca n you se e in the pi cture ?I can see a black hat on the table.Can you see (看见 ) an Englis h book on the table 2 / 14 2019 最新整理、试题、试卷精品资料 数学竞赛模拟试卷(4)参考答案 一、填空题(共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分。请直接将答案写 在题中的横线上) 1.若函数()的最小正周期为,则在区间上的最大值为。 【答案】 ? ? ? ?? f ( x) ? 3cos(? x ? ) ? sin(? x ? ) ? ? 0 ? f ( x) ?0 , ? 2 3 6 3 ? 2? 【 ? 解 ? 答 ? ? 】 ? ∵ f ( x) ? 3cos(? x ? ) ? sin(? x ? ) ? 3cos(? x ? ) ? sin(? x ? ? ) 6 3 6 6 2 ? 3cos(? x ? ) ? cos(? x ? ) ? 4 cos(? x ? ) , 且 的 最 小 正 周 期 为 。 6 6 6 ? ? ? f ( x) ? ? ? 7? ??? ∴, 。又时, , ? ? 2 f ( x) ? 4 cos(2


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