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辽宁省抚顺市六校联合体2013-2014学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

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一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。

5i 2014 1. ?( 2?i
A. ?2 ? i
3

) B. ?2 ? i C. ?1 ? 2i D. ?1 ? 2i )

2. 曲线 y ? 2 x ? x 在横坐标为 ? l 的点处的切线为 l , 则点 P(3, 2)到直线 l 的距离为 (

A.

7 2 2

B.

9 2 2

C.

11 2 2

D.

9 10 10

3.设函数 f ( x) 在定义域内可导, y ? f ( x) 的图象如下右图所示,则导函数 y ? f ?( x) 可能 为( )

4.若 f ( x) 在 R 上可导, f ( x) ? x 2 ? 2 f ' (2) x ? 3 ,则 A. 16 B. ? 18 C. ? 24
2

?

3 0

f ( x )dx ? (

)

D. 54

5.用数学归纳法证明 1+2+3+?+n = 上加上( 2 A.k +1
4

n4 ? n2 ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础 2
2

) B.(k+1)
2
2

? k ? 1? ? ? k ? 1? C.
2
6.二项式 ( x ?

D.(k +1)+(k +2)+?+(k+1)

2

2

1 6 ) 的展开式中常数项为( x



A.-15 B.15 C.-20 D.20 7.有 6 个座位连成一排,现有 3 人入座,则恰有两个空位相邻的不同坐法是( A.36 B.48 C.72 D.96

)种

1

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8. 从 6 名同学中选派 4 人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛,若其中甲、乙 两名同学不能参加生物竞赛,则选派方案共有( ) A.180 种 B.280 种 C. 96 种 D.240 种 9.将二颗骰子各掷一次,设事件 A=“二个点数不相同”,B=“至少出现一个 6 点”,则概 率 P ( A B ) 等于( A. ) C.

10 11

B.

5 11

5 18

D.

5 36

10.甲、乙同时炮击一架敌机,已知甲击中敌机的概率为 0.3 ,乙击中敌机的概率为 0.5 , 敌机被击中的概率为( ) A. 0.95 B. 0.8 C. 0.65 D. 0.15
2 11.已知随机变量 X 服从正态分布 N (2, ? ) , P (0 ? X ? 4) ? 0.8 ,则 P ( X ? 4) 的值等

于( ) A.0.1

B.0.2

C.0.4

D.0.6

12.设随机变量ξ ~ B (5, 0.5) ,又η =5ξ ,则 Eη 和 Dη 的值分别是( )

A、

25 25 和 2 4

B、

5 5 和 2 4

C、

25 125 和 4 2

D、

25 125 和 4 4

第Ⅱ卷(90 分)
二、填空题:本大题共 5 小题。 13.若 ( x 2 ? ) 的展开式中含 x 的项为第 6 项,设(1-3x) =a0+a1x+a2x +?+anx ,则
n n
2

1 x

n

a1+a2+?+an 的值为________.
14.有甲、乙、丙三项任务,甲需 2 人承担,乙、丙各需 1 人承担,从 10 人中选派 4 人承 担这项任务,不同的选法有________. 15.观察各式: a ? b ? 1, a ? b ? 3, a ? b ? 4, a ? b ? 7, a ? b ? 11,
2 2 3 3 4 4 5 5

,则依次类推

可得 a ? b
10

10

?



16.大小相同的 4 个小球上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 个小球中随机抽取 2 个小球, 则取出的 2 个小球上的数字之和为奇数的概率为`________ 三、解答题 17. (本题 12 分) (1)用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角大于或等于 60? ; (2)已知 n ? 0 ,试用分析法证明: n ? 2 ? n ? 1 ?

n ?1 ? n .

