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河北省邢台市2017-2018学年高二数学下学期第三次月考试题 文(含解析)

噼噼啪啪 噼噼啪 啪

邢台市 2017~2018 学年高二(下)第三次月考

数学(文科)

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的.

1. 设命题 :



,则 为( )

A.



B.



C.



D.



【答案】D 【解析】分析:本题中的命题是一个全称命题,其否定是特称命题,依据全称命题的否定书 写形式写出命题的否定即可,从而得到正确的结果.

详解:因为

,则 为

,故选 B.

点睛:该题考查的是有关命题的否定,要记住全称命题的否定是特称命题,以及其命题的书

写形式,即可得到正确结果.

2. “ ”是“复数

为纯虚数”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】分析:由于复数

为纯虚数,则其实部为零,虚部不为零,故可得关

于 x 的条件,再与“ ”比较范围大小即可求得结果.

详解:由于复数

为纯虚数,



,解得 ,

故“ ”是“复数

为纯虚数”的充要条件,故选 C.

点睛:该题考查的是有关复数是纯虚数的条件,根据题意列出相应的式子,从而求得结果, 属于简单题目.

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3. 已知函数

,若

,则 ( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】分析:首先根据题意,将自变量的值代入函数解析式,利用对数式和指数式的运算 性质,求得关于的等量关系式,从而求得结果.

详解:根据题意得





,解得 ,故选 D.

点睛:该题考查的是有关已知函数值,求自变量的问题,在解题的过程中,需要将相关量代 入解析式,得到参数所满足的条件,求解即可得结果.

4. 已知集合



,则如图中阴影部分所表示的集合为

()

A.

B.

【答案】D

C.

D.

【解析】分析:首先根据偶次根式有意义的条件,得到

,整理得



求得该不等式的解集,从而求得集合

,观察韦恩图,可以得到其为

,利用补集和交集的运算法则求得结果.

详解:根据

,得





,解得

,从而求得

而图中阴影部分表示的是

,故选 D.

点睛:该题考查的是有关集合的运算的问题,涉及到的知识点有一元二次不等式的解法,偶 次根式有意义的条件,函数的定义域的求解,集合的补集,集合的交集等,属于简单题目. 5. 现有下面三个命题

:常数数列既是等差数列也是等比数列;

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:椭圆

的离心率为 .

下列命题中为假命题的是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】分析:首先将题中所给的几个命题的真假作出判断,根据 0 常数列是等差数列但不

是等比数列,得到 是真命题,根据二次式和对数式的性质,可得 是真命题,求出椭圆的

离心率,可得 是假命题,之后根据复合命题真值表得到结果.

详解: ,常数均为 0 的数列是等差数列,不是等比数列,故其为假命题;

,当 时,

,所以



,故其为真命题;

,椭圆

表示焦点在 轴上的椭圆,且

,所以 ,所以其离心率

,故其为假命题,所以

为真命题,

为真命题,

为假命

题,

为真命题,故选 C.

点睛:该题考查的是有关命题的真假判断,所涉及到的知识点有简单命题的真假判断和复合 命题的真假判断,而要判断复合命题的真假,对于三个简单命题的真值必须要作出正确判断, 这就要求平时对基础知识要牢固掌握. 6. 执行如图所示的程序框图,输出的 ( )

A.

B.

C.

D.

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【答案】B

【解析】第一次执行性程序后,

,第二次执行程序后

,第三次执行程

序后

,满足条件 ,跳出循环,输出 ,故选 B.

7. 已知复数

,若

,则在复平面内对应的点位于( )

A. 第一或第二象限 B. 第二或第三象限

C. 第一或第三象限 D. 第二或第四象限

【答案】C

【解析】分析:首先根据复数模的计算公式,结合题中的条件,得出实数所满足的等量关系

式,从而求得的值,进一步求得复数,根据其在复平面内对应的点的坐标,从而确定其所在

的象限,得到结果.

详解:根据题意可知



化简得

,解得 或 ,

当 时,

,当 时,



所以对应的点的坐标为

或,

所以对应的点在第一象限或第三象限,故选 C.

点睛:该题考查的是有关复数的问题,涉及到的知识点有复数模的计算公式,复数在复平面

内对应的点,属于简单题目.

8. 在极坐标系中, 为极点,曲线

与射线 的交点为 ,则

()

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】分析:首先将曲线与射线的方程联立,得到方程组,解得

, ,求得点 A

的极坐标,根据极坐标中极径 的几何意义,可得

,从而求得结果.

详解:由

可得







,解得



所以点 的极坐标为 ,所以

,故选 A.

点睛:该题考查的是有关极坐标的问题,在做题的过程中,需要先将曲线和射线的极坐标方

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程联立,解方程组,求得其交点 A 的极坐标,结合极坐标中极径的几何意义,求得相应的值.

