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辽宁省大连市育明中学2012-2013高二上学期期末考试数学试卷(理)参考答案


辽宁省大连市育明中学

2012-2013 学年度高二年级上学期期末考试 数学试卷(理)参考答案
2012-2013 学年度上学期期末考试答案
高二数学试卷(理)
一、选择题: 1—12 二、填空题: 13.

DBABCCCDAD BA

1 4

14.

3 3

15.

6

16.

6 6

三、解答题: 17、解: (1)因为 a ? b , a ? (mx, y ? 1) , b ? ( x, y ?1) , 所以 a ? b ? mx2 ? y 2 ?1 ? 0 , 即 mx2 ? y 2 ? 1 .

当 m=0 时,方程表示两直线,方程为 y ? ?1 ; 当 m ? 1 时, 方程表示的是圆 当 m ? 0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆; 当 m ? 0 时,方程表示的是双曲线. ……6 分

?1 2 2 8 ? x ? y ?1 2 ……10 分 (2)联立 ? 4 得 5x2 ? 8x ? 0 ,则 AB ? 5 ? ? y ? x ?1
18、解:以 D 点为原点,分别以直线 DA、DC 为 x 轴、y 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz ,依题意可得

z

P

D(0,0,0), P(0,1, 3),C(0,2,0), A(2 2,0,0), M ( 2,2,0)
∴ PM ? ( 2, 2,0) ? (0,1, 3) ? ( 2,1, ? 3)

D M

C B

AM ? ( 2, 2,0) ? (2 2,0,0) ? (? 2, 2,0) …… 3 分
设 n ? ( x, y, z) ,且 n ? 平面 PAM,则

y

A

x

?n ? PM ? 0 ? ? ? ?n ? AM ? 0

即?

? ?( x, y, z ) ? ( 2 ,1,? 3 ) ? 0 ? ?( x, y, z ) ? (? 2 ,2,0) ? 0
…… 8 分

∴?

? ? 2 x ? y ? 3z ? 0 , ? ? 2 x ? 2 y ? 0 ?

? ?z ? 3 y ? ? ?x ? 2 y



y ? 1 ,得 n ? ( 2,1, 3)

取 p ? (0,0,1) ,显然 p ? 平面 ABCD, ∴ cos n, p ?

n? p 3 2 结合图形可知, ? ? 2 | n |?| p | 6
……12 分
网]

二面角 P-AM-D 为 45°

19、 解: (1)因为每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点 所以圆心的最大限度为原正方形向外再扩张 1 个小圆半径的区域,且四角为 四分之一圆弧,此时总面积为:16×16+4×16×1+π×1 =320+π… 4 分 完全落在最大的正方形内时,圆心的位置在 14 为边长的正方形内,其面积 为 14×14=1 96;故:硬币落下后完全在最大的正方形内的概率为:
2

P?

196 ;…… 8 分 320 ? ?
2

(2)每个小正方形内与网格线没有公共点的部分是正中心的边长为 2 的正方 形的内部,一共有 16 个小正方形,总面积有:16×2 =64; 故:硬币落下后与网格线没有公共点的概率为: P ? 20、解: (1)由 ?

64 .…… 12 分 320 ? ?

? y ? kx ? 2, ? x ? ?2 py
2

得, x2 ? 2 pkx ? 4 p ? 0,

设 A x1, y1 , B ? x2 , y2 ? , 则 x1 ? x2 ? ?2 pk , y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 4 ? ?2 pk 2 ? 4,

?

?

O A? O B??
所以 ?

1

x? 2,x

1

y ?

?2 y ??

2?

,p k 2 ?

2

p? k ? 4 = ? ?4, ?12? , …… 3 分

??2 pk ? ?4, ??2 pk ? 4 ? ?12.
2

解得 ?

? p ? 1, ? k ? 2.
2

所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2, 抛物线 C 的方程为 x ? ?2 y. …… 6 分 (2)由 ? 设 P (t , ?