18. (本题 12 分) .从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛, ①求所选 3 人都是男生的概率; ②求所选 3 人恰有 1 名女生的概率; ③求所选 3 人中至少有 1 名女生的概率。

2

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19. (本题 12 分)已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球, 乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球. (Ⅰ)求取出的 4 个球均为黑球的概率; (Ⅱ)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (Ⅲ)设 ? 为取出的 4 个球中红球的个数,求 ? 的分布列和数学期望 20. (本题 12 分)函数 f ( x ) ? ln x ? (1)a=0 时,求 f(x)最小值; (2)若 f(x)在 ? 2, ?? ? 是单调减函数,求 a 的取值范围. 21. (本题 12 分)为了解某班学生关注 NBA 是否与性别有关,对本班 48 人进行了问卷调查 得到如下的列联表: 关注 NBA 男 女 合 生 生 计 10 48 不关注 NBA 6 合 计

1 ? ax(a ? R ) x

已知在全班 48 人中随机抽取 1 人,抽到关注 NBA 的学生的概率为 2/3 ⑴请将上面列连表补充完整,并判断是否有 95% 的把握认为关注 NBA 与性别有关? ⑵现从女生中抽取 2 人进一步调查,设其中关注 NBA 的女生人数为 X,求 X 的分布列与数学 期望。

n(ad ? bc) 2 附: K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

p ? K 2 ? k0 ?

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

k0

考生在题(22) (23) (24)中任选一题作答,如果多做,则按所做的的第一题计分.做题 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,△ABC 内接于⊙O,AB=AC,直线 XY 切⊙O 于点 C,BD∥XY,AC、BD 相交于 E.

3

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(1)求证:△ABE≌△ACD; (2)若 AB=6 cm,BC=4 cm,求 AE 的长. 23. (本小题满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》 已知某圆的极坐标方程是 ? 2 ? 4 2 ? cos(? ? (1)求圆的普通方程和一个参数方程; (2)圆上所有点 ( x, y ) 中 xy 的最大值和最小值. (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 | . (1)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? a ? 1 的解集非空,求实数 a 的取值范围.

?
4

) ? 6 ? 0 ,求

4

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19.(Ⅰ)设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 A , “从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 B .
2 C32 1 C4 2 ,B 相互独立,且 P( A) ? 2 ? , P( B) ? 2 ? . 由于事件 A C4 2 C6 5

2分

故取出的 4 个球均为黑球的概率为 P ( A · B ) ? P ( A· ) P( B) ?

1 2 1 ? ? . 4分 2 5 5

(Ⅱ) 设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球;从乙盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是 黑球”为事件 C , “从甲盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球;从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 D .则
5

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20.解: (1) a ? 0 时 f ( x)= ln x ?

1 1 1 x ?1 , f ?( x) ? ? 2 ? 2 , x x x x

3分

0 ? x ? 1 时 f ?( x) ? 0,x ? 1 时 f ?( x) ? 0 ,
? ? ? 单增, ∴f(x)在(0,1)单减,在 ?1,
5分 6分

? x ? 1 时 f ( x) 有最小值 1
(2) f ?( x)=
2

1 1 ax 2 ? x ? 1 ax 2 ? x ? 1 2, ?? ? 2 ?a ? ? 0 ,即 , 在 为减函数,则 f ( x ) ? ? x x x2 x2
9分

1 1 ?1? 1 a ? ? ? ? ,当 x ? 2 恒成立,∴ a ? ( ) 2 ? 最小值 x x ?x? x
2 2

令 g ( x) ? ?

1 1 1 ?1? 1 ?1 1? 1 ? ? ? ? ? ? ? , x ? 2 则 0 ? ? ,? ? g ( x) ? 0 , x 2 4 ? x? x ? x 2? 4

6

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?a ? ?

1 4

12 分

21.解(1)将列联表补充完整有:

所以 6·(6-AE)=16.所以
2 2

10 AE= 3

cm.

10 分 2分

23.解:(1)普通方程:x +y -4x-4y+6=0 参数方程:

? x ? 2 ? 2 cos ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ?
(2)

(θ 为参数)

4分

xy ? (2 ? 2 cos? )(2 ? 2 sin ? ) ? 4 ? 2 2 (sin ? ? cos? ) ? 2 sin ? cos?

5分

令 S=sinθ +COSθ =t∈ [ ? 所以 xy=t +2
2

2, 2],

则 2sinθ cosθ =t -1 6分
7

2

2 t+3

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当 t=-

2 时,最小值是 1;

8分

8



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