9. 函数

的大致图象为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】分析:首先需要确定函数的定义域,之后根据函数的解析式可以判断出函数是奇函 数,利用其对称性排除 B,D 两项,利用特殊值对应的函数值,得到函数值存在大于 1 的点, 从而排除 C 项,故只能选 A,得到答案.

详解:因为

,其定义域为



可以得出函数 是奇函数,所以图像关于原点对称,故排除 B,D 两项,



,所以存在函数值大于 1,

从而排除 C,故选 A. 点睛:该题考查的是有关函数的图像的选择问题,通常情况下,可以通过函数的定义域、函 数图像的对称性、函数的零点、函数值的符号、函数图像的单调性、函数图像所过的特殊点 等条件确定函数图像,该题在解题的过程中,一是应用函数的奇偶性,得到其关于原点对称, 从而排除 B,D 两项,尤其在 A 和 C 项的选择上,利用 的大小,非常符合选择题的做法, 也可以求导,求函数的极值与 1 比较大小,运算量就大多了.

10. 已知 为偶函数,对任意 ,

恒成立,且当

时,

.

设函数

,则 的零点的个数为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】由 为偶函数,对任意 ,

以函数的周期 ,又



恒成立,知 ,所以函数关于

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,所 对称,当

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时,

做出其图象.并做关于 的对称图象,得到函数在一个周期上的图象,其

值域为 ,令

,得 ,在同一直角坐标系内作函数





的图象,由图象可知共有 8 个交点,所以函数 的零点的个数为 8 个. 点睛:涉及函数的周期性及对称性问题,一般要关注条件中的

以及函数的奇偶性,通过变形处理都可以转化为

函数的对称性及周期性问题,结合对称性及周期性可研究函数零点个数及图像交点个数问

题.

11. 记 表示大于 的整数 的十位数,例如



.已知 , , 都是大于 的

互不相等的整数,现有如下 个命题:

①若

,则

;②







③若 是质数,则 也是质数;④若 , , 成等差数列,则 , , 可能成等比数列. 其中所有的真命题为( ) A. ② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】分析:首先将题中的新定义的内容看完理透弄明白,之后再将各个命题一一对照, 逐个分析,判断正误,得到答案.

详解:对于①,根据题意可知 的十位数是 9,而 的十位数是 3,所以有若

,则

成立,故①是真命题;

对于②,令

,则有



,所以





成立,故②是真命题;

对于③, 是质数,而

既不是质数,也不是合数,所以其不正确,故③是假命题;

对于④,令

,满足 三数成等差数列,此时 , , 都是 1,故

其为公比为 1 的等比数列,所以成立,故④为真命题;

故所有的真命题为①②④,故选 C.

点睛:该题考查的是有关新定义的问题,属于现学现用型,所以就要求我们要认真分析,理

解透彻,之后对每一个命题逐个分析,与题中的新定义对照,从而求得正确结果.

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12. 设函数

,若互不相等的实数, ,, 满足





的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】分析:不失一般性可设

,利用

,结合图象可得的

范围及



,将所求式子转化为的函数,运用对勾函数的单调性,即可得

到所求范围.

详解:作出函数 的图象,由 时,

,可得

,可化为

解得

;当 时, 或 7,由图象可得存在
,则

,可得 使得

,令

,可得

,设

,则



,即有





减,则

,则

的范围是

,故选 B.

点睛:本题考查函数式取值范围的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,考 查函数与方程思想以及数形结合思想的应用.
第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡中的横线上.

13. 已知函数

,则

__________.

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【答案】 . 【解析】分析:首先根据分段函数对应的自变量的范围,代入相应的式子,求得对应的函数 值,再者就是对于多层函数值,需要从内向外逐步求解.

详解:因为

,所以



,故

答案是 .

点睛:该题考查的是有关分段函数的函数值的求解问题,在解题的过程中,需要分辨自变量 的范围,确定代入哪个式子,再者就是多层函数值的求解问题需要从内向外求.

14. 在直角坐标系 中,若直线

(为参数)过椭圆

(为参数)的左顶

点,则 __________. 【答案】 . 【解析】分析:直接化参数方程为普通方程,得到直线和椭圆的普通方程,求出椭圆的左顶 点,代入直线的方程,即可求得的值.

详解:由已知可得圆

( 为参数)化为普通方程,

可得

,故左顶点为 ,

直线

(为参数)化为普通方程,

可得

,又点 在直线上,



,解得

,故答案是 .

点睛:该题考查的是有关直线的参数方程与椭圆的参数方程的问题,在解题的过程中,需要

将参数方程化为普通方程,所以就需要掌握参数方程向普通方程的转化-----消参,之后要

明确椭圆的左顶点的坐标,以及点在直线上的条件,从而求得参数的值.