? y ? 2 x ? 2, ? x ? ?2 y,
2

得, x ? 4 x ? 4 ? 0,
2

x1 ? ?2 ? 2, x2 ? ?2 ? 2

1 2 t ) , (?2 ? 2 2 ? t ? ?2 ? 2 2) 2 1 2t ? t 2 ? 2 (t ? 2)2 ? 4 2 ? , P 到直线 l 的距离为 d d ? 2 5 2 ? (?1)2

因为 ?2 ? 2 2 ? t ? ?2 ? 2 2 ,所以当 t ? ?2 时, d 此时 P(?2, ?2). …… 12 分

max=

4 5 , 5

21、解: 设 AD ? DE ? 2 AB ? 2a ,建立如图所示的坐标系 A ? xyz ,则

A ? 0, 0, 0 ? ,C ? 2a, 0, 0 ? , B ? 0, 0, a ? , D a, 3a, 0 , E a, 3a, 2a .
?3 ? 3 a , a , 0 …… 2 分 ? ?2 ?. 2 ? ? ?3 ? 3 (1)证: AF ? ? a, a , 0 ? ?2 ? , BE ? a, 3a, a , BC ? ? 2a, 0, ?a ? , 2 ? ? 1 BE ? BC , AF ? 平面 BCE , ∵ AF ? 2 ∴ AF // 平面 BCE . …… 5 分 ?3 ? 3 a , 0 (2)证:∵ AF ? ? a, ? ?2 ? , CD ? ?a, 3a, 0 , ED ? ? 0, 0, ?2a ? , 2 ? ?
∵ F 为 CD 的中点,∴ F ?

?

? ?
?

?

?

?

?

?

?

∴ AF ? CD ? 0, AF ? ED ? 0 ,∴ AF ? CD, AF ? ED . ∴ AF ? 平面 CDE ,又 AF // 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE . …… 8 分 (3)解:设平面 BCE 法向量为 n ? ? x, y, z ? ,由 n ? BE ? 0, n ? BC ? 0 可得:

x ? 3 y ? z ? 0, 2x ? z ? 0 ,取 n ? 1, ? 3, 2 .
又 BF ? ? ?

?

?

?3 ?2

a,

? 3 BCE 所成的角为 ? ,则 a, ? a ? ? ,设 BF 和平面 2 ?

sin ? ?

BF n BF ? n

?

2a 2 . ? 4 2a ? 2 2
2 . …… 12 分 4

∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为
2

22、解: (1)设 M ( x0 , y0 )(x0 ? 0) .由 C2: x ? 4 y ,得 F1(0,1).
2 因为 M 在抛物线 C2 上,故 x0 ? 4 y0 ①. 又 | MF1 |?

5 5 ,则 y 0 ? 1 ? ②. 3 3

? 2 6 x0 ? ? , ? ? 3 解①②得 ? ?y ? 2 . ? 0 3 ?

因为点 M 在椭圆上,

方法一: 2a ? MF 1 ? MF 2 ?4

③ 又 c=1, 则 a ? b ? 1 ④
2 2

解③④得 ?

2 ? y2 x2 ?a ? 4, ? ? 1. 故椭圆 C 1 的方程为 4 3 ?b 2 ? 3. ?

2 2 6 2 ( ) 2 (? ) 4 8 3 3 ? 1 ,即 2 ? 2 ? 1 ③ 方法二: 2 ? 2 a b 9a 3b
又 c=1,则 a ? b ? 1 ④
2 2

解③④得 ?

2 ? y2 x2 ?a ? 4, ? ? 1 . …… 5 分 故椭圆 C 1 的方程为 2 4 3 ? b ? 3 . ?

(2)不妨设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y 2 ) ,且 x1 ? x 2 . 将 y ? kx 代入

12 y2 x2 ? ? 1 中,可得 x 2 ? 2 , 3k ? 4 4 3

即 x2 ? ? x1 ?

2 3 3k ? 4
2

,所以 y 2 ? ? y1 ?

2 3k 3k ? 4
2

.

…… 7 分

由(1)可得 | OA |? 3, | OB |? 2 . 故四边形 AEBF 的面积为

S ? S ?BEF ? S ?AEF ?
所以 S ?

1 1 ? 2 x2 ? 2 ? ? 2 y 2 ? 3 ? 2 x2 ? 3 y 2 2 2

4 3 3k ? 4
2

?

6k 3k ? 4
2

? 2 3 ? 1?

4 3k 3k 2 ? 4

…… 10 分

因为 3k ? 4 ? 4 3k ,所以
2

4 3k ? 1. 3k 2 ? 4 2 3 时,等号成立. 3
…… 12 分

所以 S ? 2 6 ,当且仅当 k ?

故四边形 AEBF 面积的最大值为 2 6 .


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