15. 设复数满足

,则的虚部为__________.

【答案】2.

【解析】分析:把题中给出的式子

,两边同时乘以 ,之后利用复数的除法运

算法则,求得结果,从而确定出其虚部的值.

详解:由





所以的虚部为 2,故答案是 2.

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点睛:该题考查的是有关复数的问题,涉及到的知识点有复数的除法运算,复数的虚部,这 就要求对运算法则要掌握并能熟练的应用,再者就是对有关概念要明确. 16. 某商品的售价 和销售量 之间的一组数据如下表所示: 价格(元)
销售量(件)

销售量 与价格 之间有较好的线性相关关系,且回归直线方程是

,则

__________.

【答案】 .

【解析】分析:根据回归直线过样本中心点 ,求出平均数,代入回归直线方程,求出

,从而得到答案.

详解:根据题意得





因为回归直线过样本中心点 ,

所以有

,解得

,所以答案是 .

点睛:该题考查的就是回归直线的特征:回归直线过样本中心点,即均值点,所以在求解的

过程中,需要分别算出样本点的横纵坐标,代入回归直线方程中,求得对应的参数的值.

17. 已知函数

,若 在 上有两个零点,则的取值范围是__________.

【答案】

.

【解析】分析:当 在 上有两个零点时,即方程

在区间 上有两个不相

等的实根,由此构造关于的不等式组,解不等式组可求出的取值范围. 详解:当 在 上有两个零点时,

方程

在区间 上有两个不相等的实根,



,解得



所以的取值范围是

,故答案是

.

点睛:该题考查的是有关一元二次方程根的分布问题,在解题的过程中,要注意对应的是哪

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一种,因为一元二次方程根的分布一共有六种情况:





,之后应用相应的不等式组求得结果.

18. 在侦破某一起案件时,警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中揪出真正的嫌疑人,现 有四条明确的信息:(1)此案是两人共同作案;(2)若甲参与此案,则丙一定没参与;(3) 若乙参与此案,则丁一定参与;(4)若丙没参与此案,则丁也一定没参与.据此可以判断参 与此案的两名嫌疑人是__________. 【答案】丙、丁. 【解析】分析:首先根据题中所给的条件,对甲、乙、丙、丁一次推测,得到的结果与题设 相符,就说明正确,如果推出矛盾,说明不满足条件,注意要逐个验证. 详解:若甲参与此案,根据题意可知,丙一定没有参与,丁也一定没有参与,只剩乙,若乙 参与,则有丁一定参与,与题设矛盾,所以甲没有参与此案; 若乙参与此案,则有丁一定参与此案,但此时丙没有参与,所以丁也一定没有参与,矛盾, 故乙没有参与此案; 而参与者只有两人,所以就是丙、丁,也复合题中的条件,故答案是丙、丁. 点睛:该题考查的是有关推理的问题,在解题的过程中,需要对题中的条件认真分析,对甲、 乙、丙、丁四人逐个分析判断,得出答案. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19. 在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为

( 为参数),直线的参数方程



(为参数),且直线与曲线 交于 两点,以直角坐标系的原点为极点,以 轴

的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 的极坐标方程; (2) 已知点 的极坐标为 ,求

的值

【答案】(1)

.

(2)

.

【解析】分析:(1)曲线 C 的参数方程消去参数 ,得曲线 C 的普通方程

,整理得到

,由此,根据极坐标与平面

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直角坐标之间的关系,可以求得曲线 C 的极坐标方程;..................... (2)将直线的参数方程与曲线 C 的普通方程联立,利用直线方程中参数的几何意义,结合韦 达定理,求得结果.

详解:(1) 的普通方程为



整理得



所以曲线 的极坐标方程为

.

(2)点 的直角坐标为

,设 , 两点对应的参数为 , ,

将直线的参数方程代入曲线 的普通方程中得



整理得

.

所以

,且易知 , ,

由参数的几何意义可知,





所以

.

点睛:该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题,涉及到的知识点有曲线的参数方程向普

通方程的转化,曲线的平面直角坐标方程向极坐标方程的转化,直线的参数方程中参数的几

何意义,在解题的过程中,要认真分析,细心求解.

20. 在极坐标系中,过极点 作直线与另一直线:

相交于点 ,在直线 上取一

点 ,使

.

(1)记点 的轨迹为 ,求 的极坐标方程并将其化为直角坐标方程;

(2)若 为直线上一点,点 的极坐标为 ,

,求 的最小值.

【答案】(1)

.

(2) .

【解析】分析:(1)求出直线的普通方程,设出点 A 和点 M 的坐标,建立两点的坐标关系,

利用

,求出方程

,再将其化为平面直角坐标方程即可.

(2)根据圆的特点,分析出什么情况下取得最小值,利用相应的公式求解即可.

详解:(1)设动点 的极坐标为 , 的极坐标为 ,

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.

因为 将 得

,所以

,此即为 的极坐标方程.

化为直角坐标方程,

,即

.

(2)由(1)知 点即为圆

的圆心.

因为

,所以

所以当 最小时, 最小,

而 的最小值为 到直线的距离,即

, .

于是

.

点睛:该题考查的是有关轨迹方程的求解问题,涉及到的知识点有轨迹方程的求解,极坐标 方程与平面直角坐标方程的互化,距离的最值问题,在解题的过程中,注意求轨迹方程的方 法和步骤,以及圆中的特殊三角形. 21. 某电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 名观众进行调查,如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方 图,将日均收看该体育节目时间不低于 分钟的观众称为体育迷.

(1)若日均收看该体育节目时间在

内的观众中有两名女性,现从日均收看时间在

内的观众中抽取两名进行调查,求这两名观众恰好一男一女的概率;

(2)若抽取 人中有女性 人,其中女体育迷有 人,完成答题卡中的列联表并判断能否

在犯错概率不超过 的前提下认为是体育迷与性别有关系吗?

附表及公式:

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.

【答案】(1) .

(2) 不能在犯错概率不超过 的前提下认为是体育迷与性别有关系.

【解析】分析:(1)首先从图中可以得到日均收看时间在

内的观众有 名,分析得出从

中抽两名观众的情况对应的基本事件并写出,把满足条件的基本事件找出来并数出个数,之

后利用公式求得结果;

(2)根据题意列出列联表,应用公式求得观测值 ,与临界值比较大小,从而求得结果.

详解:(1)由图可得,日均收看时间在

内的观众有 名,

则其中有 名男性, 名女性,记 名男性为 , , , 名女性为 , .

从中抽取两名观众的情况有 , , , , , , , ,



种.

其中恰好一男一女的情况有 种,所以所求概率

.

(2)由题意得如下 列联表:

非体育迷

体育迷

合计





合计

的观测值



故不能在犯错概率不超过 的前提下认为是体育迷与性别有关系. 点睛:该题考查的是有关统计的问题,在解题的过程中,涉及到的知识点有读频率分布直方

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图得到相应的信息,古典概型的概率,独立性检验的问题,在解题的过程中,认真求出相关

的量,求得结果.

22. (1)在

中,内角 , , 的对边分别为, ,,且

,证明:



(2)已知结论:在直角三角形中,若两直角边长分别为, ,斜边长为,则斜边上的高 .

若把该结论推广到空间:在侧棱互相垂直的四面体

中,若三个侧面的面积分别为 ,

, ,底面面积为 ,则该四面体的高 与 , , , 之间的关系是什么?(用 , ,

, 表示 )

【答案】(1)见解析.

(2)

.

【解析】分析:(1)首先根据题中的条件

,求得 ,从而可以将所要证

明的式子转化,应用分析法证得结果; (2)根据题中的条件,类比着平面三角形的面积,可以推出空间几何体三棱锥的体积对应的 结果,在解题的过程中,注意将三棱锥的侧面面积分别写出来,应用体积公式以及各个方程 之间的关系,从而求得结果.

详解:(1)证明:由

,得

,则 .

要证



只需证



即证



只需证

,即证

.

而,

显然成立,故

.

(2)解:记该四面体

的三条侧棱长分别为, ,,

不妨设















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于是





.

点睛:该题考查的是有关推理证明求解的问题,在解题的过程中,注意对式子的等价转化的 思想以及转化的能力的培养,再者就是在第二问找其关系的时候,可以应用三个式子相乘再 化简.

23. 已知函数

.若 在 上的值域为区间

,试问是否存在常数 ,使得区间 的长度为

?若存在,求出所有 的值;若不存在,

请说明理由(注:区间

的长度为 ).

【答案】只有 符合题意,理由见解析.

【解析】分析:首先化简函数解析式,将其化为

,之后将问题转

化,对 详解:

的取值进行分类讨论,最后求得结果.

.

原问题等价于



上的值域的区间长度为

.

①当

,即

时,

由 得. ②当

,即

时,

,即





,∴ ,又

,∴ 不合题意.

③当

,即 时,



.

解得



,又 ,∴ .

综上所述:只有 符合题意.

点睛:该题考查的是有关是否存在类问题,解决此类问题的方法步骤是先假设存在,按照题

的条件,建立参数所满足的关系式,分类讨论,求得结果,如果推出矛盾,就说明不存在,

如果能够求出结果,那就是存在.

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